131函数的最大最小值
高中数学必修一：1.3.1.2函数的最大值、最小值
【答案】最大值9，最小值0.
3.求函数 f ( x) kx 2 在区间[0,2]上的最大值和最 小值。 【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数 是一次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解 答。 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
1.求函数 f ( x) 3x 在区间[-1,3]的最大值和
最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数。 【答案】最大值是9，最小值是-3.
2.求函数 f ( x)
x
2
在区间[-1,3]上的最大值和最小值。
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[1,0]上是减函数，在区间(0,3]上是增函数，最 小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个 端点的函数值中最大的。 对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等， 今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
例2 画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数 在下列区间上的最大值与最小值. (1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3] 解:根据题意画出如下函数图象
(1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2; (2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8;
(3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.
的定义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意是 x I ，都有 f ( x) N ； （2）存在x I ，使得 f ( x0 ) N 。 0 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。 记作f(x)min= N
函数最大值最小值
函数最大值最小值函数的最大值和最小值是在数学中应用最广泛的概念之一，它是解决许多经济学、物理学和工程学问题的基石。
函数的最大值指的是函数图像上的顶峰点，也可以称为极大值；而函数的最小值则是指的谷底点，也可以称为极小值。
这两个概念对于很多实际问题的解决至关重要，它们能够帮助我们找出一些特定条件下的最优解。
比如，我们可以用函数最大值最小值的概念来解决如下问题：如何得到最大利润的生产量，如何使得某个物理量最小，如何使得某个工作量最少等等。
这些问题都需要我们通过对函数进行分析来找出最大值和最小值，然后将它们代入实际问题中，从而得到最优解。
为了找出函数的最大值和最小值，我们需要在函数的定义域内进行求解。
从定义域中的数值中寻找一个最大值或最小值，会在某种程度上影响整个函数的输出结果，因此我们更加倾向于寻找全局最大值或最小值。
全局最大值和最小值是指函数在其定义域内的所有取值中最大的值和最小的值。
而局部最大值和最小值则是指函数在某个区间内的最大值或最小值。
要想找到函数的最大值和最小值，我们需要运用一些基础知识和技巧，如一阶导数和二阶导数的概念。
一阶导数可以帮助我们确定函数变化的趋势，而二阶导数则可以帮助我们判断函数的凸性和拐点等性质。
这些性质都与函数的最大值和最小值密切相关。
当我们找到了函数的最大值和最小值后，我们可以将它们代入实际问题中，从而得到最优解。
比如，如果我们想要得到最大利润的生产量，我们可以将函数的最大值代入经济方程中，从而得到最优的生产方案。
同样的，如果我们想要使某个物理量最小，我们可以将函数的最小值代入物理方程中，从而得到最优的物理状态。
总之，函数的最大值和最小值是解决许多实际问题的利器，其掌握和运用对于学生和从事科研、工程、经济等领域的专业人士来说都是非常有必要的。
因此，我们需要深入理解其本质概念，学习其高深的分析方法，并在实际问题中勇敢地运用它们，从而取得优秀的成果。
1.3.1.2 函数的最大值、最小值 Word版含解析_1
第2课时 函数的最大值、最小值知识点 函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) -=答案=-：(1)× (2)×2．函数f (x )＝1x 在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f (x )＝1x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.-=答案=-：A3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5.-=答案=-：B4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．-=答案=-：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎨⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示．由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．利用x 的不同取值先去绝对值，再画图．类型二 利用单调性求函数的最大(小值)例2 已知f (x )＝1x －1，(1)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．【解析】 (1)函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 2>x 1>1，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)可知f (x )在(1，＋∞)上是减函数，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．类型三二次函数最值例3求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．方法归纳1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？①确定二次函数的对称轴x＝a；②根据a<m，m≤a<m＋n2，m＋n2≤a<n，a≥n这4种情况进行分类讨论；③写出最值．2．求二次函数的最值常用的数学思想方法数形结合思想、分类讨论思想．跟踪训练3已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.-=答案=-：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解析：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎨⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数， 因此f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.-=答案=-：613．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t ＋1]上为减函数，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t2＋1，t<0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t>1.。
1.3.1.2函数的最大(小)值(用)
.
思 考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在x0 I ，使得 f(x0 ) = M ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
思 考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
思 考
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 )成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 的图像。显然， 解：作出函数
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ，我们有
20 15 10 5
f(m)
m
I
n
x
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h t = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米 ?
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
高中数学 北师大必修一 1.3.1函数的单调性和最大小值
设函数y=f(x)的定上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
（1）求证f(x)＝x＋ 1 在(0,1]上是减函数 x
，在[1,+∞)上是增函数。
（2）判断函数 f(x)=x3的单调性并证明。
函数，D称为f(x)的单调增 区间.
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接 说某函数是增函数或减函数。
下列说法是否正确？请画图说明理由。
y
f (x)
f (x1 ) f (x2 )
x1
x2 x
图5
⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调 函数的图象上升，则为增函数，图象下降则 为减函数.
1：一次函数 y kx b(的k 单 调0)性，单调区间：
2：二次函数 y ax2 bx c(a 的0单) 调性，单调
区间：
（二）典型例题
N
f(x2)
？
对区间D内 任意 x1，x2 ，
M
f(x1) O
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
N
131函数最值
例题
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点
时爆裂,如果烟花距地面的高度h m与时间t s 之间的关系为h(t)=4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地 面的高度是多少(精确到1m)?
解: 函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的对称轴为t=14.7/2×4.9=1.5, 由一次函数的知识,对此函数,我们有当t=1.5时,函数有最大值
4 (4.9) 18 14.72
h=
=29
4 (4.9)
于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度 约为29m.
例题
例4
已知函数y=
2
x－1
(x∈〔2,6〕),求函数的最大值和
最小值.
分析: 由函数的图象可知,函数y=
2
x－1
在〔2,6〕上
递减,所以在两个端点分别取得最大值和最小值.
探究
我们来观察
y
下面这个图象： f (b)
y=f (x)
f (x0)
0
a
x0
bx
我们可以发现这个图象在区间[a,b]上有一个最低点 f (x0) 一个最高点f (b), 如果函数有这种性质，我们就说函数 有f(x)最大值和最小值。
新课
函数最值定义:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对任意的x∈I,都有f(x) ≤M; (2)存在a∈I,使得f(a)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
例题
补充例题,求下列函数的最值:
(1) y x2 2x 1, x [t,t 1]; (2) y x2 2ax 5, x [2,3],a R.
高一函数最大值最小值公式
高一数学：函数最大值和最小值公式在高中数学教学中，函数的最大值和最小值是一个重要且基础的概念。
通过求函数的最大值和最小值，我们可以更好地了解函数的性质和特点。
在高一阶段，我们常常会遇到求函数最大值和最小值的问题，而其中涉及到的公式和方法也是我们需要掌握的关键知识之一。
函数的最大值和最小值定义首先，让我们回顾一下函数的最大值和最小值的定义。
对于一个定义在区间上的函数，我们称函数在该区间上的最大值为函数在该区间上取得的最大值，记作。
同样地，我们称函数在该区间上的最小值为函数在该区间上取得的最小值，记作。
函数在区间上的最大值和最小值可能出现在函数的极值点处，也可能出现在区间的端点处。
函数最大值和最小值的求解方法求导法要求一个函数在某个区间上的最大值和最小值，通常我们会利用求导的方法。
对于一个定义在区间上的函数，我们可以通过求函数在该区间内的导数，找出导数为0的点，然后将这些点代入函数中，求出函数在这些点上的函数值，最终比较这些函数值的大小，得到最大值和最小值。
具体的求导法步骤如下： 1. 求出函数在区间上的导数； 2. 解出导数为0的方程，得到所有的驻点； 3. 将驻点代入函数中，并比较函数值，找出函数在驻点处的最大值和最小值； 4. 比较区间的端点处的函数值，找出端点处的最大值和最小值； 5. 最终得到函数在区间上的最大值和最小值。
二次函数最值公式对于一个二次函数，我们可以通过二次函数的最值公式来求出函数的最大值和最小值。
二次函数的标准形式为：f(x)=ax2+bx+c其最值公式为： - 当，最小值为； - 当，最大值为。
其中，中括号表示取整数部分的符号。
举例说明下面，我们通过一个例子来说明如何求解函数的最大值和最小值。
考虑函数f(x)=2x2−8x+10在区间[−1,3]上的最大值和最小值。
求导法解首先，求出函数的导数f′(x)=4x−8。
然后解方程4x−8=0，得到驻点x= 2。
将x=−1,2,3代入函数f(x)中，得到f(−1)=20,f(2)=2,f(3)=10，因此最大值为20，最小值为2。
2018学年高中数学必修1课件：1.3.1 第二课时 函数的最大小值 精品
4．函数f(x)＝1x，x≥1
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
解析：当x≥1时，函数f(x)＝
1 x
为减函数，所以在x＝1处
取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2
＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝xx－ ＋12，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11－ ＋12－xx22＋－21 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2.
例：求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值． 解：∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝62－ －4aa2，，2a≤<2a，≤4，
(2)函数f(x)的图象如图：
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
[类题通法]
用图象法求最值的一般步骤
[活学活用] 作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是 否存在最大值和最小值．
解：当x≥2，即x－2≥0时， y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94； 当x<2，即x－2<0时， y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.
131函数的单调性与最大(小)值(五)36页PPT
解析:易知 y x1x1在定义域[1,+∞)上为增函数,
故x=1时,有最小值
2.
第16页
题型三 抽象函数的单调性与最值
例3:已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0时,f(x)<0,f(1)= 2 . 3
(1)求证f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意 特殊值的应用.
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M. (2)存在x0∈I使得f(x0)=M. 那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值.
第4页
2.函数的最值与值域 (1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值. (2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标. (3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区
(3)由f(x-3)≤2,得f(x-3)≤f(4),
于是 x-3>0 x>3
⇒
⇒3<x≤7.
x-3≤4
x≤7
第22页
例4:若一次函数y=f(x)在区间[-1,3]上的最(x _)_ _1 __x_ .3 或 f(x ) 1x 5 .
22
22
错解:设f(x)=ax+b(a≠0),
第20页
变式训练3:函数f(x)对x>0有意义,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)为增函数.
(1)求证:f(1)=0; (2)求f(4); (3)如果f(x-3)≤2,求x的范围.
第21页
解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),
131函数的最大最小值93517
y
2
方法，要注意掌握。
是区间[2,6]上的减函数.
x 1
因此,函数 y 2 在区间[2,6]上的两个端点上分别取 x 1
得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，
在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
练习：求函数的最大值和最小值。
(1)yx22x3,x R x 1时，ymin 2
4 1 O 1
所以 y 4 是所有函数
值中最大的
3x
故函数f ( x ) 有最大值 4
观察下面函数的图象，并回答问题
3、函数 yx22x3在_1_,_____上为增函 数当一，个在函__数__f(_x_,)的1__图上象为有减最函低数点；时图，象就有说
_函最_数_低_f_(x()最有高最（小低值）。 )点，坐标为_ 1_,__4__ .
如果存在实数Ｍ满足：
（１）对于任意的 xI,都f有 (x)M ;
(2 )存 在 x 0 I,使 得 f(x 0 ) M .
可以这样理解：
函数的最小值是所有函数值中最小 的一个，并且是能够取到的。
下列函数是否存在最大值、最小值？函数在Hale Waihona Puke 何处取得最大值和最小值,并求出其值。
(1)y2x,(xR) 没有
5
是 __2___
5 在区间 2,1 上的最大值
x
;最小值是___5___
2、函数 f ( x ) 是区间 a ,b 上的增函数，
则该函数在该区间上的最大值是_f__( _b _) ;
最小值是_f__( _a_)_
小结：求函数最大（小）值的方法：
（1）图象法：函数的最大值在最高点取 得。
(2 )y2x ,(1x3 )
人教版_数学Ⅰ_131函数的最大小值
课题：§ 1.3.1 函数的最大(小)值教学目的：( 1)理解函数的最大(小)值及其几何意义； (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？(1) f (x) 2x 3 (2) f (x) 2x 3 x [ 1,2]22(3) f (x) x2 2x 1 (4) f (x) x22x 1 x [ 2,2]二、新课教学(一)函数最大(小)值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x € I，都有f(x) < M ;(2)存在x o € I，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x) 的最大值( Maximum Value )．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值( Minimum Value )的定义．(学生活动)② 函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x o€ I，使得f(x o) = M ;②2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x€ I，都有f(x) < M ( f(x) > M ).2．利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法②1利用二次函数的性质( 配方法 )求函数的最大(小)值②2利用图象求函数的最大(小)值②3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a, b]上单调递增，在区间[b, c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b 处有最大值f(b) ；如果函数y=f（x）在区间［a, b］上单调递减，在区间［b, c］上单调递增则函数y=f （x）在x=b处有最小值f（b）;（二）典型例题例1.（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值. 解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值.巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x,面积为y 试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2.（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为（160 x）元时，住房率为（55 — 10）%，于是得20x y=150 • (160 x) • (55 10)% .20x 由于(55 10)% w 1，可知0 w x w 90.20因此问题转化为：当0w x w 90时，求y的最大值的问题.将y的两边同除以一个常数0.75，得y i=—x2+ 50 x + 17600 .由于二次函数y 1在X =25时取得最大值，可知y也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160—25=135 （元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75 （元）.所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）2例3.（教材P37例4）求函数y 在区间［2，6］上的最大值和最小值.X 1解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式.巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明•画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值T作差T变形T定号T下结论四、作业布置1 .书面作业：课本P45习题1 . 3 （A组）第6、7、8题.提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？B ------------ AC」。
2012高一数学教案 1.3.1 函数的最大(小)值 (人教A版必修1)
1.3.2 函数的最大（小）值（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.概念一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x∈I都有f (x) ≤M.（2）存在x0∈I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.即f (x0)≤f (x)意味着什么？生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：①x0∈定义域；②f (x0) ∈值域；③f (x0)是整个定义域上最大的函数值.共性抽象获得最大值概念.形成概念函数最小值概念.一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f (x)≥M.（2）存在x0∈I，使得f (x0) =M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值.师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：你能依照函数最大值的定义，得出函数的最小值的定义吗？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.由最大值定义类比最小值定义.应用举例例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？例2 已知函数y =21x-(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值.师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 +14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t) =– 4.9t 2 + 14.7t +18，t∈[0，4]我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1. 5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.例2分析：由函数y =21x-(x∈[2，6])的图象可知，函数y=21x-在区间[2，6]上递减. 所以，函数y=21x-在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意自学与指导相结合，提高学生的学习能力.（1）以实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.进一步固化求最值的方法及步骤.讲练结合，形成技能固化技能.备选例题例1 已知函数f (x ) =22x x ax++，x∈[1，+∞).（Ⅰ）当a =12时，求函数f (x)的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 +ax= x +12x+2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化22x x ax++>(x[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a =12时，f (x) = x +12x+2因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =7 2 .（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =22x x ax++>恒成立⇔x2 + 2x + a＞0恒成立.设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a–1在[1，+∞)上递增.∴当x =1时，y min =3 + a，于是当且仅且y min =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，∴a＞–3.解法二：f (x) = x +ax+2 x[1，+∞).当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.例2 已知函数f (x)对任意x，y R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =23-.（1）求证f (x)是R上的减函数；（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = –y可得：f (–x) = –f (x)，在R上任取x1＞x2，则f (x1) –f (x2) = f (x1) + f (–x2) = f (x1–x2).∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0，即f (x1) –f (x2)＞0.由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数，∴f (–3)最大，f (3)最小.f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×(23-) = –2. ∴f (–3) = –f (3) =2.即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.。
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O
x
解：由题可知，t 0 h
28
h(t) 4t2 16t 12
4t 22 28 O 2
t
如图，函数 h ( t ) 在 0 , 2 上增函数，
在 2,上是减函数。
所以，t 2 时 hmax 28
答：烟花冲出后2 s是爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度为28 m。
三、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法 ： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则 函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a)，在x=b处有最 大值f(b) ；
O2
x
如图，函数 f ( x ) 在 ,2上增函数，
在 2,上是减函数。
所以，x 2 时 ymax 28
例3：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面
的高度h m 与时间t s 之间的关系
为 h (t) 4 t21 6 t1 2，那么烟花冲出后什么 时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少（精确到1 m）？
(4)yx22x,xR
在x=1时取得最小值-1;没有最大值
(5)y 1, xR
x 没有最小值；没有最大值
(6)y 1,x1,5
x 在x=5时取得最小值
1 5
;
在x=1时取得最大值 1
求函数 y 4x2 1 6x 1 2 (x R )的最大值.
y
解：y 4x2 16x 12Biblioteka 284 x 22 28
在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
练习：求函数的最大值和最小值。
(1)yx22x3,x R x 1 时，ymin 2
(2 )y x 2 2 x 3 ,x 1 ,2
x 1 时，ymin 2; x 2 时，ymax 3
(3 )y x 2 2 x 3 ,x 2 ,1
x 1 时，ymin 2; x 2时，ymax 11
y
对任意 xR,y4
1 O 1 3 x
所以 y 4是所有函数 值中最小的
4
故函数f ( x ) 有最小值 4
四、最小值的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为Ｉ， 如果存在实数Ｍ满足：
（１）对于任意的 xI,都f有 (x)M ;
(2 )存 在 x 0 I,使 得 f(x 0 ) M .
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数 f(x)有最小值。
f( x 1 ) f( x 2 ) 0 ,即 f( x 1 ) f( x 2 )大值与最小值是一种十分常用的
所以，函数
y
2
方法，要注意掌握。
是区间[2,6]上的减函数.
x 1
因此,函数 y 2 在区间[2,6]上的两个端点上分别取 x 1
得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，
（2）利用函数的单调性：先确定或证 明单调函数的单调性及相应的单调区 间，再求函数在何处取得最大值或最 小值。
注意：两种方法经常结合应用
Thanks for your attention ！
f
(x1)
f
(x2)
2 x1 1
2 x2 1
先说明函数在区间上 是减函数，复习一下
2[(x2 1)(x1 1)] 2(x2 x1) 判定函数单调性的
(x2 1)(x1 1) (x2 1)(x1 1) 基本步骤。
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-利1)用>0函,于数的是单调性来求函数的 最
可以这样理解：
函数的最大值是所有函数值中最大 的一个，并且是能够取到的。
观察下面函数的图象，并回答问题
3、函数 yx22x3在_1_,_____上为增函 数当一，个在函__数__f(_x_,)的1__图上象为有减最函低数点；时图，象就有说
_函最_数_低_f_(x()最有高最（小低值）。 )点，坐标为_ 1_,__4__ .
可以这样理解：
函数的最小值是所有函数值中最小 的一个，并且是能够取到的。
下列函数是否存在最大值、最小值？函数在 何处取得最大值和最小值,并求出其值。
(1)y2x,(xR) 没有
(2 )y2x ,(1x3 )
在x=1时取得最小值2； 在x=3时取得最大值6
(3 )y2x ,(1x3 )
在x=1时取得最小值2；没有最大值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在 区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x) 在x=b 处有最小值f(b)。
例2:已知函数 fx 2 ,x2,6
x1
(1)求证f(x)在区间[2,6]上是单调递减; (2)求函数的最大值和最小值。
解：任取x1, x2∈ [2,6] ，且x1＜x2
1、函数 y
5
5 x
在区间 2,1 上的最大值
是
__2___
;最小值是___5___
2、函数 f ( x ) 是区间 a ,b 上的增函数，
则该函数在该区间上的最大值是_f__( _b _) ;
最小值是_f__( _a_)_
小结：求函数最大（小）值的方法：
（1）图象法：函数的最大值在最高点取 得。