多元函数微分学复习题集与答案解析

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y

x y

→→+00

242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2 2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

20

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件

(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）

(A)

x

x y 22

+

(B) -

+y x y 22 (C) y

x y 22

+

(D)

-+x

x y 22

6、设f x y y

x

(,)arcsin

=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1

4

（B ）

14 （C ）-12 （D ）1

2

7、设y

x

z arctan

=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

（A ）

22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）2

2v u u

v +-

8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +

3

2

(B) x -

3

2

(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则(

)(,)∂∂∂∂z x z

y

+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1

10、设z xye xy =-，则z x x x

'

(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()122

11、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202

π

处的法平面方程是 （C ）

(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42

y z -=π

12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）

(A)

84

2204

x z y --=-= (B)x y z +==

+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=

3514

13、曲面x z y x z cos cos +-

=ππ22

在点π

π2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）

（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=

π2 （D ）x z -=π

2

14、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）

x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=

--38231

18

（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=

15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有

2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）

（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）

(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim

sin()

x y xy x →→0

π

= .答：π

2、极限lim ln()x y x y e x y

→→++0

1

2

2

2

= .答：ln2

3、函数z x y =+ln()的定义域为 .答：x y +≥1

4、函数z x

y

=

arcsin 的定义域为 .答：-≤≤11x ，y ≠0

5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫

⎭⎪22，则f kx ky (,)=

.答：

k f x y 2⋅(,)

6、设函数f x y xy

x y

(,)=+，则f x y x y (,)+-=

.答：22

2x y x

-

（22

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==++-Q ）

7、设f x y x y x y A x y (,)ln()

//=-⋅+<+≥⎧⎨

⎩11212

222222，要使f x y (,)处处连续，则

A=

.答：-ln2

8、设f x y x y x y x y A x y (,)tan()(,)(,)(,)(,)

=++≠=⎧⎨⎪

⎩⎪2222

0000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，

则A=

.答：1

9、函数22

1

x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点

10、函数f x y x y

y

x (,)cos =

-122

的间断点为 .答：直线y x =±及