保角变换法求解定解问题

2(v)2 2 2 u v (16.1.2)
v2 y
uv y y
两式相加得到
22[(u)2 (u)2]2+[(v)2 (v)2]2
x2 y2 x
y u2 x
y v2
2u +(x2
2u y2 )
u (x2v2
y2v2 )
v
+2( u v + u v ) 2 x x y y uv
（16.1.3）
利用解析函数 wf(z)uiv的C-R条件
（2）作变换 ln1 ln| 1| ia rg1
(16.2.3)
把 1 平面的上半平面变成 平面上平行于实轴，宽为
π 的一个带形区域， 1 平面的正实轴变换为
0 平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于
），
1 平面的负实轴变换为 平面的平行于实轴的直线
π （负实轴辐角为 ,故对应于 = π ）．
程，则经过保角变换后得到的 (u,v )也满足拉普拉斯方程．
【证明】 利用复合函数求导法则有
u v x u x v x
2 2u 2 (u )2 2v x2 u x2 u2 x v x2
2 ( v )2 2 2 u v
v 2 x
uv x x
(16.1.1)
同理
2 2u 2(u)2 2v y2 u y2 u2 y v y2
xa xa
0
x a （b）再考虑
的情况, 则
x a 0 ,x a 2 a 0 ,
故
1
xa xa
0
如图16.1所示，根据(16.2.1)式中的边界条件，对应于
|
x
|
a
u 处温度为
，故
0
1
平面的负实轴（即 1
0
）
u 温度保持为 0 ；而在| x | a 处有 1 0 ，故
1 平面的正实轴温度保持为零．
(x ,y ) V 0 π V 1 a r g (z 1 ) V 1 π V 2a r g (z 1 ) V 2
（4）进一步推广
( x ,y ) V 0 π V 1 a r g ( z x 1 ) V 1 π V 2 a r g ( z x 2 ) L V n 1 π V n a r g ( z x n ) V n
（16.1.7b）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2x2 2y2 k20 (16.1.8a)
经变换后仍然变为亥姆霍兹方程
22k2|f(z)|20 (16.1.8b) u2 v2
容易注意到方程要比原先复杂，且
能不是常系数．
前的系数可
下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．
1
x
图图181.16.1
可以验证，考虑实轴 zx,(y0)的对应关系：
| (i)若 x | a ，则 axa，故
1
x x
a a
0
，即有
1
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(ii)若 | x | a 则 xa 或 xa
xa （a）首先讨论
a 的情况,考虑到题给条件 0
则 x a 0 ,x a 2 a 0 ;
故
1
于是，在变换 ln z a
za
(16.2.4)
之下，定解问题变换为
u
u
|
u
0
0
0
u | π u 0
(16.2.5)
在这种情况下，等温线是与实轴 平行的直线
=常数，热流线则是与虚轴平行的直线 =常数．在( ,
)坐标系中，由对称性知拉普拉斯方程的解与
无关，因此，定解问题又简化为
π
ππ x
进一步讨论：
（1）同理可证 1(x,y)V1V2arg(z1)
是下列定解问题的解
1 0(y 0 , x ), 1 (x ,0 ) V V 1 2 (( 1 x x )1 )
V V （说明：这里的
和下面的
不代表求导，是指彼此
不同的值）
(2) 同理可证 2(x,y)V1 πV2arg(z1)
Im π ，如图16.3
所以，在变换 ln a z i之下，定解问题变换为
az
v
2v 0 0 v 1
v π v 2
定解问题的解（仿上例16.2.1）为
vv2π v1v1v2π v1Im
z 将变量回到 平面，则
v
v1
v2
v1 π
Im[ln(azi)] az
v1
v2
v1 π
例16.2.2 试求平面静电场的电势分布 ( x, y ) ，其中
0(Im z0)（16.2.8）
(x,0) VV12
(x0) (x 0)
(16.2.9)
w z 【解】 变换 w lnz使上半 平面变成
平面上的带形域（图16.2）, 而在带形域上的解是显
然的，类似于上面定解问题(16.2.6)的结果(16.2.7),则本 定解问题可归结为
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将 复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
16.2保角变换法求解定解问题典型实例
y 例16.2.1 设有半无限平板 y 0 ，在边界 =0上，
x a (a0) 处保持温度 uu0, x a
是下列定解问题的解
0 ( y 0 , x )
V0
( x, 0) VV12
( x x1 ) (x1 x x2 ) (x2 x x3)
L L L
Vn (xn x )
例 16.2.3 若把柱面充电到
v vv12
(0π) (π2π)
a 试用保角变换法求解一半径为 的无限长导体圆柱壳
u 处保持温度 = 0．求平板上的稳定温度分布．
【解】根据题意可得出定解问题
2u
x
2
2u y 2
0
u
y0
u 0 , ( x a ) 0 , ( x a )
（16.2.1）
作如下的保角变换．
（1）作分式线性变换
1
1
i1
za za
(16.2.2)
y
z 平面
1
1 平面
平面
πi
a
0
是下列定解问题的解
(3)可证 (x ,y )1 (x ,y )2 (x ,y )
是下列定解问题的解：
V0 (x1)
0(y0,x),(x,0) V1 (1x1)
V2 (1x)
其中
V 0 V 1 V 1 , V 1 V 2 V 1 , V 2 V 2 V 2
( x, y)又可改写成
x 2 y 2 x x u 2 v 2
u 2 v 2
注意到上式已经使用了：
wf(z)uiv x x
对于保角变换 wf(z)0, 因而只要
( x, y ) 满足拉普拉斯方程，则 (u , v ）也满足拉
普拉斯方程，即为
22
22
0 x2 y2
(u2+v2)0（16.1.6）
这样我们就有结论：如果在 z x iy 平面上给定了
内的电场分布情况．
【解】即求解定解问题
2v 0
v
a
v1 v2
( a) (0 π) (π 2π)
作如下的保角变换
(1) 作变换
z1
z a
1
把原图象缩小为 倍．即将任意的圆周变换为单位圆．
a
(2)再作变换
z2
i1 1
z1 z2
z 1 把 1
变换为Imz2 0，其边界的变换是将下
半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．
u v, v u x y x y
(16.1.4)
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
x2u2 y2u2 0,
x2v2 y2v2 0(16.1.5)
将式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化简后得到
2 2 [ ( u ) 2 ( v ) 2 ] ( 2 + 2 ) |f(z )|2 ( 2 + 2 )
Im{ln[yi(ax)]ln[(xa)iy]
v1
v2
v1 π
[arctanayxarctanxya]v1
v2
v1 π
a2 arctan
x2 y2 2ay
v1
v2
v1 π
π
[ arctan
2
a2
2ay x2 y2
]v1
v2 2
v1
v2 π
arctan a2
2 ay x2 y2
化成极坐标形式，则上式又改写成
第十六章 保角变换法求解定解问题
在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体 力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯 方程或泊松方程的问题．尽管可用前几章的理论方法 如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问 题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林 函数法却显得十分困难，甚至不能解决．对于复杂的
函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶．
定律16.1.1 如果将由z x iy 到 wuiv
的保角变换看成为二元（实变）函数 ( x, y ) 的变换由 x , y
u , v z w 到
的变量代换，则 平面上的边界变成了
平面上的边界．我们能证明，如果 ( x, y ) 满足拉普拉斯方
z ln z （3）再作变换
2
把
平面的上半平面变成
2
π 平面上平行于实轴，宽为
的一个带形区域，其边界的
y
z 平面
0 x
y1 z1 平面
x1
y2
z2 平面 x2
图图１18.６3 ．３
πi
v2
平面
v1
z 变换是将 2 平面的正半实轴变换为 平面的实轴，
z 2 平面的负半实轴变换为 平面的平行于实轴的直线
(u,v) V1 V2 v (16.2.10)
π
v w平面
y z平面
πi v1
v2
O
v1
v2
x
u
图图1１8.2 ６．２
O
而
w u ivlnzlnz iargz
所以 vargz
于是，作反变换便可求得所求问题的解为
(x ,y ) V 1 V 2 a r g z V 1 V 2 V 1 V 2 a r c ta n y
边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换 法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想是：通过解析
函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学
z w 习过）将
平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为
平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的
边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换
v (,) v 1 2 v 2 v 1 π v 2a rc tg 2 a a 2 sin 2, ( a )
从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题， 不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界
所围成的区域变换成上半平面的带形域 0Im π
问题就容易解决了．
( x, y ) 的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换
w f (z)，可以将它转化为wuiv平面上
(u ,v)的拉普拉斯方程边值问题．
w = 同理可以证明，在单叶解析函数 f (z)
变换下，泊松方程
22(x,y)
x2 y2
(16.1.7a)
仍然变为泊松方程
2 +2|f(z)|2(x,y)
u2 v2
d2u
d
2
0
u 0 0, u π u 0
（16.2.6）
方程的解是 uAB
考虑边界条件即得到
z 回到 平面，则
u u 0 （16.2.7） π
u(x,y)u0Im[ln(za)]u0Im[ln(za)ln(za)] π za π
u0[arctg y arctg y ]u0arctg 2ay π xa xa π x2y2a2
就求得了原始定解问题的解．
这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解
问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边 界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，
例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换
理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问 题。
16.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系
w 在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 f (z)
实现的从z平面到 w 平面的变换在 f (z) 0 的点具有保
角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一
对应的保角变换，即假定 w f (z)和它的反函数都是单值