chap2(3 单纯形法的基本原理)
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
chap2(3 单纯形法的基本原理)
即X亦为LP的最优解，此时LP有无穷多最优解 （3）若有 j 0 且 Pj 0 ，则由 x1 xi0 aij 知，对任意的θ>0 i ，均有 x1 xi0 aij 0 ,即X1为可行解，而z1可以无限增大。此 i 时，LP有无界解。
容易看出，它是非奇异的，所 以X1为基可行解。 注意到X0与X1只有一个分量 不同，则它们是相邻的基可 行解。
3.最优性检验和解的叛别
z
0
i 1
m
ci xi0
z1
m
c (x
i i 1
m
0 i
aij ) c j
i 1
ci xi0 (c j
m
c a
i 1
1 0 B ( P1 , P2 ... Pm ) 0 0 1 0 0 0 1
j
n aij x j b j 1 x 0, j 1,2,... n j
(1) (2)
则x1,x2,…xm为基变量，而xm+1,xm+2,…xn为非基变量，令 非基变量＝0，则很容易得到一个基可行解：（？）
单纯形法的基本思想
只考察基可行解。
对于某一个基可行解，只需考察与其相邻的基可行解， 看是否比它们均优。（图示说明）
所谓两基可行解相邻，是指仅有一个基变量为不同分 量，其余基变量都是相同的量。 设有基可行解
0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,x0 ,0,0...0)T m
X1 ( x1 , x1 ,...xl11 0, xl11..., x1 ,0,0..., ,..0)T 2 1 m
单纯形法基本原理
否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
3 单纯形法
cj →
CB XB s1 0 s2 0 s3 0 b
3
1
0
0
0
σ
0 s1 1 0 s2 5 3 x1 3
x1 x2 4 1 1 2 −1 1 18 [6] 2 3 1 j
0 0 1 2 3 4 3 1 3
s1 s2 s3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 − 1 6 1 6 1 6
例（大M法） ：线性规划问题 法
max z = − 3 x1 + x 3 x1 + x 2 + x 3 ≤ 4 − 2 x + x − x ≥ 1 1 2 3 st 3 x2 + x3 = 9 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
解：先把原问题化为标准形式
max z = −3x1 + x3 + 0s1 + 0 s2 x1 + x2 + x3 + s1 = 4 − 2 x + x − x − s = 1 1 2 3 2 s.t. 3x2 + x3 = 9 x1 , x2 , x3 , s1 , s2 ≥ 0
0 1 0
2 −1 4
0 1 3 2 [ ] 3 1
1 0 0
−
1 −1 3
1 2 0 1 2 −
−1 1 −3
1 2 0 1 2 −
0 0 1
1 2
1 − 1
− 9 3 2
6M-3
0 3 1
0 5 2 3 2
0 0 1
0
0 1 0
4M+1 0
0 0
3M -4M 0
1 3 1 6
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过有限次迭代，逐步向着最优解靠近。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
单纯形法的原理可以通过以下步骤来进行解释：首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
这样，原始的线性规划问题就可以表示为一个矩阵形式Ax=b的形式，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
接下来，我们需要找到一个初始的基本可行解。
这个基本可行解对应于一个m×m的单位矩阵Im，以及一个n维的零向量。
我们可以通过将单位矩阵对应的列向量代入原始的线性规划问题中，来求解初始的基本可行解。
然后，我们需要计算出一个非基本变量的非负进入向量。
这个向量对应于目标函数的系数向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个进入向量，我们可以确定哪一个非基本变量可以进入基本变量集合，从而使得目标函数值增加。
接着，我们需要计算出一个基本变量的非正离开向量。
这个向量对应于基本变量对应的列向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个离开向量，我们可以确定哪一个基本变量可以离开基本变量集合，从而使得目标函数值继续增加。
最后，我们需要进行基本变量与非基本变量的交换，并更新基本可行解。
这个过程可以通过一系列的矩阵运算来实现，从而得到一个新的基本可行解。
然后，我们可以继续重复上述步骤，直到找到最优解为止。
通过上述步骤，我们可以看出单纯形法的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
总之，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
在实际应用中，单纯形法已经取得了很好的效果，能够有效地处理大规模的线性规划问题。
第4章 单纯形法
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
单纯形法的原理
单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。
单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。
可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。
2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。
初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。
3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。
如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。
否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。
4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。
通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。
5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。
具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。
6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。
如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。
否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。
单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。
该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。
需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。
除了单纯形法外，还有许多其他的线性规划求解方法，例如内点法、外点法、椭球算法等。
这些方法各有优缺点和适用范围，可以根据具体问题的特点进行选择和组合使用。
03第三章 单纯形法
第三章 单纯形法在线性规划的计算求解中，应用最多且最著名的就是单纯形法。
这种方法是美国运筹学家G .B.Dantzig 丹捷格在1947年提出的。
后来经过人们多次改进，形成了许多变种。
实践证明单纯形法是一种使用方便、行之有效的算法。
§3.1 单纯形法的原理基本可行解的存在定理已经表明，若线性规划有最优解，则一定存在最优基本可行解，因此求线性规划问题就归结为寻找最优基本可行解。
单纯形法的基本思想就是从一个基本可行解出发，检查该基本可行解是否为最优解；若不是，则再设法求另一个未检查过的基本可行解，如此继续，直到查询到最优解为止。
按照以上的思路，需要解决三个难题： 1、 如何求出第一个基本可行解？2、 如何判断这个基本可行解就是最优解？3、 若不是最优解，如何从一个基本可行解过渡到另一个未检查过的基本可行解？ 第一个问题的彻底解决尚需留待今后，但是我们知道，求基本可行解就是解线性方程组=A x B ，由于且()r m =A ，故可以解出m 个变量，称之为基本变量，剩下的n-m 个变量称之为自由变量。
于是，最简单的方法就是令所有的自由变量的值为零相应得到的解就是基本解。
例3.1 考虑线性规划1234134123m in 324..246350,1,2,3,4j z x x x x s t x x x x x x x j =-++-+=-++=≥= （3.1）把约束方程写成表格的形式，如表3-1：20 -4 1 6 -1 1 3 0 5从上述表格的左端可以看出，由第二、四列构成一个单位子矩阵，或曰子块，即对角元为1，其余为0，因此把2x 和4x 解出，即把2x 和4x 作为基本变量，余下1x 和3x 作为自由变量。
41321362453x x x x x x =-+=+- （3.2）令所有的自由变量130x x ==，而426,5x x ==，从而得到一个基本解(0,5,0,6)T 。
若需要判断该基本解是否基本可行解？只需看左端有单位子矩阵时，右列的元素是否都是非负，若是，则为基本可行解。
单纯形法原理以及步骤
,0)
4、单纯形法迭代原理
单纯形法是沿顶点寻找线性规划问题最优解的一种有效方法。该方法主要包括： 确定初始基可行解（即起始顶点）；从一个基可行解转移到另一个基可行解； 最优性检验三项内容。
1. 确定初始基可行解
对标准形式的线性规划问题
max z = ∑jn=1 cjxj
（1-6）
∑jn=1 Pjxj = b
0 0 … 0 amj 0 … 1 bm
bl alj
xj
min
bi aij
aij＞
0
x1
2 1 1 1 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x2 x3 x4
3 1 2
min
3, 2
1 1
,
2 4
1 2
x5
0
1 2
1
0
54
0
1
1 4
0
0
1 2
2
1
1 4
X (1) (x10 a1 j , x20 a2 j ,, xm0 amj ,0,, ,,0)T
由于Pj≤ 0，对任意的 0
xi0 aij 0
无限增大时，目标函数值无限增加，所以，线性规划问题具有无界解。
返回
第四节 单纯形法计算步骤
1.求初始基可行解，列出单纯形表 2. 最优性检验 3. 基变换（从一个基转换到另一个基） 4. 重复步骤2和3，求出最优解
…
xl 变为非基变量
xk 变为基变量
4 . 重复第2、3步，直到求出最优解（或计算结束）。
例：用表格式单纯形法求解下列线性规划问题。
max z =20x1 + 8x2 + 6x3
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是一种用于求解线性规划问题的经典方法。
它基于一个重要的原理，即通过不断地改变可行解来寻找最优解。
首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化的约束条件下的线性等式约束问题。
然后，我们引入一组基变量，用它们来表示约束条件中的不等式。
这样，我们就可以将问题表示为一个矩阵方程。
通过逐步迭代的过程，单纯形法从初始可行解开始，在每一步中选择合适的基变量进入基组合，同时选择一个离开基变量离开基组合。
这个选择过程基于目标函数的增益最大化。
在每一步中，我们计算一个指标称为换入变量的相对利润。
然后，我们选择具有最大相对利润的变量作为新的基变量。
接下来，我们计算每个基变量的换出变量，以确定哪个变量将离开基组合。
换出变量的选择基于非基变量进入基变量的限制条件。
通过不断地魔法步骤，我们可以逐渐靠近最优解。
当达到最优解时，指标函数的值为最小值，而最终的基变量和非基变量的值则保存了最优解的解。
需要注意的是，单纯形法并不总是在有限时间内结束。
在某些情况下，它可能会进入一个无穷循环，无法找到最优解。
为了解决这个问题，我们可以添加一些人工变量，并进行二阶段法来确保最优解的存在。
总之，单纯形法是一种有效的线性规划求解方法，它通过不断改变可行解来寻找最优解。
通过选择合适的基变量和换出变量，单纯形法能够逐步逼近最优解。
单纯形算法原理与计算步骤详解
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。
本文将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。
一、单纯形算法原理单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。
算法通过在可行域内循环改变基变量，以求得最优解。
算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。
单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。
二、单纯形算法的计算步骤下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该算法。
1. 初始化阶段在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始可行解。
标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非负约束。
2. 检验阶段在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。
首先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量准则、最小比率准则等。
3. 转换阶段在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。
通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新的可行解。
在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。
选择一个出基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。
然后，通过高斯消元法计算出相应的新基。
4. 终止判断阶段在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。
如果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。
否则，返回检验阶段继续迭代。
5. 结果输出阶段当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。
三、单纯形算法的优化尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。
为了优化算法效率，可以采用以下方法：1. 人工变量法当初始可行解需要引入人工变量时，可以通过人工变量法来优化算法。
该方法通过对目标函数引入人工变量，并对目标函数进行最小化，从而减少迭代次数。
单纯形法基本原理
3
x1
到
4
x2
j
换入列
3
4
b
x1
x2
40
2
1
30
1
3
3
4
30 5/3 0
10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 9
bi /ai2，ai2>0
0
0
θi
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
10
0
1
－10/3
18
0
1/3 30
0
3/5 －1/5
－4/3 －1/5
－2/5
－1 －1
单纯形法的计算步骤
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 18
单纯性法小结:
建
立
个数
模
型 两 三个
xj≥0
个 以上
取值
xj无 约束
xj ≤ 0
求 图 单纯 解 解 形法
法、
单 纯 形 法
不
令xj = xj′ - 令 xj’ =
处
xj″
- xj
理
xj′ ≥0
xj″ ≥0
右端项
bi ≥0
bi < 0
等式或 不等式
≤=≥
0
2
1
00
x2
x3
x4
x5
θi
－
-3
2
1
0
20
1
5
0
1
210
0 17 1
0
3 25
பைடு நூலகம்
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
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3/4 12
x2 3/4 x1 15/4 σj
0 1 1/4 -1/8 1 0 -1/12 5/24 0 0 -1/12 -7/24
3）列新单纯形表 Step4 重复step2step3
m
则得到了约束方程（1）的另一个解。
0 0 0 X 1 ( x1 a1 j , x2 a2 j ,..., xm amj ,0,0... 0, ,0,... 0)T
j
xi0 xl0 min | aij 0 取 aij alj
Step1 确定初始基可行解， 列初始单纯形表 1）标准化
max z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 3 x1 5 x2 x3 15 s.t.6 x1 2 x2 x4 24 x , x ,x ,x 0 1 2 3 4
3）列初始单纯形表
1 0 B ( P1 , P2 ... Pm ) 0 0 1 0 0 0 1
j
n aij x j b j 1 x 0, j 1,2,... n j
(1) (2)
则x1,x2,…xm为基变量，而xm+1,xm+2,…xn为非基变量，令 非基变量＝0，则很容易得到一个基可行解：（？）
m
i ij )
z 0 (c j
c a
i 1
i ij )
(8)
当 (c j ci aij ) 0 时，就有
i 1
m
z1 z 0
记 c ca c z j j i ij j j
i 1
m
称为xj的检验数。
解的判别 （1）若所有 j 0 ，则表明z0比各相邻的基可行解均优，则z0 即为LP的最优值，X0即为LP的最优解。 （2）若所有 j 0 ，且有某个j, j 0 ,同时可按θ规则找到 θ>0，则存在X1，也为最优解，且 z1 z 0 而对于X0和X1的凸 组合X，有
则它们是相邻的。
2.2.4 单纯形法的迭代原理 单纯形法的基本思想：考察LP的基可行解，判断其是否 为最优解，若不是，则转到与其相邻的可使目标函数增 大的基可行解，直到找到最优解。 1.初始基可行解的确定 通常在方程（1）的系数 考察标准形的LP问题：
max z
c x
j j 1
n
矩阵A中，总存在1个单位 矩阵，不妨设为：
z CX C( X 0 (1 ) X 1 ) z 0 (1 ) z 0 z 0
即X亦为LP的最优解，此时LP有无穷多最优解 （3）若有 j 0 且 Pj 0 ，则由 x1 xi0 aij 知，对任意的θ>0 i ，均有 x1 xi0 aij 0 ,即X1为可行解，而z1可以无限增大。此 i 时，LP有无界解。
Pj
a P
i 1
ij i
Pj
a P 0
ij i i 1 m i 1
(4)
将（4）两端同时乘以θ>0，则得到： ( Pj aij Pi ) 0 (5)
（3）+（5）整理后得到： ( x 0 a ) P P b (6) i ij i j
i 1
单纯形法的基本思想
只考察基可行解。
对于某一个基可行解，只需考察与其相邻的基可行解， 看是否比它们均优。（图示说明）
所谓两基可行解相邻，是指仅有一个基变量为不同分 量，其余基变量都是相同的分量。 设有基可行解
0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,x0 ,0,0...0)T m
X1 ( x1 , x1 ,...xl11 0, xl11..., x1 ,0,0..., ,..0)T 2 1 m
则X1的所有分量均≥0！！这样 ( 7) X1就是LP的一个可行解。
（6）系数矩阵为： 1 0 0 a
0 0
1j
1 0
0 1 0
a2 j al 1, j alj al 1, j amj
0
0
0 0 0 0 1 0 0 1
max z 2 x1 x 2
4.单纯形法求解LP问题的步骤 例2.10 求解LP问题 2）容易看出其一个基为：
1 B 0 0 1
3 x1 5 x 2 15 s.t .6 x1 2 x 2 24 x1 , x 2 0
则得到初始基可行解：
X 0 (0,0,15,24)T
容易看出，它是非奇异的，所 以X1为基可行解。 注意到X0与X1只有一个分量 不同，则它们是相邻的基可 行解。
3.最优性检验和解的叛别
z
0
i 1
m
ci xi0
z1
m
c (x
i i 1
m
0 i
aij ) c j
i 1
ci xi0 (c j
m
c a
i 1
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 2 1 0 0 x1 x2 x3 x4 3 5 1 0 6 2 0 1
3 A 6
5 2
1 0
0 1
Step2 检验
1)计算 检验数
j cj
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 σj 2 x1 3 [6] 6 2 1 0 0 x2 x3 x4 5 1 0 2 0 1 1 0 0 θ
几个基本定理
定理2.1 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。
定理2.2 线性规划可行域D中顶点的对应于LP的基可行解。 定理2.3 若线性规划有最优解，则最优解一定可以在可行 域的顶点上得到。 引理 线性规划可行解X＝（x1, x2, … xn ）为基可行解的充分 必要条件为X的正分量对应的系数列向量线性无关。
运筹学
主讲：熊德国 河南理工大学能源学院
复习
线性规划的解的四种可能情况：
有唯一最优解；有无穷多最优解； 有无界解；无可行解
基：系数矩阵A的m阶非奇异子方阵 基解：令非基变量为0，求解由基变量构成的线性方 程组所得的解，该解与非基变量一起构成的约束方程 组的解 基可行解：可行的基解，满足变量非负约束的基解。
X ( x1 , x2 ,...,xn )T (b1 , b2 ,... m ,0,0..0)T b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
按单纯形法的思想，找到一个基可行解后，进行检验，看 它是否为最优解，用什么办法呢？就是将它和与其相邻的基可 行解比较，为此须找到与它相邻的基可行解。
2.从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解
5
c a
i 1
m
i ij
cj zj
4
0 2 1 2
x3 x1 σj
2)解的判别 Step3 基可行解的转换 1）入基变量的确定 2）出基变量的确定
xi0 xl0 min | aij 0 aij alj
3 4
0 [4] 1 -1/2 4 1 1/3 0 1/6
定义：如果两个基可行解只有一个基变量不相同，则称这两个基 可行解相邻 0 0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,xm ,0,0...0)T 设已得到一个基可行解为
0 将其代入约束方程（1），则得到： Pi xi b i 1 m
(3)
因为P1,P2,…Pm线性无关（？），则其它系数列向量Pj可由它 m m 或写成： 们线性表示为: