§3.2 一元二次不等式及其解法(2)学案4

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3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)

§3.2 一元二次不等式及其解法学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格二、例题例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为（其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为（其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1）学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

§3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)教案.doc

教师课时教案备课人授课时间课题§3.2一元二次不等式及其解法（第2课时）课标要求巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；教学目标知识目标巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；技能目标培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力情感态度价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想重点熟练掌握一元二次不等式的解法难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤2.讲授新课[范例讲解]例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到21139.520180x x+>移项整理得：2971100x x+->显然0>V，方程2971100x x+-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x≈-≈。

所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x<->或在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.学生回答教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x-+>移项整理，得211030000x x-+<因为1000=>V，所以方程211030000x x-+=有两个实数根1250,60x x==由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。

教学设计6：§3.2 一元二次不等式及其解法

§3.2 一元二次不等式及其解法教学目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.教学知识总结知识点一分式不等式的解法思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？【答案】等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. 梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二一元二次不等式恒成立问题思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？【答案】x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图象恒在x 轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集.梳理一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方.区间[a ，b ]是不等式f (x )>0的解集的子集.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔ ≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔ ≤f (x )min .知识点三含参数的一元二次不等式的解法思考解不等式－x 2＋3x －2<0第一步需要干什么？解ax 2＋3x －2<0呢？【答案】解－x 2＋3x －2<0，第一步先把二次项系数化为正数：x 2－3x ＋2>0. 解ax 2＋3x －2<0，由于不知道a 的正负，故需要分a >0，a ＝0，a <0讨论.梳理解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.题型探究类型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 跟踪训练1 解下列不等式.(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0. 解得⎩⎨⎧ x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 类型二不等式恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 .【答案】(－∞，－5]【解析】构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5. 类型三含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}.当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解.综上，当a <0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，解集为∅.达标检测1.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2【答案】D【解析】由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.2.不等式x －1x －2≥0的解集为( ) A.[1,2] B.(－∞，1]∪[2，＋∞)C.[1,2)D.(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1. 3.当不等式x 2＋x ＋z >0恒成立时，z 的取值范围为 .【答案】⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】由题意知Δ<0，即1－4 <0，得z >14，即 ∈⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 4.解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以①当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }.课堂小结1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.。

§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)

-1 0 1 答案：（-1，0）∪（1，+∞）
2013-8-15 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
绝对值不等式的解法
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 11
解：原不等式可化为
2
2
3
4
1 x 5x 5 1 x2 5x 5 1 x 2 5 x 4 0 (1) 2 即 2 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 (2) 解不等式（1），得解集 x |1 x 4 , 解不等式（2），得解集 x | x 2, 或x 3 ,
∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的交集，即 x |1 x 4 x | x 2, 或x 3
x |1 x 2, 或3<x<4
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2013-8-15
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§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2
Φ
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§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
温故知新解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
0 4
15
-1
2013-8-15
3
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(2)(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法(二)自主学习知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔____________； (2)f (x )g (x )≤0⇔________________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 2．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c>0 (a ≠0)恒成立⇔____________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y ＝f(x)，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________； a<f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________.自主探究对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个正根⇔____________； (2)两个负根⇔____________； (3)一正一负根⇔____________； (4)两根都小于k ⇔____________；(5)一根大于k ，一根小于k ⇔____________. (注：答案不唯一)对点讲练知识点一分式不等式的解法例1 解分式不等式： (1)x ＋12－x ≥－2；(2)x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.总结简单的分式不等式在求解时多化为f (x )g (x )>0，f (x )g (x )<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如f (x )g (x )≥0应⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )<0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．变式训练1解不等式：x＋2x2＋x＋1>1.知识点二恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．总结含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．变式训练2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三一元二次方程根的分布例3 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．总结解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．变式训练3 若方程4x ＋(m －3)·2x ＋m ＝0有两个不相同的实根，求m 的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.课时作业一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2或x ＝1}2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}3．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)．5．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2题号1 2 3 4 5 答案二、填空题6．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．已知关于x 的不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >3}，则a 的值是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式：f (x )<(k ＋1)x －k2－x.10．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围．§3.2 一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0 2．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0(2)a >f (x )max a <f (x )min自主探究(1)⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<0x 1x 2>0(3)⎩⎨⎧Δ>0x 1x 2<0(4)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<2k (x 1－k )(x 2－k )>0 (5)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0(x 1－k )(x 2－k )<0对点讲练例1 解 (1)x ＋12－x ≥－2⇔x ＋12－x ＋2≥0⇔5－x2－x ≥0⇔x －5x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0x －2≠0 ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0 ①x 2－x －6>0 ② ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0 ③x 2－x －6<0 ④由①解得{x |x <－3或x >1}；由②解得{x |x <－2或x >3}．∴不等式组(1)的解集是{x |x <－3或x >3}．由③解得{x |－3<x <1}；由④解得{x |－2<x <3}．∴不等式组(2)的解集是{x |－2<x <1}．综上，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．变式训练1 解因为x 2＋x ＋1>0，所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1，即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．例2 解 (1)要mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)要f (x )<－m ＋5，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0，x ∈[1,3]．方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]，当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)，∴7m －6<0，得m <67.∴0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数． ∴f (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6.∴m <0.综上所述，m <67.方法二 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m <67即可．变式训练2 解不等式变为m (x 2－1)－(2x －1)<0，即f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)<0在{m |－2≤m ≤2}上恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0，f (－2)<0.解得7－12<x <1＋32，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，1＋32. 例3 解设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2. 因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0<x 1<1,1<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3⇒－2<a <－1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}．变式训练3 解令2x ＝t ，则原方程变为t 2＋(m －3)t ＋m ＝0， ∵t >0.∴关于t 的二次方程有两不同正根的充要条件为：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m >0x 1＋x 2＝－(m －3)>0x 1·x 2＝m >0，解得0<m <1.∴所求m 的取值范围为(0,1)．课时作业1．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 2．A [原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2 ⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]3．D [－b <1x <a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >01x <a 或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－b⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x >1a或⎩⎪⎨⎪⎧x <0bx <－1⇔x >1a 或x <－1b .]4．A [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)．] 5．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3 ⇔x <1或x >3.] 6．0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.7．k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 8.23解析原不等式化为axx －1－1＝(a －1)x ＋1x －1<0，其等价于(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.∵不等式的解集为{x |x <1或x >3}，∴x ＝11－a＝3，解得a ＝23.9．解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x 2ax ＋b－x ＋12＝0 得⎩⎨⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可转化为x 2－(k ＋1)x ＋k2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)>0，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； ③当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }．综上知，当1<k <2时，不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；当k ＝2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}；当k >2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 10．解 (1)当a 2－1≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，得a <－1或a >53.又a 2－1＝0时，得a ＝±1.a ＝－1时，满足题意．a ＝1时，不合题意．∴实数a 的取值范围为a ≤－1或a >53.(2)只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故当a 2－1≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ≥0，得1<a ≤53.又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意．a ＝－1时不合题意．∴实数a 的取值范围为1≤a ≤53.。

一元二次不等式及其解法学案

3.2一元二次不等式及其解法主讲人：于锋备课日期：2012-9-26【学习目标】：1、掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：对一元二次方程的根进行讨论，解决实际问题. 【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系. 【学习过程】：一、创设情境，引入课题▲引例（预习作业）你能表示这里的不等关系吗？板书(因特网网费)：设一次上网时间为x 小时。

_____为公司Ａ的收取费用， _________ 为公司B 的收取费用。

_____________ (学生独立完成）整理得： ___________ （学生独立完成）▲⑴解方程270x -=（2）()27f x x =-画出函数图像（3）观察图像，270,270x x ->-<解不等式1、一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式.一般表达形式：2200ax bx c ax bx c ++>++<和 2、作出函数)(x f =25x x -的图象，回答下列问题：（1）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？二、交流探究，发现规律：三、启发引导，形成结论变式1.解不等式:232x x -->2200(0)-1ax bx c ax bx c a ++>++<<★对于和解集，可首先将不等式两边同乘以，再求解。

变式2.求解不等式：()1()0x x a -∙-<探究：已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{x ︱x ＜-2或x ＞1}（1）试找出关于a ，b ，c的关系式.（2）一元二次不等式与一元二次方程的根的关系如何？四、练习小结，深化巩固课本：1、80P 习题 A 2、42、若不等式210ax bx +->的解集是)4,3(，则实数=a ，=b2.关于x 的不等式21mx mx m ++<对R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.21.10R .x x ax a -+>若关于的不等式的解集为求实数的取值范围课后作业：1.P 81 B 组第2题2.已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为)21,31(-，求220cx x a -+->的解集.。

3.2一元二次不等式及其解法(2)

2
2
x的取值范围为{ x | -1 7 x 1 3 }.
2
2
11分 12分
探究提高（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立，
求a的取值范围。
y
解：不等式恒成立，即解集为R
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得： 3 2 2 a 3 2 2
又a 0
解（1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 即当x> 1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分
2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜

3,2一元二次不等式及其解法(导学案)

3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：有两相异实根有两相等实根。

§3.2一元二次不等式及其解法(二)

1第三章 §3.2.一元二次不等式及其解法（2）学习目标：①掌握含参数的一元二次不等式中参数的求值及范围问题； ②掌握一元二次不等式恒成立问题的解法。

③掌握用分类讨论方法解含参数的一元二次不等式的思路。

探究问题（一）含参数的求值问题例1.已知不等式02>++c bx x 的解集为{}1或3-<>x x x ，求b 与c 。

变式练习1：不等式022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，试求a,b 的值。

例2.不等式02>++c bx ax 的解集为{}1或3-<>x x x ，求02>++a bx cx 的解集。

变式练习2：不等式02<++c bx ax 的解集为{}32<<-x x 试求02>++c ax bx探究问题（二）含参数一元二次不等式的解法在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a >0，a ＝0，a <0.(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2. 例3.解不等式x 2+5ax+6>0变式练习3. x 2+5ax+6a 2 >0变式练习4. ax 2+(6a+1)x+6 >0小结：解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；探究问题（二）含参数不等式恒成立问题例4：已知关于x 的不等式(a-2)x 2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，试求a 的取值范围.知识概要：（1）二次不等式ax 2+bx+c ＞0(a ≠0)恒成立⎩⎨⎧<-=>⇔0402ac b a Δ （2）二次不等式ax 2+bx+c ＜0恒成立(a ≠0)⎩⎨⎧<-=<⇔0402ac b a Δ（3）二次不等式ax 2+bx+c≥0恒成立⎩⎨⎧≤-=>⇔0402ac b a Δ （4）二次不等式ax 2+bx+c≤0恒成立 ⎩⎨⎧≤-=<⇔0402ac b a Δ 例5 若关于x 的不等式0222>++x ax 对于一切x 都成立，求实数a 的取值范围.变式练习5：不等式022>+-kx kx 对于一切x 都成立，求实数k 的取值范围.2课后思考：已知函数4222+-+=x a x y )(，（1）对于任意[]013<-∈y x ,,恒成立，求a 的取值范围（2）对于任意[]013<-∈y a ,,恒成立，求x 的取值范围。

3.2一元二次不等式及其解法第2课时精品教案

3.2一元二次不等式及其解法【课题】3.2.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1、知识与技能目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2 、过程与方法目标：通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、函数与方程等基本数学思想；3 、情感、态度与价值观目标：通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。

．【教学重点】重点是一元二次不等式的解法．【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【课前准备】课件．【教学过程设计】1.不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3}解析：在数轴上标出各根.-2 03答案：A2. 下列不等式中与0)2lg(≤-x 同解的是（A ）0)2)(3(≥--x x（B ）023≥--xx （C ）032≥--x x（D ）0)2)(3(>--x x 解析：0)2lg(≤-x 的解是2<x ≤30)2)(3(≥--x x 的解是2≤x ≤3023≥--x x 的解是2<x ≤3 032≥--x x的解是2≤x <3 0)2)(3(>--x x 的解是2<x <3答案.B 3．解不等式3252---x x x ＜－1.解析：原不等式变为3252---x x x ＋1＜0，即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.答案：原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝. 4.不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D. 答案：A5.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔2x +2≤5⇔x ≤23. ∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5， ∴x ＜－2. 综上x ≤23. 答案：（－∞，23］ 6.不等式043)4(2≥---x x x 的解集是____________． 13. {－1} [4，∞+)[解析]：043)4(2≥---x x x 1043042-=⎩⎨⎧≥--≥-⇔x x x x 或 ∴41≥-=x x 或答案：原不等式的解集是｛x ｜41≥-=x x 或｝.。

3.2 第一课时一元二次不等式及其解法

Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法第一课时一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
自主学习
知识探究
1.一元二次不等式的相关概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解 ,一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集 .

必修五3.2.一元二次不等式及其解法(教案)

人教版新课标普通高中◎数学⑤必修3.2 一元二次不等式及其解法教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系.2. 熟练掌握一元二次不等式的解法.二、过程与方法1.通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力.2.通过对问题的思考、探究、交流，培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识.3.在教学中渗透由具体到抽象，由特殊到一般、类比猜想、等价转化的数学思想方法.三、情感、态度与价值观1. 通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受.2.在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯.教学重点和难点教学重点：一元二次不等式的解法.教学难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系.教学关键：使学生明白三个二次之间的关系，规范学生解题的步骤.教学突破方法：采用表格的形式，把“三个二次”关系表制成幻灯片，答案逐个播放，把节省大量的板书时间转化成学生的思考时间；在引导学生结合图象写解集时用白板笔做标记帮助学生分析，突破难点.例题讲解、方法总结环节中，白板演示例题、黑板板书步骤，黑板、白板交替使用既节省了板书例题时间又起到了规范解题步骤的作用，也符合学生接受新事物时的心理.教学小结环节展示整节课的教学导图.教法与学法导航教学方法：选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式.重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识.学习方法：结合本节内容和学生实际，适当引入研究性学习，采用讲练结合方法，通过阅读发现问题，分析探索，合作交流最终形成技能.使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣.教学准备1教师备课系统──多媒体教案2教师准备：把书上的引例、发现“三个一次”联系的过程及教材第77页“三个二次”关系、第78页程序框图制成课件.学生准备：完成预习作业（用不等式表是引例中的不等关系），复习一元二次函数的图象和一元二次方程的解. 教学过程一、创设情境，导入新课引例: 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司（网络服务公司）可供选择，公司A 每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B 的收费原则是：在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.分析：一般说来，一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间总小于17小时. 此时比较一次上网在多长时间内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用.假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x （元），公司B 收取的费用为元）(20)35(x x -. 如果能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少，则x x x 5.120)35(≥-.整理得 052≤-x x这是一个关于x 的一元二次不等式，只要求出满足这个不等式的解集，就可以得到问题的答案.按照我们的命名习惯这个不等式应该叫什么不等式？依据是什么？学生得出一元二次不等式定义.求出不等式中x 的范围，问题就迎刃而解了，一元二次不等式如何解呢？这节课我们将学习如何解一元二次不等式.板书课题：一元二次不等式及其解法. 二、主题探究，合作交流以前解过一次不等式，（1）2x-5>0的解是什么？（2）根据图象回答.不等式2x-7>0的解集为：{x | x >2.5}；不等式2x-7<0的解集为：{x | x <2.5}；不等式2x-7≥0的解集为：{x | x ≥2.5}；不等式2x-7≤0的解集为：{x | x ≤2.5}.（3）思考：一元一次不等式 2x -5>0、一元一次方程 2x -5=0、一元一次函数 y =2x －5这“三个一次”之间有什么联系？（4）结论推广：对于一元一次方程 ax +b =0、一元一次函数 y=ax +b 、一元一次不等式ax +b>0，“三个一次”的关系成立吗?人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3观察要解得不等式x 2-5x ≤0，左边代数式是哪个函数的解析式？左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？你能借助由“三个一次”的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系，求解一元二次不等式吗？请同学们自己亲自动手试一试. 三、拓展创新，应用提高1. 探讨求不等式x 2-5x ≤0的解集. 解：令 f （x ）=x 2-5x ，方程x 2-5x =0的解为x 1=0，x 2=5. 即函数f （x ）=x 2-5x 与x 轴的交点坐标为（0,0）、（5,0），由于二次项系数大于0，所以二次函数的图象抛物线开口向上.由图象易知当0≤x ≤5时，函数值f （x ）≤0，即不等式x 2-5x ≤0的解集为{x |0≤x ≤5}.点评：显然这里不等式的求解用了一元二次函数、一元二次方程，体现了用函数和方程来求解一元二次不等式解集的思想和方法.练习：求解 x 2-5x +6>0的解集.解：不等式的解集为()()+∞⋃∞-,32,.2. 讨论一般情况下一元二次不等式的解集.任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220(0),0(0),ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况.（2）抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，由a 的符号确定.总结：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a > 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况（Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论.教师备课系统──多媒体教案4（2）a <0可以转化为a >0.分△>0，△=0，△<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集.∆=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅教师多媒体演示表格，白板笔做标记.学生观察、分析、交流、探究.例1 求不等式 4x 2-4x +1>0 的解集.解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x . 例2 求不等式－x 2+2x -3>0的解集.教学安排：学生自主完成，教师巡视指导，纠正错误，最后教师有针对性的演板，规范学生解题格式.解：先把二次项系数化为正数 x 2-2x +3<0.因为032,0314222=+-<⨯⨯-=∆x x 方程无实数解,所以原不等式的解集为空集.学生总结解不等式的步骤. 随堂练习：人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5（1）解不等式x 2-7x +12≥0；答：(][),34,-∞⋃+∞ （2）解不等式 -2x 2+x -5<0；答：R （3）解不等式 4x 2-4x +1<0. 答：∅ 四、小结1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；3. 解一元二次不等式的步骤：（1）将二次项系数化为“+”：A =c bx ax ++2>0（或<0）（a >0）（2）计算判别式△，分析不等式的解的情况： ①当△>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若②当△=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φ③当△<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若（3）写出解集.五、课堂作业教材第80页习题3.2 A 组第1、2题；第81页 B 组第1题。

高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案 (2)

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法一、学习目标1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.【重点，难点】教学重点：掌握一元二次不等式的解法.教学难点：运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式。

二、学习过程【情景创设】炮弹发射后运行的高度h(km)与时间t(s)的关系可以用函数h=-t2+20t-1表示,试问炮弹运行到50 km以上的高空所需的时间是多少?上述问题就是通过解不等式-t2+20t-1≥50求出不等式解集的区间长度问题,该不等式是一个一元二次不等式,也就是我们这节课探究的重点——一元二次不等式的解法.【导入新课】1:解一元二次不等式的基本思想(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作.(2)基本思想:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴的交点对应的横坐标的集合就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解集,图象在x轴上方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集,图象在x 轴下方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-错误!未找到引用源。

没有实数根f(x)>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,-错误!未找到引用源。

)∪(-错误!未找到引用源。

,+∞)(-∞,+∞)f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.【典型例题】例1.解下列一元二次不等式(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1解：(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,∴不等式的解集是{x|x≠1}.【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.例2. 含参数型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.解：由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-错误!未找到引用源。

探究式导学案4：§3.2一元二次不等式及其解法

§3.2一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.总结一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练1求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.二、解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．总结解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．变式训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.三、一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．总结利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中0<α<β，a <0，求cx 2＋bx ＋a >0的解集．四、巩固练习1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－322．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2)5．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19C ．559 D ．不存在6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：7．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 9．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．10．解关于x 的不等式：ax 2－2x ＋1>0.五、课堂小结：1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0))的解集为{x |x <x 1或x >x 2}(或{x |x 1<x <x 2} (x 1<x 2))，可得出x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根．参考答案一、一元二次不等式的解法例1解：(1)由－2x 2－x ＋1>0，得2x 2＋x －1<0，因式分解得(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12.即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12.(2)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0. 即解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 变式训练1解：(1)∵－x 2＋7x >6，∴－x 2＋7x －6>0.∴x 2－7x ＋6<0，∴(x －1)(x －6)<0. ∴1<x <6，即不等式的解集是{x |1<x <6}．(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0，因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]<0. ∵m <m ＋1，∴m <x <m ＋1.即不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．二、解含参数的一元二次不等式例2 解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a .综上所述，当a >0时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当a ＝0时解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .变式训练2 解：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．三、一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－ba －13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.变式训练3 解：∵α、β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝ca .∵a <0，∴cx 2＋bx ＋a >0同解变形为c a x 2＋bax ＋1<0.由根与系数关系将α、β代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1<0. 即αβ⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，由0<α<β，可知1α>1β. 所以不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1β<x <1α.四、巩固练习1． B2． D3． B4． B5． A【解析】由已知方程有两实数根得：Δ≥0，解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19， ∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.6． {x |x <－2或x >3} 7．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 8． a >12【解析】 f (x )＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R .∴a >0且Δ＝1－4a 2<0，∴a >12.9．解：∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p 13×⎝⎛⎭⎫－12＝q，∴⎩⎨⎧p ＝16q ＝－16，∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 10．解：①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1>0，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12；②当a <0时，Δ＝4－4a >0，此时不等式为x 2－2a x ＋1a <0，由于方程x 2－2a x ＋1a ＝0的两根分别为1－1－a a 、1＋1－a a ，且1－1－a a >1＋1－aa，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎪⎫x |1＋1－aa<x <1－1－a a ； ③当a >0时，若0<a <1，则Δ>0，此时不等式即x 2－2a x ＋1a >0.∵1－1－a a <1＋1－aa， ∴当0<a <1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－1－a a 或x >1＋1－a a . 若a ＝1，则不等式为(x －1)2>0，∴当a ＝1时，不等式解集为{x |x ∈R 且x ≠1}；若a >1时，则Δ<0，不等式解集为R .综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＋1－a a <x <1－1－a a ；当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1－1－a a 或x >1＋1－a a ；当a ＝1时，不等式的解集为{}x | x ∈R 且x ≠1；当a >1时，不等式的解集为R .。

学案9：§3.2 一元二次不等式及其解法

§3.2 一元二次不等式及其解法学习目标：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 学习过程：知识梳理1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值． 3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间 x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 －＋＋＋ x －2 －－＋＋ x －3－－－＋ (x －3)(x －2)·(x －1) －＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是： (1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式；(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3) f (x )g (x )≥0⇔⎩⎨⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0.(4) f (x )g (x )≤0⇔⎩⎨⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0.注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)． 5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立； (2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b 2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0方法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1：解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2：解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3：已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4：已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5：国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.课堂检测：1.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2.函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，求a的取值范围．3.解不等式：lg x－1≤3－lg x.4．若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.参考答案方法突破例1：解：原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．例2：解：原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k <－2.∴x <－3k ＋2k或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2. 综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2. 例3：解：(1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1. (2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 例4：解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.例5：【解析】对比项调整前调整后税率 8% (8－x )% 收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨) 税收总收入2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m ×(8－x )%解：设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )% ＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．课堂检测：1.解：当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得20,0,a -<⎧⎨∆<⎩即()()()220,424240,a a a -<⎧⎪⎨----<⎪⎩ 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2.2.解：当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足0,10,a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1. 3.解：方法一lg x －1≤3－lg x⇔()2lg 10,3lg 0,lg 13lg x x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≤-⎩⇔21lg 3,lg 7lg 100x x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩⇔1lg 3,lg 2lg 5x x x ≤≤⎧⎨≤≥⎩或⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二设lg x －1＝t ，则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)． ∴lg x －1≤3－lg x ⇔20,2t t t ≥⎧⎨≤-⎩⇔0≤t ≤1 ⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三解方程lg x －1＝3－lg x ，解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数， g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数．且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )，则10≤x ≤100.方法四令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )．即lg x －1≤3－lg x 成立．由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2，解得：10≤x ≤100.4．【解析】令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． ∴k ＝22＋21＋2＝ 2.【答案】2。

学案4：§3.3 一元二次不等式及其解法

§3.3 一元二次不等式及其解法学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系.初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系.学法指导：发现、讨论法；数形结合.”的观念.掌握一元二次不等式的解法及步骤.学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤.知识链接：知识点一一元二次不等式的概念【提出问题】观察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？【导入新知】1．一元二次不等式我们把只含有未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的，叫做这个一元二次不等式的，其解的，称为这个一元二次不等式的.【化解疑难】1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.知识点二一元二次不等式的解法【提出问题】已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标问题2：一元二次方程根是什么？问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？【导入新知】一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{}x|x1<x<x2∅∅【化解疑难】一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【活学活用】1．解下列不等式：(1)x2-5x-6>0；(2)-x2＋7x>6. (3) (2-x)(x＋3)<0；(4) 4(2x2-2x＋1)>x(4-x)．解含参数的一元二次不等式【例1】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【活学活用】2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )．一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例2】已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．【类题通法】1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【活学活用】3．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0. 当堂检测1．不等式4x 2＋4x ＋1≤0的解集为( )A ．{x |x ≠－12}B ．{－12}C ．∅D ．R2．不等式3x 2－7x ＋2<0的解集为( )A ．{x |13<x <2}B ．{x |x <13或x >2}C ．{x |－12<x <－13}D ．{x |x >2}3．不等式－4<x 2－5x ＋2<26的整数解为______________．4．已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}．求：M∩N. 5．解关于x的不等式ax2＋(1－a)x－1>0(a>－1)．参考答案【提出问题】问题1：提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.【导入新知】1．一个最高次数是2 2．x 的值解集合解集【提出问题】问题1：提示：(0,0)、(2,0) 问题2：提示：x 1＝0，x 2＝2.问题3：提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：提示：x ＞2或x ＜0.问题5：提示：能，不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜0}，{x |0＜x ＜2}．【活学活用】1．解：(1)方程x 2-5x -6＝0的两根为x 1＝-1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2-5x -6的图象知，原不等式的解集为{x |x <-1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2-7x ＋6<0.解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}.【例1】解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．【活学活用】2．解：原不等式可化为：(ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＜0∴－1a ＜x ＜1. 当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1.当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a ，综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x |x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.【例2】解：∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)．【活学活用】3．解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0，即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12＜x ＜1}．当堂检测 1．【答案】B【解析】4x 2＋4x ＋1≤0⇒(2x ＋1)2≤0，∴x ＝－12.2．【答案】A【解析】3x 2－7x ＋2<0⇒(3x －1)(x －2)<0⇒13<x <2.3．【答案】－2，－1,0,1,4,5,6,7【解析】⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－5x －24<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x －3)>0，(x －8)(x ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >3，或x <2，－3<x <8.∴－3<x <2，或3<x <8.4．解：由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 即(3x －1)2>0.解得x ≠13.∴M ＝{x |x ∈R ，且x ≠13}．由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0. 解得－1<x <4. ∴N ＝{x |－1<x <4}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <4，且x ≠13}．5．解：二次项系数含有参数，因此对a 在0点处分开讨论．若a ≠0，则原不等式ax 2＋(1－a )x －1>0等价于(x －1)(ax ＋1)>0.其对应方程的根为－1a与1.又因为a >－1，则：①当a ＝0时，原不等式为x －1>0，所以原不等式的解集为{x |x >1}； ②当a >0时，－1a<1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1，或x <－1a ； ③当－1<a <0时，－1a>1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <－1a .。

3.2一元二次不等式及解法2学案

3．2．2 一元二次不等式(二)**学习目标**1．掌握同解不等式之间的转化；2．熟悉并掌握用数轴标根法解高次不等式；3．掌握指数不等式与对数不等式的同解变形**要点精讲** 1 同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2 同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解解指数不等式与对数不等式的实质是利用同解变形进行转化。

3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 4．简单的一元高次不等式：先因式分解，再采用“数轴标根法”。

如：把不等式化为(x –x 1)(x –x 2)(x –x 3)(x –x 4)>0(其中x 1<x 2<x 3<x 4)，再从右往左，从上往下画曲线。

所以不等式的解集为{}1234x x x x x x x x <<<>或或.5．一元分式不等式：采用“数轴标根法”.步骤：移项、通分、（化整式）、求解。

评注：（1）“数轴标根法”的本质是考虑各因式的符号，对于偶次因式，要单独考虑此因式的值能否为零，而奇次因式的符号与一次因式的符号是相同的；（2）如果不等式的一端非零，那么先移项进行因式分解，再判断符号，因式分解要彻底。

**范例分析**例1．解下列不等式（I ）()()2220x x x +--<； (II) 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 。