超静定结构解决思路
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
第八章 超静定结构解法
end
8-3 对称性的利用
由前节所举的例中巳经看到： 结构有对称性时 则在对称截面处 由前节所举的例中巳经看到：当结构有对称性时，则在对称截面处 切开，解除其多余约束，利用轴力和弯矩的正对称性 剪力的反对称性， 轴力和弯矩的正对称性、 切开，解除其多余约束，利用轴力和弯矩的正对称性、剪力的反对称性， 可得知: 可得知 δ12=δ21=0; δ23=δ32=0。 。 这样，原来的高阶方程组可以分解为低阶方程组。 这样，原来的高阶方程组可以分解为低阶方程组。 作用在对称结构上的荷载也有正、反对称性时 典型方程也可简化。 作用在对称结构上的荷载也有正、反对称性时，典型方程也可简化。 对称结构上的荷载也有正 正对称荷载在对称结构的 不引起反 正对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起反对称的内力 不引起 对称的内力) 只引起正对称的内力 正对称的内力； 只引起正对称的内力； 反对称荷载在对称结构的 不引起正 反对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起正对称的内力 不引起 对称的内力) 只引起反对称性内力 反对称性内力。 只引起反对称性内力。
end
然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如 然后再分别求出外荷载 及各未知内力例如X1在解除约束处的相 及各未知内力例如 由于是线弹性结构，所以： 应位移 ∆1P , ∆2P , ∆3P , ∆1X , ∆2X , ∆3X 。由于是线弹性结构，所以：
1 1 1
∆ 1 X 1 = δ 11 X 1
end
总结一下力法的解题步骤如下： 总结一下力法的解题步骤如下： (1)判断结构的超静定次数； 判断结构的超静定次数； 判断结构的超静定次数 (2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基； 解除多余约束，代以相应的多余约束力 选好静定基； 解除多余约束 (3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相 分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相 应的位移 ∆iP ,δij ； (4)将 ∆iP ,δij 代入典型方程，求出多余约束力 i； 将 代入典型方程，求出多余约束力X (5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。 以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为： 以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
力法求解超静定结构的步骤：
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
混凝土梁的超静定分析方法
混凝土梁的超静定分析方法一、概述混凝土梁的超静定分析方法是研究混凝土梁在受力状态下的力学性能的方法，是混凝土结构设计中必不可少的一部分，具有重要的理论意义和实际应用价值。
混凝土梁是一种常见的结构形式，在建筑、道路、桥梁等工程中广泛应用，因此混凝土梁的超静定分析方法具有广泛的应用前景和研究价值。
二、超静定概念超静定是指梁的支座反力或断面内力不唯一的情况，即梁的支座反力或断面内力的个数大于梁的自由度数。
因此，超静定分析方法是在有限的自由度数下求解支座反力或断面内力的一种方法。
三、超静定分析方法超静定分析方法是在超静定条件下求解混凝土梁的支座反力或断面内力的一种方法。
在超静定条件下，梁的支座反力或断面内力不唯一，需要通过其他条件或方法进行求解。
超静定分析方法包括弹性分析法、弹塑性分析法、刚塑性分析法和极限分析法等。
1.弹性分析法弹性分析法是指在梁的弹性范围内，通过计算梁的变形和应力分布来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在弹性分析法中，假定梁的材料为线性弹性材料，梁的变形与应力满足胡克定律。
弹性分析法的优点是计算简单，适用范围广，但其缺点是不能考虑材料的非线性特性和梁的破坏。
2.弹塑性分析法弹塑性分析法是指在梁的弹塑性范围内，通过考虑梁的弹性变形和塑性变形来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在弹塑性分析法中，假定梁的材料为弹塑性材料，梁的变形与应力满足弹塑性本构关系。
弹塑性分析法的优点是能够考虑材料的非线性特性和梁的破坏，但其缺点是计算复杂。
3.刚塑性分析法刚塑性分析法是指在梁的塑性范围内，通过考虑梁的刚性和塑性变形来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在刚塑性分析法中，假定梁的材料为刚塑性材料，梁的变形与应力满足刚塑性本构关系。
刚塑性分析法的优点是计算简单，但其缺点是不能考虑材料的弹性特性和梁的破坏。
4.极限分析法极限分析法是指在梁达到破坏状态时，通过考虑梁的破坏形态和破坏机制来求解支座反力或断面内力的一种方法。
材料力学 第11章 超静定结构
心有所信，方能行远。
本课件部分图片来源网络，仅供教学使用
材料力学
11.3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为对称结构。 若外力对称于结构对称轴， 结构将产生对称变形。 若外力反对称于结构对称轴，结构将产生反对称变形。
X
2
8EI
0
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
X
1
1 qa() 28
X
2
3 7
qa()
A
q B
冯康 (1920-1993)
【人物介绍】
冯康，浙江绍兴人 ，出生于 江苏省南京市，数学家、中国有限 元法创始人、计算数学研究的奠基 人和开拓者。
1965年发表名为《基于变分 原理的差分格式》的论文，这篇论 文被国际学术界视为中国独立发展 “有限元法”的重要里程碑 。
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内 力都是超静定的。
四. 超静定结构的分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学
外力超静定
内力超静定 外力和内力超静定
材料力学
11.2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多 q 余约束反力。
③建立力法正则方程
B q
A X1 X2
④计算系数dij和自由项DiP
B
用莫尔定理求得
材料力学
A x1 q
x2
B
A
x2
x1 1
材料力学-力法求解超静定结构
内超静定系统：支座反力可由平 衡方程求出，但杆件的内力却不
能全由平衡方程求出；
简单的超静定结构
1 超静定系统的几个基本概念
求解超静定系统的基本方法，是解除多余约束， 代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协 调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定 系统的静定基本系统。
在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，得到基本静定系。再根 据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调 条件为基本方程的方法，称为力法。
a
A
A
C
l
F
A
C
B 1F
B F
F 01 单击此处添加标题
X1
02 单击此处添加标题
A
C
B
1X1
1 1 F 1 X0
MP图
M10图
材料力学Ⅰ电子教案
补充：力法求解超静定结构
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
a
qa 4 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
M
A
qa 2 8
正对称载荷：绕对称轴对折 后，结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重 合，而且每对力数值相等。
反对称载荷：绕对称轴对 折后，结构在对称轴两边 的载荷的数值相等，作用 点重合而作用方向相反。
1超静定结构的解法
1超静定结构的解法超静定结构是指结构的支座反力数目多于静力平衡方程的数目，即结构的自由度多余零，不能通过直接求解静力平衡方程得到结构的内力、位移等参数。
因此，需要使用超静定结构的解法来求解结构的响应。
超静定结构的解法主要有两种：力法和位移法。
在这里，我将分别介绍这两种方法的基本原理。
1.力法力法是指通过引入虚功原理，利用未知内力的线性平衡方程组与已知荷载、位移或位移力系数之间的关系，构建方程并求解未知内力的方法。
使用力法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择剪力或弯矩作为未知内力。
在超静定结构中，选择剪力或弯矩作为未知内力比较常见；（3）建立线性平衡方程组。
将剪力或弯矩作为未知量，根据结构的几何条件和约束条件，建立线性平衡方程组；（4）引入荷载、位移或位移力系数。
根据结构的受力情况，将已知荷载、位移或位移力系数引入线性平衡方程组；（5）求解未知内力。
通过求解线性平衡方程组，得到未知内力。
2.位移法位移法是指通过引入位移的概念，利用位移与剪力/弯矩之间的关系，将超静定结构的内力求解问题转化为线性代数方程组的求解问题。
使用位移法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择支座位移为未知量。
在超静定结构中，支座位移比较容易确定；（3）建立位移-力关系方程。
根据结构的几何条件和材料性质，建立位移-力关系方程，将剪力或弯矩表示为位移的函数；（4）引入荷载或位移。
根据结构的受力条件，将已知荷载或位移引入位移-力关系方程；（5）求解未知位移。
通过求解位移-力关系方程，得到未知位移；（6）求解未知内力。
将未知位移代入位移-力关系方程，求解出未知内力。
需要注意的是，在力法和位移法中，由于超静定结构的自由度数目大于零，未知内力或未知位移存在无穷多个解。
因此，需要加入合理的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等，来确定唯一的解。
超静定问题的解题步骤_概述说明以及解释
超静定问题的解题步骤概述说明以及解释1. 引言1.1 概述目前，超静定问题在工程设计和科学研究中扮演着至关重要的角色。
超静定问题是指那些具有多余约束条件的力学系统，在这种情况下，物体的运动过程不止一个可能的解。
解决超静定问题需要使用特定的数学工具和分析方法。
本文将介绍解题步骤，为读者提供一个清晰而简洁的指南。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
在引言部分，我们将概述文章内容，并简要介绍超静定问题及其重要性。
第二部分将对超静定问题进行详细讨论，包括定义、背景知识以及实际应用场景。
接下来，第三部分将总结解题步骤，并概括每个步骤所需考虑的关键点。
第四部分则会更加详细地解释每个步骤，并提供具体操作步骤和示例。
最后，在结论与总结部分，我们将总结解题步骤，并讨论可能遇到的困难与挑战，以及其他相关问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解超静定问题和解题步骤。
通过详细讲解每个步骤的要点和操作方法，读者将能够更加轻松地解决超静定问题，并理解其在实际工程和科学领域的应用。
我们希望本文能成为读者解题过程中的有价值的参考资料，提供清晰而系统化的指导。
2. 超静定问题简介:2.1 定义和背景知识:超静定问题是指在静力学中，物体受到的约束超过了必要的约束数量。
这意味着通过仅使用平衡方程无法求解未知变量的值。
超静定问题在工程、建筑和力学领域中经常出现，并需要特殊的解题方法来找到合适的解决方案。
2.2 超静定问题的重要性:理解和解决超静定问题对于设计和分析结构非常重要。
一些实际应用场景中，超静定结构可以提供更高的刚度、稳定性和可持续性。
因此，研究人员和工程师需要掌握解决超静定问题的技巧。
2.3 实际应用场景:超静定问题广泛应用于建筑、土木工程、桥梁设计以及机械工程等领域。
例如，在建筑设计中，支撑柱或梁受到多个支点约束时可能会出现超静定问题。
在机械工程中，一些连接件或装配件也可能涉及到超静定问题。
了解超静定问题的定义、背景知识以及其在实际应用中的重要性对于理解本文后续将介绍的解题步骤至关重要。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。
力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。
其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。
具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。
分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。
2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。
最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。
3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。
这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。
相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。
2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。
这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。
3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。
根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。
超静定结构的解法
二.力法的基本体系与基本未知量
超静定次数: 多余约束个数.
几次超静定结构?
比较法:与相近的静定结构 相比, 比静定结构 多几个约束即为几 次超静基本体系不惟一.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构.
练习
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
4.1 概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
力法等方法的基本思想: 1.找出未知问题不能求解的原因； 2.将其化成会求解的问题； 3.找出改造后的问题与原问题的差别； 4.消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。
二.超静定结构的性质
根据计算自由度 确定超静定次数
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
确定超静定次数小结：
(c) 可变体系不能作为基本结构。
(a) 比较法；减约束；计算自由度；封闭框计算。
基本结构指去掉多 余约束后的结构
（14 次）
(1 次）
(6 次)
(4 次)
(6 次)
l
l
EI
EI
P
X1
P
X1=1
P
l
M1
Pl
MP
解:
M
练习
9-简单超静定结构的解法解析
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
I
Me
II
解： 一次超静定 设想固定端B为
A
C
a
B
b
多余约束，解除后
l
加上相应的多余未
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
知力偶矩MB，得基 本静定系。
平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB
,
补充方程变为
wBFB
FBl3 3EI
ql 4 FBl 3 0 8EI 3EI
解得
FB
3 ql 8
可从右向左作出剪力图和弯矩图
8 ql
81ql
FS 图
18l
8 ql2
1218ql2
M图
也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为 “多余”约束，解除后可得相当系统
q
MA A
B
l
根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形 相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求 解。
A A'
l1 l3 cosa
l3
(3)胡克定理
l1
FN1l EA
l3
FN3l cosa
E3 A3
(4)补充方程变为
FN1
FN3
EA E3 A3
cos2 a
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1
FN 2
2 c osa
F
E3 A3 EAcos2
a
F
FN3 1 2
EA
cos3 a
E3 A3
简单超静定梁的解法
B
q
图 6 -12
例题 6-9 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉力 N。
4m
3m
2m
A
B
D
C
30KN
D
C
A
B
30KN
在基本静定系上绘 出剪力图（图C）和 弯矩图（图d）。
32.05
47.95
18.40
11
(d)
D
C
A
B
30KN
弯曲超静定例题1
弯曲超静定例题2
§6-6 简单超静定梁的解法
超静定梁
“多余”约束
A
B
C
P
P
A
B
超静定梁的“多余”约束的 数目就等于其超静定次数。
与“多余”相应的支座反力
超静定次数
“多余”反力
A
B
C
P
P
A
B
二、求解超静定梁的步骤
A
B
q
(a)
图 6 -11
解出多余约束，代之以 约束反力。得到原超静 定梁的 基本静定系。
如图6 -11中，将B处的约束 当作多余约束。解出后用反力
代替。
图（b）为 基本静定系。
q
A
B
(b)
A
B
q
(a)
图 6 -11
q
A
B
(b)
图（b）中悬臂梁在 B点的 挠度等于零，就是超静定梁 （a）的变形相容条件。
超静定结构解决思路
超静定结构超静定结构静定结构是没有多余约束的结构，结构体系中任何一个约束去掉后，结构都失去稳定性，成为机构，因而也就不能够继续承担荷载。
因此，静定结构是相对危险的，任意约束失效后都会导致整体结构的失效。
为了保证结构的安全性，需要对于静定结构增加约束，成为有多余约束的结构——超静定结构。
超静定结构有多余约束，当其中某个约束失效后，所承担的作用由其他约束承担，整体结构仍处于稳定状态，可以继续承担荷载，但是，超静定结构在失去部分或全部多余约束后，内力会出现重新分布的现象，是否破坏要重新计算。
超静定结构的思路对于超静定结构，静定结构的解题思路是难以解决的：静定结构中无论是外力还是内力，均依靠力系平衡方程或方程组实现，但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。
因此，超静定问题宜从以下方面思考：首先，如果结构整体是平衡的，结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的；其次，对于任意多余约束是可以去掉的，并以相应的约束力来替代的，替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化；第三，结构中任意相临的、距离为0 的两点间的相对位移与转角均为0；第四，弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的。
基于上面的基本思路，对于超静定结构常用的方法是力法与位移法。
力法力法是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的变形协调来实现的。
力法的基本思路是：弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的；除去多余约束后，以约束力替代原约束，并与结构等效；除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下，会产生各种变形，其中在除去约束后的原约束点的位移是：[Δp]结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关变形：[x][δ]，[x]：除去的多余的约束，[δ]：当多余约束为 1 时的各个约束点变形。
但是在原结构中，被除去的多余约束点由于约束的作用，其相应的位移为0，因此有：[x][δ] +[Δp] =0如果设多余约束为n个，则力法线性方程组为：x1δ11 + x2δ12 + x3δ13+…… + x nδ1n +Δ1p = 0xδ212+ x2δ22 +x3δ23+……+ x nδ2n +Δ2p =x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0…… …… …… …… …… …… …… …… ……x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0其中：x i：第i个多余约束所形成约束反力，是未知数；δij：如果第j所形成的位于第i个约束反力位置上的变形量；x iδij：第j个多余约束所形成约束力，导致的位于第i个约束反力位置上的变形量；Δip：除去多余约束后，结构外荷载系产生的，位于第i 个约束反力位置上的变形量；根据虚功原理，可以求得δij，且根据互等定理，δij = δji ；同样，根据虚功原理也可以求得Δip，因此方程组是可解的；求解出x1，x2，x3…… x n后，可将其视为与外荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构的荷载，随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力图，进而求出最大内力截面与最大应力的位置与量值，进行相关校核。
力法解超静定结构时的思维方法
作用点在B点.
现在求Fpb.先设一个大小为单位1的力f,方向向上,作用与B点,则B点位移为 .
很显然
Fpb× =
所以Fpb=5/16F Fpa=11/16FMp=3FL/16.
总结,力法对超静定结构的分析的过程的主体就是求出多余未知力的过程.要将多余约束化为多余未知力和约束条件.使用约束条件求出多余未知力造成的结构的位移.反推多余力.使得结构变成静定结构.求出其他力.
在这里b点是一个铰支在这种条件下只提供竖直向上的约束反力它对整个梁的作用与一个竖直向上的力相同但铰支同时保证了另一个效果即b点竖直位移为0
用力法进行超静定梁受力分析时的思维方法
解一个超静定结构,力法是最基本的方法,所有结构力学书籍中都有详细介绍.本文通过最基本的例子,说明这种方法的思维过程.
现有一个超静定梁结构AB受力情况如下(图1),外力F作用在梁的终点,梁长度为L,求此情况下梁AB的约束反力.
图2
对多出的力Fpb进行分析.这里使用以下思பைடு நூலகம்原则.
1.位移微小的情况下,结构某点的位移等于各个外力造成位移的线性相加.
2.当某个力大小方向作用点已知时,它所造成的结构位移是一定的,反过来如果知道某个力造成的结构位移和这个力的作用点已知时,这个力也是唯一确定的.注意:位移回推力时解不唯一,必须确定力大小或作用点中的一个.
(以上两条是很显然的吧?)
现在分析多余未知约束力Fpb的作用效果.
我们首先将Fpb去掉得到一个静定的系统,分析此时B点位移,已知在有Fpb时B点位移为0,因此Fpb造成B点位移与其他力造成的B点位移大小相等方向相反图3
图3
这个结构十分明显,如果没有Fpb约束,B点位移是
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超静定结构
超静定结构
静定结构是没有多余约束的结构，结构体系中任何一个约束去掉后，结构都失去稳定性，成为机构，因而也就不能够继续承担荷载。
因此，静定结构是相对危险的，任意约束失效后都会导致整体结构的失效。
为了保证结构的安全性，需要对于静定结构增加约束，成为有多余约束的结构——超静定结构。
超静定结构有多余约束，当其中某个约束失效后，所承担的作用由其他约束承担，整体结构仍处于稳定状态，可以继续承担荷载，但是，超静定结构在失去部分或全部多余约束后，内力会出现重新分布的现象，是否破坏要重新计算。
超静定结构的思路
对于超静定结构，静定结构的解题思路是难以解决的：静定结构中无论是外力还是内力，均依靠力系平衡方程或方程组实现，但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。
因此，超静定问题宜从以下方面思考：
首先，如果结构整体是平衡的，结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的；
其次，对于任意多余约束是可以去掉的，并以相应的约束力来替代的，替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化；
第三，结构中任意相临的、距离为0 的两点间的相对位移与转角均为0；
第四，弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的。
基于上面的基本思路，对于超静定结构常用的方法是力法与位移
法。
力法
力法是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的变形协调来实现
的。
力法的基本思路是：
弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的；
除去多余约束后，以约束力替代原约束，并与结构等效；
除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下，会产生各种变形，其中在除去约束后的原约束点的位移是：[Δp]
结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关变形：[x][δ]，
[x]：除去的多余的约束，[δ]：当多余约束为1 时的各个约束点变
形。
但是在原结构中，被除去的多余约束点由于约束的作用，其相应的位
移为0，因此有：
[x][δ] +[Δp] =0
如果设多余约束为n个，则力法线性方程组为：
x1δ11+ x2
δ
+ x3δ
+…… +
13
x nδ1n+Δ
= 0
1p
x2δ21
+ x2δ22+
x3δ23
+…… + x n
δ2n +Δ2p = 0
x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0 …… …… …… …… …… …… …… …… ……
x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0
其中：x i：第i个多余约束所形成约束反力，是未知数；
δij：如果第j个多余约束位置上，作用有与该多余约束性质相同的单
位力，所形成的位于第i个约束反力位置上的变形量；
x iδij：第j个多余约束所形成约束力，导致的位于第i个约束反力位
置上的变形量；
Δip：除去多余约束后，结构外荷载系产生的，位于第i 个约束反力
位置上的变形量；
根据虚功原理，可以求得δij，且根据互等定理，δij = δji ；同样，根据虚功原理也可以求得Δip，因此方程组是可解的；
求解出x1，x2，x3…… x n后，可将其视为与外荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构的荷载，
随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力图，进而求出最大内
力截面与最大应力的位置与量值，进行相关校核。
例题
位移法
位移法也是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的受力协调来
实现的。
结构、荷载与边界约束如图，对于该超静定结构，分析如下：
结构在荷载作用下会发生相应的变形，对于A节点来讲，可以认为外作用与变形是两次分别发生的，然后叠加至一个结构上：
首先A点是固定的，在外部作用下，发生杆件变形，并在A点形成了不协调的内力，依靠附加的外部作用时A点维持原有的形态；其次A点在发生转角变形，直到消除由于外部作用所形成的内力的不协调，外部作用消失。
对于A点来讲，两次过程都会产生相应的内力，叠加至一个结构上后，与结构最初受力并产生变形的状态相一致，产生的内力在该点是平衡的。
假设A点的转角为Z，则有：Z r+R p=0，
其中：R p—在A点被固定的第一个过程中，荷载于A点产生的周边反力。
Z —在第二个过程中，能够消除A点不协调作用的变形；
r —A点产生单位转角时所形成的反力；
当结构中存在多个外荷载作用与多处变形时，方程以方程组来表示：
设附加约束为n个，
Z1r11 + Z2r12 + Z3r13+…… + Z n r1n +R1p = 0
Z2r21 + Z2r22 + Z3r23+…… + Z n r2n +R2p = 0 …… …… …… …… …… …… …… …… ……
Z n r n1 + Z2r n2 + Z3r n3+…… + Z n r nn +R np = 0
Z i：第i 个附加约束的位移，是未知数；
r ij：第j个附加约束，产生单位位移，所形成的位于第i 个附加约束位置上的内力，是可以求得的；Z i r ij：第j个附加约束，产生实际位移，所形成的位于第i 个附加约束位置上的内力；
R ip：结构外荷载系产生的，位于第i 个附加约束位置上内力。
根据基本常数，可以求得rij，且根据位移互等定理，r ij = r ji；
根据基本常数也可以求得R ip，因此方程组是可解的；
求解出Z1，Z2，Z3…… Z n后，对于结构中的不同杆件进行变形与荷载产生的内力叠加，求解并绘制相应的内力图，进而求出最大内力截面与最大应力的位置与量值，进行相关校核。
例题。