第2章线性时不变系统

2015/10/26
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通常，我们知道t=0-时刻的一组边界条件---起始条件。当系 统方程的自由项中不出现冲激的时候，它的初始与起始条件是 相等的。即系统的状态，没有因为输入的作用瞬间发生突变。
例如：设有系统方程：
d 2 y(t) dt 2
+3
dy (t ) dt
+
2 y(t)
=
dx (t ) dt
+
3 x (t )
且已知 x (t ) = te −3t u (t )
y(0− ) = y′(0− ) = 1
试求t>0时的系统响应y(t)。
解：⑴ 求一个方程的齐次通解。
解微分方程对应的特征方程： α2 +3α+ 2 = 0
得到方程的特征根： α1 = −1 α2 = −2
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所以设系统的齐次通解为：
y(0+) = y′(0+) = y(0−) = y′(0−) =1
于是有
y(0+ )
=1=
A1
+
A2
+
1 2
y′(0+
)
=
1
=
−
A1
−
2
A2
−
3 2
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所以求得
A1
=
7 2
A2 = −3
最后，当t>0时系统的全响应
y(t) = 7 e−t − 3e−2t + 1 e−3t
2
2
2 RL L2 − M
2
di 2 (t ) dt
+
L2
R2 −M
2
i2 (t) =
L2
M −M
2
de (t ) dt
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二、 常系数线性微分方程的经典解法
线性时不变系统的微分方程
∑ ∑ N ak
k =0
d k y(t) dt k
M
= bk
k =0
d k x(t) dt k
只是给出了系统输入输出的一种约束关系。要求出在给定输入 的输出，还必须有输入作用于系统时刻的一组边界条件。
经典解法的步骤是： ⑴ 求解微分方程对应的特征方程，得到一组特征根：αi； ⑵ 根据特征根，写出系统方程的齐次通解：
N
∑ yh (t) = Aieαit i =1
⑶ 根据方程的自由项的形式，求出一个特解：yp(t)；于是，
N
∑ y(t) = Aieαit + yp (t) i =1
⑷ 由t=0+时的一组条件，求出齐次通解中的系数Ai 。
y
p
(t)
=
e −3t
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(9B − 9B + 2B)e−3t = e−3t
所以
B=1 2
y p (t)
=
1 2
e −3t
⑶ 求齐次通解中的待定系数，确定自由响应。
y(t) = yh (t) + y p (t)
=
A1e −t
+
A2e − 2t
+
1 2
e −3t
由于自由项中没有出现冲激，初始条件
通常我们将输入x(t)作用于系统的时刻设为t=0，解方程求 系统在t>0时，系统的输出y(t)。
经典解法是根据系统的输入和系统在t=0+时刻的一组边界条 件---初始条件，将系统的输出分解为齐次解（自由响应）与特 解（受迫响应）求解
y(t) = yh (t) + y p (t)
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第2章 线性时不变系统的时域分析
§ 2.1 LTI系统的时间方程 § 2.2 LTI系统的零输入响应 § 2.3 LTI系统的零状态响应 § 2.4 LTI系统的性质 § 2.5 单位冲激响应的求解
§2.1 LTI系统的时间方程
一、 连续时间系统方程的建立
元器件的约束： vR (t) = RiR (t)
)
−
M
di2 (t ) dt
= e(t)
(1)
i1(t)
Ri2 (t) + L
di2 (t) dt
−M
di1 (t ) dt
=0
( 2)
由（2）式：
di1 (t ) = R dt M
i2 (t)
+
L M
di 2 (t ) dt
( 3)
代入（1）式，并将结果求一次导数后，再代入一次得到：
d 2i2 (t) + dt 2
或表示为：
y(t) = ( 7 e−t − 3e−2t + 1 e−3t )u(t)
2
2
其中，自由响应分量是：
yh (t)
=
7 2
e−t
− 3e −2t
受迫响应分量是：
y p (t)
=
1 2
e −3t
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yh (t ) = A1e −t + A2e −2t
⑵ 求方程对应自由项的特解，即受迫响应。
方程的自由项
dx(t) + 3x(t) = e−3tu(t) dt
于是令t>0时特解
y p (t ) = Be −3t
将其代入方程左边，并使方程平衡
d
2 y p (t dt 2
)
+
3
dy p (t) dt
+
2
iR (t)
=
1 R
vR (t)
vL
(t
)
=
L
diL (t) dt
∫ iL (t)
=
1 L
t
vL (τ )dτ
−∞
∫ vC
(t)
=
1 C
t
iC
−∞
(τ
)dτ
iC
(t
)
=
C
dvC (t dt
)
网络拓扑约束： ∑ vk (t) = 0 k
∑ ik (t) = 0 k
建立连续时间LTI系统常系数线性微分方程：
∑ ∑ N
ak
k =0
d k y(t) dt k
M
= bk
k =0
d k x(t) dt k
方程中x(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。
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例如：RLC串联电路如下，以电压源e(t)为输入，回路电流i(t) 为输出，试列出系统的输入输出方程。
C
L
解：由电路定理列回路电压方程： vL (t) + vR (t) + vC (t) = e(t)
ak
k =0
d k y(t) dt k
M
= bk
k =0
d k x(t) dt k
它是N 阶线性时不变系统的系统方程。
x(t)
LTI
y(t)
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再例如：互耦电路如下，以次级回路电流为输出，试列出系 统的输入输出方程。
RM
i2 (t )
e(t)
LL
R
Ri1 (t )
+
L
di1 (t dt
e(t)
i(t) R 回路电流为输出，根据元器件的约束：

L
di (t ) dt
+
Ri (t ) +
1 C
∫ i(t )dt
=
e (t )
L
d 2i(t) dt 2
+
R
di (t ) dt
+
1 C
i(t )
=
de (t ) dt
整理成标准形式：
d 2i(t) dt 2
+
R L
di (t ) dt
+
1 LC
i(t) =
1 L
de (t ) dt
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系统方程只涉及到输入信号：e(t)，与输出信号：i(t)，因此 称其为输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边的 各项，就是输出信号与其各阶导函数的组合，因此称方程为常 系数线性微分方程。
N 阶常系数线性微分方程的一般形式为：
∑ ∑ N