4 1.3.1 推出与充分条件、必要条件

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高中数学人教B版选修1-1课件：1.3.1 推出与充分条件、必要条件 (2)

(4)p:m>0；q:方程 x2＋x－m＝0 有实根.
解：(1)四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形 ⇒四边形对角线互相平分,故 p 是 q 的必要不充分条件. (2)x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1；x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2 , 故 p 是 q 的充要条件.
(3)在△ABC 中,∠A≠60° sinA≠ 23(如∠A＝120°时,sinA＝ 23)；在△ABC 中,sinA≠ 23⇒∠A≠60°,故 p 是 q 的必要不充分条件. (4)m>0⇒方程 x2＋x－m＝0 的Δ ＝1＋4m>0,即方程有实根；方程 x2＋x－m＝0 有实根,即Δ ＝1＋4m≥0 m>0,故 p 是 q 的充分不必要条件.
第一章常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1.充分条件和必要条件当命题“如果p,则q”经过推理证明判定是真命题时,我们就说由p可以推出q,记作_p_⇒__q_,读作“p推出q”,又称p是q的 _充__分__条__件___,q是p的_必__要__条__件___.
m2>0.若p是q的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.
【思路点拨】求命题p → 求命题q → 由题意列不等式组 → 求m的范围
解：解不等式 x2－8x－20>0, 得 p:A＝{x|x>10 或 x<－2}.(2 分) 解不等式 x2－2x＋1－m2>0, 得 q:B＝{x|x>1＋m 或 x<1－m,m>0}.(4 分) 依题意 p⇒q,但是 q 不能推出 p,说明 A B.…(6 分)
失误防范证明p是q的充要条件应注意的地方: (1)首先应分清条件和结论,并不是在前面的就是条件.如若要证“p 是q的充要条件”,则p是条件,q是结论；若要证“p的充要条件是q”, 则q是条件,p是结论.这是易错点；

学案2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识梳理知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x<－1”，则实数a的取值范围是________．(2)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．达标检测1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．参考答案知识点一充分条件与必要条件1．充分必要2．充分不必要必要不充分知识点二充要条件1．充分且必要学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根，方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．跟踪训练2 (1)【答案】 (2，＋∞)【解析】不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)【答案】 [－1,5]【解析】因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 跟踪训练3 【答案】－4或0【解析】由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0. 达标检测1．【答案】 C【解析】 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．【答案】 A【解析】命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．【答案】 A【解析】由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．【答案】 (－∞，－3]【解析】由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．【答案】充要【解析】 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a. 令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2.∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．。

1.3.1推出与充分条件,必要条件

事例
提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？
2012-10-7
二、新课讲授
p 1、一般地：若p则q为真，记作： q 或 q p p 若p则q为假，记作： q
例如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两个三形全等
（2）“若 2 1 x
两三角形面积相等
2、判别步骤：
（２）判断p （3）根据定义下结论。
（1）找3、判别技巧：（1）简化命题。（2）否定命题时举反例。（3）利用等价的逆否命题来判断。
第五组题
探讨下列生活中的常用语本身是否存在充要关系，如果有请找出。
（1）有志者事竟成（2）不入虎穴，焉得虎子（3）A single spark can start a prairie fire. 星星之火，可以燎原。（4）名师出高徒
(3)
ABC中，P: A > B . q: BC > AC .
A > B BC > AC . 即：p
a
b
因为：
q
所以：p与q互为充要条件
（4）P:
a < b . q: q 且q
<1
因为: p
p
所以：p是q的既不充分也不必要的条件
q是p的既不充分也不必要的条件
例题：
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
4、充要条件
一般地，如果已知 p q 且 q p 即： p q 那么我们就说：
p是q的充要条件， q是p的充要条件
例如 (1) p : a , b , c 成等差数列 q : 2 b a c
(2) A B C 中： p : a b q : A B

高中数学推出与充分条件、必要条件例题解析

若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.( × ) 2.“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件.( √ ) 3.q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立.( √ ) 4.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ ) 5.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
的必要不充分
条件.
知识点二充要条件
充分且
1必.一要般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的______
条件，简称充要条件.p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与
q等价.Βιβλιοθήκη 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件
2 题型探究
PART TWO
题型一充分、必要、充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1；解因为 x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1，x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2，所以p是q的充要条件.
跟踪训练1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件. (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；解 ∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；解 ∵f(x)＝x⇒f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f(x)＝x，∴p是q的充分不必要条件. (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；解 ∵p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件. (4)p：a>b，q：ac>bc.

1.3.1推出与充分条件、必要条件

2
(4) p : ( x 2)(x 3) 0, q : 2x 5x 3 0
2
4、从集合的角度看设命题p, q对应的集合分别为 A, B
(1)若A B，则p是q的充分不必要条件小充分
(2)若A B，则p是q的必要不充分条件大必要 (3)若A B, 则p是q的充要条件
则称p是q的充分条件 q是p的必要条件
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已
判断下列命题的真假
(1)在ABC中，如果B C, 则AB AC (2)在ABC中，如果AB AC, 则B C
2、概念
一般地，如果p q, 且q p，则称 p是q的充分且必要条件简称p是q的充要条件，记作 pq
p是q的充要条件，又常说成 q当且仅当p，或p与q等价
练习：判断下列命题是不是真命题
(1)a b是 | a || b | 的必要条件
(2)a b是a b 的充分条件
3 3
（3）x 2 0是x 4 0的充要条件
2
例1 ：在下列各题中，试判定p是q的什么条件 (1) p : 两三角形全等， q : 两三角形面积相等
2

A.充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
练习
使不等式2 x 5 x 3 0成立的一个
2
充分不必要条件是
A x 0
C. x 1,3,5

B x 0
1 D x 或x 3 2
5、推出关系的传递性
(1)若p q, q r, 则p r
(2)若p q, q r，则p r
例3：

课件2：1.3.1 推出与充分条件与必要条件

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
典型例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
（1） p : x y; q : x2 y2 （2）p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2是x=y的必要不充分条件.
4.从集合角度理解充分必要条件：
p q ，相当于 P Q ，即
或
q p，相当于 P Q ，即
或
p q，相当于 P Q ，即
引例：
（1）“若x>0，则x2>0”是真命题，可以写成：
x>0 x2>0.
（2）“若x2=y2，则x=y”是假命题，可以写成：
x2=y2 x=y.
一般的：p q表示“若p则q”是真命题，否则
(2) p是q的充分条件且是必要条件. q是p充分条件且是必要条件.
2. 充分必要条件如果p是q的充分条件， p又是q的必要条件，则称 p是q的充分必要条件，
简称充要条件，记作 p q ．
3.判断充分、必要条件的基本步骤：（1）认清条件和结论；
（2）考察 p q 和 q p 的真假。
举例：说出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p: x=1 , q: x2 =1
解：因为： x=y x 2=y 2 , 且x 2=y 2 x=y
即： p q , 而q p
所以：p是q的充分不必要条件。
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
因为：p q , 而q p
所以：p是q的必要不充分条件。
（4）.若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是D的充分

1.3.1_推出与充分条件、必要条件

1.3.1 推出与充分条件、必要条件
复习引入
1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。 2、判断下列命题是真命题还是假命题：（1）若 x 1 ，则 x 2 1 ； 2 2 y1 （2）若 x x ，则 x2 x 1 y；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；两三角形全等两三角形面积相等真假真假
三角形的三条边相等三角形的三个角相等知p是q 的充分条件，q是p的必要条件．知p是q 的充分条件，q是p的必要条件．反过来，由 q p，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等知q是p 的充分条件，p是q的必要条件．
二、充分必要条件如果
p是 q的充分条件，且 p是q 的必
（3）根据定义下结论。
p q ；若p则q为假，记作p q
1.3.1推出与充分条件 ﹑ 必要条件
新授课
一、充分条件与必要条件：一般地，如果 p q 那么就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
x 1 x2 1
x 1是x 2 1的充分条件 x 2 1是x 1的必要条件
两三角形全等两三角形面积相等两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件
课堂小结
1、定义：
(1)若p q，则p是q的充分条件。 (2)若q p,则p是q的必要条件。 (3)若p q,则p是q的充要条件。 2、判别步骤：（1）找出p、q；（２）判断p q与q p的真假。
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
典型例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：

数学课件：1.3.1推出与充分条件、必要条件

题型一
题型二
题型三
题型四
反思判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤: (1)分清条件p和结论q; (2)判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”的真假; (3)依据充分条件、必要条件的定义给出结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例 2】已知 p:{x|x2-5x+4<0},q:{x|1-m<x<1+m}, p 是 q 的
1.3.1 推出与充分条件、必
要条件
1.了解推出的意义. 2.理解充分条件和必要条件的意义. 3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.
1.命题的条件和结论 “如果p,则(那么)q”形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论. 【做一做1】指出命题“若a=-b,则a2=b2”的条件和结论. 解:命题的条件是:a=-b,结论是:a2=b2. 2.推出符号“⇒”的含义当命题“如果p,则q”经过推理证明断定是真命题时,就说由p可以推出q,记作p⇒q,读作“p推出q”. 【做一做 2】用符号“⇒”表示命题:若∠A=60°,则 sin A= 23. 分析:因为所给命题为真命题,所以可用推出符号表示.
知识拓展充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不
必要条件. 若 p⇒q,且 q p,则称 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,且 q⇒p,则称 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p q,且 q p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
1.对充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结论成立的.例如,说“x>8”是“x>6”的一个充分条件,就是说“x>8”这个条件,足以保证“x>6”成立. (2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少. 从上例可以看出,如果x>6,那么x可能大于8,也可能不大于8;但如果 x不大于6,那么x不可能大于8.因此要使x>8必须要有x>6这个条件. 必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.

推出与充分条件、必要条件

A
B
x
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
结论：若A B, 则有p q;
A
B
若p q, 则有A B.
概念应用：
3.方法提炼：
判断p是q的什么条件的步骤：
S1
S2
找出p与q；
判断“如果p，则q”与“如果q，则p”命题的真假；或用集合的方法来判断
q : x为整数； q : 四边形是菱形； q : a 0； q : 两个三角形对应边相等； q : x y.
概念形成：
充要条件的概念：
如果 p q ，且 q p 则称 p 是 q 的充分且必要条件简称 p 是 q 的充要条件，记作 p q
概念深化：
1．概念：推出、充分条件、必要条件、充要条件
“m , n都是奇数”是“m +n是偶数”的充要条件； 3 “x 5”是“x 3”的充分条件. 4
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
A
B
x
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
人教B版高中数学选修2-1第一章1.3.1
推出与充分条件、必要条件
人教B版高中数学选修2-1第一章1.3.1
推出与充分条件、必要条件
新课引入：
充分
必要
知识回顾：
想一想：
判断下列命题的真假：
（1）如果小明是济南人，则小明是历城人；
（2）如果四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；（3）如果 a , b, c 成等差数列，则 2b a c .

高中数学人教版选修2-1配套课件：1.3.1推出与充分条件、必要条件

充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.
q p 显然，当 p 是 q 的充要条件时， ________ 也是 ________ 的 q 充要条件， p 是 q 的充要条件，又常说成 ________ 当且仅当 p 等价 ________ ，或p与q________.
第一章 1.3 1.3.1
第一章 1.3 1.3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
1. 已知 p ： x ＝ 0 ， q ： x(x － 1) ＝ 0 ；则 p 是 q 的 ________ 条
件．
[答案] 充分不必要 2 ．已知在△ABC中， p： AB＝ AC， q：∠C ＝∠ B； p 是q 的________条件． [答案] 充要
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第一章
常用逻辑用语
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第一章 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
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第一章 1.3 1.3.1
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3．充分条件、必要条件
p q 如果 p 可推出 q ，则称 ________ 是 ________ 的充分条件， q p ________ 是________ 的必要条件． 4．充要条件 q ⇒________ p ，则称p是q的一般地，如果p⇒q，且________
第一章 1.3 1.3.1
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课件3：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

[思路探索] 解答本题首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p 綈q，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)取A＝120°，B＝30°，p q，又取A＝30°，B＝120°， q p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)因为p：A＝{(1，2)}， q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}， A B，所以p是q的充分不必要条件．
(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则 p是q成立的必要条件． (2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
【变式 1】指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p：△ABC 中，b2>a2＋c2，q：△ABC 为钝角三角形； (2)p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是正三角形； (3)若 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
(3)传递性法由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系．
题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

课件2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

第一章常用逻辑用语
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
思考：判断下列命题的真假：
（1）若x>a2+b2，则x>2ab；真
（2）若a>b>0，则a2>b2；真
（3）若ac>bc，则a>b；
假
（4）若ab=0，则a=0；
假
一般地，“若p，则q”是真命题，则说明
pq
“若p，则q”是假命题，则说明
（1）若A为B的充分条件，则A _____ B; （2）若A为B的必要条件，则A _____ B;
判断充分条件和必要条件的方法：
“A B”“A是B的充分条件” “B是A的必要条件”
“A B”“A是B的必要条件” “B是A的充分条件”
充分条件与必要条件的理解
从集合角度理解 p q，：相当于p q ，
一般地，对于命题“若p，则q”为真命题，即 pq
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
注意：
（1）“p是q的充分条件”意味着： p成立就足以推出q成
立
（2）“q是p的必要条件”意味着：若p要成立则q必不可少
（3）对同一个真命题“若p，则q”，有
“p是q的充分条件” “q是p的必要条件”
练习：用、、、填空
例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?
(1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
即p能推出q. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
例3、判断下列命题中前者是后者的什么条件？后者是前者的什么条件？