平面解析几何解题思路探究

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平面几何问题的解法与应用

测量的精度要求：根据实际需求选择合适的测量工具，并注意测量精度。
测量在几何问题中的应用：角度和长度的测量是解决平面几何问题的基础，例如计算面积、周长、距离等。
相似三角形的性质和判定方法
相似与全等在解题中的应用实例
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全等三角形的性质和判定方法
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相似与全等在几何图形中的应用实例
归纳总结解题思路：通过练习和归纳，总结出适合自己的解题思路，形成自己的解题风格。
拓展解题思维：尝试从不同角度思考问题，探索多种解题方法，拓展自己的解题思维。
数学思维在解决实际问题中的应用
数学思维对个人和社会的贡献
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培养数学思维的途径和方法
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数学思维在创新和科技发展中的作用
三角形问题：涉及三角形边长、角度、面积等计算圆的问题：涉及圆周长、面积、弧长等计算直线与圆的位置关系问题：判断直线与圆的位置关系，求交点等平面几何中的最值问题：求线段、图形面积的最大值或最小值
理解问题：明确问题的目标和条件，弄清问题的几何意义。
制定方案：根据问题的特点，选择合适的解题方法，如构造辅助线、运用相似三角形等。
XX,a click to unlimited possibilities
01 平面几何问题概述 02 基础解法技巧 03 进阶解法技巧 04 实际应用案例 05 解题技巧总结与提高
平面几何问题定义：研究平面图形在力的作用下的运动和平衡问题。分类：静力学问题和动力学问题。静力学问题：研究物体在力的作用下保持平衡状态的问题。动力学问题：研究物体在力的作用下运动状态改变的问题。

高中生平面解析几何学习的实践与探索

高中生平面解析几何学习的实践与探索作者：李震阳来源：《成才之路》 2018年第15期“解析几何”并不仅仅是一门为了考试而学习的学科，也是一门能够将知识转化为生活，跟生活联系比较紧密的学科，高中生在学习的时候需要将它和实际生活联系起来，这样才有利于提高自身的数学水平，提高自身对于解析几何的学习能力。

下面，主要对高中生学习平面解析几何的方法进行实践和探索。

一、将解析几何和现实生活联系起来解析几何包括很多方面的内容，它们大多跟生活联系较为紧密，这就需要教师在教学这部分内容的时候考虑它们在实际生活中的作用，将它们跟日常生活联系起来，体会它们在刻画现实世界和解决实际问题中的运用。

圆锥曲线是解析几何中比较常见的一种形态，在日常生活中常用于建筑方面。

学生们留心观察就会发现，平时看到的很多建筑都是拱形的，比如桥这种建筑造型的优势在于坚固性好、节省材料，而且比较美观。

薄壳建筑也是一样，不仅坚固，而且美观，这是解析几何在日常生活中运用的一个表现。

圆形在日常生活中的作用就更为广泛了，圆形的东西比较实用，而且还美观。

人们日常生活中的轮胎、井盖、镜子等大多数都是圆形的：圆形轮胎的车子跑起来不会大幅度震动；圆形的井盖比较容易盖上，不管怎么盖都不容易卡住，能节省时间和精力；圆形的镜子跟人的脸型相似，比较美观。

抛物线顾名思义就是物体被抛出之后的一个运行轨迹，它不是直线，而是一条有顶点的曲线。

抛物线在日常生活中的运用也是比较广泛的，手电筒的反光罩是抛物线的，人们参加体育运动的时候用的篮球、足球、排球等，它们在空中的运行轨迹也是一条抛物线。

弄清楚了平面解析几何在日常生活中的作用，就可以有效消除学生对于平面解析几何的陌生感，提高学生的学习兴趣。

二、学会举一反三，理解记忆知识内容平面解析几何中有很多内容是比较相似的，需要学生在学习的时候联系起来记忆，这样有利于提高他们学习平面解析几何的效率。

平面解析几何不仅内部之间知识的联系性较强，而且还和其他部分的内容有较强的联系性。

147分学霸分享丨解析几何的解题方法

147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。

具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。

分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。

针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。

大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。

然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。

第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。

毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。

解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

高中数学平面解析几何距离与中点计算方法

高中数学平面解析几何距离与中点计算方法在高中数学的学习中，平面解析几何是一个重要的章节，它涉及到距离与中点的计算方法。

掌握了这些计算方法，不仅能够解决具体的几何问题，还能够培养学生的逻辑思维和推理能力。

本文将通过具体的题目来说明距离与中点的计算方法，并且给出一些解题技巧，帮助读者更好地掌握这些知识。

一、距离的计算方法距离是平面解析几何中的一个重要概念，它表示两点之间的直线距离。

在计算距离时，我们可以利用勾股定理或者坐标公式来求解。

1. 勾股定理求解距离勾股定理是数学中的一条重要定理，它可以用来计算直角三角形的斜边长度。

在平面解析几何中，我们可以利用勾股定理来求解两点之间的距离。

例如，已知平面上两点A(1, 2)和B(4, 6)，求解AB的距离。

解题思路：首先我们可以根据两点的坐标，计算出两点在x轴和y轴上的坐标差Δx和Δy。

然后利用勾股定理，即可求得AB的距离。

计算过程如下：Δx = 4 - 1 = 3Δy = 6 - 2 = 4AB = √(Δx² + Δy²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，AB的距离为5。

2. 坐标公式求解距离除了利用勾股定理，我们还可以利用坐标公式来求解两点之间的距离。

坐标公式是根据两点之间的距离公式推导出来的，它可以更加方便地计算距离。

例如，已知平面上两点A(1, 2)和B(4, 6)，求解AB的距离。

解题思路：根据坐标公式，我们可以直接计算出AB的距离。

计算过程如下：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5同样地，AB的距离为5。

通过以上两个例题，我们可以看到，无论是利用勾股定理还是坐标公式，都能够方便地计算出两点之间的距离。

解析几何证明题的解题思路与方法备课教案

解析几何证明题的解题思路与方法备课教案一、引言在数学学科中，解析几何证明题是学习几何的重要部分。

通过解析几何证明题的练习，不仅能够提高学生的逻辑思维能力和推理能力，还能培养学生的几何直观和几何问题解决的能力。

本教案旨在帮助教师们了解解析几何证明题的解题思路与方法，提供一些备课的参考和指导。

二、解题思路解析几何证明题主要涉及到几何命题的证明，其中包括直线的垂直、平行关系、角的性质、三角形的性质等。

解析几何证明题的解题思路主要包括以下几个步骤：1. 题目分析：仔细阅读题目，理解题目所给条件和要求证明的结论。

可以将题目要求、已知条件和证明结论列成一个表格，以便更好地理清思路。

2. 设计思路：根据题目所给条件和要求证明的结论，设想一种可以达到证明结论的方法或路径。

可以借助画图、辅助线、辅助角等方式来找到一条可行的证明路径。

3. 利用几何知识：根据所学的几何知识，应用相关的几何定理和性质来推导和证明所要证明的结论。

可以参考几何公式手册等学习资料，了解常用的几何定理和性质。

4. 推理论证：根据题目给定的条件和已知的几何定理，进行推理和论证，逐步推导出要证明的结论。

推理过程中要注重逻辑严密，每一步的推理都要给出理由和依据。

5. 逆向思维：在解析几何证明题中，有时可以采用逆向思维的方法，即从要证明的结论出发，逆向推导出已知条件，进而构造出一个合理的证明路径。

三、解题方法解析几何证明题的解题方法主要包括以下几种：1. 直接证明法：根据已知条件和所要证明的结论，按照推理论证的步骤，逐步推导出结论的证明过程。

这种方法常用于证明平行关系、垂直关系等基本几何性质。

2. 反证法：即采用反证法证明。

假设要证明的结论为假，通过推理和论证得出矛盾，从而得出结论为真。

这种方法常用于证明等腰三角形、等边三角形等性质。

3. 数学归纳法：用数学归纳法证明几何问题也是一种有效的方法。

先证明结论在某个特殊情况下成立，然后假设结论在某个情况下成立，证明结论在下一个情况下也成立。

解析几何解题思路总结

解析几何巧妙解题思路总结解析几何巧妙解题思路总结一．直线和圆的方程一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、两点式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域．．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点1.1.求参数的值求参数的值求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一求参数的值是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,构造方程解之构造方程解之. . 例1．（2009年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线222y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 2. 求线段的长求线段的长求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一求线段的长也是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,找出点的坐标找出点的坐标,,利用距离公式解之离公式解之. .例2．（2009年四川卷)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3 B.4 C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x bì=-+Þ++-=Þ+=-í=+î，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-´-=．故选C 例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =\=∴12345677277535.2aPF P F P F P F P F P F P F a ´++++++==´=´= 故填35. 考点3. 3. 曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,,其解法为充分利用其解法为充分利用: : (1)(1)椭圆的离心率椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁越大则椭圆越扁); );(2) (2) 双曲线的离心率双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, (1, ＋∞＋∞＋∞) (e ) (e 越大则双曲线开口越大越大则双曲线开口越大). ).结合有关知识来解题结合有关知识来解题. .例4．（2008年全国卷）文（年全国卷）文（44）理（）理（44）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：解答过程： 2,4,ce c a=== 所以22,12.a b \==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．（2008年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．考点4.4.求最大求最大求最大((小)值求最大求最大((小)值, , 是高考题中的热点题型之一是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是特别是,,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. .例6．(2006年山东卷年山东卷))已知抛物线y 22=4x,=4x,过点过点P(4,0)P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-\-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k \-++=+æö\+=+=´=+³ç÷èø 故填32. 考点5 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为的圆心为 (m, n) 则,222,m n n =-ìïí×=ïî 解得2,2.m n =-ìí=î所求的圆的方程为所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin q q -++使QF OF =, ()()22222cos 4222sin 4q q-+-++=．整理得整理得 s i n 3c o s 22q q=+，代入代入 22sin cos 1q q +=．得:210cos 122cos 70q q ++= , 122812222cos 11010q -±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22³=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的轴的正半轴相交于正半轴相交于 A 与点B. 直线直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点（Ⅰ）求点 A 的横坐标的横坐标 a 与点与点 C 的横坐标c 的关系式；的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以由于.2,02a a t t +=>故有（1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t y c x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta c a将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得解得 )2(22+++=a a c . （II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b+=，222222x y 1a b +=，二式相减得：，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--，所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c2e a 2==；（2）椭圆E 的右准线为22a(2c)x 2c cc===，双曲线的离心率11e 2e==，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：是双曲线上任一点，则： 22(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |-+-==--，两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：典型例题：例10．(2008年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y=x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）当12PQ QA QB l l ==，且3821-=+l l 时，求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=, 由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，\对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线的一条渐近线\3ba = 解得解得 221,3ab ==，\双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. 111111114444()44x k k x k k y y l l l l ì=--ìï-=+ïï\Þííïï-==-îïî 11(,)A x y 在双曲线C 上，上，\2121111616()10k l l l +--=. \222211161632160.3k k l l l ++--=\2221116(16)32160.3k k l l -++-=同理有：2222216(16)32160.3k k l l -++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k \-¹12,l l \是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k l l \+==--,24k \=，此时0,2k D >\=±. \所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA l = ， Q \分PA的比为1l . 由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y l l l l l l l ìì-==-+ïï+ïï®íí+ïï=-=ïï+îî下同解法一下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB l l == ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkl l \--=+=+. 11224y y l l \-==， 114y l \=-，224y l =-，又1283l l +=-，121123y y \+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -¹ ，否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -\+==--. 222244833233k k k -\´=´--.2k \=±(2,0)Q \±. 解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k- 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. \1114444k kx x kl -==-++.同理同理 1244kx l =-+. 1212448443kx kx l l +=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+ìïí-=ïî消去y 得22(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -¹. 由韦达定理有：由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ì+=ïï-íï=-ï-î代入（*）式得）式得24,2k k ==±. \所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11．（2007年江西卷理）年江西卷理）设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．的双曲线．方程为：2211x y l l-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．在双曲线上．即2111511012l l l l l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l lì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kl l l =--=--．因为0=×ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l ll -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -<≤．解法2：（1）同解法1 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB l l l l l=-=Þ+-=-，因为01l <<，所以512l -=； ②当12x x ¹时，002222212111111y x k y x y xMN ×-=Þïïîïïíì=--=--l l l l l l ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x l l l -=-；由2MON p =∠得222002MN x y æö+=ç÷èø，由第二定义得2212()222MN e x x a æö+-éù=ç÷êúëûèø 22000111(1)211x x x l l ll æö=--=+--ç÷--èø．所以2220(1)2(1)(1)y x x l l l l -=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x l l l l l l l ì-=-ïí-=--+-ïî得20(1).23x l l -=-因为01x >，所以2(1)123l l->-，又01l <<，C BA oy x解得：51223l -<<．由①②知51223l -<≤．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA2BC = ，求当AOB D 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1ì+=í=+î得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3D =-=+＝66322|m ||m |£+，当23m 2=，即6m 2=±时，AOB D 面积取最大值，面积取最大值，此时2122222t32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为6x y 102±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知P A (x 5,y)=+，PB (x 5,y)=- ，且|P A||P B|6+= ，求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，因为|P A ||PB|6+=，且|AB|256=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =q =q ，则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4pq +-，当cos()14pq +=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，当cos()14pq +=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷）年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==\=-=-圆过点O 、F ， \圆心M 在直线12x =-上. 设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±\所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+¹代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，\方程有两个不等实根. ylG ABF OF EP DBA Oy x记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB \的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++¹\-<<\点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF| 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ×=×；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22|OB |a|OA |c |OF|== ，即2a A(,0)c ，直线l ：ay (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y xa ì=--ïïÞíï=ïî，故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c×=-=×，即PA OP PA FP ×=× ；（或P A (OP FP)P A (PF PO)P A OF 0×-=×-=×=，即PA OP PA FP ×=× ）（2）由44422222222222222ay (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ì=--ïÞ-+-+=íï-=î，由4222212422a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e 2.>Þ=->Þ>Þ>（或由DFDO k k >Þa bb a->-Þ2222222222b c a a e 2e 2=->Þ>Þ>）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+^- ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+¹与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围. 解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)+=+，a 3b -＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+^- ，故(a 3b)(a 3b)0+×-=，即22(x 3,3y)(x 3,3y)x 3y 30+×--=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx mx 3y 3=+ìí-=î得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0D =----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k=+=-，即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，PQCBA xy O则由222m 13k 04m 3k 1ì+->ïí=-ïî得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+¥ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0×= ，|BC|2|AC|=，（1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ Ð的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==Þ= ，又AC BC 0×=AC OC Þ^，即ΔOCA 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1ì+=ïÞ+--+--=íï=-+î，由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=×=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+，故P Q P Q PQ P Q P Q yy k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC D 的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =l ，（1）求点C 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OPOQ 0×= 若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =l ，所以GM //AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC D 的外心，则|MA ||MC |=，即2222x x ()a (x)y 33+=-+，整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=¹；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-ìïí+=¹ïî得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+，由OP OQ 0×=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a13k 13k --+=++，解之得k 3=±，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y 3(x a)=±-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 专题训练与高考预测专题训练与高考预测一、选择题一、选择题1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（），那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（为（） A.15x y 2=± B. 15y x2=± C. 3x y 4=± D. 3y x 4=± 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，轴，且12FMF 60Ð=°，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（） A.12 B.22 C.33 D.324．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]Î--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（的取值范围是（）A.23[,]22B. 35[,]22C.56[,]22D. 36[,]225．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（的取值范围是（）A.(2,2)-B.(1,2)C.[2,2)-D.[1[1,,2)6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（抛物线的焦点的轨迹方程为（） A. 22xy1(y0)34+=¹B. 22x y 1(y 0)43+=¹ C. 22x y 1(x 0)34-=¹ D. 22x y 1(x 0)43-=¹二、填空题二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，若021=×PF PF 21tan 21=ÐF PF ，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，轴正方向上的一定点，若过点若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ . 9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ×=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；F 2F 1A 2A 1PNM oy x FQoyx②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题三、解答题 11．已知两点A(2,0)，B(2,0)-，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ×=，（1）求动点P 的轨迹E 的方程；的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，两点，（1）求双曲线C 的方程；的方程；（2）求证：12FM F N × 是定值. 13．已知OFQ D 的面积为S ，且OFFQ 1×= ，建立如图所示坐标系，，建立如图所示坐标系，（1）若1S 2=，|OF|2= ，求直线FQ 的方程；的方程；（2）设|OF|c(c 2)=³，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0×= ，3PM MQ 2=-，BAMQ E T HP o yx（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE D 为等边三角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NPNM PN PM MN MP ×××,,成公差小于零的等差数列，数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，q 为PN PM 与的夹角，求tan θ．参考答案参考答案一. 1．C .提示，设双曲线方程为提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=l ，将点(6,3)代入求出l 即可. 2．D .因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m 5n ,0)-，双曲线焦点为22(2m 3n ,0)+，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |22|n |=，所以，双曲线的渐近线为6|n |3y x 2|m |4=±=± . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |3d =，11212|FF |c 2c 3d3e a2a|MF ||MF |d 2d 3=====++ . 4.C .曲线为双曲线，且曲线为双曲线，且512>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=×PF PF ，∴21PF PF ^ . 又21tan 21=ÐF PF ∴ïïïîïïïíì==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：255()93,cc e aa === ．选D ． 8．解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由，由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 22+2y 22=12 34021x x x =+，31222021-=×x x x ，则，则 2020221221212363234889164)(||x x xx x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -×+=，即202363223144x -××=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =×=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，P A (2x,y)=-- ，PB (2x,y)=---，22P A PB x 2y ×=-+ ，因为2PA PB 2PQ ×= ，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x 2)(0k 1)=-<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，的直线上，设此直线为1m :y kx b =+，由2|2k b |2k 1+=+，即2b 22kb 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0D =---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：25k 5=，10b 5=，此时，由方程组222510y x C(22,10)55y x 2ì=+ïÞíï-=î . 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+ ，200A P (x 2,y )=- ，1110A M (,y )3= ，222A N (,y )3=- ，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113F M (,y )3= ，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ×＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-´--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2= ，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=- ，0OF FQ 2(x 2)1×=-= ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=×== ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=³，则00FQ (x c,y )=- ，)))设椭圆方程为22x y a b +=222594a4b í+=ïî所以，椭圆方程为x y106+=MQ 2-)2-Q(,0)3)(x,)22-22(k 2)k -，2(,)k k-2(x )k k k-=--2k=+2E(k+的距离等于3|2221212(x x )(y y )=-+-＝22241k 1k k -×+，所以，422231k 21k k |k |-=+，解得：3k 2=±，011x 3= . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= . ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a bac b -=-2，∴b=c,故22=e . （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c q ==Ð=\+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r q +-+--===-³-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[pÎ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得）得(1,),PM MP x y =-=--- ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以所以 )1(2x MN MP +=× . 122-+=×y x PN PM ， )1(2x NP NM -=× . 于是，于是， NP NM PN PM MN MP ×××,,是公差小于零的等差数列等价于是公差小于零的等差数列等价于îîïíì<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 îíì>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

解析几何综合题解题思路案例分析

解析几何是数学中的一个分支，主要研究几何形状的数学表达和特征。

解析几何综合题需要运用多种几何知识和方法进行解题。

解题思路：
题目阅读：仔细阅读题目，弄清题目意思，明确问题
数据分析：分析题目给出的数据，确定所需要的几何知识和方法
方法选择：根据题目数据和问题，选择合适的几何方法进行解题
解题过程：根据选定的方法进行解题，记录解题过程
结果检验：验证解题结果是否正确
案例分析：
例如，有一道题目是：已知圆心坐标为(1,2)，半径为3，求圆的标准方程。

题目阅读：已知圆心坐标和半径，求圆的标准方程
数据分析：圆心坐标(1,2)，半径3
方法选择：圆的标准方程
解题过程：根据圆的标准方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，可得(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
结果检验：圆的标准方程是(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9。

浅谈平面解析几何中比例问题的常见题型和解题方法

浅谈平面解析几何中比例问题的常见题型和解题方法作者：张楚宁沙伯胤来源：《课程教育研究·学法教法研究》2019年第18期【中图分类号】G633.66 ; ; ; 【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2019）18-0295-02前言解析几何是用代数方法研究几何对象的关系和性质的一门学科。

作为解析几何的一大分支，平面解析几何在历届高考中占有超過百分之二十的比重，重点考察学生们的方法选择、计算能力和综合思维能力。

其中，求解元素之间的数值比例关系是考试十分常见的一种题型。

本文着重以三种不同的例题为案例，就该类问题常见题型和解题方法做以简要论述。

平面解析几何离不开圆锥曲线，因此在高考中该类型题目第一问一般是圆锥曲线方程或者直线方程，从而使得方程求解是解出整题的基础。

方程求解不难，但是要注意在高考难度逐渐降低的形势下，题目中出现的“文字游戏”则十分考察考生细心程度，所以不要轻视第一问。

以下对于解题思路的讨论均是建立在第一问解答正确基础上。

平面解析几何的比例问题大致可分为两类，即：面积和边长之比问题，角度之比问题。

分别论述如下。

2.解题方法。

无论是三角函数值还是角度值，在我们应用了上述理论公式后，多会化为边长之比的问题。

由于涉及到三角函数值，我们不难想到平面向量公式中存在着带有三角函数值的子项。

故这类题利用向量法反而更加简便。

由于向量内积公式中存在一个夹角余弦值，我们只需要表示出各个点的坐标，利用向量内积逐个求出余弦值，而后转换为我们熟悉的边长之比问题，得出答案。

3.易错知识点。

此题虽然少见，但是十分容易出错。

由于涉及到大量的三角函数计算，难免会出现由于向量法较为简便，学生在使用向量法的时候可能会出现忘记“末减初”的问题，而向量模长的大量计算，再加上待定系数的介入，进一步考验计算和逻辑的严谨性，加大了正确解题的难度。

4.建议。

解题思路依旧是往我们熟悉的问题上靠拢。

把三角函数值这层“外衣”剥去是永恒的目标。

研题四部曲“来路—思路—出路—套路”——一道最值题的突破

㊀㊀㊀研题四部曲来路思路出路套路一道最值题的突破◉福建省石狮市第三中学㊀林燕峰１引言老子«道德经»的二十八章:知其雄,守其雌,为天下谿; 知其白,守其黑,为天下式; 知其荣,守其辱,为天下谷．在数学教学与学习,以及数学解题研究过程中,我们提取相关问题的精华,尝试做到数学解题研究过程中的四部曲来路㊁思路㊁出路㊁套路．２问题来路问题㊀(２０２２届清华大学中学生标准学术能力诊断测试(２０２１年１１月测试)数学理科试卷８)已知x ,y 满足x ２＋y ２＝４y －３,则３x ＋yx ２＋y２的最大值为(㊀㊀)．A ．１㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D ．５此题以双变量所满足的二次方程(圆的一般方程形式)为背景,结合含根式的分式代数式的最值的确定与求解来合理创设代数问题,从代数的数的角度来巧妙创新与设置,实现数与形之间的合理转化与应用．３寻找思路思路一:解析几何思维．图１解法１:(距离公式法)如图１,由x ２＋y ２＝４y －３,配方整理可得x ２＋(y －２)２＝１,设点A (x ,y )是该圆C 上的任意点,过点A 作直线３x ＋y ＝０的垂线,垂足为B ,则３x ＋y２的几何意义为线段A B的长度A B ,而x ２＋y ２的几何意义为线段O A 的长度O A ,数形结合可得３x ＋yx ２＋y ２＝２A BO A＝２s i n øA O B ．设直线y ＝k x 与圆C 相切,则有２１＋k ２＝１,解得k ＝ʃ３,则知当直线y ＝３x 与圆C 相切于第一象限时,s i nøA O B 取得最大值,且其最大值为s i nπ３＝３２,即３x ＋yx ２＋y ２＝２s i nøA O B ɤ３．故３x ＋yx ２＋y ２ɤ３x ＋yx ２＋y２ɤ３,即３x ＋yx ２＋y２的最大值为３,此时点A 恰好与点D (３２,３２)重合．故选:C ．解后反思:根据问题的平面解析几何背景,直接通过平面解析几何中的相关知识来切入与转化,是解决此类问题最直接㊁最常用的基本方法之一．结合代数式的形式特征,通过点到直线的距离公式㊁两点间的距离公式等来转化, 数转化为形 ,进而数形结合,直观形象确定相应的最值,可以达到非常不错的解题效果．图２思路二:平面向量思维．解法２:(数量积公式法)如图２,由x ２＋y ２＝４y －３,配方整理可得x ２＋(y －２)２＝１,设点A (x ,y )是该圆C 上的任意点,取点B (３,１),结合平面向量的数量积,可得３x ＋y x ２＋y２＝O A ң O B ңO Aң＝O B ңc o s øA O B ＝２c o s øA O B ．数形结合可知当直线O A 与圆C 相切且在点C ,B 的位置之间时,øA O B 取得最小值π６,所以３x ＋y x ２＋y２＝２c o s øA O B ɤ３,此时点A (３２,３２),即３x ＋yx ２＋y２的最大值为３．故:C ．解后反思:根据所求代数关系式的形式特征,合理联想到平面向量的数量积的坐标公式,是利用该方５８２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀法求解代数式最值的关键所在．平面向量的数量积公式具有非常特殊的形式,在解决一些相关的数学问题中,形式与其类似或接近时,经常可以采用构建合理的平面向量,通过平面向量的数量积加以转化与应用,从而解决相关数学问题．思路三:三角函数思维．解法３:(三角换元法)由x２＋y２＝４y－３,配方整理可得x２＋(y－２)２＝１,设点A(x,y)是该圆C上的任意点,设直线y＝k x与圆C相切,则有２１＋k２＝１,解得k＝ʃ３．设直线O A的倾斜角为α,则有αɪ[π３,２π３],那么３x＋yx２＋y２＝２(３２ xx２＋y２＋１２yx２＋y２)＝２(３２c o sα＋１２s i nα)＝２s i n(α＋π３)．由于αɪ[π３,２π３],可得α＋π３ɪ[２π３,π],则有３x＋yx２＋y２＝２s i n(α＋π３)ɤ２s i n２π３＝３,当且仅当α＝π３时等号成立,即３x＋yx２＋y２的最大值为３．故选:C．解后反思:根据条件中的代数关系式加以合理变形与转化,引入三角函数利用三角换元来处理,巧妙结合题目条件确定三角参数的取值限制,进而利用三角函数的图象与性质来确定对应的最值问题,这也是求解代数式最值时比较常用的一类技巧方法．三角换元的求解关键就是合理引参,巧妙转化,构建正弦型或余弦型三角函数,利用三角函数的图象与性质解决．４拓展出路探究１:根据原问题及其解析过程,通过相应代数式的最大值的确定,自然而然想到确定对应代数式的取值范围问题,从而得到以下对应的变式问题．变式:已知x,y满足x２＋y２＝４y－３,则３x＋yx２＋y２的取值范围是．解析:由x２＋y２＝４y－３,配方整理可得x２＋(y－２)２＝１,设点A(x,y)是该圆C上的任意点,取点B(３,１),结合平面向量的数量积,可得３x＋yx２＋y２＝O Aң O BңO Aң＝O Bңc o søA O B＝２c o søA O B．数形结合(可参照原问题解法１中的图形)可知当直线O A与圆C相切且在点C,B的位置之间时,øA O B取得最小值π６,所以３x＋yx２＋y２＝２c o søA O Bɤ３,此时点A(３２,３２);当直线O A与圆C相切且在点C,B的位置之外时,øA O B取得最大值π２,所以３x＋yx２＋y２＝２c o søA O Bȡ０,此时点A(－３２,３２)．综上分析,可得３x＋yx２＋y２的取值范围是[０,３],故填答案:[０,３]．解后反思:除了借助平面向量的数量积公式法来解决以上变式问题,还可以参照原问题的解析几何思维与三角函数思维等来解决该变式问题,关键是讨论对应代数式取得最小值与最大值这两个极端值时的成立条件,这里就不多加以叙述了．５总结套路涉及代数式的最值或取值范围的确定问题,解决问题的主要套路可以总结为以下两种:(１) 数视角切入．利用代数思维,从函数与方程㊁不等式㊁三角函数等视角来转化与应用,结合相应的知识进行合理的代数运算㊁逻辑推理,从而得以分析与处理,确定对应代数式的最值或取值范围问题．(２) 形视角切入．利用代数式的几何意义,化数为形 ,利用几何思维,从平面几何图形㊁解析几何图形以及立体几何图形等直观图形及其对应的几何意义视角来直观想象,转化为相关点㊁直线㊁曲线㊁平面等之间的位置关系,数形结合来分析与处理,确定对应代数式的最值或取值范围问题．在以上数或形等不同视角切入时,巧妙转化问题,结合二次函数的图象与性质㊁基本不等式等重要不等式㊁三角函数的图象与性质㊁导数及其应用㊁平面几何的直观图形等数或形知识来综合与应用,合理数学建模,掌握通技通法,不断深入挖掘,剖析研题四部曲来路㊁思路㊁出路㊁套路,提升解题效益,跳出题海战术 ,从而全面提升思维品质,提高数学能力,培养数学核心素养．Z６８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

浅议平面解析几何中直线部分的解题思路

图（）一。
一
４２直线ＡｘＢＹｏ０为一般直线时．ｏ＋ｏ＋Ｃ＝
①直线Ａｘ＋００ＢＹ
＋ｏ＝Ｃ０与直线Ａ＋１＋１０行时，只需用两平行直线１ＢＣ＝平ｘｙ则距离公式即可求出要求直线； ②若直线ＡｘＢＹ００与直线ｏ＋０＋Ｃ＝
【关键词● 平面解析几何；直线；解题思路
【中图号】Ｇ３．５６３６【文献标示码】Ａ【文章编号】１０ — ０４２０）２０２００５１７（０８１ — ２４— ２称的直线方程分别为ＡＸＢ＋Ｃ＝、１＋１＋Ｃ＝、１１— １Ｙ１０一ＡｘＢＹｌ０Ａ
Ａ＋Ｂ＋１０相交于一Ａ点时，ｌｘ１Ｃ＝Ｙ利用到角公式就可以求得直线ＡＸＢｙ１０于直线Ａｘ＋ｏ＋Ｃ＝１＋１＋Ｃ＝关０Ｂｙｏ０对称的直线的
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【摘要】在数学学习中，许多同学感觉到对所学习的基本概念已经理解、基本公式已经熟记，但是在做题时却力不从心，
这是为什么呢？我认为：是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；是知道老师归纳过的一些题型解法，不会进一二但行转化。现介绍平面解析几何直线部分的一些基本题型及其转化方法。

高考数学如何应对解析几何的难题

高考数学如何应对解析几何的难题解析几何是高考数学中一个相对较为复杂和困难的知识点，无论是平面解析几何还是空间解析几何，都需要同学们具备较高的数学思维和分析能力，才能够顺利解决问题。

在高考中，解析几何常常是一道能够考察学生综合运用多种数学知识与技巧的题目，因此，如何应对解析几何的难题成为学生备战高考的重要环节。

本文将从几个方面为同学们介绍高考数学解析几何题目的解题技巧与策略。

一、充分理解题意在解析几何的难题中，题目通常会给出一定的几何条件或图形描述，并要求求解一些未知的几何性质或者计算一些几何量。

因此，同学们首先要做的就是充分理解题目中给出的条件和要求，举一反三，将所学知识与题目相结合，形成自己的解题思路。

二、熟练掌握基本几何定理与公式解析几何的难题往往需要建立几何模型，运用几何定理和公式来求解。

因此，同学们需要熟练掌握基本的几何定理与公式，例如平面解析几何中的点与直线的关系、直线与直线的关系、平面与平面的关系等，还有空间解析几何中的点与直线的关系、直线与平面的关系、平面与平面的关系等。

只有当我们熟练掌握了这些基本的几何定理与公式，才能在解析几何的题目中游刃有余。

三、灵活应用坐标系在解析几何的题目中，坐标系是一种非常重要的工具。

通过建立适当的坐标系，可以把几何问题转化为代数问题，更加方便理解和计算。

同学们需要熟练掌握直角坐标系和参数方程两种坐标系的应用，能够根据题目的要求选择适当的坐标系，简化问题的求解过程。

四、细心分析图形性质在解析几何的题目中，图形性质的分析是非常重要的一步。

同学们需要根据题目给出的条件和要求，利用已知信息推导出更多的图形性质，从而为问题的解决提供更多线索。

同时，同学们还需要判断出哪些性质是关键性质，哪些是次要性质，避免陷入无用的计算中。

五、多做题，总结经验解析几何需要一定的练习积累，通过多做题目，可以更加熟悉各种典型的解题方法和技巧。

在解题过程中，同学们要注意总结分析，归纳各种解题的模式，形成自己的解题经验。

(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值；（3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号；（3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ；（2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ；（3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ．（3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分；（2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

浅谈解析几何的解题思路

浅谈解析几何的解题思路这篇文章主要是服务于我们解析几何的系列课程，上周课程为同学们勾勒出解析几何（圆锥曲线）的基本解题框架，虽然很多“精气神”的东西只有在课堂上才能体现，我还是想要把大概的思路，以文字的形式呈现出来，以备同学们不时之需。

在圆锥曲线的大题中，大部分同学都有这样的感受：“看得见却摸不着”，思路易得，结果难求。

的确如此，运算量太大，即使想通也是很难算出结果的，这在很大的程度上影响了同学们的学习信心，让他们望而生畏，导致成绩再次两极分化，然而相当一部分解几的题目，都是与同学们的解题思路有关的，只有把握了问题的本质，精心构思，合理运算，就能快速解决，得出正确答案，从而提高解题效率，增强其自信。

圆锥曲线一般在高考这样的综合试卷中会占20分以上，即小题5-10分，大题14分以上。

从试题命制上看，小题和大题的解题思路和方法又是截然不同的。

小题多考察三大曲线的定义、几何图形及简单运算，考双曲线常涉及渐近线，考抛物线常涉及定义，具体体现在焦点三角形、弦的分点、焦半径等问题，其中以离心率为代表性题型，可以考察同学们的综合能力，往往其解题思路就是从定义和几何图形入手，即可！大题部分，第一问一般处理相关轨迹问题，较简单，通常通过定义和解方程可求得；第二问、第三问会考察学生的综合能力，比如要求同学们能够处理直线和曲线的位置关系，问题体现为求点、求值、定点、定值、最值等，就是体现它作为压轴boss的威力。

当然解几虽难，同学们也不用怕，只有理清算理，合理运算，并可力挽狂澜。

下面我就给同学们道出原委：“解析几何首先是几何，然后才需是解析，几何是根本，解析是手段。

解析几何解题首先要识图，认识图形中的定点、动点，分析图形中的各种度量，然后再选择恰当的解题策略进行解析。

”---王丙峰。

这里我浅谈三种主流方法，希望同学们要烂熟于心，运用自如。

方法一，背景演绎法，也是我最推崇的一种方法，行之有效。

因为解析几何早在笛卡尔时代就玩透了，所以现在很多考题都是有背景和原型的。

数学解析几何题的解题思路和技巧

数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。

解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。

在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。

将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。

高中数学解析几何的思路与方法

高中数学解析几何的思路与方法解析几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到坐标系、方程、图形等多个方面。

在学习解析几何时，我们需要掌握一定的思路和方法，才能更好地理解和掌握相关知识。

一、理解基本概念解析几何涉及到许多基本概念，如坐标系、方程、向量、曲线等。

在学习时，我们需要对这些概念有清晰的认识，并能够正确地理解它们的含义和用途。

只有掌握了基本概念，才能为后续的学习打下基础。

二、掌握解题方法解析几何的解题方法有很多，如代入法、配方法、几何法等。

在学习时，我们需要掌握这些方法的基本原理和使用技巧，并能够根据题目要求选择合适的解题方法。

同时，我们还需要多做练习，积累解题经验，不断提高解题能力。

三、建立坐标系在解析几何中，建立坐标系是解题的重要步骤。

通过建立合适的坐标系，我们可以将曲线上的点用坐标来表示，从而方便地求出曲线的性质和形状。

在建立坐标系时，我们需要根据题目的要求和曲线的情况选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。

四、利用方程求解解析几何中的方程是联系曲线和数值的桥梁。

通过解方程，我们可以得到曲线上点的坐标，进而求出曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要掌握方程的基本形式和求解方法，如联立方程、化简方程、代入数值等。

同时，我们还需要注意方程的解法和数值的取值范围，避免出现错误和遗漏。

五、结合图形理解解析几何是一门与图形密切相关的学科，通过图形可以更加直观地理解曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要结合图形来理解解析几何的知识，如通过画图来理解坐标系和方程的含义和作用，通过观察图形来分析曲线的性质和特点等。

同时，我们还需要注意图形的形状和特点，以便更好地理解和应用解析几何的知识。

六、拓展应用领域解析几何不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程、经济等多个领域中有着重要的应用价值。

在学习时，我们需要了解解析几何在不同领域中的应用情况，并能够根据实际情况选择合适的解题方法和应用领域。

同时，我们还需要注意不同领域中的问题特点和应用要求，以便更好地解决实际问题。

平面解析几何的应用题与实际问题

平面解析几何的应用题与实际问题一、直线与平面的关系在平面解析几何中，直线与平面的关系是一个重要的研究方向。

我们可以通过应用题与实际问题来理解直线与平面之间的联系，并探讨它们在实际生活中的应用。

1.1 直线与平面的交点问题考虑以下问题：已知平面上有一条直线l和一个平面P，我们想要求出直线l与平面P的交点坐标。

这个问题在实际中经常出现，比如在建筑设计中，我们需要确定建筑物与地面的交点坐标，以便进行施工和规划。

解决这个问题的关键是确定直线l的方程和平面P的方程，然后将它们联立求解。

通过计算，我们可以得到直线与平面的交点坐标，从而满足实际问题的需求。

1.2 平面的投影问题平面的投影问题也是平面解析几何中常见的应用之一。

考虑以下情景：假设有一个物体位于平面上方，我们想要求出该物体在平面上的投影坐标。

这个问题在建筑设计、工程建设等领域中经常遇到，帮助我们实现更准确的设计和规划。

解决这个问题的方法是利用平面几何的概念和知识，通过求解物体的位置、平面方程等参数，计算出物体在平面上的投影坐标。

这样，我们就可以得到物体在平面上的具体位置信息，为实际问题的解决提供了重要的依据。

二、直线与圆的关系直线与圆的关系也是平面解析几何中的重要内容，具有广泛的应用价值。

通过应用题与实际问题的讨论，我们可以更好地理解直线与圆之间的联系，并发现它们在实际生活中的应用场景。

2.1 直线与圆的交点问题考虑以下问题：已知平面上有一条直线l和一个圆C，我们想要求出直线l与圆C的交点坐标。

这个问题在实际中也经常遇到，比如在机械制造中，我们需要确定直线与圆的交点位置，以便进行零件加工和装配。

解决这个问题的关键是确定直线l的方程和圆C的方程，然后将它们联立求解。

通过计算，我们可以得到直线与圆的交点坐标，为实际问题的解决提供了重要的参考。

2.2 圆的切线问题圆的切线问题也是直线与圆关系的一个重要方面。

考虑以下情景：假设有一个圆C和一个切点P，我们想要确定通过切点P的圆C的切线方程。

解析几何综合题的解题思路分析

解析几何综合题的解题思路分析
摘要：由于解析几何这类试题的涉及面比较广，综合性强，而且解题的方法多
种多样，对考察学生的综合能力有很好的效果，所以几何问题已经成为近几年高
考试题中的主要内容。

也正是因为解析几何具备的诸多特点，所以使学生在解题
的过程中不知道从何下手，不能克服解题过程中的运算难关。

本文通过对解析几
何综合题的解题思路尽心分析，为学生提供了一定的参考依据。

关键词：解析几何综合题解题思路
近几年来，解析几何在高考中出现的频率越来越高，对解析几何综合题的解
题思路也成为学生们面临的一个难题。

由于这类习题所涉及的知识点比较多，因此，在解决这一类问题的时候，学生就要学会通观全局，从局部入手。

也就是说，学生要在掌握通性通法的同时，从整体上去把握，认真审题，找到正确的解题方法。

一、判别式解题思路分析
二、“点差法”解题思路分析
点差法也是解析几何中经常使用的解题方法之一。

点差就是在求解圆锥曲线
并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆
锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然
后利用中点求出直线方程。

这种方法在求曲线方程与求直线斜率等习题上有较广
泛的应用。

三、结束语
目前，解析几何综合题在高考中出现的频率已经越来越高，为了能让学生在
考试的过程中准确高效地将问题解决，在日常生活中，培养学生对解题思路的整
体把握是非常重要的。

教师要在授课的过程中，将解析几何综合题的解题思路分
析详细地让学生掌握，从而使学生对解析几何综合题的解题思路有充分的掌握。

高中数学解析几何解题技巧

高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解基本概念：解析几何的基本概念是解题的基础，包括直线、平面、向量、点、线段等。

在解题过程中，要确保对这些基本概念的理解准确。

2. 熟悉性质定理：解析几何中有许多性质定理，例如平行线性质、垂直线性质、相似三角形性质等。

熟悉这些性质定理，可以帮助理解和解决解析几何题目。

3. 运用向量法解题：向量法是解析几何中常用的一种解题方法。

通过引入向量的概念，可以简化解析几何题目的计算过程，提高解题效率。

4. 利用几何变换：几何变换是解析几何中常用的一种方法，包括平移、旋转、镜像等。

通过利用几何变换，可以将原题转化为更简单的几何问题进行求解。

5. 善用相似性质：相似性质在解析几何中有着重要的应用。

通过发现和利用图形的相似性质，可以得到一些有用的信息，从而解决解析几何题目。

6. 注意特殊情况：解析几何题目中经常会涉及到一些特殊情况，例如对称性、平行四边形、等腰三角形等。

在解题过程中，要特别注意这些特殊情况，以充分利用它们带来的信息。

7. 多画图辅助：在解析几何题目中，通过画图可以更好地理解和分析题目。

因此，解析几何解题过程中，多画图进行辅助，有助于
提高解题的思路和准确性。

8. 注意技巧和方法：解析几何题目中有一些常用的技巧和方法，例如相似比例、平行线截比、垂直线截比等。

要熟悉这些技巧和方法，并在解题过程中加以运用。

最后，解析几何题目的解题技巧需要通过大量的练习和实践来逐渐掌握和提高。

不断总结经验，加强对解析几何知识的理解和掌握，才能在解析几何题目中游刃有余。

解析几何直线与平面的交点求解技巧

解析几何直线与平面的交点求解技巧几何学中，直线与平面的交点求解是一个重要的问题。

在解析几何中，我们可以通过一些技巧和方法来求解直线与平面的交点坐标。

本文将介绍几种常用的技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、点法式求解交点点法式是求解直线与平面交点的一种常见方法。

它基于平面法向量与直线的方向向量垂直的原理。

具体的求解步骤如下：1. 确定平面的法向量n和平面上的一点P，使得平面的方程为A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0，其中A、B、C分别为平面的法向量的三个分量，(x1,y1,z1)为平面上已知的一点坐标。

2. 确定直线的方向向量V和直线上的一点Q，使得直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw，其中(x0,y0,z0)为直线上已知的一点坐标，v、w为直线的方向向量的两个分量。

3. 建立一个关于变量t的方程：将直线方程代入平面方程，得到一个关于t的一次方程，即At(vt +x0-x1) + Bt(wt + y0-y1) + Ct(wt + z0-z1) = 0。

4. 解方程得到t的值，将t的值带入直线方程，求得交点坐标。

二、向量叉乘法求解交点向量叉乘法是求解直线与平面交点的另一种常用方法。

它利用平面法向量与直线上两个向量的叉乘为零的原理。

具体的求解步骤如下：1. 确定直线上的两个向量L和M，使得直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw。

2. 建立一个关于变量t的方程：将直线上的两个向量分别与平面的法向量进行叉乘，得到两个关于t的方程，即(L×M)•n = 0。

3. 解方程得到t的值，将t的值带入直线方程，求得交点坐标。

三、标准方程求解交点在一些特殊情况下，可以利用直线和平面的标准方程求解交点。

例如，如果直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw，平面的标准方程为Ax+By+Cz+D=0，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于t的一次方程。