中考总复习专题三：动态几何问题

合集下载

中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)

MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走

中考几何-动态试题解法(解析版)

中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

．
点的坐标
为．……
一次函数的解读式
为．
(3) 两点在直线上，的坐标分别是．
，．
过点作，垂足为点．
，
又，点坐标为．
3．(1)解方程，得．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由得故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形中， = ，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

中考数学专题——动态问题(非常全面)

（中考数学专题3）动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

2022年中考数学专题复习：动态几何问题

2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=14AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连结AG 、DE ．（1）猜想AG 与DE 的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在正方形OEFG 旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG 的度数；△当△AEG 的面积最小时，旋转角α的度数．5．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．6．如图，在Rt ABCAB=，4∠=︒，5AC=．动点P从点A出发，沿AB △中，90C⊥交AC或BC于点Q，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒．S，点P运动的时间为()0（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．（1）CP＝cm．（用含t的式子表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG 与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？△请在图2中补全图形；△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC 向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB=△BCE的面积；（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC=；（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．AE CE13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）CQ＝，BQ＝，AP＝，CP＝．（2）当t为何值时，PQ∥MN；（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；（2）设正方形EFGH面积为S 1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为x s，△AQP的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．16．如图1，有一张矩形纸条ABCD ，边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >，E 为CD 上一点，1CE =．（1）连接AE ，BE ，试说明90AEB =︒∠．（2）如图2，M 为边AB 上一个动点，将四边形BCEM 沿ME 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C '上，边MB '与边CD 交于点N ． △如图3，当点M 与点A 重合时，求N 到ME 的距离．△在点M 从点A 运动到点B 的过程中，求点N 相应运动的路径长（路程）．17．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．（1）当3t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ，连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC ∠时，直接写出t 的值．18．如图，已知在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE △CD 交射线CB 于点E ，设AD ＝x ．（1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值；（3）如果DEy DB=，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．19．已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm ， cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y 轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD．（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；（2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．。

中考数学专题3动态几何问题

中考数学专题3 动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．AB M CNE D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵4sin 5DF C CD ∠==，∴3cos 5C ∠=，∴310225tt -=⨯，解得258t =．AB M CNF D② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ．则2CN CH =，∴()321025t t =-⨯．∴6017t =．AB M CN HD③ 当MC CN =时，则102t t -=． 103t =．综上所述，当258t =、6017或103时，MNC △为等腰三角形．【例2】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

中考数学经典总复习专题动线、动形问题完美全文

的取值范围；
学（2）点P 、 Q在运动的过程中，△PCQ面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．作（1）求抛物线的表达式；
学存在，请说明理由；
y
解析：
C
AO
DB
x
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
作互
（ 3）点E 是线段 BC上的一个动点，过点E 作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积
8
1 2
3
x2+ 2
；
x+2；
∴抛物线的对称轴是x= ∴OD= ．3
32．
∵C（0，2 2），
∴OC=2．
5
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．2
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴∴DP1P（1=4．，32 4），P2（
中考数学---动线、动形问题
• 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是中考中必考的内容。
• 本节课重点来探究动态几何中的动线、动形问题。
• 一、关于动线、动形问题的解题方法：
• 1.“以静制动”，把动态问题转化成静态问题；
• 2.图形的运动主要有翻折、平移、旋转，在运动过程中，分清哪些量不变，哪些量发生了变化，以不变的量作为解题基础，以变化中的规律和特点作为解题的关键。

中考数学复习：专题三：动点或最值问题

点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小值为( D )

中考数学复习：专题三：动点或最值问题

(2)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是___6_．
专题三动点或最值问题
动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等．此类题的解题方法：
1．利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．
2．利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程．
点拨：∵点 A，B 的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，∴BO＝2 3，AO ＝8，由 CD⊥BO，C 是 AB 的中点，可得 BD＝DO＝12BO＝ 3＝PE， CD＝21AO＝4，设 DP＝a，则 CP＝4－a，
延长 BP 交 CE 于 F，当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时， ∠FCP＝∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC＝∠PDB＝90°，∴ △EPC∽△PDB，∴DPEP＝DPCB，即 a3＝4－3a，解得 a1＝1，a2＝3(舍去)， ∴DP＝1，又∵PE＝ 3，∴P(1， 3)
【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=

中考数学专题：《动态动点几何问题》带答案

《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长A-，点3．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．4．在∠ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造∠EFM和∠HAM全等，进而可得∠DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求∠PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，∠O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若∠ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，EF =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点．（1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（∠）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（∠）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则∠DPF 是三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将∠EFP 沿PF 翻折，得到∠QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边∠CQP？20．如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∠BPQ与∠ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，∠BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ∠CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326；（3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG∠AC 于点G ．（1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM∠EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或48．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S =． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)y x x =+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.2FP a =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3）329-；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）d =26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。

初三数学专项复习之动态几何

初三数学专项复习之动态几何知识精讲一．与函数结合动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与知量间的一种变化关系，这种变化关系确实是动点问题中的函数关系．那么，我们一样用以下几种方法建立函数：（1）应用勾股定理建立函数解析式；（2）应用比例式建立函数解析式；（3）应用求图形面积的方法建立函数关系式．二．动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是专门图形，考查问题也是专门图形，因此要把握好一样与专门的关系；分析过程中，专门要关注图形的特性（专门角、专门图形的性质、图形的专门位置）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的专门性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、专门角或其三角函数、线段或面积的最值．动态几何常见的题型有三大类：（1）点动问题；（2）线动问题；（3）面动问题．解决动态几何问题的常见方法有：（1）专门探路，一样推证；（2）动手实践，操作确认；（3）建立联系，运算说明．动态几何习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数；2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究专门情形下的函数值．三．双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它要紧以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点．常以双动点为载体，探求函数图象问题、探求结论开放性问题、探求存在性问题、探求函数最值问题．双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型．这类试题信息量大，对同学们猎取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观看和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并专门关注运动与变化中的不变量、不变关系或专门关系,动中取静,静中求动．三点剖析一．考点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．二．重难点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．题模精讲题模一：三角形与动点问题例1.1 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②假如BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直截了当写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①②33（2）见解析，2226【解析】（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=A D，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转6 0°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN差不多上等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴，例1.2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO_；②如图2，将图1中的△AOB论进行证明；（2）如图3N在线段OD P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．【答案】（12【解析】（1）①连接EF ，∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中位线， ∴EF 、FM 分别是△ACD 和△DBC 的中位线，∴EF//AD,FM//CB ，EFM EM//CD.∵Rt △AOB∵Rt △COD∴△AOD ∽△BOC ．例1.3 在△ABCABC 绕顶点C 顺（1）如图1AC AB 相交于点D ．证明：△BC D 是等边三角形；（2）如图2（3）如图3，设AC 中点为EP EP ，求：EP 长度最大，并求出EP 的最大值．【答案】（123E P 【解析】（11，∵在△ABCAC ，∴在△CDB∴△BCD 是等边三角形；（2）解：如图2（3EP 例1.4 在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P ．（1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长；（2）当点PPAB 的度数．探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ．在旋转△DEF 的过程中，△A MN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】探究一：（1）依题意画出图形，如图所示：FP 为角平分线，过点A 作AG ⊥BC 于点G在Rt △APG（2）由（1 如图所示，以点A BC 交于点过点在Rt∴∠PAB 的度数为15°或75°．探究二：△AMN 的周长存在有最小值．如图所示，连接AD∵△ABC ∵在△AMD 与△∴△AMD ≌△CND在Rt △AMN ．例1.5 如图，在△，DE=4c m ．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），连接DF ，设运动的时刻为t 秒（t ≥0）．（1）直截了当写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在那个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，要求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．【答案】（1）t+4）（cm ）（2）t=03【解析】（1）∵DE=4cm ，∴BE=BD+DE=（t+4）cm ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BCA ，∴EF ：CA=BE ：BC ，即EF ：t+4）：16，解得：t+4）（cm ）；（2①如图1，∵当DF=EF 时，∴∠EDF=∠DEF ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵EF ∥AC ，∴∠DEF=∠C ，∴∠EDF=∠B ，∴点B 与点D 重合，∴t=0；，当DE=EF 时，则），DE=DF 时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C ， ABC ．综上所述，当t=0DEF为等腰三角形．（3）如图4，设P BP，∵EF∥AC，∴△FBE∽△ABC．又∵∠BEN=∠C，∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE=∠PBC．∴点B，N，P共线，∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．∵M、N分别是DF、EF∴MN∥DE，且．分别过点T、P作TK⊥K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST 交PL于点R TKLR∵当t=0时，0+4）当t=12时，，•10•∴PR=PL﹣RL=PL﹣TK=3∴S平行四边形PQST=ST•∴整个运动过程中，MN．题模二：四边形与动点问题例2.1 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M点落在BD小．……………………………1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时……………………………2分理由如下：∵M是正方形ABCD对角线上一点∴△ABM≌△CBM3分EC上取一点N BN∴△BNE≌△ABM……………………3分∴△BMN是等边三角形．4分∴当M点位于BD与CE于EC的长．……………………………5分（3）过E设正方形的边长为x6分在Rt△EFC中，7分例2.2 如图1B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CADE，BE．C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、F（2B．将△CDE绕点D顺时针旋转αC①如图2②如图3，点M为DC中点，点P究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范畴？【答案】（1）如图1，证明见解析；（2）①见解析；②【解析】（1）补全图形，如图1所示；证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD∴△EBD是等边三角形（2）①证明：如图2又∵点C与点F关于BD对称∴四边形BCDF为正方形，由（1）△BDE为等边三角形SAS）∴△EDF②线段PM设射线CA交BD于点O，I：如图3（1）DC，MP D、M、P、C共线时，PM有最小值II：如图3（2）P、D、M、C共线时，PM有最大值．当点P∴线段PM例2.3 如图1，在菱形ABCD中，tan∠ABC=2，点E从点D动身，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时刻为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BC D），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t=___秒时，DF的长度有最小值，最小值等于___；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BC D），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直截了当写出点F到直线AD的距离y关于时刻t的函数表达式．【答案】（1）见解析（2），12（3）6（4）﹣12ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC =BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知现在DF最小，求得B E′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，依照tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得D E；②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得（4）连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD 于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得CGN=∠DCN=∠CNG知tan∠ABC=tan∠CGN=2可得，由GF=DE=t得FM=t﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，现在DF最小，在Rt△ABE′中，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴则AE′=6∴DE′，DF=BE′=12，故答案为：，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴∴（4﹣12如图GF AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥A D于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣12，∵tan∠ABC=2，∴t﹣12），即﹣12例中，点E是对角线AC的中点，点F在边C D上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接E G，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接F H，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生EGH的度数；若发生改变，请说明理由．【答案】（1（2（3）不改变，∠EGH=45°【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=4 5°，∵DG是△ADF的中线，DG=2.5，∴AF=2DG=5，∴，∴CF=CD﹣DF=1，∵点E是对角线AC的中点，G是AF的中点，∴EG的中位线，∴（2DH交BC于M，如图所示，∵DG⊥AF，∴∠AGH=∠DGA=∠DGF=90°，∴∠AFD+∠FDG=90°，∵∠DMC+∠FDG=90°，∴∠AFD=∠DMC，在△CDM 和△DAF∴△CDM ≌△DAF （∴CM=DF ，∵点F 是CD 的中点， ∴DF=CF ， ∴CM=CF ，在△CMH和△CFH ，∴△CMH ≌△CFH （∴∠CMH=∠CFH ， ∴∠CFH=∠AFD ；（3）解：∠EGH 的大小不发生改变，∠EGH=45°；理由如下： ∵点AC 的中点，∠ADC=90°， ∴，∴∠∠DAC=45°， ∴∠AED=90°=∠AGD ， ∴A 、D 、G 、E 四点共圆， ∴∠AGE=∠ADE=45°， ∴∠EGH=90°﹣45°=45°．例2.5 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC=6cm ，BD=8cm ，动点P ，Q 分别从点B ，D 同时动身，运动速度均为1cm/s ，点P 沿B →C →D 运动，到点D 停止，点Q 沿D →O →B 运动，到点O 停止1s 后连续运动，到点B 停止，连接AP ，AQ ，PQ ．设△APQ 的面积为y （cm2）（那个地点规定：线段是面积0的几何图形），点P 的运动时刻为x （s ）．（1）填空：AB=______cm ，AB 与CD 之间的距离为______cm ；（2）当4≤x ≤10时，求y 与x 之间的函数解析式；（3）直截了当写出在整个运动过程中，使PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有x 的值．【答案】（1）5（2）（3AC=6cm，BD=8cm，∴AC∴，设AB∴△ABC的面积•h，又∵△ABC的面积菱形•6×8=1 2，，∠CDB=θ，则易得：sinθcosθ①当4≤x≤5时，如答图1﹣1与点O P在线段BC上．∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．过点P作PH于点H•cosθ﹣x）．∴y=S△•35﹣x）；②当5＜x≤92OB上，点P 在线段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ10﹣x）．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S BCPQ﹣S△APDABQ BCD﹣）﹣S△••OA•OC•PH×h6×x）×38×3x﹣1）•﹣x）]x1﹣3所示，现在点Q 与点B 重合，点P 5．x 之间的函数解析式为：1所示．现在BP=QD=x ，则BQ=8﹣x ．，BC ，如答图2﹣2所示．现在PD=10﹣x ，QD=x ﹣1．x随堂练习随练1.1 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B（0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A ′BO ′，点A ，O 旋转后的对应点为A ′，O ′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA ′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O ′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P+BP ′取得最小值时，求点P ′的坐标（直截了当写出结果即可）（2 （3【解析】（1）如图①，∵点A （4，0），点B （0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转90°，得△A ′BO ′， ∴BA=BA ′，∠ABA ′=90°， ∴△ABA ′为等腰直角三角形， ∴AA ′（2）作O ′H ⊥y 轴于H ，如图②，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A ′BO ′， ∴BO=BO ′=3，∠OBO ′=120°， ∴∠HBO ′=60°，在RtBO ′HBO ′=30°， ∴′∴∴O（3）∵△ABO120°，得△A ′BO ′，点P 的对应点为P ′，∴BP=BP′，∴O ′P+BP ′=O ′P+BP ，作B 点关于x 轴的对称点C ，连结O ′C 交x 轴于P 点，如图②，则O ′P+BP=O ′P+PC=O ′C ，现在O ′P+BP 的值最小， ∵点C 与点B 关于x 轴对称， ∴C （0，﹣3），设直线y=kx+b ，把OC （0∴直线当﹣3=0），∴∴O′P′作P′D⊥O′，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP=30∴O′′P′∴DH=O﹣O′∴P随练1.2点M为对角线BD（不含点B）上任意一点，△ABE是等边三角形，将B M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①直截了当回答：当点M②当点M【答案】（1）见解析；（2）连接AC，当点M位于BD与AC的3）当点M位于BD、CE的交点处时，EC的长．理由见解析在△AMB和△ENB中，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）①依照“两点之间线段最短”，连接AC，当点M位于BD与AC②连接CE，当点M位于BD、CE理由如下：如图，连接CE交BD于点M，连接AM，在EM上取一点N在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），在△EBN和△CBM中，∴△EBN≌△CBM（ASA），∴现在BN由BM绕点B逆时针旋转60°得到，由（1）知：△AMB≌△ENB，∴△BMN是等边三角形，∴依照“两点之间线段最短”可知当点M位于BD、CE的交点处EC的长．为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，A D与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发觉DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出现在BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A连续逆时针旋转，线段D G与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）见解析（2（3）6【解析】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，则DG⊥BE；（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=9 0°，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA=45°，在Rt△MDA=45°，∴cos45°∵AD=2，∴在Rt△AMG中，依照勾股定理得：，∵，∴（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：关于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；关于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．随练1.4 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA 上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直截了当写出线段CK长的最大值．=（2）成立，证明见解析（3）323+【答案】（1）CH AB=．…………………………………1分【解析】（1）CH AB（2）结论成立．…………………………………2分证明：如图11，连接BE．在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=9 0°．[来∵DE=DF，∴AF=CE．在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE．∴∠1=∠2．…………………………………………3分∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．∴∠3=∠2．∴∠3=∠1．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC．∴CH=C B．…………………………………………………………………5分∴CH=A B．…………………………………………………………………6分（3）+．………………………………………………………………………7分323随练1.5 已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ．AC ⊥AB ．△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 动身，沿CB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止运动．如图②，设运动时刻为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2）y=3）2；（4）当时，PQ ⊥MQ【解析】如图1，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：，由平移性质可得MN ∥AB ； ∵PQ ∥MN ，，2PF ⊥由S ×5AE ， ∴∵PF ⊥BC ，AE ⊥BC ∴AE ∥PF ，，解得：∵PM∥M因此，△QCM是面积×t（3）∵PM∥BC，∴S△PQC=S△MQC，∵S△QMC：S四边形ABQP=1：4，∴S△：5，则54×3，t2﹣解得：t1=t2=2，∴当t=2时，S△QMC：S四边形ABQP=1：4；（4）如图2，∵PQ⊥MQ，∴∠MQP=∠PFQ=90°，∵MP∥BC，∴∠MPQ=∠PQF，∴△MQP∽△PFQ，∴PQ2=PM×FQ，解得答：当PQ⊥随练1.6 ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△C EF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否能够是直角三角形？假如能够，求现在CE 的长，假如不能够，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和现在CE的长【答案】（1）MD（2）①能够；CE=2②四边形ABMD），现在CE的长为4【解析】（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC∴．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得∴2．设EC=EM=x，则BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣2）2，∴如图°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴∴CE=2②如图4ABMD的周长最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直线上，∴点M在BD上．连结MC，∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴四边形ABMD的周长的最小值为：．答：四边形ABMD的周长的最小值为（），现在CE的长为4．随练1.7 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，现在PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ= 2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（运算结果保留根号）【答案】（1）5（23【解析】（1为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，∴NM′=11，∵AF∥NE，，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，现在MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQGA、C分别在正方形EFG随练1.8 边长为2H的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N．（1（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3p，在旋转正方形ABCD的过程中，p23）见解析【答案】（1（12分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（3．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分课后作业作业1 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，O C．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直截了当写出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，∴A′∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′作业2 几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则P A+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC 上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是____；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【答案】（12）3）【解析】（1）由题意知：连接ED交AC于点P，现在PB+PE最小，最小值为ED，∵点E是AB的中点，∴AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，∴∴PB+PE（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，∴AD=4，∵∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴由勾股定理可求得：∴PA+PC的最小值为（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，现在PR+RQ+PQ最小，最小值为CD的长，∵点P与点C关于OB对称，∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，∵∠BOP+∠POA=45°，∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，由勾股定理可知：∴△PQR周长的最小值为作业3 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．（1）直截了当写出线段AN和BQ的数量关系是______．（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤36 0°）①判定（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出现在的图形，并直截了当写出AQ的值．【答案】（1）BQ=AN（2）【解析】（1）BQ=AN．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，BM=AM，∴∠AMB=∠AMC=90°．∵四边形PQMN是正方形，∴QM=NM．在△QMB和△NMA中，∴△QMB≌△NMA（SAS），∴BQ=AN．故答案为：BQ=AN；（2）①BQ=AN成立．理由：如图2，连接AM，∵在Rt△BAC中，M为斜边BC中点，∴AM=BM，AM⊥BC，∴∠AMQ+∠QMB=90°．∵四边形PQMN为正方形，∴MQ=NM，且∠QMN=90°，∴∠AMQ+∠NMA=90°，∴∠BMQ=∠AMN．在△BMQ和△AMN中，∴△BMQ≌△AMN（SAS），∴BQ=AN；②由①得，BQ=AN，∴当BQ取得最大值时，AN取得最大值．如图3，当旋转角θ=270°时，BQ=AN（最大），现在∠AMQ=9 0°．∵BC=MN=6，BC的中点，∴MQ=6，，∴在Rt△AMQ作业4 （1）发觉：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，A B=b．填空：当点A位于_________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直截了当写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM= PB，∠BPM=90°，请直截了当写出线段AM长的最大值及现在点P的坐标．【答案】（1）CB的延长线上；a+b（2）见解析（3）见解析【解析】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值=AB+AN ， ∵∴最大值为；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ， ∵△APN 是等腰直角三角形， ∴∴OE=BO3=2∴P （2作业5（1当写出你得到的结论．（21）中的结论是否仍旧成立？假如成立，请予以证明；假如不成立，请说明理由．若DEFG 绕点D【答案】（1）垂直且相等（2【解析】（1）如图（1∵△ABC D 是BC 的中点，∵在△BDG 和△ADE∴△BDG ≌△ADE （SAS 延长EA 到BG 于一点M∴线段BG 和AE 相等且垂直；（2）成立，如图（2），延长EA 分别交DG 、BG ∵△ABC D 是BC 的中点，∵在△BDG和△ADE∴△BDG≌△ADE（SASBG⊥AE（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG 绕点D为最大值时，1，已知B点坐标是（6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．（1）点M的坐标是（____，____），DE=____；（2）小明在研究动点问题时发觉，假如有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，假如一动点F从点B动身以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．（3）连接PQ，求当运动多少秒时，【答案】（1）（2），8（23【解析】∵点B的坐标为（6∴tan∠∴∠BOA=30∵在M是ED的中点，∴∴∠°，∵BD⊥ED，∴∠EDB=90°．∴∠EDO+∠BDA=90°．∵∠BDA+∠DBA=90°，∴∠EDO=∠DBA=30°∴AD=AB•tan30°=6∴∴OE=ODtan30°．∵M是DE的中点，2）．（2）依照题意画出点PD的运动时刻秒；点F运动的时刻=6÷1=6∵点P是BD∴点P P的坐标为（3），P1的坐标为（1）∴P；∵M EOD=90°∴∴点ME．∵∠BOA=30°，∴∠EOM=60°．∴点M运动的路线长∵GH=DE，∴点G（3P、Q分别为GH的中点，∴．∴当PQ最小，当FH⊥y轴时，FH最小值如图2，连接FH．设现在运动时刻为t秒，则AF=6﹣t，∴OG=（4﹣t在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=GH2﹣OG2∴OH2=82﹣3（4﹣t）2．∵OH=AF，∴（6．PQ最小值作业AB= 8．问题摸索：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，要求出；若不是，要求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABC D 的边上运动，且PQ=8．若点P 从点A 动身，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所通过的路径的长．（4）如图3，在“问题摸索”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BN=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直截了当写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所通过的路径的长及OM+OB 的最小值．【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK （3）6π（4【解析】（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP=x ，则PB=8-x ，依照题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x ）2 =2x2-16x+64 =2（x-4）2+32，因此当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ．依题意画出图形，如答图2所示．设AP=a ，则PB=BF=8-a ．AB8(8)8a ，∴DK=PD-PK=a-APK=1PK 2S △ •EF，（3）当点P 从点A 动身，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上，。