2019年高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理练习理

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(北京专用)2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理作业本理

（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理作业本理1.定积分的值为( )A.e+1B.eC.e-D.e+2.若f(x)=则=( )A.0B.1C.2D.33.若f(x)=x2+2( )A.-1B.-C.D.14.以初速40 m/s竖直向上抛一物体,t s时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( )A. mB. mC. mD. m5.若函数f(x)=x-,则f(x)dx= .6.设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足 f '(x)dx=0(a>0)的实数a= .7.汽车以72 km/h的速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度a=4 m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停止行驶的路程为m.8.已知f(x)在R上可导, f(x)=x2+2f '(2)x+3,试求9.求曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积.B组提升题组10.已知函数f(x)=则=( )A. B. C. D.11.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.312.dx= .13.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP与曲线y=x2围成图形的面积为S1,直线OP 与曲线y=x2及直线x=2围成图形的面积为S2,若S1=S2,则点P的坐标为.14.如图,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分的面积S关于t的函数S(t)的解析式.答案精解精析A组基础题组1.D ==+e-1=+e.2.C =0+2x=2.3.B 令4.A 令v=40-10t2=0,得t2=4,t=2.所以所求高度h===80-=(m).5.答案e2-解析dx==e2-.6.答案 1解析 f '(x)dx=f(a)=0,故a=0或1或-1,又a>0,故a=1.7.答案50解析当时间t=0 s时,速度v0=72 km/h=20 m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度(单位:m/s)为v(t)=v0-at=20-4t.令v(t)=0,可得t=5 s,所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:(20-4t)dt=(20t-2t2)=50(m).即汽车从开始刹车到停止,共行驶了50 m.8.解析∵f(x)=x2+2f '(2)x+3,∴f '(x)=2x+2f '(2),∴f '(2)=4+2f '(2),∴f '(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3.∴f(x)dx==-18.9.解析作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组可知交点A的横坐标为1,解方程组可知交点B的横坐标为3,因此,所求图形的面积为S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx=2xdx+(3x-x2)dx=x2+=1+-=.B 组提升题组10.11.C 由①得f(x)g(x)=sin xcos x=sin x,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的一组正交函数;由②得f(x)g(x)=x 2-1,所以f(x)g(x)dx===-,所以②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;由③得f(x)g(x)=x 3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的一组正交函数.故选C.12.答案13.答案解析设直线OP 的方程为y=kx(k≠0),点P 的坐标为(x,y),由题意,令(kx-x 2)dx=(x 2-kx)dx,则=,即kx 2-x 3=-2k-,解得k=,此时直线OP 的方程为y=x,易知满足条件的点P 的坐标为.14.解析(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1)知函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x.由消去y,得x2-8x-t(t-8)=0,解得x=t,或x=8-t(舍).由定积分的几何意义知S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx=+=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2,t为常数).。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件理新人教A版

a
－bf(x)dx (2)S＝_____a________；
cf(x)dx－bf(x)dx (3)S＝____a________c__________；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
5．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
(1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
1.设f(x)＝x22－，xx，∈x[∈ 0，11，]，2]，

0
a
f(x)dx＝
2af(x)dx
-a

___0_____.
(2)如果f(x)是[－a，a]上的连续的奇函数，则
a
f(x)dx＝
-a
___0_____.
[典题1] 求下列定积分：
(1)1(－x2＋2x)dx； 0
(2)π(sin x－cos x)dx； 0
(3)21e2x＋1xdx；
在
b
f(x)dx中，____a____与____b____分别叫做积分下限与积
a
分上限，区间__[a_， __b_]__叫做积分区间，函数___f(_x_)___叫做被积
函数，____x____叫做积分变量，__f_(x_)_d_x__叫做被积式．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a_____(k为常数)；

高考数学总复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理新人教A版

积��分f(x)dx
的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线
y=f(x)所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.
图①
图②
考情概览备考定向
-4-
知识梳理考点自测
(2)一般情况下,定积分
��
f(x)dx
的几何意义是介于x轴、曲线
y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的
2
解析答案
-12-
考点1 考点2 考点3
考点 1 定积分的计算
例 1 计算下列定积分:
(1)
3 -1
(3x2-2x+1)dx;
2
(2) 1
��-
1 ��
dx;
2
(3) 0 |1-x|dx.
考情概览备考定向
-11-
知识梳理考点自测
12345
1
5. -1
1-��2dx=
.
关闭
根据定积分的几何意义,所求的定积分是曲线 y= 1-��2和直线
x=-1,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积,图形显然是半个单位圆,其面
积是π2,
关闭
故π 1
2 -1
1-��2dx=π.
()
答案
考情概览备考定向
-8-
知识梳理考点自测
12345
2.(2017
北京丰台一模,理
3)定积分
3 1
A.10-ln 3 B.8-ln 3
C.232
2��-
1 ��
dx=
D.694
()

新课标2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理理

(2016· 山西模拟)已知1(x2＋mx)dx＝0，则实数 m 的
0
值为(
) 2 B．－ 3 C．－1 D．－2
1 A．－ 3
1 3 1 2 1 1 1 解：根据题意有 (x ＋mx)dx＝ 3x ＋2mx |0＝＋ m 3 2
1 0 2
2 ＝0，解得 m＝－ .故选 B. 3
一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y＝f(x)以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲
a
边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝__________(其中 a>0)；若 f(x)是
a
做牛顿－莱布尼兹公式．常常把 F(b)－F(a)记作_______________，即 b f(x)dx＝_____________＝_______________.
a
4．定积分在几何中的简单应用 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积 S＝____________.
2．定积分的性质 (1)bkf(x)dx＝____________(k 为常数)； (2)b[f1(x)± f2(x)]dx＝____________________； (3)bf(x)dx＝____________________ (其中 a＜c＜b)．
a a a
3．微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间[a， b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ，那么bf(x)dx＝_____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理课件理新人教A版

f(x)dx;若 f(x)是
图象连续的奇函数,则
�� -��
f(x)dx=0.(
)
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所
围成的曲边梯形的面积
S=
��
|f(x)|dx.
()
(4)若
��
f(x)dx<0,则由
��
-6-
知识梳理考点自测
定积分与曲边梯形的面积的关系:
设图中阴影部分的面积为 S,则
(1)如图①,S=
b a
f(x)dx;
(2)如图②,S=-
b a
f(x)dx;
(3)如图③,S=
c a
f(x)dx-
b c
f(x)dx;
(4)如图④,S=
b a
[f(x)-g(x)]dx.
-7-
知识梳理考点自测
3.3 定积分与微积分基本定理
-2-
知识梳理考点自测
1.定积分的定义
如果函数 f(x)的图象在区间[a,b]上连续,用分点
a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个
小区间[xi-1,xi]上任取一点
��
n
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
��
f(x)dx
的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围
成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.
图①
图②
-4-

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理

第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.( √)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.( √)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( ×)(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 (2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1. (2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________. (2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm－2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．答案 4－ln 3解析由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ39－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.4．利用定积分求面积典例由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．错解展示解析所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23.答案 23现场纠错解析如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝(x －x 33)|1＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2d x 的值为( ) A.14 B.π4 C.12 D.π2 答案 B解析 ʃ11－x 2d x 的几何意义为以(0,0)为圆心，以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π，所以ʃ101－x 2 d x ＝π4. 3．(2016·南昌模拟)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析由题意知ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m m S m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.答案－4解析因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ2f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4.10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－232－12＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解由题意，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。

2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理北师大版

解析
0 2 1 ʃ1 f ( x )d x ＝ ʃ x d x ＋ ʃ 01dx －1 －1
x3 0 1 4 1 ＝ 3 |－1+ x|0＝3＋1＝3.
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
1 ʃ 1. －1 e|x|dx的值为
定积分的计算
自主演练
A.2
B.2e D.2e＋2
√
C.2e－2
解析
|x| 0 1 x －x ʃ1 e d x ＝ ʃ e d x ＋ ʃ 0e dx －1 －1
x1 0 0 ＝－e－x|0 ＋ e | ＝ [ － e － ( － e )] ＋ (e － e ) 0 －1
＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.
解析
答案
2 x ，x∈[0，1]， 2.(2017· 昆明检测)设 f(x)＝则 ʃ2 0f(x)dx 等于 2－x，x∈1，2]，
3 A.4
4 B.5
√
5 C.6
D.不存在
解析
1 2 2 如图，ʃ 2 f ( x )d x ＝ ʃ x d x ＋ ʃ 0 0 1(2－x)dx
1 1 31 2 2 2 x － x ＝3x |0+ |1 2
1 1 5 ＝3＋4－2－2＋2＝6.
解析答案
2 1 3.(2018· 唐山调研)定积分 ʃ －1 (x2＋sin x)dx＝ 3 .
解析
2 ʃ1 ( x ＋sin x)dx －1
2 1 ＝ʃ 1 x d x ＋ ʃ －1 －1sin xdx
3 x 2 1 2 1 ＝2 ʃ 0x dx=2· | 0＝ . 3 3

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3节定积分与微积分基本定理课件

a
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的__曲__边__梯__形___的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的 __相__反__数__
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积__减__去____位于x轴下方的曲边梯形的
(2)若m
－x2－2x dx＝π4，则 m＝________.
－2
12/11/2021
解析 (1)1 ( 1－x2＋xcos x)dx＝1 1－x2dx＋1 xcos xdx.
－1
－1
－1
∵1
1－x2dx 表示位于 x 轴上方半圆 x2＋y2＝1 的面积，
－1
∴1
1－x2dx＝π2，
－1
又 t＝xcos x 为奇函数，知1 xcos xdx＝0，－1
两部分面积之和，即 S＝22 2xdx＋8( 2x－x＋4)dx＝18.
0
2
法二选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积
S＝4
y＋4－12y2dy＝18.
－2
答案 18
12/11/2021
规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).
答案
4 9
12/11/2021
6.(2020·长沙一中月考)定积分2 ( 4－x2＋x)dx＝________. －2
解析
2
4－x2dx 表示圆 x2＋y2＝4 在 x 轴及其上方的面积.

第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)

(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．

[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1；解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1

2
8 1 1 1 21 ＝－－＋＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3

点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1

近年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理练习理(2021年整理)

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§3。

3 定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读1。

了解微积分基本定理，会求函数的定积分。

2。

理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积。

3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题。

五年高考考点一定积分的计算1。

(2014陕西,3，5分)定积分（2x+e x）dx的值为( ）A.e+2 B。

e+1C.eD.e—1答案C2。

（2013江西,6,5分）若S1=（）A.S1〈S2〈S3B。

S2〈S1〈S3C。

S2〈S3〈S1 D.S3〈S2〈S1答案B教师用书专用（5-7）3.（2014湖北,6,5分）若函数f(x），g(x）满足f(x）g（x）dx=0，则称f(x）,g（x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)=sinx，g（x)=cosx；②f（x)=x+1,g(x）=x-1;③f(x)=x，g(x)=x2。

其中为区间［—1，1]上的正交函数的组数是（）A。

0 B。

1 C.2 D.3答案C考点二定积分的意义1.（2014山东,6,5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4答案D2。

(2013湖北，7，5分)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v （t)=7-3t+（t的单位:s，v的单位:m/s)行驶至停止。

高三一轮第三章3.3 定积分与微积分基本定理

思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx；解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续

2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理实用课件理

＝0，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，
所以0 (3x3＋4sin x)dx＝－5(3x3＋4sin x)dx，

－5
0
5
所以
5

(3x3＋4sin
x)dx＝
0

(3x3＋4sin
x)dx＋

(3x3＋4sin
0
－5
－5
x)dx＝0.
[方法技巧]
利用定积分的几何意义求定积分
(1)1 1－x－12dx； 0
(2)
5

(3x3＋4sin x)dx.

－5
[解]
(1)根据定积分的几何意义，可知
1

0
1－x－12 dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面
积的14(如图所示的阴影部分)．故1 1－x－12 0
bf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．

a
[基本能力]
(1)

π 2
0
(3x＋sin x)dx＝________.
答案：38π2＋1
(2)
2

ex－2xdx＝________________.
1
答案：e2－e－2ln 2
(3)
1

e|x|dx 的值为________．
2.[考点一、二](2018·山西康杰中学月考)设f(x)＝
1－x2，x∈[－1，1， x2－1，x∈[1，2]，
则2
f(x)dx的值为

－1
()
A.π2＋43
B.π2＋3
C.π4＋43

高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节定积分及其应用课件(理)

0
0
0
＝k2－k3＝0.∴k＝0 或 k＝1.又 k>0，∴k＝1.
•答案：B
h
11
3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则2f(－ 1
x)dx 的值等于( )
5
1
A.6
B.2
2
1
C.3
D.6
h
12
解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.即 f(x)＝x2＋x.
0
1
＝12xdx＋3(3x－x2)dx
0
1
＝x2|01＋(32x2－13x3)|13
＝1＋(32·32－13·33)－(32·12－13·13)＝133.
h
34
•(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( ) •A．在t1时刻，甲车在乙车前面 •B．t1时刻后，甲车在乙车后面 •C．在t0时刻，两车的位置相同 •D．t0时刻后，乙车在甲车前面
h
5
(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分bf(x)dx
a
的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
h
6
②一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和
h
9
1．定积分πcosxdx＝( 0
A．－1
) B．0
C．1

全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版

故所求面积 S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝

3 2
x
3 2

1 6
x2

10＋

2x

16＋43＝163.

(2)由yy＝＝xk2x，，得xy＝＝00，或xy＝＝kk， 2，则曲线 y＝x2与直线 y＝kx(k>0)
(1)bkf(x)dx＝_____a______(k 为常数).

a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a_________a______.

a
c

f(x)dx
(3)bf(x)dx＝____a________＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b).
【例 2】 (1)已知曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积为 S，则 S＝________. (2)已知曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则 k＝________. 解析 (1)由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1，1)； y＝2－x，由y＝－13x 得交点 B(3，－1).
(2)由定积分的几何意义知，3 9－x2dx 是由曲线 y＝ 9－x2， 0
直线 x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积.故3 9－x2dx 0
＝π·4 32＝9π 4 .
答案
(1)C
9π (2) 4
规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. (2)运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.

2019年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理练习 理

(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第五节 定积分与微积分基本定理作业本 理

高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版