自己整理的点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系——垂直关系 - 简单 - 讲义
点、线、面之间的位置关系——垂直关系知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图． αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥． 2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号语言表述：,,,,l a l b a b a b A l αα⊥⊥⊂=⇒⊥图像语言表述：3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言表述：,//a b a b αα⊥⊥⇒ lαm n pl a b αA图像语言表述：4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（,,,,a b a c b c b c M a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥）（3）平行线垂直平面的传递性（,a b b a αα⊥⇒⊥）（4）面面垂直的性质（,,,l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥）（5）面面平行的性质（,a a ααββ⊥⇒⊥）（6）面面垂直的性质（,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥图像语言表述：αβm a bα3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：,,,l m m l m αβαββα⊥=∈⊥⇒⊥ 图像语言表述：4.面面垂直的性质（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.5.证明面面垂直的方法（1）面面垂直的定义（2）面面垂直的判定定理（,a αβααβ⊥⊂⇒⊥）三、垂直模型总结1.勾股定理cba C BA222a b c AC CB +=⇒⊥2.等腰三角形三线合一D CB Aαβml,AB AC D =为BC 重点AD BC ⇒⊥3.直径所对的圆周角为直角DCBABD CD AD BA AC ==⇒⊥4.菱形对角线垂直平分O DCBA在菱形ABCD 中BD AC ⇒⊥5.正方形、矩形临边垂直DCB A,AB BC BC CD ⊥⊥6.正方形中点连线垂直F EDCB A在正方形ABCD 中，,E F 为,CD BC 的中点⇒AE DF ⊥7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面EFD CBA在直三棱柱中AD ⇒⊥面ABC ,,,AD AB AD BC AD AC ⊥⊥⊥典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•云南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．2．（2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．3．（2016秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE【解答】解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB=，即AE⊥EB．∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．可得：BE⊥DE，因此BE⊥平面ADE．同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE．可得A，B，D正确．而DE⊥CE不正确．故选：C．4．（2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选：D．5．（2017春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC，PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），∴图中直角三角形有4个．故选：D．6．（2017•青州市模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）A．10 B．20 C．30 D．40【解答】解：设BC=x，∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，∴AB=x，AD=2x，BD=，∵∠BCD=120°，CD=40，∴cos120°=，解得x=40或x=﹣20（舍）．∴AB=40．故选：D．7．（2017秋•赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；故选：B．8．（2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．故选：C．9．（2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解答】解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对故选：D．10．（2015秋•东昌区校级期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【解答】解：连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心．故选：A．二．填空题（共4小题）11．过平面外两点，可作0或1个平面与已知平面平行．【解答】解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，∴这样的平面可能有，可能没有，故答案为：0或1．12．（2015春•上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的垂心．【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故答案为：垂．13．（2015春•上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P 到斜边AB的距离是3．【解答】解：∵△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，∴AB==5，过C作CM⊥AB，交AB于M，连结PM，由三垂线定理得PM⊥AB，∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长，由，得CM==，PM===3．∴点P到斜边AB的距离为3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面A1B1BA∴AD⊥A1C1∵AD=，A1D=，AA1=2，由AD2+A1D2=，得A1D⊥AD∵A1C1∩A1D=A1∴AD⊥平面A1DC116．（2017秋•东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（6分）（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD ∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）。
点、直线、平面之间的位置关系(知识点汇总)大全
必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（此公理可以用来判断直线是否在平面内）。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面； （它们给出了确定一个平面的依据）。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（这条公共直线即为两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且。
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
2．空间中直线与直线之间的位置关系（1）位置关系：两条直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（3）两条异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）（4）等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3．空间中直线与平面之间的位置关系直线l 与平面α//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点4．空间中平面与平面之间的位置关系平面α与平面β//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线5．直线与平面平行的判定及其性质定理定理 定理内容 符号表示直线与平面 平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 平面与平面平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行βαααββ//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂P b a b a b a 直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βγαγβα（1）线面平行的其它判定方法 ①定义：直线与平面无公共点；②若两个平面平行，则在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； 符号语言：αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂； （2）面面平行的其它判定方法 ①定义：两个平面无公共点；②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ； ③平行于同一个平面的两个平面平行；符号语言：βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫； ④如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行；符号语言：βαβα//,,////⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==⊂⊂B d b A c a d b c a dc b a ;6．直线与平面所成的角（1）直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
点线面间的位置关系知识点总结(含题)(
点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。
时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。
点线面位置关系定理总结
培优辅导，陪你更优秀！
//a b //a b
1.线面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（简述为线线平行线面平行） 表述及图示
2.线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（简述为线面平行线线平行）
//a a b
α
β
αβ⊂⋂= 3.平面平行判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
////a b a b a b P
β
β
αα
⊂⊂⋂=//αβ
4.平面平行性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行
//a b
αβ
γαγβ⋂=⋂=
5.线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个
平面。
a b
a c
b c A b c α
α
⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥
6.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。
a b α
α⊥⊥ 7.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”。
a a αβ
⊂⊥αβ⊥ 8.面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
l a a l αβ
αβα
⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ //a b a b α
α⊄
⊂//a
α
//a
b。
点线面的位置关系梳理
点、线、面的位置关系梳理许苏华空间中最基本的几个元素分别就是点、线（直线、平面曲线、空间曲线）、面（平面、空间曲面）.这里主要研究点、直线、平面之间的位置关系.其中点是没有大小，只有位置，不可分割的图形；直线是向两端无限延伸的，是没有宽度的；平面是向四周无限延伸的，而且是没有厚度的.一般我们不考虑点与点、直线与直线、平面与平面重合这种特殊情况，则点、直线、平面之间的所有位置关系如下表所示：此表中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行和垂直是我们重点要研究的特殊位置关系.根据公共点的个数，可以给这些位置关系下定义.相交直线，在同一个平面内，有且仅有一个公共点；平行直线，在同一平面内，它们没有公共点；异面直线，不同在任何一个平面内，它们也没有公共点.直线与平面相交，有且仅有一个公共点；直线与平面平行，则没有公共点；直线在平面内，有无数个公共点.两个平面平行，没有公共点；两个平面相交，有一条公共直线，即有无数个公共点.一、各种角如果两条直线平行或相交，这两条直线也叫共面直线.若两条直线平行，我们规定它们的夹角为0；若两条直线异面，平移其中一条，或两条直线都平移，使它们相交，平移后的两条直线的所成的角称之为异面直线所成的角.空间中两条直线所形成夹角的取值范围是[0,90].如果直线与平面平行，或者直线在平面内，我们规定直线与平面所成的角是0；如果直线与平面垂直（相交的一种特殊情况），则直线与平面所成的角为90；如果直线与平面相交，但是不与该平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，该垂线与平面的交点叫做垂足，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面上的射影，斜线与射影所成的角，叫做斜线与平面所成的角.因此直线与平面所成角的范围也是[0,90]. 两个平面之间也能形成角，那怎么度量呢？这里要引入二面角的概念.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，该图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.若棱为AB ，面分别为α、β，在面α、β内分别有一点P 、Q ，此二面角记作二面角AB αβ--或二面角P AB Q --.如果棱记作l ，此二面角也可记作二面角l αβ--或二面角P l Q --.如果在二面角的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，分别在半平面α、β内作垂直于棱l 的射线OC 、OD ，则COD ∠叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，可见二面角的取值范围是[0,180].当两个半平面重合时，对应着二面角为0；当两个半平面互相垂直，对应着二面角为90，该二面角叫做直二面角；当两个半平面拼成一个平面时，对应着二面角为180.二面角的取值范围与两个向量之间夹角范围是一样的.二、各种公理与定理（推论）数学中的公理、原理，通常是一件基本事实，是一个显而易见的简单结论，或是一个不需要证明的主观真理.而数学中定理、推论、公式，都是需要通过演绎等逻辑推理方法严格证明的.因此，在我们学习过程中，遇到公理、原理，我们要举例子、弄明白、想透彻、理解领悟即可；如果是定理、公式，那我们一定要尝试证明、或者学习别人的证明方法，最终自己要证明出来，让定理、公式真正属于你自己的定理、公式，最后你才有资格，才能心安理得、光明正大地灵活使用它们.（一）与平面有关的几个公理和推论：公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.简言之，公理1就是“不共线的三点确定一个平面”.公理2用来判断直线是否在平面内.由公理1和公理2，再结合“两点确定一条直线”，可以推出下列三个常用的推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（二）与平行有关的公理与定理：1．直线与直线平行公理4 平行与同一个条直线的两条直线平行.简言之，空间中直线平行具有传递性.由平行四边形的判定定理以及全等三角形的判定定理，再由全等三角形的性质可以证明下面这个定理：定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2. 直线与平面平行利用推论3和公理4，直线与平面平行的定义，可证明直线与平面平行的判定定理：定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.主要利用直线与平面平行的定义，即没有公共点，可以证明直线与平面平行的性质定理：定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.简言之，线面平行的判定定理：“若线线平行，则线面平行”；线面平行的性质定理：“若线面平行，则线线平行”.3. 平面与平面平行可由推论2，平面与平面相交的定义，以及反证法，可证明平面与平面平行的判定定理：定理如果平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.依然主要利用有无公共点，可以证明平面与平面平行的性质定理：定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.简言之，面面平行的判定定理：“若线面平行，则面面平行”；面面平行的性质定理：“若面面平行，则线线平行”.（三）与垂直有关的定义与定理：1．直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.除了异面垂直，当然还有初中就已经学习过的相交垂直.因此两条直线垂直，它们有可能是相交的，也可能是异面的.2. 直线与平面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么该直线与此平面互相垂直.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，因此根据定义判断直线与平面垂直的方法行不通.利用推论2，可证明直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.利用反证法，以及“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，可以证明直线与平面垂直的性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简言之，线面垂直的判定定理：“若线线垂直，则线面垂直”；线面垂直的性质定理：“若线面垂直，则线线平行”.3. 平面与平面垂直定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.由上述两个平面互相垂直的定义，可证明平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.主要由线面垂直的判定定理，可以证明平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.简言之，面面垂直的判定定理：“若线面垂直，则面面垂直”；面面垂直的性质定理：“若面面垂直，则线面垂直”.空间平行、垂直关系之间的转化，可用下图清晰地表示出来.掌握这些公理、推论、定理，并不容易，需要各个击破，然后归纳梳理形成系统，并“学而时习之”，才能运筹帷幄决胜千里！。
高中数学 点、直线、平面之间的位置关系
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
点、线、面之间的位置关系
结束
同一条直线
面内
平行 相交
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
点、线、面之间的位置关系
结束
[小题体验]
1．已知 a，b 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面， 给出下列命题： ①若 α∥β，a⊂α，则 a∥β； ②若 a，b 与 α 所成的角相等，则 a∥b； ③若 α⊥β，β⊥γ，则 α∥γ； ④若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. 其中正确命题的序号是________．
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
点、线、面之间的位置关系
结束
[小题纠偏]
1．(2017· 南京名校联考)已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l， a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则 直线 b 和 c 的位置关系是________．
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
点、线、面之间的位置关系
结束
解析：由 α∥β，a⊂α，结合面面平行的定义可得 a∥β，所 以①正确；由 a，b 与 α 所成角相等，可得 a 与 b 平行或相 交或异面，所以②不正确；由 α⊥β，β⊥γ，得 α 与 γ 平行 或相交，所以③不正确；由垂直于同一条直线的两个平面 平行，知④正确． 答案：①④
结束
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：因为 EF∥CD1，EF<CD1， 所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， 所以 P∈直线 DA. 所以 CE，D1F，DA 三线共点．
高中数学必修二点、线、面之间的位置关系
1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。
点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系点线面之间的位置关系(一)平面：1、平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 考点一、点线面的位置关系表示点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A ∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ?a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ）A ∈α点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ?α例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A ∈α,B ?α,A ∈l,B ∈l;(2)a ?α,b ?β,a ∥c,b∩c=P,α∩β=c.例6．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（）()A ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =?∈∈βαβα ,直线()C αα??∈?A l A l , ()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α?与β重合考点2.直线与直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．a b a b ab βααα推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα?∈AB 与a 是异面直线例1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 .例2.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a,则c 与b 的位置关系. ①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线例3.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则说法错误的有（填序号）. ①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面例4. 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.例5.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形.例4 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？例5.如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC ′与A′B′所成的角的度数； (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.例6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小．变式训练1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也异面其中真命题个数为（）()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 02．在正方体-ABCD ''''D C B A 中，M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点，P 为上底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（）()A 300 ()B 450 ()C 600 ()D3．已知直线a ，如果直线b 同时满足条件：①a 、b 异面②a 、b 所成的角为定值③a 、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（）()A 1条 ()B 2条 ()C 4条 ()D 无数条4.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 .考点三.直线与平面的位置关系(二)三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈?α?l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
随堂即时巩固
点击进入
课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
点线面位置关系总结
点线面位置关系总结在几何学中，点、线和面是最基本的几何图形。
它们之间的位置关系非常重要，可以帮助我们更好地理解和描述空间中的对象。
本文将对点线面位置关系进行总结，并探讨其应用。
一、点与线的位置关系1. 点在直线上：当一个点位于某条直线上时，我们可以说该点在直线上。
一个直线可以有无限个点。
2. 点在线段的内部：如果一个点位于一个线段的两个端点之间，我们可以说该点在线段的内部。
一个线段上可以有无限个点。
3. 点在线段的延长线上：如果一个点位于一个线段的延长线上，我们可以说该点在线段的延长线上。
延长线上也可以有无限个点。
4. 点在线段的外部：如果一个点既不在线段上，也不在线段的延长线上，我们可以说该点在线段的外部。
5. 点垂直于线：当一个点与一条直线垂直相交时，我们可以说该点垂直于线。
此时，点到直线的距离是最短的。
6. 点平行于线：当一个点与一条直线平行时，我们可以说该点平行于线。
此时，点到直线的距离是不变的。
二、点与面的位置关系1. 点在平面上：当一个点位于一个平面上时，我们可以说该点在平面上。
一个平面可以有无限个点。
2. 点在平面内部：如果一个点位于一个平面的边界之内，我们可以说该点在平面的内部。
一个平面内部可以有无限多个点。
3. 点在平面外部：如果一个点不在平面上，也不在平面的边界之内，我们可以说该点在平面的外部。
三、线与面的位置关系1. 线在平面上：当一条直线完全位于一个平面上时，我们可以说该线在平面上。
一条直线可以有无限个点。
2. 线与平面相交：当一条直线与一个平面相交时，我们可以说该线与平面相交。
相交点有可能是一个点、一条线或者空集。
3. 线平行于平面：当一条直线与一个平面平行时，我们可以说该线平行于平面。
此时，线上的所有点到平面的距离是相等的。
4. 线垂直于平面：当一条直线与一个平面垂直相交时，我们可以说该线垂直于平面。
此时，线上的所有点到平面的距离是最短的。
四、面与面的位置关系1. 平行面：当两个平面之间的夹角为0度时，我们可以说这两个平面是平行的。
点、线、面的位置关系
点、线、面的基本位置关系如下表所示：公理1：文字语言：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．图形语言：公理2：文字语言：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 符号语言：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭图形语言：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上说明：①公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．②指出:今后所说的两个平面(或两条直线，如无特殊说明，均指不同的平面(直线). 公理3：文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合图形语言：应用：①确定平面；②证明两个平面重合说明：①“有且只有一个”的含义分两部分理解：“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．②在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.图形符号语言文字语言（读法）AaA a ∈ 点A 在直线α上 AaA a ∉点A 不在直线a 上BA αAαA α∈ 点A 在平面α内AαA α∉点A 不在平面α内b a Aa b A = 直线a 、b 交于A 点aαa α⊂ 直线a 在平面α内aαa α=∅ 直线a 与平面α无公共点a Aαa A α= 直线a 与平面α交于点Al αβ=平面α、β相交于直线l【典型例题分析】例1、将下列符号语言转化为图形语言：()1,,,;A B A l B l αβ∈∈∈∈()2,,//,,.a b a c b c p c αβαβ⊂⊂==例2、将下列文字语言转化为符号语言： ⑴ 点A 在平面α内，但不在平面β内； ⑵ 直线a 经过平面α外一点M ；⑶ 直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l ）例3、求证:三角形是平面图形. 已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例4、点A ∉平面BC D ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若E H 与F G 交于P . 求证：P 在直线BD 上.1、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内； （3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ； （4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M .2、 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1A A 与1C C 是否在同一平面内？ ②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1AC D 与平面1BD C 的交线.GH A BC D EPFA 1D 1C 1CD AB B 13、已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.c'badc αC B A4、求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点. 求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面. 已知：直线P b a = .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b有且只有一个平面【小结】认清点、线、面的位置关系，注意各种关系的定义【课堂练习】1．在空间中，下列命题不正确的是（）错误！未找到引用源。
点、线、面之间的位置关系——平行关系 - 简单 - 讲义
点、线、面之间的位置关系——平行关系知识讲解一、空间间位置关系的集合语言集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}lm A =，简记为lm A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．二、平面的三个公理及推论1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 用途：证明“点在面内”、“线在面内”.2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”.3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．用途：证明“多点共线”、“多线共点”.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．4.推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间中线线位置关系1.共面直线：平行直线与相交直线.2.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行．3.异面直线：不同在任一平面内的两条直线．4.异面直线所成的角定义：例如下图所示，,a b 是两条异面直线，在空间中选取一点O ，过O 分别作,a b 的平行线','a b ，我们把','a b 所成的锐角（或直角），称异面直线,a b 所成的角(或夹角).注：异面直线所成的角为90，则称两条直线异面垂直；异面直线所成角的范围(0,90].5.判断两条直线为异面直线的方法1）判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 如图符号语言：已知,,,,a A B B a ααα⊂∉∉∈则直线AB 与直线a 是异面直线. 2）反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们不相交，也不平行即可.6.空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如下图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．四、空间中线面位置关系1.直线与平面的位置关系1）直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴； 2）直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； 3）直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如下图：DCBAl3()2()1()lAαααl3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行． 符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如下图：五、空间中面面位置关系1.平面与平面的位置关系平行：没有公共点，记为//αβ； 相交：有一条公共直线，记为l αβ=注：画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=，如下图：2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒． 图像语言表述：推论：则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．mlαβαl m符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如下图：六、平行证明的模型总结1.中位线（等分线）模型//DE BC2.平行四边形模型γbaβαEDCBAODCBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2016•渝中区校级模拟）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①、②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确．对于③、④结论中还可能a⊂β，所以③、④不正确．故选：D．2．（2015春•惠州期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB⊄平面MNP，∴直线AB∥平面MNP；综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．故选：D．3．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【解答】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选：A．4．（2015•东阳市模拟）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β【解答】解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对；若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．5．（2017秋•阜城县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．故选：B．6．（2014秋•市中区校级期末）已知直线a⊂α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③【解答】解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．故选：D．7．（2015秋•陕西期末）已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β【解答】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确；故选：A．8．（2017秋•龙子湖区校级期中）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交故选：D．9．（2015•大庆校级模拟）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥b C．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a ⊂β【解答】解：A、还可能有a⊂α，所以不正确B、因为a不一定在β内，所以不正确C、还可能有a⊂α，所以不正确D、α∥β，且a⊂β由面面平行的性质定理可知是正确的．故选：D．10．（2014•鹿城区校级一模）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内【解答】解：过a与P作一平面β，平面α与平面β的交线为b，因为直线a∥平面α，所以a∥b，在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，所以选项C正确．故选：C．二．填空题（共2小题）11．在空间四边形ABCD中，如图所示.=，=，则EH与FG的位置关系是EH∥FG．【解答】解：∵=，=，∴EH∥BD，FG∥BD∵点E、F、G、H为空间四边形边AB．BC．CD．DA上的点∴EH∥FG故答案为：EH∥FG．12．（2012秋•江阴市校级期中）空间四边形ABCD中，E，F，H，G分别为边AB，AD，BC，CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是平行．【解答】解：∵△ABD中，E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD同理GH∥BD，可得EF∥GH．同理可得EG∥FH，∴四边形EFGH是平行四边形∵EF⊂平面EFGH，BD⊈平面EFGH，∴BD∥平面EFGH故答案为：平行三．解答题（共3小题）13．四棱锥P﹣ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB．【解答】证明：在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．因为AB=AD，∠BAD=60°，E是AD的中点，所以BE⊥AD，因为CD⊥AD，所以BE∥CD，因为BE不在平面PCD中，CD⊂平面PCD所以直线BE∥平面PCD．因为EF∩BE=E，所以平面PCD∥平面FEB．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面BDC1（2）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．【解答】证明：（1）因为几何体是正方体，所以AB∥C1D1，AB=C1D1，所以AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1．（2）在正方体中，根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BC1∥AD1，所以B1D1∥平面BDC1．同理可证AD1∥平面BDC1．又因为AD1∩D1B1=D1，所以平面AB1D1∥平面BDC1．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD 的中点，求证：平面D1B1A∥平面EFGH．【解答】证明：连结HF，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD的中点，∴EF∥D1B1，B1F AH，∴四边形AHFB1是平行四边形，∴HF∥AB1，∵EF∩FG=F，D1B1∩B1A=B1，EF⊂平面EFGH，FG⊂平面EFGH，D1B1⊂平面D1B1A，AB1⊂平面D1B1A，∴平面D1B1A∥平面EFGH．。
点线面之间的位置关系
【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。
公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
2、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
3、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
4、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的概念，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理．◆公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线彼此平行．◆定理：空间中若是一个角的两边与另一个角的两边别离平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述概念、公理和定理为起点，熟悉和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆若是一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆若是一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆若是一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面彼此垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆若是一条直线与一个平面平行，通过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆若是两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线彼此平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆若是两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已取得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．平面的大体性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的大体性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q别离是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一路比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，能够肯定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法肯定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面能够把空间分成（）A．4或6或7个部份B．4或6或7或8个部份C．4或7或8个部份D．6或7或8个部份6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在那个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在那个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们肯定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．若是那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可肯定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部份有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能肯定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，能够肯定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上别离取E、F、G、H四点，若是EF GH=P，则点P（）A．必然在直线BD上B．必然在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N别离为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H别离是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G别离是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q肯定平面，F，G，E，P肯定平面，由于都通过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 14.; 15. BD; 16. ; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与别离交于A ,B ,C ,通过可肯定一个平面通过a, b可肯定一个平面.,同理B,则AB, 即因通过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。
空间点、线、面之间的位置关系
R均在这条交线上，故P、Q、R三点共线．
[点评与警示] 本题型主要考查公理3的应用，基本方法是
证明这些点是两个相交平面的公共点，或选择两点，确定这一
条直线，然后证其他点都在这条直线上．
如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的
中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A
(1)[解]
AE CF ∵ ＝ ＝2，∴EF∥AC. EB FB
∴EF∥平面 ACD.而 EF⊂平面 EFGH， 且平面 EFGH∩平面 ACD＝GH， ∴EF∥GH.而 EF∥AC， ∴AC∥GH. AH CG ∴ ＝ ＝3， HD GD 即 AH∶HD＝3∶1.
(2)[证明]
EF 1 GH 1 ∵EF∥GH，且AC＝3， AC ＝4，
[解析]
分别取 AB、AA1、A1C1 的中点 D、E、F，则 BA1
∥DE，AC1∥EF，所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为∠ DEF(或其补角)，设 AB＝AC＝AA1＝2，则 DE＝EF＝ 2， DF＝ 6，由余弦定理得，∠DEF＝120° ，故选 C.
[答案] C
判断下列命题的真假：
(6)异面直线所成的角：是指过空间任意点O分别作两条异 面直线的 平行线 ，所得的两条相交直线所成的 锐角或直角 ，
π 其取值范围是 (0，2] ．
3．直线和平面的位置关系
(1)直线l在平面α内—— 有无数个公共点 ，记为l⊂α. (2)直线l与平面α相交—— 有且只有一个公共点 ， 记 为 l∩α ＝A. (3)直线l与平面α平行——
2．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面
点,线,面的位置关系(向量法的应用)
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面的位置关系是向量法在几何学中的应用之一。
向量是具有方向、大小和起点的量，可以用来描述空间中的几何对象。
在考虑点、线、面的位置关系时，向量可以提供方便的分析工具。
首先，我们来分别介绍点、线、面的定义和表示方法。
点是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点可以用坐标表示，例如在直角坐标系中，点P的坐标可以用元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示点P在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
线是由无数点构成的一维图形，可以用起点和终点或参数方程表示。
例如，直线AB可以表示为矢量形式AB=rB - rA，其中rA和rB分别是线段的起点和终点的位置矢量。
面是由无数点构成的二维图形，可以由三个或更多个点确定。
平面ABC可以用参数方程表示为rA + s(rB - rA) + t(rC - rA)，其中rA、rB和rC分别是平面上的三个点的位置矢量，s和t为参数。
点、线、面的位置关系可以通过向量的点积、叉积以及向量的几何解释来研究。
1. 点与直线的位置关系：- 点P是否在直线AB上可以通过向量PA与向量AB的点积判断，若PA·AB=0，则点P在直线上。
- 点P到直线AB的距离可以通过求向量PA与向量AB的叉积的模长除以向量AB的模长得到，即d=|(PA×AB)/|AB||。
- 点P在直线AB上的投影可以通过直线AB上一点C的位置矢量rC与向量AB的叉积得到，即P=rC+(PA×AB)/|AB|^2·AB。
2. 点与平面的位置关系：- 点在平面上的条件是点P到平面上的任意一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积为零，即PQ·n=0。
- 点到平面的距离可以通过求点P到平面上一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积除以向量n的模长得到，即d=|(PQ·n)/|n||。
3. 线与平面的位置关系：- 直线与平面是否相交可以通过直线上一点A的位置矢量rA与平面的法向量n的点积判断，若rA·n=0，则直线与平面平行或在平面上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、下列说法正确的是（ ） A.若直线l 与平面α内的无数条直线平行，则α//lB.若直线//l 平面α，直线α⊂a ，则l a //C.若直线//l 平面α，则直线l 与平面α内的无数条直线平行D.若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则b a //2、下列结论中正确的是（ ） A.若一个平面内有一条直线与另一个平面平行，则两平面平行B.若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则两平面平行C.若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则两平面平行D .若一个平面内任意一条直线与另一个平面平行，则两平面平行3、下列命题正确的是（ ） A.若直线垂直平面内的一条直线，则直线垂直这个平面B.若直线垂直平面内的两条直线，则直线垂直这个平面C.若直线垂直平面内的无数条直线，则直线垂直这个平面D.若直线垂直平面内的任意一条直线，则直线垂直这个平面4、给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ） A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④5、下列命题中：①平行于同一直线的两平面互相平行；②平行于同一平面的两平面互相平行；③垂直于同一直线的两平面互相平行.正确的命题是（ ）A.①② B.②③ C.② D.③6、设b a 、表示直线，γβα、、为平面，则下列命题中不正确的是（ ）A.b a b a //,,//⇒==γβγαβαB.ααα//,//,//a a b b a ⇒⊄C.γαγββα////,//⇒D.βαβα////,//a a ⇒7、已知βα，表示平面，b a ,表示直线，则下列说法正确的个数是（ ）①若βαβα⊂⊂b a ,,//，则b a //； ②若βα⊂⊂b a b a ,,//，则βα//；③若αβα⊂a ,//，则β//a ； ④若βαα//,//a ，则β//a ；A.1B.2C.3D.48、下列条件中能推出βα//的是（ ）A.βα⊂⊂b a b a ,,//B.ααββ⊂⊂b a b a ,,//,//C.ββαα//,//,//,//b a b a A b a ，=D.βα//,//,//b a b a9、已知直线c b c a ⊥⊥,，则直线b a ,的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能10、设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若α⊂⊥m m l ,，则α⊥lB.若m l l //,α⊥，则α⊥mC.若αα⊂m l ,//，则m l //D.若αα//,//m l ，则m l //11、已知直线b a ,和平面α，下列四个说法：①若αα⊂b a ,//，则b a //； ②若αα⊂=b P a , ，则a 与b 不平行；③若α⊥b b a ,//，则α⊥a ； ④若αα//,//b a ，则b a //. 其中说法正确的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③12、用c b a ,,表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，其中正确的是（ ）①若c b b a //,//，则c a //； ②若c b b a ⊥⊥,，则c a ⊥；③若y b y a //,//，则b a //； ④若y b y a ⊥⊥,，则b a //；A.①②B.②③C.①④D.③④13、设n m ,为两条不同的直线，γβα,,为三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）A.αβαβ⊥⇒⊥⊂m m ,B.βαγβγα////,,⇒==n m n mC.βααβ⊥⇒⊥//,m mD.γββαγα⊥⇒⊥⊥,14、已知n m ,是两条不同直线，γβα,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若γβγα⊥⊥,，则//αβ C ．若//m α，//m β，则//αβ D ．若αα⊥⊥n m ,，则n m //15、已知βα、是不同的平面，n m 、是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）A.若βα⊂⊥n n m m ,//,，则βα⊥B.若n m =βαα ,//，则n m //C.若α⊥m n m ,//，则α⊥nD.若βα⊥⊥m m ,，则βα//16、（2012潍坊二模）已知两条直线b a ,与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是（ ） ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则α//a ；③若β⊥b ，则βα//；④若βα⊥，则β//b . A. ①③ B.②④C.①④D.②③1、（2012淄博二模）已知βα、是两个不同的平面，直线α⊥l ，直线β⊂m ，有下面四个命题：（1）m l ⊥⇒βα//；（2）m l //⇒⊥βα；（3）βα⊥⇒m l //；（4）βα//⇒⊥m l 其中正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.以上都不对2、(德州2012.1)已知两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题：（1）αα⊥⇒⊥n m n m ,//； （2）n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；（3）αα////,//n m n m ⇒ （4）βαβα⊥⇒⊥n m n m ,//,//其中正确命题的序号是（ ）A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（2）（3）3、（德州2012.3）对于直线m,n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：(1)若α//m ，n m ⊥，则α⊥n ； (2)若α⊥m ，n m ⊥，则α//n ；(3)若αβ⊥，γβ⊥,则γα//； (4)若α⊥m ，n m //，β⊂n ，则αβ⊥其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、（2012威海一模）设n m l ,,为三条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若,,//,βαβα⊥⊥m l 则m l ⊥B.若,,,,n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥lC.若,,//,//α⊥l n m m l 则α⊥nD. 若,//,//,//βαβαn m 则n m //5、（2012聊城二模）已知直线n m 、，平面βα、，给出下列命题（ ）①若βα⊥⊥n m ,，且n m ⊥，则βα⊥ ②若βα//,//n m ，且n m //，则βα//③若βα//,n m ⊥，且n m ⊥，则βα⊥ ④若βα//,n m ⊥，且n m //，则βα⊥ 其中正确的命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.46、（2012青岛二模）设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是（ ）A ．①③ B ．①④ C ．②③④ D ．②③ 7、在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AB ⊥，则在此三棱锥的四个面中为直角三角形的有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，若⊥PA 平面ABCD ，则在此四棱锥的五个面中相互垂直的平面共有（ ） A.3对 B.4 对 C. 5对 D.6 对9、设 m n 、是不同的两条直线，α、β、γ是不同的三个平面，有以下四个命题：①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂； 其中正确的命题是（ ）Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．②④10、在空间四边形ABCD 中，AD BD BC AD ⊥⊥,，且三角形BCD 是锐角三角形，那么必有（ ）A.平面⊥ABD 平面ADCB.平面⊥ABD 平面ABCC.平面⊥ADC 平面BCDD.平面⊥ABC 平面BCD11、（2012潍坊一模）在空间中，n m l 、、是三条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ）A.若βα//，γα//，则γβ//B.若α//l ，β//l ，m =βα ，则m l //C.若βα⊥，γα⊥，l =γβ ，则α⊥lD.若m =βα ，l =γβ ，n =αγ ，m l ⊥，n l ⊥，则n m ⊥12、（2012济宁二模）已知两条不同的直线n m ,和两个不同的平面βα,.以下四个命题：①若βα//,//n m ，且βα//，则n m // ②若βα⊥n m ,//，且βα⊥，则n m // ③若βα//,n m ⊥，且βα//，则n m ⊥ ④若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥ 其中真命题有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D 4个.13、设n m 、,是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，给出下列四个命题，①若αα⊄⊥⊥n m n m ,,,则α//n ； ②若m n m ⊥=⊥,,βαβα ，则α⊥n 或β⊥n ； ③若βαβ⊥⊥,m ，则α//m ； ④若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥.其中正确命题的序号是 ①④ (把所有正确命题的序号都写上)．16．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中正确命题的序号是 。
（把你认为正确命题的序号都填上）。