矩形正方形(同步)第二三次课

矩形正方形
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过
中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边
中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对
称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所
有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：
从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角
都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相
等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.
性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角
互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一
半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
（正方形）知识要点
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的
交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】
类型一、矩形的性质
例1、如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P
在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；(2)PA ＝PQ ．
举一反三：
【变式】1、如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，
点A 落在点A '处．
（第3题图）
E
D
D′
C
B
A
(1)求证：B E BF '=；
(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予
证明．
2、.如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.
例2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE
＝15°，求∠BOE 的度数．
【方法提示】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．
举一反三：
【变式】1.将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。

若∠CED ′
=56°,则∠AED 的大小是_______.
【变式】2.已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，
EF ⊥ED ．
求证：AE 平分∠BAD ．
【变式】3.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是
边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为_________
.
类型二、矩形的判定
例3、如图所示，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)试证明EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．
【方法要点】1、三角两线，2、利用对角线判定菱形和矩形。

举一反三：
【变式】1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）线段AF与CD相等吗？为什么？
（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊四边形，并说明理由．
2、已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这
个平行四边形的面积.
3、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF;
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．
【总结升华】特殊性的应用，中点考虑中线和中位线，特殊的中线有直角三角形的斜边上的中线和等腰三角形底边上的中线。

．
举一反三：
【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB
＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）
1
D.
5
2
D E
类型四、正方形的判定和性质
正方形的判定
例题2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，A D⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
⑴求证：四边形ADCE为矩形；
⑵当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．．
练习1 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形
正方形的性质
.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的
中心，则阴影部分的面积是.
举一反三
O
E
D
C
B
A
M
E
N
C
D
B
A
1.已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射
线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F .
（1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值；
（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求P E －PF 的值.
（A 考点：正方形的性质，正方形的对角线
互相垂直平分。

）
2. 已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分
别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△''F OE （如图2）.
（1） 探究AE ′与BF'的数量关
系，并给予证明；
（2） 当α＝30°时，求证：△
AOE ′为直角三角形.
（利用旋转的观点发现并利用全等三角形解决问题。

3如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．（考点：利对称的观点观察和认识图形，寻找等腰三角形来解决问题。

）
（1）求证：△ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数．。