函数的概念与表示法
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
函数的概念及其表示
一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。
函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。
事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。
为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。
一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。
我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。
对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。
当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。
对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。
函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
第08讲 函数的概念及其表示方法(原卷版)
第08讲 函数的概念及其表示方法1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有 定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 ．(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数相等． 3．函数的表示法4若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．5.常见函数的定义域：(1)分式函数中分母 . (2)偶次根式函数被开方式 . (3)一次函数、二次函数的定义域为 .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cosx，定义域均为 . (5)y ＝tan x 的定义域为(6)函数f (x )＝x α的定义域为 .【2018年新课标1卷文科】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．1、下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )2、下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝xB ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23、函数的定义域是（ ） A ．B ．C ．D ．4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( )A. 式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x ，因变量为y 的函数B. 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C. 若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝1 D. f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数考向一 函数的概念例1、（1）下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )()()2lg 31f x x =++1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( ) A.f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1 B.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C.f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0D.f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．A ．f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0B ．f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|；C ．f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；D ．f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.变式2、已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A 到值域B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．考向二 函数的定义域例1、 求下列函数的定义域： (1) f (x )＝lg (5－x 2)； (2) f (x )＝1ln (x －1).变式1、（1）函数f (x )＝ln(4x －x 2)＋1x －2的定义域为( )A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) （2）.函数f (x )＝ln x ·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22－x 的定义域是( )A.[1，2]B.[2，＋∞)C.[1，2)D.(1，2]变式3、.已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤g(x)≤b 求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]上的值域.考向三 函数的解析式例2、 (1) 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式；(2) 已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，求当－1≤x ≤0时，函数f (x )的解析式；(3) 已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．变式1、(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．变式2、求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式.方法总结：函数解析式的常见求法函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．考向四 分段函数例3、（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.（2）、已知()()()()3,94,9x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则f (7） =______.（3）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．（4）、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．变式1、设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___． 方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．1、设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．122、设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.3、(2022·泰州中学期初考试)下列关于x ，y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≤1，log 12x ，x ＞1，f (x 0)＝－2，则x 0＝ ．5、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()()22101x x f x g x a a a a -+=-+>≠,，则()1f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 26、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)设函数y ＝f (x )定义域为D ，若存在x ，y ∈D ，且x ≠y ，使得2f (x ＋y 2)＝f (x )＋f (y )，则称函数y ＝f (x )是D 上的“S 函数”，下列函数是“S 函数”的是A ．y ＝2xB ．y ＝x －sin x ＋1C ．y ＝ln xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞01，x ≤07、已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.。
函数的概念及表示法(职高)
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巩固知识 典型例题
函数定义域
若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集R. 若f (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集. 若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于 或等于0的实数集.
高教社
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
1
2
3
4
5
6
y（元）
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巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数． 解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
第三章 函数
3.1函数的概念及表示法
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创设情景 兴趣导入
问题1 问题2 问题3
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动脑思考 探索新 知
概念 在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围 为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f， y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把 y叫做x的函数．
2．市场上土豆的价格是 3.2 元／kg ，应付款额 y 是购买土豆数 量 x 的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数．
.
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归纳小结 强化思想
函数概念
计算函数值 求定义域 判断相同函数
函数表示法
作函数图像
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归纳小结 强化思想
学习方法
函数的概念与表示方法
函数的概念与函数收敛的定义1、在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。
定义：设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x)数集D 称为函数y 的定义域。
当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。
当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合0x0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。
2、定义1-1：数列收敛的定义： 若A xn n =∞→lim {亦称极限n x存在； 收敛；否则，称发散}：n x n x ∀ε（无论其多么小）>0,∃正整数N，当n>N 时，有 ε<−A x n定义1-2：函数当x→∞时候收敛的定义：若A x f x =∞→)(lim ： ∀ε（无论其多么小）>0,∃正数X,当x>X 时， ε<−A x f )(类似可以定义x→+∞,x→-∞时候极限的定义 定义1-3：函数当x→时收敛的定义：0x 若A x f x x =→)(lim 0∀ε(无论其多么小)>0，∃正数δ>0,当δ<−<00x x 时，有ε<−A x f )(类似可以定义x→+,x→-时，函数极限的定义0x 0x 3 函数的基本性质：（1） 有界性（2） 单调性（3） 奇偶性图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =− ……偶函数 曲线关于原点轴对称：)()(x f x f −=− ……奇函数。
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
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随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
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随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念及其表示方法
教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的表示法
2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。
函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。
函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。
函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。
表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。
图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。
函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。
确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。
有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。
单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。
可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。
画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。
检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。
图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。
平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。
函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。
函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。
函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。
函数的概念及其表示
2
2.
题型二：求函数的值域 1. y x 4 x 2
2
2. 3.
4.
x3 6.记函数 f(x)= 2 的定义域为 A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为 B． x 1
(1) 求 A； (2) 若 B A，求实数 a 的取值范围．
A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞)
1 实数 a 的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1)． 2
题型三：分段函数
| x 1| 2,| x | 1, 1 设 f(x)＝ 1 ，则 f[f( )] 2 , | x | 1 2 1 x
题型四：函数解析式
1.设函数 f ( x) 2 x 3 ， g ( x) 3x 5 ，则 f ( g ( x)) _
函数式有意义时， P( x) ， Q( x) 的约束条件：
☞ 左学右考 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”. (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数. ������ ������,������ ≥ ������, (2)f(x)=|x|与 g(x)= 是同一个函数. -������,������ < ������
������������
Байду номын сангаас
( (
) )
( 3) 函数 f( x) = ������������ + ������+1 的值域是{y|y≥1}. {x|1≤x<3}.
( (
) )
( 4) 若函数 f( x) 的定义域为{x|1≤x<3}, 则函数 f( 2x-1) 的定义域为
函数的概念及表示方法
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
函数的概念及其表示法
时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示一、什么是函数？1、函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。
记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 注意：1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。
2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。
（用集合关系讲解）2、映射与函数函数的特殊的映射二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。
函数=定义域+对应关系+值域2、比喻理解：定义域f −−→值域 等价于 原材料f −−→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程3、举例说明：21,y x x R =+∈问：定义域？值域是？对应关系是？三、求函数定义域主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1例题讲解：1、1()f x x x =-2、1()11f x x=+ 3、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5、()1f x x =- 四、求函数解析式1、函数的三种表达方法解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。
2、函数解析式求法1) 配凑法由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式3) 换元法若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解例题：已知()f x +21()f x=3x ，则求()f x 的解析式。
函数的概念及表示方法
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3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
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5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
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练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
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例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
函数的概念及表示方法
【考点精讲】1. 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值。
2.对函数概念的理解应注意以下几点：①变化过程中； ②两个变量；③一个变量随另一个变量的变化而变化； ④对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 都有唯一的值与它对应（但有可能有多个不同的自变量数值对应一个函数值）。
3. 函数的表示方法：函数是从数量角度反映变化规律的数学模型。
解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用表示方法。
①解析式法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式。
用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。
②列表法：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
③图象法：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
【典例精析】例题1 下列关于x ，y 的关系式：① 5x －2y ＝1；② y ＝3|x|；③ x·y 2＝2，其中表示y 是x 的函数的是（ ）A. ②B. ②③C. ①②D. ①②③思路导航：在x·y 2＝2中，即22y x，当x ＝1时，y y x 对应着两个y 值，和函数的概念不相符，所以它不是函数。
答案：C点评：y 是x 的函数用函数关系式表示时，应用含有x 的式子表示y 。
因此，本题应首先对式子进行变形，用含有x 的式子表示y 。
例题2 下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）思路导航：从图象可以看出每个图象中y 都随着x 的变化而变化，并且都存在两个变量，所以当x 是一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应，就是函数，当不是唯一确定的值与之对应时，就不是函数。
答案：C点评：解决本类题的技巧是：过x 轴上的一点，作x 轴的垂线，这条直线与图象的交点为一个时，就是函数关系，当出现多个交点时，就不是函数关系。
函数的概念及表示法
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、 链表、树等）的基本操作和性能特点。
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感谢您的观看
描述
表格表示法通常将输入值和输出值按 照一定的顺序排列成表格，以便查看 和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可 能无法完全准确地表达，且需要大量 的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数 图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标 系中绘制曲线或曲面来表示 函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距 离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即 扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对 称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性 质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。
函数的概念及其表示
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( ) (A)π2 (B)π (C) π (D)不确定
1．如图，可表示函数 y＝f(x)的图象的只可能是( )
2.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中， 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2.已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)
3.若
f
(x)
满足
f
(x)
2
f
(1) x
ax,
求
f
(x)
4.已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 3，求 f(x)的解析式．
1.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义 域内存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函 数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合 M 的函数是________．
第1节 函数的基本概念(一)
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域．
f(x)≤1 的解集为( )
(A)(－∞，－3]∪[－1，＋∞) (B)[－3，－1]
(C)[－3，－1]∪(0，＋∞) (D)[－3，＋∞)
.求函数的解析式
变【式例、5】根1据. 已条知件f求( 下x列 1各) ＝函x数＋的2，解求析f(x式)的：解析式．
函数的定义及其表示法
定义: 设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集.
如果对任何的x D，变量y按照一定的规律，有确定
的数值与之对应，则称y是x的函数，记作
y=f (x) 称D为该函数的定义域.称x为自变量，称y为因变量.
当自变量x取数值 x0 D 时，与 x0对应的因变量y 的值称为函数y=f (x)在点x0 处的函数值，记为f (x0 ) 或y |xx0 .当x取遍D的各个数值时，对应的变量y取值 的全体组成数集称做这个函数的值域.
函数的记号f :表示自变量x与因变量y的对应规则，
也可用
F,, f1等, f.2
函数的定义域:使函数表达式有意义的自变量的
一切实数值所组成的数集.
实际问题中，函数的定义域由实际意义确定.
函数的值域:全体函数值的集合.
两个函数相同:(1)定义域相同 (2)对应规则相同
例1：设f(x)=x2-2x+3,求f(0),f(3),f(-3),f(a) 解：f(0)=3
2x+1 (x≥0) f(x)=
-2x (x<0) 就是一个分段函 数。这里f(1)=3,f(-1)=2。
分段函数的表达式虽然不止一个， 但它不是几个函数，而是一个函数.
例2 求函数y x 1的定义域 . x3
解 当分母x 3 0时,此函数式都有意义. 因此函数的定义域为 (,3)和(3,).
以确定相应的s值.
复利问题 :存入银行 元ko本金,月利率为2%,
那么在第t个月后的存款余额(本利和) 与at t的关系:
at ko 1.02t
两个变量按一定的规律相联系,其中一个变量 的变化将会引起另一个变量的变化,当前者(自变量) 的值确定后,后者(因变量)的值按照一定的关系相 应被确定.
第5讲 函数的概念及其表示方法
4．已知f(2x＋3)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________． 5．已知函数 f(x)＝3－x，x，x≤x＞1，1，若 f(x)＝2，则 x＝______．
目标 1 函数的概念
1 (1)下列四组函数，表示同一个函数的一组是
A．y＝ x2，y＝( x)2
B．y＝lg 10x，y＝10lg x
第二章 基本初等函数
第5讲 函数的概念及其表示方法
1．函数的概念 (1)设A，B是两个__非__空____的数集，如果按某个确定的__对__应__关_系__f____， 使对于集合A中的__每__一__个____元素x，在集合B中都有__唯__一____的元素y和 它对应，那么称__f_：_A__→_B___为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝ f(x) ， x∈A ． 其 中 将 所 有 的 输 入 值 x 组 成 的 集 合 A 叫 做 函 数 y ＝ f(x) 的 __定_义__域____，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的__值_域_____．函数的 定义含有三个要素，即__定_义__域____、_值__域____和_对__应__关__系___． (2)当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系确定之后，函数的值域 也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同时，这两个函数才是同一个函数．
A．3x＋2
B．3x－2
C．2x＋3
D．2x－3
(3)若 f(x)对于定义域内的任意实数 x 都有 2f(x)－f1x＝2x＋1，则 f(2)等于
()
A．0
B．1
C．83
D．4
变式 (1)若函数 fx＋1x＝x2＋x12，且 f(m)＝4，则实数 m 的值为
A．
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
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函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ）① A={x x ∈Z}，B={yy ∈Z}，对应法则f ：x →y=3x ; ② A={xx>0,x ∈R}, B={yy ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x;③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ）A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y =③. 2y =④.y=t ⑤.33x y =；⑥.2x y =变式1.下列函数中哪个与函数y = ）A. y =B. y =-C. y =-D. y x = 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. 293x y x -=- 与 3y x =+B. 1y 与 1y x =-C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（x ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-，x ∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f考点三：求函数的定义域（1）当f （x ）是整式时，定义域为R ；（2）当f （x ）是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值集合；（3）当f （x ）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合；（4）当f （x ）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值集合；（5）当f （x ）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x 取值集合；已学函数的定义域和值域1．一次函数y ax b =+)0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函ky x=)0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}|0y y ≠; 3．二次函数2y ax bx c =++)0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2例3.①函数y =的定义域是（ ）A. {}1,1-B. ( -1 , 1 )C. [ -1 , 1 ]D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) ②函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)________．变式1. 求下列函数的定义域 (1)21)(-=x x f ； (2)23)(+=x x f ； (3)xx x f -++=211)(.(4)1x y +=(5)y ＝x ＋1x 2－4；(6)y ＝1|x |－2； (7)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域变式1. 已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域变式2. 已经函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5 ( 配方法 ：形如2y ax bx c =++)② 2y x =-( 换元法：形如y ax b =+±)④21x y x =+ ( 分离常数法：形如cx dy ax b+=+ ) ④ 221y x x x =++ ( 判别式法：形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++ )变式1. 求下列函数的值域① 2243y x x =-+② y x =+② 2()234f x x x =++ ④2()234f x x x =++ (12)x -≤≤⑤ y =213x x +- ⑥2224723x x y x x +-=++考点五：求函数的解析式例7 . 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）变式1. 已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式变式2. 已知f （x+1）= 233x x ++，求f （x ）的解析式变式3. 已知1)f x =+()f x 的解析式.例8. 若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式 （ 待定系数法 ）变式1. 已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）.变式2.一次函数()f x 满足[()]45f f x x =+，求该函数的解析式.变式3．已知多项式7)(+=ax x f ，222)(b x x x g ++=，且922)()(2++=+x x x g x f .试求a 、b 的值.变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x －1，求f(x)的解析式.变式5．已知二次函数f （x ）＝x 2－bx ＋c 满足f （1＋x ）＝f （1－x ）， 且f （0）＝3，求f （x ）的解析式.变式6.已知函数f （x ）是一次函数，且满足3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f （x ）.例9. 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1. 已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式变式2. 已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭= 3x ，求函数f （x ）的解析式例10. 设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）变式1. 已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数f （x ）= 32x x +，求f （2）和f （a ）+f (-a)的值变式1. 已知f （2x ）= 21x x+，求f （2）的值例12. 已知函数()510320x x x x f x ⎧+ ≥⎪⎨-+ <⎪⎩=，求f （1）+f （1-）的值变式1. 已知函数()()2122111f x x x x x x f x ⎧+ , ≤-⎪⎪+ , -<<⎨⎪2-4 , ≥ ⎪⎩= ，求f [f （4-）]的值变式2. 已知函数()1(2)2n f n n fn *⎧1 , (= 1)⎪=⎨1+- , (∈N ) ⎪⎩，求f （5）的值例13 . 设函数()812l ,1]og (1,)(,xf x x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩∈-∞ ∈+∞ ,，求满足f （x ）=12的x 值变式1. 已知函数()11xf x x x x 3⎧⎪=⎨⎪⎩≤- , > , ，若f （x ）=2，求x 的值考点七：映射例1．判断下列对应是否是映射？变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f （2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，:3f x x →被除所得的余数 （4）设111X {1,2,3,4},Y {1,,,}234==取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例3 画出函数y=|x|=00xx xx ≥⎧⎨-<⎩的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域. ①142+-=x x y ； ③ ]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④ ]5,0[,142∈+-=x x x y函数的单调性与最值增函数与减函数 单调性与单调区间例1 如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数.练习1．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A 、1[,)2-+∞ B 、（-1，+∞） C 、1(,]2-∞- D 、（-∞，+∞） 2．下面说法正确的选项 （ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3．函数f(x)=2x 2－mx+3,当x ∈[2,)-+∞时,增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f （1）等于（ ） A ．－3 B ．13 C ．7 D ．由m 而定的其它常数4.如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥35. 函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b６. 已知函数2122y x x =- 求:(1) 当03x <≤时， 函数的最值; (2) 当35x ≤<时， 函数的最值．函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x x =偶函数：奇函数：例1．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x=∈-（2）32()1x xf xx-=-（3）2211(0)2()11(0)2x xg xx x⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x=（2）5()f x x=（3）1()f x xx=+（4）21()f xx=例3．已知()f x是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x在（－∞，0）上也是增函数．练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6]f x x=∈--②()|2||2|f x x x=-++2．设()f x R x 在上是奇函数,当＞0时，()(1)f x x x =-，试问：当x ＜0时，()f x 的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）观图回答：: f A Ba b→ 的意义是什么？1．试求函数231x y x +=-的值域. (提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表：3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4．试求(1)y=2x+1 (2)y=2x+11()2x ≥-的反函数,并对比有何不同.5．求解反函数的步骤:A BAB例 求下列函数的反函数(1))(13R x x y ∈-= (2)212x y x +=- (3))(13R x x y ∈+= (4))0(1≥+=x x y练习1.已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2.函数2(0)1(0)2x xyxx 的反函数是( )A 、2(0)0x x y x xB 、2(0)0x x yxxC 、1020x x yx x D 、1020x x y x x3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A 、))(,(1a fa - B 、()()b b f,1- C 、()()a a f ,1- D 、()()b f b 1,-4.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、3 5.函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ，求a ,b,c 的值6.已知132)(1≥-=-x x x f，，求f(x)学案（7）反函数（二）（选讲）目标：1．了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明； 2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习：1．反函数的定义：2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x fy -=间的关系：3．反函数的求法：一反解、二互换、三标明； 4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称. 新课：例1．求函数2(0)y x x =<的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例2．求函数2385-+=x x y 的值域.例3 已知)(x f =211x - (x ＜-1)，求)31(1--f . 例4若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a ,b 的值. 例5若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x fy -=.练习：1．求下列函数的反函数： （1）)3(32-≤-=x x y ；（2）y=2x -6x+12(x ≤3); （3）y=2--x (x ≤-2).2. 已知函数y=a x+2的反函数是y=3x+b ，求a ,b 的值.3.函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。