二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
二次函数y=a(x-h)2 +k的图象与性质
9
行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
4米
20 9
3米
4米 8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
6
y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
y
3 A 2
B(1，3)
3 ∴ 解得: a=－ 4 1 因此抛物线的解析式为: 3 y= － 4 (x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
1
2
C(3,0) x 3
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面
高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手
1 2 经过平移变换后顶点坐标为 x 2 1
2、在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x2 不动 ,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
2 y 2( x 2) 2. 在新坐标系下抛物线的解析式是
3、顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物线是 5 2 ______ y x 2 3
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 y ( x 1) 1 -2 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
9
4、将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称后的 2 抛物线是______ y 2x 3 2
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
2
3
.若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图像上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1_＞__y_2__＞__y_3__.
4.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22 向上
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12 ··· －2
2
1 2
0
1 －2 －4.5 －8 ···
2
y 1 x 12
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
0
1 －2 ···
2
y
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1 x 12
y 3 x 12 向下
4Байду номын сангаас
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的 图像，分别指出两个图像之间的相互关系．
解：图像如图. 函 数 y=2(x-2)2 的 图 像 由 函数y=2x2的图像向右平 移2个单位得到.
二、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线
y 1 x 12 ，y 1 x 12
2
2
与抛物线
y 1 x2 2
有什么关系？
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(公开课)
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y= 1x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
5
则她与篮底的距离l是( B )
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.4.6 m
课堂小结
y=ax2
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
O
-4 -2
2 4x
-2
y - 12（x+1）2-1
-4
顶点： (-1,-1)
-6
画一画，填出下表:
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1y来自-1 2x
2
-1
怎样移动抛物线y
-
1 2
x
2就可以得到抛物线y
-
12（x
1）2 -1？
a>0
a<0
h<0 图象
h>0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
向下 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
20
解：存在．∵点B在x轴上，点C在y轴上， ∴当△BOC是等腰三角形时，只有BO＝CO. 由y＝－(x－m)2＋1＝0， 得x1＝m＋1，x2＝m－1. 又∵点B在点A右边，∴点B(m＋1，0)．
21
∴OB＝m＋1. 当x＝0时，y＝1－m2，∴C(0，1－m2)． 又∵图象开口向下，点C在x轴下方， ∴OC＝m2－1.∴m＋1＝m2－1. ∴m1＝2，m2＝－1(舍去)． ∴存在m的值使△BOC是等腰三角形，此时m＝2.返回
22
16．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高
度为1 m的喷水管喷出的抛物线型水柱最大高度为
返回
12
11．(中考•常德)将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度， 再向下平移5个单位长度，得到的抛物线对应的函 数解析式为( A ) A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
返回
13
12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动， 而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位长度， 那么在新坐标系下此抛物线的解析式是( D ) A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3 C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3
2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段
位于x轴的上方，则a的值为( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
返回
6
5．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且 经过点(0，1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
返回
9
8．(中考•天津)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自
九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质》PPT
A B
？ 3m
1m
C
O
3m
合作探究（二）解决实际问题
例题：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达 到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？
y/m
3
A
2B 1
0O 1
C
2 3 x/m
九年级数学上册
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质（2）
学习目标
（1）理解如何由抛物线 y = ax2 通过平移变换得到抛物线 y = a(x - h)2 + k ， 体会由特殊到一般的研究数学问题的基本方法.
（2）通过图象了解二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质，进一步体会数形结 合思想.
与抛物线 y
1 =-
2
x2
有什么关系？
（4）
抛物线
y = - 1 x2 -1 2
与抛物线 y = - 1 x2 有什么关系？
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
根据前面的课前准备，类比猜想：
抛物线 y 1 (x 1)2 1 是由抛物线 y 1 (x 1)2 怎样平移得到的？
2
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用 在学案上画出二次函数 y 1 (x 1)2 1 的图象，验证猜想.
目标检测
抛物线 y 3[( x 7)2 3] 可由抛物线 y 3x2先向 下 平移 9 个 单位，再向 右 平移 7 个单位得到.
课后作业
如图，一位运动员在距篮下4米处 跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5米时，达到 最大高度3.5米，然后准确落入篮 圈．已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米．若该运动员身高1.8米，在这 次跳投中，球在头顶上方0.25米处出 手，问：球出手时，他跳离地面的高 度是多少？
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
返回
17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
第十五讲 二次函数y=a(x-h) 2 +k的图象和性质(解析版)
第十五讲二次函数y=a(x-h) 2 +k的图象和性质【学习目标】1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.【新课讲解】知识点1：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质【问题1】画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.先列表再描点、连线.由函数图像观察其特点是：开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1) .【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.通过列表、描点、连线得到如下图像图像特点是:开口方向向上；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：【例题1】已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )【答案】A【解析】根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.【例题2】例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．【答案】见解析。
【解析】已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.知识点2：二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系可以看作互相平移得到的.二次函数y=a(x-h) 2 +k的图象和性质过关检测注意：满分100分，答题时间60分钟一、单选题（每个小题4分，共32分）1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【答案】D．【解析】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．2．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（）A．对称轴为直线x＝1B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小C．与x轴没有交点D．与y轴交于点（0，﹣2）【答案】B【解析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），∴与x轴有2个交点，故选项C错误；当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．3.如图，将函数y（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数y（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m（1﹣2）2+1＝1，n（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y （x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y （x ﹣2）2+4． 故选：D ．4.若抛物线y=x 2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A ．y=（x ﹣2）2+3 B ．y=（x ﹣2）2+5 C ．y=x 2﹣1 D ．y=x 2+4 【答案】C ．【解析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位， ∵y=（x ﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x ﹣1+1）2+2﹣3=x 2﹣15．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（ ） A ．y ＝x 2+2 B ．y ＝（x ﹣1）2+1 C ．y ＝（x ﹣2）2+2 D ．y ＝（x ﹣1）2﹣3【答案】C【分析】先求出y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解析】二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y ＝（x ﹣2）2+2． 6．抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】抛物线()2213y x =-+为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标． 【详解】∵抛物线的解析式为()2213y x =-+， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3）． 7．二次函数的图像大致为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选D．考点：二次函数的图象．8．二次函数y＝﹣（x－2）2＋1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】B【解析】根据二次函数的性质，即可得到y随x的增大而减小时x的取值范围．【详解】解：二次函数y＝﹣（x－2）2＋1，对称轴为直线x=2，开口向下，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2。
二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
6
(x
2)2
25
观察三条抛物线的 y 1 x 22
4
相互关系,并分别指 2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
y＝a(x-ｈ)2(a≠0)
a>0
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
4、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x2 3 B、5、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
顶点 坐标
最值
增减性
在对称 在对称 轴右侧 轴左侧
y=ax2
y=ax2+k
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
向上 y轴
向下 y轴 向上 y轴 向下 y轴
（0，0） （0,0）
（0,k） （0,k）
当x=0时， Y随x的增 Y随x的增 y最小值=0 大而减小 大而增大
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课件(两套)
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两 点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
-3 -2 -1
0
1
2
3
y=2x2
…8 2 0
2
8
…
y=2(x-1)2 … … 8
2
0
2
8
y=2(x-1)2+1 … … 9
3y 1
3
9
y=2x2
5 4
y=2(x–1)2+1
3
2
1
y=2(x–1)2
x
O –5 –4 –3 –2 –1
二次函数y=a(x–h)2的图象和性质.
y=ax2 当h>0时,向左平移
当h<0时,向右平移
y=a(x–h)2
顶点从(0,0)移到了
y
(0,–2)，即x=0时， 5
y取最大值–2
4
3
顶点从(0,0)移到 了(0, 2)，即x=0时， y取最大值2
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1 x2 2
人教版初三数学上册二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
4
当x=-1时，有最小值为-2，
2
当x<-1时，y随x的增大而减小
-4 -2 O 2 4
x
当x>-1时，y随x的增大而增大。
-2
抛物线y=a(x－h)2+k的图象与性质:
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y1(x1)21 -2
2
-3
y
1 2
x2
向下平移 1个单位 y
1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y1(x1)21
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x
2
向左平移 1个单位 y
12(x1)2向1个下单平位移
y1(x1)2 2
1
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
y=ax2 向|上k|(个下单)平位移y=ax2+k
向左(右)平移 |h|个单位
y=a(x－h)2+k
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，
括号内左加右减.二次项系数a不变.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物 线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的 值来决定.
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿一. 教材分析《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22章第1节的一部分。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
通过这部分的学习，学生能够理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点式，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索二次函数的图象和性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征。
2.教学难点：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，理解二次函数的图象和性质之间的关系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习动力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
4.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生观察和分析，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
位置不同; 最小值相同
在同一坐标系中作二次函数y =2(x＋1)2和 y=2x2的图象,会是什么样? 2 y 2x 1 y 2x 2 二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴不同； 增减性相同.
位置不同; 最小值相同
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(－2,0)
归纳与小结
1 2 y x 1 的开口向下，对称轴是 2
1 2 x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y x 1 的开 2 下 口向_________，对称轴是_直线______________，顶点是 x=1 (1,0) _________________．
1 2 1 1 2 y x 1 与抛物线 y x 2 抛物线 y x 1 2 2 2
3.你能写出开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴 交于点（0，8）的抛物线解析式吗？
y=2(x+2)2
4 . 将抛物线y= -2x2向左平移一个单位，再向右平移3
y= - 2(x – 2)2. 个单位得抛物线解析式为
5.抛物线y=3(x-8)2最小值为 0 .
6.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别
有什么关系？
1 2 x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 2 1 线 y x 1 ；把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，就得到抛物 2 2
可以发现，把抛物线 y
线 y
1 2 x 1 ． 2
－4
－2 －2
2
4
1 2 y x 1 2
y=2(x+3)2 y=-3(x -1)2
y=5(x+2)2
y= -(x-6)2 y=7(x-8)2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
返回
联系:
将函数 y=2x² 的图象向右平移1个 单位, 就得到 y=2(x-1)² 的图象; 在向上平移2个单位, 得到函数 y=2(x-1)² +1的图象. 相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点.
返回
1探讨 二次函数y=2x² y=2(x-1)² y=2(x-1)² , , +1的 图象的关系？
返回
y
y=2(x-1)2+1
y=2x2
5 4. 3. 2. 1.
y=2(x-1)2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y
y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
y=2(x-1)2+1
B)x轴上 D)直线
吗?
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中 a>0,b 为常数,点( 3 ,y1) 点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
2+k 二次函数y=a(x-h)
的图象及其性质
南京师范大学附属中学
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
2 请说出二次函数y=ax² +c与y=ax² 的平移关系。 y=a(x-h)2与y=ax² 的平移关系 将抛物线y=ax² 沿y轴方向平移c个单位,得抛物线 y =ax² +c 将抛物线y=ax² 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2 3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线y=2(x+3)2如何 由y=2x2 平移而来
你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3
2.抛物线c1的解析式为y=2(x1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x 轴对称,请直接写出抛物线c2的 解析式_____
3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无 论m为何实数,图象的顶点必在 ( )上 你答对了
A)直线y=-2x上 C)y轴上 y=2x上
练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2 B y=2x2-2
C y=-1/2(x+2)2-2
D y=-5(x-2)2-6
1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物 线的解析式可设为( ) Ay=a(x+3)2+5
Cy=a(x-3)2-5
By=a(x-3)2+5
Dy=a(x+3)2-5
增减情况
x<h时, y随x的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 增大. x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.
|a|越大开口越小.
返回
练习1:指出下面函数的开口方向，对称 轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5 3) y=-3(x-1)2-2 2) y=4(x-3)2+7 4) y=-5(x+2)2-6
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同. 不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.
y=a(x 开口 对 顶 最值 方向 称 点 h)² +k 轴 a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, 有最小 值y=k a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, 有最大 值y=k
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______
小结
y=a(x-h)² +k 对称轴 顶点 直线 x=h （h，k）
最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k 当a<0时x=h时，y有最大值k