ch18 量子力学基础

率为 0 ，与题目要求不符，舍去。
又因为当n = -1,-2,„分别与n = 1,2,„实际上是 代表着同一种概率分布状态, 所以
n k n 1,2,3, a 0 x 定态薛定谔方程的解为：
（4）归一化条件确定常数A
x 0, x a
n sin x (0 x a ) a
• 连续（概率不会在某处发生突变）。
1933诺贝尔物理学奖
E.薛定谔
量子力学的 广泛发展
二、薛定谔方程
质量为m的粒子，在势能函数U(r,t)的势场中运 动，当它的运动速度远小于光速时，其波函数所满 足的方程为
式中：
i H t
2 2 2 2 ˆ H ( 2 2 2 ) U ( r , t ) 称哈密顿算符 2m x y z U (r , t ) :微观粒子所在势场的势能函数。
左边是时间的函数，右边是空间坐标的函 数，只有两边都等于常数E才成立，即
i df E f dt
（２）式的解为
(2)
ˆ H (r ) E (r )
i Et
(3)
f (t ) ce
只是空间坐标 r （３）式称为定态薛定谔方程，
的函数，如果给定了 U (r ) 和边界条件，就可根据该式求 出 (r ) 。所以
量子力学的氢原子理论： （1）氢原子的能量
1 13.6 En 2 2 ev （ , n 1,2,3) 2 2 32 0 n n me4
n 称为主量子数，氢原子的能量是量子化的。
（2）电子的角动量
L l (l 1)
(l 0 ,1 ,2 , , n 1)
n 2 2 2 能量的可能取值 n 2ma2
讨论：
2mE k 2
2
n 1,2,3,
1) n为量子数，能量是量子化的，每一个能量 值称为一个能级。 2 2 2) 基态能（或零点能） 1 0 2
3) 相邻能级的间隔 En n1 n 2n 1
i ( Et pr )
上式称自由粒子的波函数 。 2、 波函数的统计解释 粒子运动状态的波函数的模的平方代表着微 观粒子在空间某点出现的概率密度（空间某点单 位体积内发现粒子的概率）。
p(r , t ) （r , t )
2
(r , t ) (r , t )
张甫宽
理学院物理系
1932诺贝尔物理学奖
W.海森伯
创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
第1节 不确定关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
x
电子束
屏
a
缝
2
衍射图样
幕
X方向电子的位置不确定量为：
x a
第 4节
量子力学对氢原子的应用
氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量 是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子 z 受质子库仑电场作用而绕核运动。 电子势能函数
r
P

球坐标系下电子的定态薛定谔方程为
O

y
1 2 1 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r r r sin r sin 2m e2 2 (E ) 0 40 r
( x 0, x a) 0 （x, t ) i A exp( Et ) sin x (0 x a) a
来描述，式中:E ，a为常量，A为任意常数。求： (1)归一化波函数；
(2)概率密度；
(3)概率密度最大值的位置。 （本题与教材P191，【例18-3】类似）
x
电子束
x a
屏
a
缝
2
px
p

幕
py
X方向的动量 px 的不确定量为：
px px p sin
第1级暗纹的衍射角满足：
a sin
px x h
ห้องสมุดไป่ตู้
px x h
考虑到在两个第一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
微观粒子的位置和动量的不确定关系：
E
V 0 O
V V0
金属中电子能量低于势 垒高度 E V0
Ⅰ Ⅱ E
x1
Ⅲ
V 0
x2
x
0 V ( x ) V0 0
0 x x1 x1 x x2 x x2
Ⅰ区薛定谔方程为：
2 1 2 k 1 1 0 2 x
E
V 0 O
V V0
l 称为副量子数或角量子数，电子的角动 量是量子化的。角动量公式与玻尔理论不同。 （3） 电子的角动量在z轴上（常为外磁场方向） 的投影
Lz ml
(ml 0 ,1 ,2 , ,l )
ml 称为磁量子数。可以看出L在空间的取向 是量子化的，此结论称为角动量的空间量子化。
空间量子化示意图
4)当 n
2ma
2 2
2ma2
n 2n 1 时，能级的相对间隔 n 2 0 ，能量 n
趋于连续，即量子理论过渡到经典理论。
*二、隧道效应
玻璃 玻璃 光波能透过界面进入 空气达数个波长的深 度（渗透深度）。
电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。
电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。
( ) ( ) z 1 0
z
( ) 3
z
2 1
0
2 1
0
1
l 1
L 2
1 2
l2
L 6
1
2 3
l3
L 12
第5节 电子的自旋
一、斯特恩—盖拉赫实验
1921年，斯特恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach ）发现一些处于S 态的银原子射线束，在非均匀磁场 中一束分为两束。
（2）定态薛定谔方程的通解
阱外： ( x) 0
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 2 d x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱内： 令 k 2 2mE 得定态方程: 2
上式称薛定谔方程，是量子力学的基本假设 。
定态薛定谔方程
当U U (r ) 时，波函数为:
(r , t ) (r ) f (t )
代入薛定谔方程得
df i (r ) H [ (r ) f (t )] f (t ) H (r ) dt 两边除以 ( r ) f (t ) i df 1 H (r ) f dt (r )
x1
令 R r H
d 2 (1) d 2 ml 0 2 ml d dH 1 (sin ) [l (l 1) ]H 0 (2) 2 d sin sin d 1 d 2 dR 2m e2 2 l (l 1) r 2 dr ( r dr ) 2 [ E 4 r 2m r 2 ]R 0 (3) 0
2mE k1 2
2
E Ⅰ Ⅱ
x1
Ⅲ
V 0
x2
1 Ae
ik1 x
Be
ik1 x
x
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k 2 2 0 2 x
2m( V0 E ) k2 2
2
2 A2e
k2 x
B2e
k2 x
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 3 2 k3 3 0 2 x
S1
S2
L
S
z s
O
Q
N
斑纹条纹数（ml 的取值） = 2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数l 发现：Li,Na,K,Cu,Ag ,Au等基态原子的斑纹数为2
1 l 2
1 1 Lz 或 2 2
与l 0 ,1,2 ,矛盾？
二、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密 特(S.A.Goudsmit)提出： 除轨道运动外，电子还存在一种自旋运动。 电 子具有自旋角动量和相应的自旋磁矩。 （1）电子的自旋角动量
2mE k3 2
2
3 A3e
ik3 x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O V 0
V V0
P
3 1
2 x2 2 x1

2 2
2 x2 2 x1
e

2a 2 m ( V0 E )
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
V 0
x1
k2 x
x2
x
a x2 x1为势垒的宽度
2a ln P 2m( V0 E )
( r , t ) ( r )e 2 在定态中： p(r , t ) (r , t ) (r , t ) (r ) r 满足的条件：
•标准条件（单值、有限、连续）。
i Et
•归一化条件。
•对坐标的一阶偏导必须存在且连续。
例：假设粒子只在一维空间中运动，其状态可用波 函数

d 2 x 2 k x 0 2 dx
其通解：x sin kx
（3）根据标准条件确定k、
0 sin 0 又称为边界条件 a sin ka 0 0 ka n n 0,1,2, 当 n = 0 时得 x 0 ，在势阱中找到粒子的概
x p x 2 y p y 2 z p z 2