初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

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因式分解的14 种方法

因式分解的14 种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则：1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技巧：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)

西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

初中数学因式分解技巧实例解析

初中数学因式分解技巧实例解析因式分解是整数因式分解的简称，是指将一个整数写成几个因数的乘积的形式。

因式分解是数学中的一种基本运算方法和基本思维方式。

下面我们通过一些实例来解析初中数学因式分解的技巧。

1.因式分解法首先，我们来看一个简单的例子：将整数12分解为两个因数的乘积。

解法：由于12可以被2整除，所以可以将12分解为2和6的乘积。

然后，分解6为2和3的乘积。

所以，12可以分解为2×2×3的乘积。

这种方法叫做因式分解法。

2.最大公因数法最大公因数法是寻找最大公因数的方法。

例如，将整数20分解为两个因数的乘积。

解法：首先，找出20的所有因数，即1、2、4、5、10和20。

然后，寻找这些因数中和20的最大公因数，即可将20分解为两个因数的乘积。

所以，20可以分解为4×5的乘积。

这种方法叫做最大公因数法。

3.提取公因式法提取公因式法常用于多项式的因式分解中。

例如，将多项式4x+8分解为两个因式的乘积。

解法：首先，将多项式中各项的系数4提取出来，得到4(x+2)。

所以，4x+8可以分解为4(x+2)的乘积。

这种方法叫做提取公因式法。

4.平方差公式平方差公式常用于两个平方数之间的因式分解。

例如，将差的平方：9x^2-16分解为两个因式的乘积。

解法：首先，根据平方差公式9x^2-16=(3x-4)(3x+4)。

所以，9x^2-16可以分解为(3x-4)(3x+4)的乘积。

这种方法叫做平方差公式。

5.完全平方公式完全平方公式常用于一个二次多项式的因式分解。

例如，将二次多项式：x^2+6x+9分解为两个因式的乘积。

解法：首先，根据完全平方公式x^2+6x+9=(x+3)^2所以，x^2+6x+9可以分解为(x+3)^2的乘积。

这种方法叫做完全平方公式。

以上是一些初中数学因式分解的技巧实例解析。

通过这些例子，我们可以发现因式分解在解决数学问题中起到了重要的作用。

掌握这些技巧，可以帮助我们更好地理解数学问题，从而提高解题能力。

八年级数学因式分解专题

八年级数学因式分解专题一、提公因式法1. 分解因式：6x^2 3x解析：公因式为3x，原式= 3x(2x 1)2. 分解因式：8a^3b^2 + 12ab^3c解析：公因式为4ab^2，原式= 4ab^2(2a^2 + 3bc)3. 分解因式：3(x y)^2 6(y x)解析：将(y x)变形为-(x y)，公因式为3(x y)，原式= 3(x y)(x y + 2)二、公式法4. 分解因式：x^2 4解析：使用平方差公式 a² b² = (a + b)(a b)，原式=(x + 2)(x 2) 5. 分解因式：9 y^2解析：原式=(3 + y)(3 y)6. 分解因式：4x^2 12x + 9解析：使用完全平方公式 (a b)² = a² 2ab + b²，原式=(2x 3)^2 三、分组分解法解析：原式=(am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) 8. 分解因式：x^2 y^2 + ax + ay解析：原式=(x + y)(x y) + a(x + y) = (x + y)(x y + a)9. 分解因式：2ax 10ay + 5by bx解析：原式=(2ax bx) + (-10ay + 5by) = x(2a b) 5y(2a b) = (2a b)(x 5y)四、十字相乘法10. 分解因式：x^2 + 3x + 2解析：1×2 = 2，1 + 2 = 3，原式=(x + 1)(x + 2)11. 分解因式：x^2 5x + 6解析：(-2)×(-3) = 6，-2 + (-3) = -5，原式=(x 2)(x 3)12. 分解因式：2x^2 5x 3解析：2×(-1) = -2，2×3 = 6，6 + (-1) = 5，原式=(2x + 1)(x 3)五、综合运用13. 分解因式：3x^3 12x^2 + 12x解析：公因式为3x，原式= 3x(x^2 4x + 4) = 3x(x 2)^2解析：将4(x + y 1)变形为4[(x + y) 1]，原式=(x + y)^2 4(x + y) + 4 = (x + y 2)^215. 分解因式：(a^2 + 1)^2 4a^2解析：使用平方差公式，原式=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 2a) = (a + 1)^2(a 1)^216. 分解因式：x^4 18x^2 + 81解析：原式=(x^2 9)^2 = [(x + 3)(x 3)]^2 = (x + 3)^2(x 3)^217. 分解因式：a^4 2a^2b^2 + b^4解析：原式=(a^2 b^2)^2 = [(a + b)(a b)]^2 = (a + b)^2(a b)^218. 分解因式：(x^2 + 4)^2 16x^2解析：使用平方差公式，原式=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 4x) = (x + 2)^2(x 2)^219. 分解因式：x^2 4xy + 4y^2 9解析：前三项使用完全平方公式，原式=(x 2y)^2 9 = (x 2y + 3)(x 2y 3)20. 分解因式：4x^2 4xy + y^2 z^2解析：前三项使用完全平方公式，原式=(2x y)^2 z^2 = (2x y + z)(2x y z)。

因式分解法的四种方法例题

因式分解法的四种方法例题一、引言在数学领域，因式分解是一项重要的技能，它能帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

本文将介绍四种常见的因式分解方法，包括提公因式法、分组分解法、公式法和综合运用。

通过掌握这些方法，你将能够更加熟练地进行因式分解，提升自己的数学能力。

二、第一种方法：提公因式法1.概念阐述提公因式法是指在多项式中找出一个公因式，然后将其提取出来，从而将多项式分解为更简单的形式。

这种方法适用于具有共同因式的多项式。

2.实例解析例如，分解多项式：x^2 + 2x + 1。

解析：这个多项式可以看作是(x+1)^2的形式，因此，我们可以直接提取公因式(x+1)，得到分解式：x^2 + 2x + 1 = (x+1)(x+1)。

三、第二种方法：分组分解法1.概念阐述分组分解法是将多项式中的项按照一定的规律进行分组，然后对每组进行因式分解，最后将各组的分解结果合并。

这种方法适用于具有特定规律的多项式。

2.实例解析例如，分解多项式：x^3 - 6x^2 + 9x - 1。

解析：将多项式分组为：(x^3 - 6x^2) + (9x - 1)。

然后分别对每组进行分解，得到：x^3 - 6x^2 = x^2(x-6)，9x - 1 = (9x - 1)。

最后将两组的分解结果合并，得到：x^3 - 6x^2 + 9x - 1 = x^2(x-6) + (9x - 1)。

四、第三种方法：公式法1.概念阐述公式法是根据已知的数学公式来分解多项式。

这种方法适用于可以运用公式进行简化的高次多项式。

2.实例解析例如，分解多项式：x^2 - 4。

解析：根据平方差公式，我们知道x^2 - 4可以分解为(x+2)(x-2)。

五、第四种方法：综合运用1.实例解析例如，分解多项式：x^3 + 5x^2 - 6x - 6。

解析：首先，我们可以提取公因式x，得到x(x^2 + 5x - 6)。

然后，我们发现x^2 + 5x - 6可以进一步分解为(x+6)(x-1)。

初中因式分解的常用方法

因式分解的常用方法20140406一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1) 2223y xy x +- (2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++。

因式分解常用的六种方法详解

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

初中数学因式分解解题方法及真题练习(含答案解析)

初中数学因式分解解题方法及真题练习（含答案解析）因式分解和整式乘法互为逆运算，是初中数学里最重要的恒等式之一。

因式分解，是初中数学的重头大戏。

如果因式分解没有学好，那么后面分式，一元二次方程等内容就非常的艰难。

很多初学的同学，觉得因式分解好难。

因为因式分解灵活多变，技巧性强。

但是，真正熟练掌握因式分解方法，原来因式分解一点都不难。

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解。

因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵拆项法⑶添项法⑷公式法：⑸十字相乘法：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-x(2003淮安市中考题)x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考题)解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)真题解析1．（2018?济宁）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2）B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2【分析与解】提公因式、平方差公式。

原式=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）。

选B。

注意：因式分解必须分解到不能再分解为止！2．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（）A．﹣x2+4x=﹣x（x+4）B．x2+xy+x=x（x+y）C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）【分析与解】提公因式、完全平方公式。

初中数学因式分解的十二种方法！（8-12为高阶）

初中数学因式分解的十二种方法！（8-12为高阶）【因式分解的十二种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

【例1】分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

【例】分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)【例】分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)【例】分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

【例】分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

【例】分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

因式分解四种基本方法例题

因式分解四种基本方法例题因式分解是代数中的一种重要技巧，它能够将一个多项式表达式分解为若干个乘积的形式，从而方便我们进行进一步计算和简化。

在因式分解中，有四种基本方法，分别是公因式提取法、分组配方法、差平方公式和完全平方公式。

接下来，我们将分别介绍这四种基本方法，并通过例题进行详细说明。

1.公因式提取法公因式提取法是最基本也是最常用的因式分解方法之一、它的基本思想是找出多项式中的公因式，然后提取出来，使得原式变为公因式与提取出的公因式的积。

下面通过一个例题来说明这种方法的具体步骤。

例题：将多项式表达式12ab^2 - 16b^3 + 8abc分解为最简形式。

解答：首先观察多项式中的每一项，我们可以发现它们都含有2这个公因子，因此可以将2提取出来，得到：12ab^2 - 16b^3 + 8abc = 2(6ab^2 - 8b^3 + 4abc)接下来，我们再观察多项式中的每一项，发现它们都含有b这个公因子，因此可以将b提取出来，得到：2(6ab^2 - 8b^3 + 4abc) = 2b(6a - 8b^2 + 4ac)所以，多项式12ab^2 - 16b^3 + 8abc分解为最简形式为2b(6a - 8b^2 + 4ac)。

2.分组配方法分组配方法是一种通过变换多项式的形式，从而利用分组的技巧来进行因式分解的方法。

分组配方法适用于多项式中含有四个以上的项，且各项之间没有公因式的情况。

下面通过一个例题来说明这种方法的具体步骤。

例题：将多项式表达式a^2-b^2+4a-4b分解为最简形式。

解答：首先，我们将a^2-b^2和4a-4b两项分别提取出来，得到：a^2-b^2+4a-4b=(a^2-b^2)+(4a-4b)接下来，我们可以观察到a^2-b^2为差的平方形式，4a-4b为常数与一次项的乘积形式，因此可以使用差平方公式和公因式提取法进行进一步分解。

我们将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)，将4a-4b分解为4(a-b)，得到：(a^2-b^2)+(4a-4b)=(a+b)(a-b)+4(a-b)然后，我们可以发现(a-b)为两项的公因式，因此可以将其提取出来，得到：(a+b)(a-b)+4(a-b)=(a-b)(a+b+4)所以，多项式a^2-b^2+4a-4b分解为最简形式为(a-b)(a+b+4)。

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因式分解的常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法(方法最全最详细)因式分解的常用方法方法介绍因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。

常用的因式分解方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法和换元法等。

一般的因式分解步骤是先提公因式，再利用乘法公式，若不能实施则采用分组分解法或其他方法。

将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提取出来，例如ma+mb+mc=m(a+b+c)。

公式法公式法是将整式的乘、除中的乘法公式反向使用，例如(a+b)(a-b) = a^2-b^2，(a±b)^2= a^2±2ab+b^2等。

分组分解法分组分解法是将多项式分为若干组，使得每组都含有公因式，然后再进行因式分解。

换元法换元法是将多项式中的一部分用一个新的变量代替，然后再进行因式分解。

注意：因式分解应分解到不能再分解为止。

例题已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca，移项得2a+2b+2c=2ab+2bc+2ca，化简得(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)，即(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0.因为三角形ABC的三边不全为零，所以(a-b)^2≥0，(b-c)^2≥0，(c-a)^2≥0.所以(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0，即a=b=c，所以三角形ABC是等边三角形。

以上是因式分解的常用方法，希望对大家有所帮助。

凡是能十字相乘的二次三项式ax^2+bx+c，都要求Δ=b^2-4ac>0且是一个完全平方数。

因此，Δ=9-8a为完全平方数，故a=1.对于分解因式x+5x+6，我们可以将6分解成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，我们可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.因此，x+5x+6=(x+2)(x+3)。

因式分解的四种方法(习题及答案)

思考小结 ①提公因式 ②平方差公式 ③完全平方公式，十字相乘法 ④分组分解法
（14） a2 4a 4 b2 ；解：原式=
（15） a2 2ab b2 2a 2b 1；解：原式=
（16） x2 2x 8 ；解：原式=
（17） a2 ab 6b2 ；解：原式=
（18） 2x2 3x 1 ；解：原式=
（19） x3 4x2 12x ；解：原式=
解：原式=
解：原式=
（3） 4a2 4a 1；解：原式=
（4） x2 5x 6 ；解：原式=
（5）16 8(x y) (x y)2 ；解：原式=
（6） x4 1；解：原式=
（7） (a2 1)2 4a2 ；解：原式=
（8） ab 5bc 2a2 10ac ；解：原式=
( y 1)( y 1)(x 1)2
巩固练习
1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A． 9x2 y3z 3x2 z y3
B． x2 x 5 (x 2)(x 3) 1
C． a2b ab2 ab(a b)
D．
x2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x

x

1 x

（9） 3m(2x y)2 3mn2 ；解：原式=
（10） ab ac bc b2 ；解：原式=
（11） a2 b2 2a 2b ；解：原式=
（12） (x 2)(x 4) x2 4 ；解：原式=
（13） a3 a2 a 1；解：原式=
2. 把代数式 3x3 6x2 y 3xy2 因式分解，结果正确的是（）

初中数学竞赛：因式分解

初中数学竞赛：因式分解【内容提要和例题】我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1．添项、拆项。

为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20 ②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

初中因式分解方法总结完整版

初中因式分解方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5mm+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-197x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x-x-6x-x+22x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6令y=x+2x-5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x+9x+23x+15令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)。

(完整版)因式分解的十二种方法(已整理)

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。