导数中的双变量问题

导数

1、设函数/(x) = (2-a)Inx + 2

(1)讨论函数/(X)在定义域内的单调性；

⑵当ae(-3,-2)时,任意x p x2e[l,3], (m + ln3)a-21n3>l/(x1)-/(x2)P®成立，求实数加的

取值范围.

2、已知二次函数g(x)对PxwR都满足g(x-l) + g(l-x)" - 2x-l且g(l) = j,设函数

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= g(x + -) + m\nx + - ( m

x>0 ) •

e R r

2o

(I)求gd)的表达式;(II)若3xe/?+,使/W<0成立,求实数用的取值范围;

(【II)设15", H(x) = f(x)-(m + l)x,求证:对于Vxp x2e[l,w],恒有I//(x1)-//(x2)l< 10

3、设x = 3是函数/(x) = (x2 + ax+e /?)的一个极值点.

（1）求"与〃的关系式（用"表示方），并求的单调区间；

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（2）设。＞0,曲）=oh扌若存在匚盒可0,4］,使得|/（切-&（幻＜1成立，求"的取

x q丿

值范围.

4、f （A） = （x2 + cix + b）e x（x 已R）.

（1）若a = 2t b = -2f求函数/⑴的极值；

（2）若x = l是函数/（x）的一个极值点，试求出“关于b的关系式（用。表示b ）,并确定/（兀）的单调区间；

（3）在（2）的条件下，设。＞0,函数g（x） = （/ +⑷严.若存在衛仆［0,4］使得1/（2,）-/（22）1＜1成立,求"的取值范围.

5、已知函数f（^x） = ax i+bx2 -3x（a,beR）在点（1J⑴）处的切线方程为y + 2 = 0. ⑴求函数f（x）的解析式；

⑵若对于区间[-2,2]±任意两个自变量的值几花都有|/（州）-/（勺）|“，求实数c的最小值；

⑶若过点M（2冲）（〃?工2）可作曲线y = f（X）的三条切线，求实数山的取值范围.

6、设函数/（x） = x —丄一dlnx（dR）.

x

⑴讨论函数/（劝的单调性；

⑵若/⑴有两个极值点州內，记过点心后）），BgJ（兀2））的直线斜率为问:是否存在"，使得k = 2-a若存在，求出"的值；若不存在，请说明理由.

(1)求函数/G)的单调增区间；

⑵记函数F(x)的图象为曲线C，设点心j)、BS)是曲线C上两个不同点,如果曲线C上存在

点Mg,。)，使得：①州=乞竺；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，

2

则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数/(X)是否存在中值相依切线，请说明理由.

8^ 已知函数/(x) = (a + l)lnx-ax<

⑴试讨论/(x)在定义域内的单调性;

⑵当。＜一1时，证明：Vx p x2e(0J),

\x} -x21 求实数川的取值范围.

9、已知函数/(x) = (a + l)\nx + ax2 +1.

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)设 a <-1,如果对任意x“2 w(O,g), I /(Xj)-/(x2)l ^4lx)-x21,求。的取值范围.

10、已知函数扣-站(爲-l)lnx, Qi.

(l)讨论函数/(x)的单调性；

若4 <5,则对任意X\y x2 e (0,+oo), X\ 丰x—

(2)证明:

11、已知函数/(x) = x-l-«lnx(t/<0).

(1)确定函数y = f(x)的单调性；

(2)若对任意x,x.e(Ojl，且比工左，都有l/(xj-/3)lv4l丄-丄I，求实数a的取值范

围。

12^ 已知二次函数f(x) = ax2 +bx + c和“伪二次函数” g(x) = ax2 + bx + c\nx〃、ce R. abc h 0 ),

(I)证明：只要“<0,无论方取何值，函数g(x)在定义域内不可能总为增函数；

(II)在二次函数f(x) = ax2+bx + c图象上任意取不同两点仏小),恥2」2),线段A 〃中点的

横坐标为无，记直线的斜率为

G)求证：心八勺)；(ii)对于“伪二次函数"g(x) = ax2+bx+c\nx f是否有①同样的性质证明你的结论.

13、已知函数(p(x) = -^― 9 $为正常数.

x + 1

⑴若/(x) = lnx +如)，且求函数/⑴的单调增区间；

乙

(2)在⑴中当a = 0时,函数y = /(X)的图象上任意不同的两点B(x2t y2)f线段AB的

中点为C(“,y。)，记直线A3的斜率为R,试证明：R>.厂伽).

⑶若g(x) = |lnx| + °(x),且对任意的x p x2 6(0,2], ““2,都有土⑴｛<_],求爲的取值

X2 ~ X\

范围.

14、已知函数/(x) = x2ln(ax)(a>0)

(1)若r(A)

(2)当"=1时，设函数g(x) = 42,若“,孔€(：」)，“ +尤2 <1，求证"尤2<(山+大2)°15、已知函数/(x)=1~t/ + lnV awR,

x

(I)求/(X)的极值(II)若lnx-^

(III)已知x{>0 9 x2 > 0 -& %)+ x2 < e求证x}+x2> x{x2

16、已知函数fix)=—的图象为曲线C,函数g(x) = [e +方的图象为直线/.

x 2

(I)当a = 2,b = -3时,求F(x) = fW-gM的最大值；

(II)设直线/与曲线C的交点的横坐标分别为x…x2,且召p,求证: (州+x2)g(x l+ X2)>2.