2018届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

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辽宁省2018年普通高中高三第二次模拟考试数学(理)试题

辽宁省2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,P y y x x R ==-∈，{}1,Q x x x R =≤∈，则P Q ⋂=（）A ．()()(){}1,0,0,1,1,0-B ．{}11x x -≤≤C ．{}1,0,1-D ．(],1-∞ 2.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是（）A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y > 4.已知双曲线()22220,01x y a b a b -=>>，若过一、三象限的渐近线的倾斜角,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．2⎤⎦B ．[]2,4C ．(]1,3D ．⎣ 5.“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数.我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201,201a rand b rand =⋅-=⋅-.在这n 个样本点中，满足220a b rand += 的样本点的个数为m ，当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为（） A ．4m n B ．4m n C ．4n m D ．4nm6.已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()y f x π=-为偶函数C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称7.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4100⨯米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（） A.甲B.乙C.丙D. 丁8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9.条形码()barcode 是将宽度不等的多个黑条和空白，按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符。

2018年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)

2018 年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.集合 A={1 ， 2， 3} ，则集合 A 的子集个数是（）A. 6B. 7C.8D. 92.复数z=i（1-i），则|z|=）（A. 1B.C.2D. 43.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.12B.24C.36D.724. 设等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，S2 =-1，S4=-5 ，则 S6=（）A. -9B. -21C. -25D. -635.某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布 N（ 500，52）．现从该零件的生产线上随机抽取20000 件零件，其中尺寸在（ 500，505）内的零件估计有（）（附：若随机变量X 服从正态分布2N（μ，σ），则 P（μ-σ＜ X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545A.6827 个B.9545 个C.13654 个D.19090个6. 下列函数中，既是偶函数，又在（-∞， 0）上单调递增的是（）A. f（x）=x2B. f（x）=2|x|C.D.7. 双曲线的左焦点为F，虚轴的一个端点为B P，为双曲线C 右支上的一点，若，则双曲线 C 的离心率是（）A. B. C.2 D.8.下面四个命题：p1：命题“ ? n∈N， n2＞ 2n”的否定是“”；p2：向量，则m=n是的充分且必要条件；p3：“在△ABC 中，若 A＞ B，则“ sinA＞ sinB”的逆否命题是“在△ABC中，若sinA≤ sinB，则“ A≤B”；p4：若“ p∧q”是假命题，则p 是假命题．其中为真命题的是（）A. p1，p2B. p2，p3C. p2，p4D. p1，p39. 设椭圆的左焦点为 F ，直线 l ：y=kx（k≠0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则△AFB 周长的取值范围是（）A. （2，4）B.C. （6，8）D. （8，12）10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x， y）（ 0＜ x＜ 1，0＜ y ＜ 1）；②若卡片上的x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为 m；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=113，那么可以估计π的值约为（）A. B. C. D.11.已知sinx+cosx=a，x∈[0，2π），若0＜a＜1，则x的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A.恒成立B.恒成立C. f(1)=0D.当时，；当时，二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.某班共有 36 人，编号分别为 1， 2， 3，， 36．现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 ______．14.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ______．15.已知圆锥的底面直径为，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 ______．16.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若 a1=1，a2 =2，a3n=2n-2a n，a3 n+1=a n+1，a3 n+2=a n-n，则 S60=______ （用数字作答）．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）ABC中，，D是BC边上的一点．17. 在△（ 1）若，求 CD 的长；（ 2）若∠B=120°，求△ABC 周长的取值范围．18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；（ 2）在抽取的这100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20 人参加华为手机宣传活动，现从这20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在 [40， 45）内的人数为X，求 X 的分布列及数学期望．19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为 2 的等边三角形，点O 为 AC 中点，平面 AA1 C1C⊥平面 ABC．（ 1）证明： A1O⊥平面 ABC；（ 2）求直线 AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值．第3页，共 19页220.已知抛物线 C： y =2 px（p＞ 0）的焦点为 F ，点 M 的坐标为（ 6，4），点 N 在抛物线 C 上，且满足，（O为坐标原点）．（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）过点 M 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线l1、l 2，且 l 1与抛物线C 交于 A，B 两点， l2与抛物线C 交于 D， E 两点，线段AB ，DE 的中点分别为G， H ，求证：直线 GH 过定点，并求出定点坐标．21.已知函数/．（ 1）当 a=1 时，解不等式 f （x）≤0；（ 2））若 f（ x）在内有两个不同的两点，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为θl（为参数），直线经过点 P（1， 1），斜率为，直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点．（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）求 ||PA |-|PB||的值．23.关于x的不等式的解集为R．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）若 a， b，c＞ 0，且 a+b+c=m，求证：．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据排列组合知识或直接逐一写出计算，本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查．【解答】解：集全A={1 ，2，3} 的子集有：? ，{1} ，{2} ，{3} ，{1 ，2} ，{1 ，3} ，{2 ，3} ，{1 ，2， 3} ，共 8个．故选 C．2.【答案】B【解析】解：∵z=i（1-i ）=1+i，∴|z|=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，是一个以正视图为底面的三棱柱，底面是直角边长为：4，3，棱柱的高为 6，所以几何体的体积为：=36．故选 C．4.【答案】B【解析】解：∵数列 {a n} 为等比数列，且 S2=-1，S4=-5，∴S2，S4-S2，S6-S4构成等比数列，即-1-4S+5则2S =-21构成等比数列，．6（）（6），得6故选：B．由等比数列的性质结合已知列关于 S6的方程求解．本题考查等比数列的前 n 项和，考查等比数列的性质，是基础的计算题．5.【答案】A【解析】解：其中尺寸在（500，505）内的零件估计=0.6827 ×20000=6827．故选：A．其中尺寸在（500，505）内的零件 X 属于（μ-σ，μ+σ），即可得出．本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对2为间为题于 A ，f （x）=x ，f（-x ）=f（x），偶函数，在区（-∞，0）减函数，不符合意；对于 B，f（x|x|f（-x）=f（x），为偶函数，当 x＜0 时，f （x）=2|x| -xx，）=2 ，=2=（）在区间（-∞，0）为减函数，不符合题意；对于 C，f （x）=log2为时，f（x）=log2=log2，f（-x ）=f（x），偶函数，当 x＜0（-）=-log2（-x），在区间（-∞，0）为增函数，符合题意；对于 D，f （x）=||，f（-x ）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定 P 的坐标是解题的关键．利用左焦点为 F（-c，0），点B（0，b），线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 P，确定 P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率．【解答】解：设 P（x，y），∵左焦点为设线线C 的右支交于点 P，F（-c，0），不妨点 B（0，b），段 BF 与双曲∵，∴x=c，y=2b，代入双曲线方程，可得-=1，∴e= =．故选 D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．直接写出全程命题的否定判断 A ；由向量垂直的坐标运算结合充分必要条件的判定方法判断B；写出原命题的逆否命题判断 C；由复合命题的真假判断判断 D．【解答】题“ n∈N，n 2＞2n”的否定是“∈ ，”，故为假命题；p10N向量，由 m×1-1 ×n=0?则m=n 是m=n，的充分且必要条件，故 p2是真命题；“在△ABC 中，若 A ＞B，则“ sinA＞ sinB ”的逆否命题是“在△ABC 中，若sinA ≤ sinB，则“ A≤ B，”故p3是真命题；若“p∧q”是假命题，则 p、q 中至少一个是假命题，故p4是假命题．∴其中为真命题的是 p2，p3．故选 B．9.【答案】C 【解析】椭圆的左焦点为F（-解：∵，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx （k≠0）与椭圆 C 交于 A ，B 两点，连结 BF2，则 AF=BF 2，AB=2OB ，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB 周长的取值范围是（6，8）．故选：C．画出图形，利用椭圆的定义，转化求解△AFB 周长的取值范围，本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．500 对都小于 l 的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对满22＞1且积为1- ，由此能估计π的值．（x，y），足 x+y，x+y＞1，面【解答】题对都小于 l 的正实数对满积为1，解：由意，500（x，y）足，面两个数能与 1 构成锐角三角形三边的数对满22＞1且，（x，y），足 x+y积为1-，x+y＞ 1，面因为统计两数能与 l 构成锐角三角形三边的数对（x ，y）的个数 m=113，所以=1-，所以π=．故选 A．【答案】 D11.【解析】解：a=sinx+cosx=，∵0＜a＜1，∴0＜＜1，即 0＜sin（x+ ）＜，∴2k π或，k∈Z．即或，k∈Z．∵x∈[0，2π），∴x∈，故选：D．由已知利用辅助角公式化积，结合 0＜a＜ 1 转化为三角不等式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查三角不等式的解法，是中档题．12.【答案】A【解析】【分析】构造函数 g（x ）=（x-1）f（x），求函数的导数，判断函数的单调性，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，判断函数的单调性以及利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键．【解答】解：由题意设 g（x）=（x-1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x-1）f′（x），∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0，∴g（x ）在（-∞，+∞）上为增函数，当 x=1 时，g（1）=0，即当 x＞1 时，g（x）＞g（1）=0，即（x-1 ）f（x）＞0，得f （x）＞0，当 x＜1 时，g（x）＜g（1）=0，即（x-1 ）f（x）< 0，得 f（x）＞0，∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0∴f（1）+（1-1）f'（1）＞0，即 f（1）＞0，综上 f （x）＞0 恒成立，故选 A．13.【答案】21【解析】【分析】本题考查系统抽样,根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可．【解答】解 : 样本抽取间隔为 36÷4=9，则样本中还有一个编号是 12+9=21，故答案为 21.14.【答案】【解析】执图所示的程序框图，如下；解：行如n=1，s=2，满足循环条件 n≤ 2018；计算 s=满环条件 n≤2018；=-3，n=2，足循计算 s==-满环条件 n≤2018；，n=3，足循计算 s==，n=4，满足循环条件 n≤2018；计算 s==2，n=5，满足循环条件 n≤2018；；计算 s 的值是以 4 为周期的数值，n=2018=4×504+2 时，计算 s=-，n=2019，不满足循环条件n≤2018，终止循环，输出的 S值为-．故答案为：-．模拟程序的运行过程知：该程序是利用循环计算变量 s 的值，并输出满足条件的 s 值，找出规律，不难得到输出结果．本题主要考查了循环结构应用问题，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，OA=，PA=1，则PO=，设OD=x，（0≤x＜则=，）， PD=BC=2=，∴截面三角形 PBC 的面积 S===．∴当，即x=时，S 有最大值为．故答案为：．由题意画出图形，设圆锥底面圆的圆心到截面底边距离为 x，然后把截面面积用含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最值．本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．16.【答案】264【解析】解：∵a3n=2n-2a n，a3n+1 =a n+1，a3n+2=a n-n，a1=1，a2=2，∴a3=2-2a1=2-2=0，a4=a1+1=2，a5=a2-2=0，∴a6=a3×2=2×2-2a2=4-2 ×2=0，∴a20=a3×6+2=a6-6=-6∴a60=2×20-2a20=40+12=52∴a3+a4+a5=2∴a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，∴S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=1+2+ +52=264，故答案为：264．根据题意可得 a3+a4+a5=2，a60=52，a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，则 S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=264．本题考查了数列的递推公式和数列的求和公式，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（ 1）在△ADC 中， AD=1， AC=2 ，所以?=||?||?cos∠DAC =1×2×cos∠DAC =3，所以 cos∠DAC =．由余弦定理得CD222-2AC AD cos DAC=12+1-2 ×2×1× =7，?∠所以 CD=．（2）在△ABC 中，由正弦定理得=，所以 AB+BC=4 （ sinA+sinC），=，由于，所以，AB +BC则 AB+BC+AC，所以△ABC 周长的取值范围为.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理和余弦定理的应用．（1）直接利用向量的数量积的应用和余弦定理求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．18.【答案】解：（1）根据题意，计算平均数的估计值为=（ 27.5 ×0.01+32.5 0×.04+37.5 0×.07+42.50×.06+47.5 0×.02）× 5=38.5 ≈39；中位数的估计值为：因为 5×0.01+5 ×0.04=0.25 ＜ 0.5，5×0.06+5 ×0.02=0.4 ＜ 0.5，所以中位数位于区间[35， 40）年龄段中，设中位数为x，所以 0.24+0.07 ×（x-35） =0.5， x≈39；（ 2）用分层抽样的方法，抽取的20 人，应有 6 人位于 [40， 45）年龄段内，14人位于 [40 ，45）年龄段外；依题意， X 的可能值为 0，1， 2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；所以 X 的分布列为：X012P（ X）数学期望为EX=0×+1×+2×= ．【解析】（1）利用频率分布直方图计算平均数和中位数的估计值即可；（2）用分层抽样法结合题意知随机变量 X 的可能值，本题考查了利用频率分布直方图求平均数与中位数的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．19.【答案】（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面 AA1C1C⊥平面 ABC，且交线为AC，又 A1O? 平面 AA1C1C，∴A1O⊥平面 ABC；（ 2）解：如图，以O 为原点， OB，OC， OA1为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），，平面 A1BC1的法向量为，则有，所以的一组解为，设直线 AB 与平面 A1BC1所成角为α，则 sin α=又∵== =，所以直线AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值：．【解析】（1）证明 A 1O⊥AC，通过平面 AA 1C1C⊥平面 ABC ，推出 A 1O⊥平面 ABC ．（2）如图，以O 为原点，OB，OC，OA 1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．求标为设线A 1BC1所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．1）解：∵，点M 6 4N920.【答案】（的坐标为（，），可得点的坐标为（，6），C 的方程为 y2=4x．∴36=18p，∴p=2，所以抛物线（ 2）证明：由条件可知，直线l1，l 2的斜率存在且均不能为0，也不能为1、 -1设 l1：y=k（ x-6） +4，则 l 2的方程为 y= （ x-6） +4，将 l1方程与抛物线方程联立得ky2 -4y+16-24k=0，设 A（x1， y1）， B（ x2， y2），则 y1+y2= ，又 y1+y2=k（ x1+x2 -12） +8 ，∴x1+x2=，∴点 G 的坐标为（），用代替 k，得到点 H 坐标为（2k2-4k+6， 2k），∴k GH=，GH y-2k=[x-（2k2） ]．∴ 方程为：-4k+6整理得（ k+） y=x-4．令 y=0 ，则 x=4，所以直线 GH 过定点（ 4，0）．【解析】熟练掌握向量的运算法则、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、根与系数的关系、斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式是解题的关键．（1）利用向量线段即可得到点 N 的坐标，代入抛物线 C 的方程即可得到 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程；（2）设直线 l1，l2，的方程，与抛物线 C 的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点 G，H 的坐标，从而得到直线 GH 的方程，令 y=0，只要x 是一个常数即可．21.时， f（ x） =， f′（ x） =，【答案】解：（ 1）当 a=1令 g（ x）=1-ln x-x2，可得 g′（ x） =＜0，x∈（0，+∞），在（ 1， +∞）上， g（ x）＜ 0．∴f（x）在（ 0，1）上为增函数，在（1， +∞）上为减函数，∴f（x）max=f（ 1） =0 ，即 f（ x）≤0．∴不等式 f（ x）≤0的解集为（ 0， +∞）；（ 2） f（ x）在内有两个不同的零点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（ x）=，，令φ（ x） =1- x-2ln x，φ′（ x） =1- ＜ 0， x∈[]，∴φ（ x）在 []上单调递减，且φ（ 1）=0．2∴当＜ x＜ 1 时， h′（ x）＞ 0，当 1＜x＜ e 时， h′（ x）＜ 0，∴h（ x）在（）上单调递增，在（ 1， e2）上单调递减，又 h（） =e-e2＜ 0， h（ e2） =＞ 0， h（ 1） =1，∴≤a＜1．即 f（ x）在内有两个不同的零点， a 的取值范围是 [， 1）．【解析】导2导（1）把a=1代入 f（x）求得 f ′（x）=，令g（x ）=1-lnx-x，再由数判断间为为g（x）在不同区内的符号，可得 f（x）在（0，1）上增函数，在（1，+∞）上减函数，从而求得 f （x）（），即（）≤0，可得不等式（）≤0的解集为（，max=f 1=0 f x f x0 +∞）；（2）把f（x）在内有两个不同的两点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（x）=，利用导数求其极值，即可得到满足 f （x）在内有两个不同的零点的 a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调查利用导数求函数的最值现性，考，体了数学转化思想方法，是中档题．22.（θ为参数），【答案】解：（ 1）∵曲线 C 的参数方程为∴曲线 C 的普通方程为=1．第17 页，共 19页∴直线 l 的参数方程为：（t为参数）．（ 2）直线 l：（t为参数），将直线l 代入=1 中，得 84t2+240t-125=0 ，∵＜1，∴点 P（ 1， 1）在椭圆的内部，∴直线 l 与曲线 C 的交点 A， B 位于点 P 的两侧，即点A，B 所对应的t 值异号．设点 A 的对应值为t1，点 B 的对应值为t2，则 t1 +t2=-，t1t2=-，故 ||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=|- |= ．【解析】本题考查曲线的普通方程、直线的参数方程的求法，考查两线段的差的绝对值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（1）曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程；由直线 l 经过点 P （1，1），斜率为，能求出直线l的参数方程．（2）直线 l 的参数方程代入=1 中，得 84t 2+240t-125=0，由此能求出||PA|-|PB||．．23.【答案】（Ⅰ）解：∵不等式的解集为R，∴（）2≤（ x+2）2恒成立，整理得：223x +（ 16-4m） x+16-4 m ≥0，由题可得：△=（ 16-4m）2-4 ×3×（16-4m2）≤0，即（ m-1）2≤0，∴m=1．（Ⅱ）证明：∵a+b+c=1， a+b≥2， b+c≥2， c+a≥2，∴=1，∵（++）2=a+b+c+2+2+2，∴（++）2≤3，所以++≤（当且仅当 a=b=c=时取等号）成立．【解析】问题等价于（2≤ x+222+（16-4m））（x+16-4m 222≤0m，≥0，由△=（16-4m）-4×3×（16-4m）可得=1，可得（+ +2（Ⅱ）由）=a+b+c+2+2+2≤3既可证明，本题考查了不等式恒成立问题、不等式得证明，属于中档题．。

辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题Word版含答案

辽宁省大连市2017届高三四模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2，4} C．{1，4} D．{0，1，2}2．设复数，则复数z﹣1的摸为（）A． B．4 C．D．23．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（）A．1 B．C．2 D．4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．5．在等比数列{a n}中，已知a3=2，a3+a5+a7=26，则a7=（）A．12 B．18 C．24 D．366．执行如图所示的程序框图，若输入m=3，n=4，则输出a=（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知α为第二象限角，sin（α+）=，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣38．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1 C．2 D．10．已知函数的图象过点，若对x∈R 恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．1611．已知函数，若∃x0∈R，使得成立，则实数m的取值范围为（）A．B． C．D．12．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若y轴上存在点A（0，2），使得，则p的值为（）A．2或8 B．2 C．8 D．4或8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+1，则= ．14．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a=2b，C=60°，则B= ．15．若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当OA⊥OB（O是坐标点）时，ab 的最大值为．16．已知x=1是函数的极小值点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，设数列{b n}的前n项和S n，证明．18．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，点M是PC的中点．（I）求证：PA∥平面MBD；（II）求四面体P﹣BDM的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y﹣2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣2axlnx﹣2a+1（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意在x∈22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为为参数），直线l过点（﹣1，0），且斜率为，射线OM的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式，f（x）+f（x+3）≤4；（2）若a＞0，求证：f（ax）+af（x）≥f（a）．辽宁省大连市2017届高三数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2，4} C．{1，4} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】把M中元素代入y=x2，求出y的值确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，∴N={0，1，4}，则M∩N={0，1}，故选：A．2．设复数，则复数z﹣1的摸为（）A． B．4 C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==﹣2+i，则复数z﹣1=﹣3+i的摸==．故选：A．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=（1，0），=（，），则﹣2=（，﹣），故|﹣2|==1，故选：A．4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线的倾斜角，推出b，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，可得b=tan=，则c=2，则双曲线C的离心率为：．故选：C．5．在等比数列{a n}中，已知a3=2，a3+a5+a7=26，则a7=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，a3=2，a3+a5+a7=26，可得： =2，=26，即2（1+q2+q4）=26，联立解出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a3+a5+a7=26，∴=2， =26，即2（1+q2+q4）=26，解得：q2=3，a1=．则a7==18．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入m=3，n=4，则输出a=（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，即可得出程序结束时输出的a值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入m=3，n=4，i=1，a=3×1+4=7，a不能被n整除；i=2，a=3×2+4=10，a不能被n整除；i=3，a=3×3+4=13，a不能被n整除；i=4，a=3×4+4=16，a能被n整除；结束循环，输出a=16．故选：D．7．已知α为第二象限角，sin（α+）=，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣3【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sinα+cosα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得12tan2α+25tanα+12=0，进而解得tanα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，sin（α+）=，可得：（sinα+cosα）=，可得：sinα+cosα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===﹣，整理可得：12tan2α+25tanα+12=0，∴解得：tanα=﹣，或﹣．∵tanα=﹣=．可得：sinα=﹣cosα，解得cosα=＞0，由于α为第二象限角，矛盾．故舍去．∴tanα=﹣．故选：C．8．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的可行域，并求出各角点坐标，代入目标函数，比较后可得最优解．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵目标函数z=x﹣2y，由可行域可知，目标函数经过A时，目标函数取得最大值：由解得A（2，0），故z=x﹣2y的最大值是2．故选：D．9．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1 C．2 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，即可得出结论．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得x=，故2x=1，故新工件的体积为1．故选B．10．已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据函数f（x）的图象过点求出φ的值，再由对x∈R恒成立，得出ω•+=2kπ+，k∈Z，由此求出ω的最小值．【解答】解：函数的图象过点，∴f（0）=sinφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）；又对x∈R恒成立，∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，k∈Z，∴ω的最小值为4．故选：C．11．已知函数，若∃x0∈R，使得成立，则实数m的取值范围为（）A．B． C．D．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】求出分段函数的最小值，然后求解不等式的解集即可．【解答】解：函数，当x≤2时，函数是二次函数的一部分，二次函数的对称轴x=1，函数的最小值为：1．当x＞2时．y=log2x＞1，若∃x0∈R，使得成立，可得1≤5m﹣4m2，解得m∈．故选：B．12．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若y轴上存在点A（0，2），使得，则p的值为（）A．2或8 B．2 C．8 D．4或8【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设M（，t），运用抛物线的定义和向量的加减坐标运算和数量积的坐标表示，解方程即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，设M（，t），由|MF|=5，抛物线的定义可得， +=5，①又y轴上存在点A（0，2），使得，即有（（，t﹣2）•（，﹣2）=0，即有•﹣2（t﹣2）=0，解得t=4．代入①，即为p2﹣10p+16=0，解得p=2或8．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+1，则= ﹣2．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】判断log3的符号，利用奇函数的性质和对数的运算性质计算．【解答】解：∵log3＜0，f（log3）=﹣f（log43）=﹣f（log2）=﹣2+1=﹣2．故答案为：．14．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a=2b，C=60°，则B= 30°．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理可得：2sinB=sin，由两角差的正弦函数公式可求sin（B ﹣30°）=0，由B为锐角，可求B的值．【解答】解：∵a=2b，C=60°，可得：A=120°﹣B，∴由正弦定理可得：sinA=2sinB=sin，可得：2sinB=cosB+sinB，∴sin（B﹣30°）=0，可得：sin（B﹣30°）=0，∵b＜a，B为锐角，∴B=30°．故答案为：30°．15．若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当OA⊥OB（O是坐标点）时，ab的最大值为．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】当OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为，由此利用基本不等式，能求出ab的最大值．【解答】解：直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当OA⊥OB（O是坐标点）时，则圆心到直线的距离d==，∴a2+b2=，∴2ab≤a2+b2=，∴ab≤，∴ab的最大值为，故答案为：．16．已知x=1是函数的极小值点，则实数k的取值范围是（0，e）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到（x﹣1）（e x﹣k）＜0，（x＜1），求出k的范围即可．【解答】解：f′（x）=（x﹣1）e x﹣kx+k，若x=1是函数的极小值点，则x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0，即（x﹣1）（e x﹣k）＜0，x＜1，即0＜k＜e x＜e故答案为：（0，e）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，设数列{b n}的前n项和S n，证明．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．得到通项公式．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，即可证明结果．【解答】解：（1）由于，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n）﹣2+…+，故数列{a n}的通项公式为．（2）证明：由，可得，则，因为，故．18．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．【考点】BA：茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图中的数据，利用平均数和中位数的公式进行计算即可．（2）根据古典概型的概率公式分别进行计算即可．【解答】解：（1）男性的平均数为（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）==69，女性的中位数为=77（2）打分在70分以下（不含70分）的市民中有6名，女性2名，男性4名，从中抽取3人有=20种方法，有女性被抽中有=12+4=16，则对应的概率P==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，点M是PC的中点．（I）求证：PA∥平面MBD；（II）求四面体P﹣BDM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO，由三角形中位线定理可得PA∥MO，再由线面平行的判定可得PA∥平面MBD；（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，由面面垂直的性质可得PH⊥平面ABCD．然后利用等积法求得四面体P﹣BDM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴PA∥MO，又MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴PA∥平面MBD；（Ⅱ）解：取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，∴PH⊥平面ABCD．在直角三角形PHC中，HC=．∴DC=．又∵V P﹣BDM=V P﹣BDC﹣V M﹣BDC=，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y﹣2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，结合，设P（x0，y0），推出a2=3b2，结合c=2然后求解椭圆C的方程．（2）设线段DE的中点为H，说明MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理求出H的坐标，通过k MH•k l=﹣1，求解即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，相减得，，由题意知，设P（x0，y0），因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得a2=3b2，即a2=3（a2﹣c2），即，又因为c=2，∴a2=6，所以椭圆C的方程为．（2）设线段DE的中点为H，因为∠MDE=∠MED，所以MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，设D（x3，y3），E（x4，y4），则．则，，即，由已知得k MH•k l=﹣1，∴，整理得，因为k2＞0，所以，所以t的取值范围是．21．已知函数f（x）=x2﹣2axlnx﹣2a+1（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意在x∈．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为为参数），直线l过点（﹣1，0），且斜率为，射线OM的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出曲线C的极坐标方程；先求出直线l的方程，由此能求出直线l的极坐标方程．（2）当时，分别求出|OP|和|OQ|，由此能求出线段PQ的长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ﹣2sinθ=0，即曲线C的极坐标方程为．∵直线l过点（﹣1，0），且斜率为，∴直线l的方程为，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．（2）当时，，故线段PQ的长为．23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式，f（x）+f（x+3）≤4；（2）若a＞0，求证：f（ax）+af（x）≥f（a）．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过当x≤﹣2时，当﹣2＜x≤1时，当x＞1时，去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．（2）化简f（ax）+af（x）=|ax﹣1|+a|x﹣1|，利用绝对值的几何意义，证明即可．【解答】解：（1）由题意，得f（x）+f（x+3）=|x﹣1|+|x+2|，因此只需解不等式|x﹣1|+|x+2|≤4．当x≤﹣2时，原不等式等价于﹣2x﹣1≤4，即；当﹣2＜x≤1时，原不等式等价于3≤4，即﹣2＜x≤1；当x＞1时，原不等式等价于2x+1≤4，即，综上，原本不等式的解集为．（2）证明：由题意得f（ax）+af（x）=|ax﹣1|+a|x﹣1|=|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|（ax﹣1）﹣（ax﹣a）|=|a ﹣1|=f（a）所以a＞0，f（ax）+af（x）≥f（a）．。

2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析

2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0，所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。

高三数学-2018年大连市高考模拟试题(二)-数学精品

2018年大连市高考模拟试题（二）数学试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数||x x y =的图象大致是（）2．对于不同的两直线a 、b 和不重合平面α、β，a //b 的一个充分条件是（）A ．αα//,//b aB ．βαβα//,//,//b aC ．βαβα//,,⊥⊥b aD ．βαβα//,,b a ⊥⊥3．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若58215a a a -=+，则S 9等于（）A ．18B ．36C ．45D ．604．点P 是曲线x y ln =上任意一点，则点P 到直线x y 2=的最短距离为（）A ．52 B ．552 C ．52 D ．510 5．若△ABC 的内角A 满足0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且，则角A 的取值范围是（）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππ D ．)43,4(ππ 6．在6)2(-x 的展开式中，2x 的系数是（）A ．230-B ．240-C ．30D ．607．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，用ξ表示取到的次品个数，则ξE 等于（）A ．53 B ．158 C ．1514 D ．18．若点D 在三角形ABC 的BC 边上，且s r s r ++==3,4则的值为（）A ．516B ．512 C ．58 D ．54 9．定义在实数集R 上的函数)(x f y =具有下列两条性质：（）①对于任意∈x R ，都有33)]([)(x f x f =；②对于任意∈21,x x R ，都有)()(21x f x f ≠，则)1()0()1(f f f ++-的值为（）A ．1B ．2C ．－1D ．010．点P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，三角形PF 1F 2的内切圆半径为23，则当点P 在第一象限时，点P 的纵坐标为（）A ．2B ．4C ．62D ．255 11．一个各面均涂有油漆的正方体锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体搅拌在一起，则任取一个小正方体，恰好是一个只有两个面是涂漆的概率是（）A ．12512B ．253 C ．101 D ．12112．若∈=n n n f (6sin)(πN*），则)2002()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于（） A ．21 B ．23 C ．231+ D ．2323+ 二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知A 、B 是平面α外两点，在平面α内与A 、B 两点距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③空集.其中正确的命题有 .（把正确命题的序号都填上） 14．ABCD 是平行四边形，已知A （－1，3），C （－3，2），点D 在直线013:=+-y x l 上移动，则点B 的轨迹方程为 .15．已知xy y x y x 则,lg lg )(lg )(lg 2222+=+的取值范围为 . 16．如右图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为2n －1，（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数1232sin 3sin 21)(2++-=x x x f （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）该函数图象能否由x y sin =的图象按某个向量a 平移得到.若能，求出满足条件的向量；若不能，说明理由.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为2a的正方体A1B1C1D1—ABCD中，E为侧棱C1C的中点.（Ⅰ）求二面角D—B1E—B的大小；（Ⅱ）试判断AC与平面DB1E的位置关系，并说明理由.19．（本小题满分12分）有某射击手，每五发子弹平均有三发可以射中，（Ⅰ）试求射击n发子弹时每发都射不中的概率；（Ⅱ）设这个射击手至少有1发射中的概率大于0.999，试问此时他必须射击多少次？（参考数据lg2=0.3010）20．（本小题满分12分）已知数列),0(,1,}{21>==r r a a a n 中且数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （q>0且q ≠1）的等比数列，又设).,3,2,1(212 =-=-n a a b n n n（Ⅰ）求数列的通项b n 及其前n 项和S n ；（Ⅱ）假设对任意n>1都有S n >b n ，求r 的取值范围.21．（本小题满分12分）设函数)(x f y =是定义在实数集R 上的一个不恒等于0的连续函数，且满足：对于任意不相等的两个实数x 、y ，都有)]()()[()()(y f x f yx yx f y f x f --+=+恒成立. （Ⅰ）求f(0)和f(1)的值；（Ⅱ）判断)(x f y =的奇偶性，并加以证明.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆).0(235:222>=+m m y x C 经过椭圆C 的右焦点F 且以i =（1，1）为方向向量的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆C 于N 点.（Ⅰ）证明：;ON OB OA =+ （Ⅱ）求⋅的值.数学试卷参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.C6.D7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.A 二、填空题13．①②③ 14．x －3y+18=0 15．[1，118] 16．n 2－2n+3 三、解答题17．解（Ⅰ）1cos 23sin 211232cos 13sin 21)(++=++--=x x x x x f1)3sin(++=πx …………3分 ∴π2=T当∈+=+=+k k x k x ,62,223时即πππππZ 2)(m a x =x f …………6分（Ⅱ）设该函数图象能由y=sin x 的图象按向量),(n m a =平移得到则有,1,313=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=n m y y x x ππ…………9分又由π2=T 知：∈-=k k (),1,32(ππZ ）为满足要求的所有向量.…………12分）18．解（Ⅰ）在平面BCC 1B 1中，延长B 1E 交BC 于M ，作CT 垂直B 1M 于T ，连结DT ， ∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DT ⊥B 1M∴∠DTC 就是二面角D —B 1E —B 的平面角……3分∵△CTE ∽△B 1C 1E ， ∴,111EB C B CECT =又B 1C 1=2a ，CE=a ，B 1E=a 5，∴CT=52111a EB CEC B =⋅∵CT ⊂平面BCC 1B 1， ∴DC ⊥CT …………6分在Rt △DCT 中，tan ∠DTC=5=CTDC∴二面角D —B 1E —B 的大小为5arctan …………8分（Ⅱ）∵E 为CC 1的中点， ∴△CME ≌△C 1B 1E ∴CM=B 1C 1=AD …………10分又CM//AD ， ∴ACMD 为平行四边形∴AC//DM ，且DM ⊂平面DB 1E ，而AC ⊄平面DB 1E ， ∴AC//平面DB 1E ……12分 19．解：（Ⅰ）射中的概率为53，从而射不中的概率为,52…………2分因此，n 发都射不中的概率为.)52(n………………4分（Ⅱ）设该射手必须射击n 次，由于射击n 发每发射不中的概率是,)52(n从而n 发中至少有1发射中的概率是1－n)52(.…………6分由题知：1－n)52(>0.999， ∴n)52(<0.001.…………8分两边取以10为底数的对数， ∴.5.73980.03,3)12lg 2(≈>∴-<-n n ……10分由于n 为正整数，因此n ≥8.答：这个射手必须射击8发以上（含8发）.…………12分20．解（Ⅰ）∵}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列， ∴q a a a a a a nn n n n n ==⋅⋅++++2121∴}{12-n a 、{}n a 2分别是首项为1与r ，公比均为q 的等比数列 ……3分 ∴12112,---==n n n n rq a q a ∴),3,2,1()1(1212 =-=-=--n q r a a b n n n n ……6分 ∵1≠q ， ∴qq r qq r S nn n ---=+++-=-11)1()1)(1(1……7分（Ⅱ）qq r q q q r b S n n n n n ---=----=---11)1()11)(1(11…………8分对任意n>1，当011,01,01,10,10111>--∴>->-∴<<<<---q q q q q q n n n 时当011,01,01,1>--∴<-<->q q q q q n n 时…………10分故当n>1时，均有,0111>---q q n ∴当0<r<1时，∵1－r>0，则S n －b n >0,因此，对任意n>1，使S n >b n 的取值范围是0<r<1.…………12分21．（Ⅰ）在所给表达式中，取y=0，x ≠0得)0)](0()()[1()0()(≠-=+x f x f f f x f ……（*）…………2分由于)(x f 是连续函数，∴),0()(lim 0f x f x =→所以在上式中令0→x 得 )]0()0()[1()0()0(f f f f f -=+…………4分从而f(0)=0 …………5分又由于)(x f 不恒等于0，所以存在∈0x R ，使0)(0≠x f 所以对于（*）式可为 0)0()]0()()[1()0()(00=-=+f f x f f f x f 且……6分 ∴1)1(0)(),()1()(000=∴≠=f x f x f f x f 而…………8分（Ⅱ）在所给表达式中，取y=－x 得0)]()()[0()]()()[()()(=--=--+-=-+x f x f f x f x f xx x x f x f x f ……10分即)()()()(x f x f x f x f -=-⇒--= ∴)(x f 是一个奇函数…………12分22．（Ⅰ）∵,23,252222m b m a == ∴)0,(,2222m F m b a c ∴=-= ∵直线l 过焦点F 且与向量i =（1，1）平行，∴直线l 的方程为y=x －m …………2分将其代入椭圆C 的方程，并整理得02510822=--m mx x ① 设),,(),(),,(),,(N N M M B B A A y x N y x M y x B y x A∵M 是线段AB 的中点，在方程①中由韦达定理得： ,83,852m m x y m x x x M M B A M -=-==+=又 ∴)83,85(m m M -……4分设N ′为OM 延长线上的点，且M 为ON ′的中点，则N ′)43,45(m m -，且四边形OAN ′B 为平行四边形，将N ′的坐标代入椭圆C 方程的左端并化简得： .21)43(31)45(51222m m m =-⋅+⋅ 故N ′点在椭圆C 上，∴N ′与N 点重合.∴四边形OANB 为平行四边形…………8分 ∴=+…………9分（Ⅱ）B A B A y y x x OB OA +=⋅……10分在方程①中由韦达定理得2165m x x B A -= ∴2)())((m x x m x x m x m x y y B A B A B A B A ++-=--= 222216945165m m m m -=+--=…………12分 ∴22287169165m m m -=--=⋅…………14分。

东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)含答案

东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （）A．（-1,0）B．（0,1）C．（-1,3）D．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（）A．1B．0C．1-D．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（）中国古代的算筹数码A．B．C．D．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n-的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（）A．1+=n n 和6B．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8D．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（）A．B． C.D．6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A．34B．3310C.32D．3387.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A．24B．36C.48D．608.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC b A c C a B b ∆=+=,2,cos cos cos 2的面积最大值是（）A．1B．3C.2D．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（）A．π3B．π4 C.π5D．π610.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（）A．512πB．712πC．924π1D．4124π11..已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．2B．2C．2D．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（）条切线A．0B．1C．2D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）气温x 181310-1用电量y2434·6415.已知函数()f x 满足1()(1)f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC = ，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（I）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项n c ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）．（I）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（II）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I）求1C 与2C 交点的极坐标；（II）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈．（I）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（II）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.1414.3815.72-16.22432-三、解答题17.解：（1）∵21n S n n =-+，∴令1n =，11a =，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与n a （2n ≥）时合并，∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==，∴2424b q b ==，∴2q =，∴11b =，∴12n n b -=．（2）122112nn n T -==--，∵12121c c -=-，23221c c -=-，…，1121n n n c c ---=-，以上各式相加得112(12)(1)n n c c n ---=---，111c a ==，∴121nn c n -=--，∴21nn c =-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =，平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X 的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(15125P X C ==-=，11234412(1)()(155125P X C ==-=，2234448(2)()(155125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===，所以X 的分布列为：X 0123P1125121254812564125∵4~(3,5X B ，∴412()355E X =⨯=．19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =，∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =，∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z = ，111(,,222EF =- ，11(,,1)22FC =- ，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =- ，设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z = ，(1,0,1)PD =- ，(1,1,1)PC =-，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =，121212cos ,14||||n n n n n n ⋅<>===⋅，所以平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为5714．20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =，椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,2代入得22191412c c+=，∴21c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+，点P (2,0)-到直线l的距离为，点(2,0)Q 到直线l，从而四边形APBQ的面积222112(1)24123434m S m m +=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t =，1t ≥，有24t S =+2413t t =+，设函数1()3f t t =+，1'()30f t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6．21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，'()240x af x x e=-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈，∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==，∵max(42)x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)xxg x e f x x x e a ==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞，∴122221122(45)(45)2(45)2xxmx x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)xx m x x e x x em m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx x x e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0xx x e ϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m xm x F x m x em x e +-=+----，∵0x >，∴0m x m x e e +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增，∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>，又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知2OQ QP = ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈．23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得10x ≤≤；当30x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x =-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x在[上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-，当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,2-∞-上单调递减，所以min 335()(026g x g m =-=+≥，所以356m ≥-，综上，3m ≥--．。

辽宁省大连市2017-2018学年高三二模数学试卷(理科) Word版含解析

辽宁省大连市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±23．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( ) A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B 点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．49．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1 D．当n≥3时，2M≥2n+212．对∀x∈（0，），下列四个：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是__________．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为__________．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为__________．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为__________．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中方程变形得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或x=3，即B={1，3}，∵A={2，3}，∴A∩B={3}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z•的答案可求．解答：解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z•=（a+bi）•（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．3．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点：散点图．专题：数形结合法．分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．解答：解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步分析，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先从4名男医生中选2人，有C42种选法，再从3名女医生中选出1人，有C31种选法，则不同的选法共有C42C31种；故选：B点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义和向量的坐标运算计算即可解答：解：=﹣=﹣=（1，4）﹣（2，0）=（1，4）﹣（1，0）=（0，4），故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．解答：解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）故选：D点评：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2n＞n2，n=3不满足条件2n＞n2，n=4不满足条件2n＞n2，n=5满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n的值是解题的关键，属于基础题．8．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B 点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y1=﹣p，y2=p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论．解答：解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），准线为x=﹣，设直线AB：y=（x﹣），联立抛物线方程，消去x，可得y2﹣2py﹣p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣p，y2=p，由M（﹣，y1），则|OM|===p，|OB|====p，即有|OB|=3|OM|．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，同时考查直线和抛物线联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．9．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．解答：解：∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；D点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1 D．当n≥3时，2M≥2n+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：分析：首先理解所表示的含义，然后把]2（进行化简，得到M=n＞0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决．解答：解：∵则n是正整数，∴2=2=（n+1）2等式成立，∴M=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，对于选项A：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项B：2M=2n≥4n﹣2，当n=3时，不成立对于选项C：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项D：2M=2n≥2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，由图象可知，当n≥3时，2M≥2n+2恒成立，故选：D点评：本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把]2进化简成（n+1）2，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了．12．对∀x∈（0，），下列四个：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，求得导数，再令g（x）=sinx+﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；③令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断；④令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断．解答：解：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求导f′（x）=cosx+sec2x﹣2=，∵x∈（0，），∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，即函数单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，∴sinx+tanx﹣2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正确；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，f′（x）=cosxtanx+sinxsec2x﹣2x=sinx+﹣2x，g（x）=sinx+﹣2x，g′（x）=cosx+﹣2=cosx+﹣2+，由0＜x＜，则cosx∈（0，1），cosx+＞2，则g′（x）＞0，g（x）在（0，）递增，即有g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，）递增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正确；③令x=，则sinx+tanx=sin+tan=，x=，由＞，故③错误；④令x=，则sinxtanx=，2x2=，＜，故④错误．故选A．点评：此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是．考点：几何概型；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：首先分别求出区域M和△AOB的面积，利用几何概型公式解答．解答：解：由已知区域M的面积为=，△AOB的面积为=，由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是；故答案为：．点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为﹣1．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，，则答案可求．解答：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为．考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．解答：解：由y=x2+1，得：x2=y﹣1，x=．所以，y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数．它们的图象关于y=x对称．P在曲线y=x2+1上，点Q在曲线y=上，设P（x，1+x2），Q（x，）要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+1（x≥0）上，又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离d===．所以当=，即x=时，d取得最小值，则|PQ|的最小值等于2×=．故答案为：．点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程．解答：解：设点P是双曲线右支上一点，∴按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A=（c+x）﹣（c﹣x）=2x=2a，即x=a所以内切圆的圆心横坐标为a．由题意可得a=1，顶点A1（﹣1，0），A2（1，0），设P（m，n），则m2﹣=1，即n2=b2（m2﹣1），k1k2=1，可得•=1，即有=b2=1，即有双曲线的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a3=可得公比q，进而可得a n的表达式，计算可得结论；（Ⅱ）通过计算可得S n=+，对n分奇、偶数讨论即可．解答：（Ⅰ）解：∵a3==，∴q=﹣，∴a n=a2•q n﹣2=•=，∴b n=；（Ⅱ）证明：S n=b1+b2+…+b n=﹣=﹣•=+，当n为奇数时，S n=+（1+）＞+；当n为偶数时，S n=+（1﹣）≥+×=+；综上：S n≥+．点评：本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴，∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键．20．如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c•AB•sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c•AB•sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，（e=2.71828…是自然对数的底数，a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x•f′（x）在区间；（Ⅲ）假设函数f（x）在区间（0，1）上有零点；即存在x∈（0，1），使得e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1=0；即，记；①若h（x）＜1，∴，即：；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1，x∈（0，1）；H′（x）=e x﹣2x+2﹣e，H″=e x﹣2；当x∈（0，ln2），H″（x）＜0，当x∈（ln2，1），H″（x）＞0；∴当x∈（0，ln2），H′（x）单调递减，x∈（ln2，1），H′（x）单调递增；而H′（0）=1﹣0+2﹣e＞0，H′（1）=e﹣2+2﹣e=0，H′（ln2）=e ln2﹣2ln2+2﹣e=4﹣e﹣2ln2＜0；故在（0，ln2）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递增，在（x0，1）上H（x）单调递减；而H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＞0在（0，1）成立；即成立；②若h（x）＞e﹣2；∴，即；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x+（e﹣2）x2﹣x﹣1＜0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣（e﹣2）x2﹣x﹣1，H′（x）=e x﹣2（e﹣2）x﹣1，H″（x）=e x﹣2（e﹣2）；当x∈（0，ln2（e﹣2）），H″（x）＜0，H′（x）单调递减；当x∈（ln2（e﹣2），1），H″（x）＞0，H′（x）单调递增；而H′（0）=0，H′（1）=3﹣e＞0；∴在（ln2（e﹣2），1）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递减，在（x0，1）上H（x）单调递增；又H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＜0在（0，1）成立，即成立．由①②可得，a∈（e﹣2，1）时，h（x）存在零点．点评：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用，会正确求导，会求二阶导数并能运用二阶导数，函数零点的概念，以及掌握本题在证明函数存在零点时用到的方法．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF 交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．解答：证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）先将参数方程转化为普通方程，然后利用极坐标方程和普通方程之间的关系进行转化即可；（2）设极坐标方程，结合三角函数的最值性质进行求解即可．解答：解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，所以C1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=4，所以C2极坐标方程为ρ=4sinθ（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα，点Q极坐标为（ρ2，4sin（α+）），即ρ2=4sin（α+），则|OP||OQ|=ρ1ρ1=4cosα•4sin（α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin（2α+）+4∵α∈（0，），∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，此时P极点坐标（2，）．点评：本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，将参数方程和极坐标方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．选修4-5：不等式选讲24．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得的最小值．（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2﹣x|≤4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2﹣x|≥4，从而得到|2+x|+|2﹣x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的范围．解答：解：（1）∵=||+||=|2+|+|2﹣|≥|（2+）+（2﹣）|=4，所以的最小值为4．（2）∵|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|，不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2﹣x|），即|2+x|+|2﹣x|≤4．而|2+x|+|2﹣x|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，故|2+x|+|2﹣x|=4，∴﹣2≤x≤2，即实数x的取值范围为：．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。

2018全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1+2i1-2i=( ) A ．- 45 - 35iB ．- 45 + 35iC ．- 35 - 45iD ．- 35 + 45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3．函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e2-e-24>1,故选B 4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C102=1159．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15B ．56C ．55D ．22解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

2018年大连市高三第二次模拟考试试题及参考答案

2018年大连市高三第二次模拟考试试题及参考答案2018年大连市高三第二次模拟考试物理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．图甲中的一小型手推车，简化为图乙所示，放货物的两个支架分别为AB和BC，二者互相垂直。

若放置AC16．如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，斜面长为L ，一质量为m 的小物块，从斜面顶端由静止释放，重力加速度为g 。

当小物块滑到底端时，重力的瞬时功率为（） A.gL mg 2 B. θsin 2gL mg C.θθsin sin 2gL mg D. θθcos sin 2gL17．如图所示，a 、b 、c 为匀强电场中的三点，ab 长4cm ，ac 长2cm ，ab 和ac 间的夹角为120°，它们所在平面与电场线平行。

其中a 、b 、c 三点的电势分别为0V 、6V 、3V 。

则该匀强电场的场强大小为（） A. 100V/m B.150V/mC. 200V/mD. 300V/m18．如图所示，两个质量均为m 的物块A 和B ，并排放在水平桌面上，A 、B 与桌面间的动摩擦因数分别为1μ和θL ab c 122μ（ 1μ≠2μ）。

现用水平恒力F 推物块A ，使二者一起做匀加速直线运动，重力加速度为g 。

则A 、B 之间的作用力大小为（）A. FB. 2C. mg F )(21212μμ-+D. mg F )(21212μμ--19．根据玻尔理论，有关氢原子的下列说法正确的是（）A ．除了吸收光子能量外，还可以利用电子间碰撞的方式使氢原子从低能级向高能级跃迁B ．核外电子处于n =3轨道的一个氢原子自发跃迁时最多可辐射出两种不同频率的光子C ．大量氢原子从高能级向低能级跃迁时可以辐射出连续的各种波长的光D ．氢原子从n =3能级向n =1能级跃迁，原子的能量减小，电势能增加20．已知引力常量为G ，假设把地球看成质量均匀分布的球体，地球的半径为R ，质量为M ，自转周期为T 。

2018-2019年辽宁省大连市二模：大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学试题-附答案精品

辽宁省大连市2018届第二次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（）A ． 0B ． -4C ． -4或1D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,lo g 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4.在平行四边形A B C D 中，点E 为C D 的中点，B E 与A C 的交点为F ，设,A B a A Db ==，则向量B F =（）A ．1233a b +B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0O A O B <，则a的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111A B C A B C -中，15,3,4A A A C A B B C ====，则阳马111C A B B A -的外接球的表面积是（）。

2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。

--iB。

-+iC。

--iD。

-+i解析：选D。

2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。

9B。

8C。

5D。

4解析：选A。

问题为确定圆面内整点个数。

3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。

B。

C。

D。

解析：选B。

f(x)为奇函数，排除A。

当x>0时，f(x)>0，排除D。

取x=2，f(2)=1，故选B。

4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。

4B。

3C。

2D。

2-2xy解析：选B。

a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。

y=±2xB。

y=±3xC。

y=±2x/abD。

y=±3x/ab解析：选A。

e=3，c=3ab=2a。

6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。

42B。

30C。

29D。

25解析：选A。

cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。

2018年大连市高三第二次模拟考试物理参考答案及评价标准

2018年大连市高三第二次模拟考试参考答案及评价标准物理14.A 15.C 16.C 17.D 18.C 19.AB 20.CD 21.BD 22．（7分）（1）如图所示（3分，每空1分）（2）x g R R R r E+++0 （2分）（3）AB （2分） 23．（8分）(1)小于（2分） (3)甲同学（2分）(4) 112gh m （2分） Hgx m gh m 22221+-（2分）24. （12分）解:（1）L t v x +=∆0 （2分） m 5.27=∆x （１分）（2）当摩托车速度达到最大时 s 5.711==av t （2分） m 5.1122111==t v x （2分）此时汽车车头距交警出发距离m 5.177100=+∆=t v x x （2分）所以此时没有追上汽车，设还需t ∆秒追上汽车s 5.60110=--=∆v v x x t （2分）所以一共用时s 141=∆+=t t t （１分） 25.（20分）解：（1）小滑块到C 点前已匀速，合力为零，在C 点受力如图所示，则有mg =f （１分）f=μF N1 （１分）qv 1B =qE +F N1（2分）图甲3B联立解得: v 1=2m/s （2分）（2）小滑块从C 点运动到Q 点，由动能定理21222121)(mv mv DQ R qE mgR -=++ （2分） 42=v m/s由B qv F 2洛= （2分）代入数值得46.0洛=F N （1分）（3）当重力和电场力的合力方向沿MN 圆弧轨道半径时速度最大，受力如图，设此时半径与竖直方向夹角为θ，则43tan ==m g qE θ （2分）滑块从C 到该点，由动能定理 21232121)sin 3(cos mv mv R R qE mgR -=⋅++⋅θθ （2分）解得53=v m/s滑块在该点重力和电场力的合力222105)()(-⨯=+=qE mg F N （１分）由牛顿第二定律得 Rv m B qv F F N 233)(=+- （2分）解得： 96.0≈N F N （2分） 33．［物理——选修3–3］（15分）（1）（5分）ACD（2）（10分）解：（i ）玻璃管开口向下时，对水银柱受力分析得S p S p mg 01=+ （1分）即 Smg p p -=01玻璃管开口向上时，对水银柱受力分析得 S p S p mg 20=+ （1分）即 Smg p p +=02从开口向下旋转到开口向上为等温变化，则221SL p SL p ⋅=⋅ （1分）联立解得mgS p L mg S p L +-=002)(（2分）（ii ）玻璃管向下加速运动时，对水银柱受力分析得ma S p S p mg =-+30)( （2分）即 03p Sma mg p +-=由等温变化可得 331SL p SL p ⋅=⋅ （1分）则气柱长度 Sp ma mg L mg S p L 003)(+--=（2分） 34．［物理——选修3–4］（15分）（1）（5分）BDE（2）（10分）解：设光射入水中的折射角为r ，在水上表面的反射点到水面两端的距离分别为1l 和2l ，全反射前后的传播距离分别为1x 和2x 。

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2018年大连市高三第二次模拟考试参考答案及评价标准24. （12 分）解：（1）Ax = v 0Z + 厶（2 分）Ar = 27. 5m （]分）（2）当摩托车速度达到最大时= — = 7. 5s（ 2 分）a X| = — Z] = 112. 5m （2 分） 1 2 1此时汽车车头距交警出发距离X Q = Ar + v 0Z| = 177. 5m （2 分）所以此时没有追上汽车，设还需秒追上汽车A/ = V ° - Y| = 6.5s（2 分） v i 一 v o所以一共用时/ =人+ A/ = 14s （ 1分）25. （20 分）解:（1）小滑块到C 点前已匀速，受力如图所示，则有（ 1 分）/=叭\ （ 1分）qv\B=qE+F^\ （2 分）14.A 15.C 16.C 17.D 18.C 19.AB （1）如图所示（3分，每空1 F（2）（2分）尸+心+ Ro + R x （3） AB（2分） 23. （8 分）（1）小于（2分）（3）甲同学（2分）22. （7分） ⑷ z«l ^2g/?1 （2 分） 20.CD 21.BD（2分）合力为零,联立解得：vi=2m/s （2分）（2）小滑块从C点运动到。

点，由动能定理mgR 4- qE（R + DQ）= — mv^ ——-tnv\（2 分）2 2v2 = 4m/s由甩=qv.?B（2分）代入数值得F洛=0. 46 N （1分）（3）当重力和电场力的合力方向沿MN圆弧轨道半径时速度最大，受力如图，设此时半径与竖直方向夹角为&,则tan 0 = = —（2 分）mg 4滑块从C到该点，由动能定理mgR• cos 0 + qEGR + R• sin 0） = — mv^ ——（2 分）2 2解得巾=5 m/s滑块在该点重力和电场力的合力F = 仏尸+ （处）2 =5X10-2N（1分）由T•顿第二定律得Fy _ （尸+ q\“ B）=m詈（2分）解得：F v « 0.96N （2 分）33.[物理——选修3-3] （15分）（1）（5 分）ACD（2）（10分）解：（i）玻璃管开口向下时，对水银柱受力分析得mg + P|S = P Q S（1 分）即Pi = p o-m玻璃管开口向上时，对水银柱受力分析得mg + p Q S = p2S（1 分）即血〜+等从开口向下旋转到开口向上为等温变化，则联立解得厶2 = 52 —〃担）厶（2分）P Q S+mg（ii）玻璃管向下加速运动吋，对水银柱受力分析得(/ng + p0S)一p3S = ma(2 分)pii mg - ma即P3 =亠^— + "orh等温变化可得p、• SL = p}• s厶3 （I分）则气柱长度厶=（內$二“QL Q分）mg一ma + p Q S34.[物理——选修3~4] （15分）(1) (5 分)BDE（2）（10分）解：设光射入水中的折射角为厂，在水上表而的反射点到水而两端的距离分别为厶和12 ,全反射前后的传播距离分别为X,和x2 o光在水面的反射角等于入射角，杯的两侧壁左右对称，由对称性可得光在右侧壁入射角等丁•在左侧壁的折射角“2 = 【2 sin 6 sin(90° - r)sin 0 T :.Xi + x? = Lcos r所以，Ln2 sin &（2分）p}・ SL = p2 - S厶2 （1分）sin in = -------sin r（2分）••• cos r—yjn2 - sin2i( 1 分) n（1分）sin & sin(90u - r)（2分）（2分）。

2018年辽宁省辽南高三数学二模试卷(理科)Word版含解析

2018年辽宁省辽南高三二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|a ﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（）A ．{a|3＜a≤4}B ．{a|3＜a ＜4}C ．{a|3≤a≤4}D ．∅2．复数=A+Bi （A ，B ∈R ），则A+B 的值是（）A ．B ．0C ．﹣D ．﹣43．对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”是“y=f（x ）是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（）A ．25B ．30C ．31D ．615．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．由K 2=算得K 2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”7．已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{a n }的通项公式为（）A ．2n ﹣3B ．2n ﹣2C ．2n ﹣1D ．2n ﹣2+18．若（1﹣2x ）2016=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2016x 2016，（x ∈R ），则（a 0+a 1）+（a 0+a 2）+（a 0+a 3）+…+（a 0+a 2016）的值是（）A ．2018B ．2017C ．2016D ．20159．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B ，∠FPB=θ，则sinθ的值为（）A ．B ．C ．﹣1 D ．﹣110．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（）A ．2B ．4C ．8D ．1611．已知双曲线C 为：﹣=1（a ＞0，b ＞0），其左右顶点分别为A 、B ，曲线上一点P ，k PA 、k PB 分别为直线PA 、PB 的斜率，且k PA •k PB =3，过左焦点的直线l 与双曲线交于两点M ，N ，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1和﹣=1D ．﹣=1或﹣=112．直角三角形ABC ，三内角成等差数列，最短边的边长为m （m ＞0），P 是△ABC 内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m 的值为（）A ．1B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n =n 2+6n+1（n ∈N *），则|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|的值为．14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是．15．如图所示三棱锥A﹣BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为．16．已知函数f（x）=，g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期ππ（1）求函数f（x（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．21．已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=lnx．（1）若a=1，求函数y=f（x）﹣3g（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数）．（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值；（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣3|．（1）求不等式f （x ）＜6的解集；（2）若关于x 的方程f （x ）=|a ﹣2|有解，求实数a 的取值范围．2018年辽宁省辽南高三数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（）A．{a|3＜a≤4}B．{a|3＜a＜4} C．{a|3≤a≤4}D．∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，知，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，∴，解得3≤a≤4，故选C．2．复数=A+Bi（A，B∈R），则A+B的值是（）A．B．0 C．﹣D．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：A+Bi====1﹣i，∴A=1，B=﹣1，∴A+B=0，故选：B．3．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=﹣f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件故选B4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．5．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．【解答】解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．由K 2=算得K 2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【考点】独立性检验的应用．【分析】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【解答】解：∵K 2=≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A ．7．已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{a n }的通项公式为（）A ．2n ﹣3B ．2n ﹣2C ．2n ﹣1D ．2n ﹣2+1 【考点】等差数列的通项公式．【分析】先根据S n ，a n ，成等差数列，得到2a n =S n +，继而得到2a n ﹣1=S n ﹣1+，两式相减，整理得：a n =2a n ﹣1（n≥2），继而得到数列{a n }是为首项，2为公比的等比数列，问题得以解决．【解答】解：由题意知2a n =S n +，2a n ﹣1=S n ﹣1+，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n≥2），整理得：a n =2a n ﹣1（n≥2）当n=1是，2a 1=S 1+，即a 1=∴数列{a n }是为首项，2为公比的等比数列，∴a n =•2n ﹣1=2n ﹣2，当n=1时，成立，故选：B8．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，（x∈R），则（a+a1）+（a+a2）+（a+a3）+…+（a+a2016）的值是（）A．2018 B．2017 C．2016 D．2015 【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1．再令x=1，可得a+a1+a2+…+a2016=1，求得a 1+a2+…+a2016=0，从而求得要求式子的值．【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a2x+a2x2+…+a2016x2016 （x∈R）中，令x=0，可得a=1．再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2016=1，∴a1+a2+…+a2016=0，∴（a0+a1）+（a+a2）+（a+a3）+…+（a+a2016）=2016a+（a1+a2+…+a2016）=2016，故选：C．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出圆O的方程，联立方程组解出B的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sinθ=．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∴P（﹣1，0），∴圆O的方程为x2+y2=1．联立方程组，消元得x2+4x﹣1=0，解得x=﹣2或x=﹣﹣2（舍）．∵B在抛物线y2=4x上，∴|BF|=﹣2+1=．∵PF是圆O的直径，∴PB⊥BF，∴sinθ==．故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2B．4C．8D．16【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积．【解答】解：由三视图，得该几何体为三棱锥，有，∴x2+y2=128，∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，此时，V=××2×6×8=16，故选：D．11．已知双曲线C为：﹣=1（a＞0，b＞0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，k PA 、kPB分别为直线PA、PB的斜率，且kPA•kPB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1和﹣=1D．﹣=1或﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），代入双曲线的方程，由A（﹣a，0），B（a，0），kPA •kPB=3，运用直线的斜率公式化简可得b=a，讨论M，N均在左支和分别在两支，由最小值为=4，和2a=4，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，即有=，由A（﹣a，0），B（a，0），kPA •kPB=3，可得•===3，即为b=a，由过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，可得当M，N都在左支上，即有MN垂直于x轴时取得最小值，且为=4，解得a=，b=，可得双曲线的方程为﹣=1；当M，N分别在两支上，即有MN的最小值为2a=4，即a=2，b=2，可得双曲线的方程为﹣=1．综上可得，双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．故选：D．12．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m的值为（）A．1 B．C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB、PC的长，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形ABC，三内角成等差数列，设B=90°∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，由AB=m得，BC=m，AC=2m，延长BP到B′，在BB'上取点E，使PE=PC，EB′=AP，∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC，∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP≌△B′CE，∴∠PCA=∠B′CE，AC=B′C=2m，∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP，∴∠ACB′=∠PCE=60°，∵∠ACB=30°，∴∠BCB′=90°，∵PE=PC，AP=B′E，AC=2AB=2m，BC=m，∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′===m，∵PA+PB+PC=，∴=m，得m=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{an }，其前n项和为Sn，且Sn=n2+6n+1（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为41 ．【考点】数列的求和．【分析】由Sn=n2+6n+1逐一求出数列的前四项得答案．【解答】解：由Sn =n2+6n+1，得a1=S1=8，，，．∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=8+9+11+13=41．故答案为：41．14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是（3，21）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据f（1），f（2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f（3）的范围即可．【解答】解：f（x）=ax2+bx（a，b∈R），∵1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，∴1＜f（2）﹣f（1）＜7，令f（3）=mf（1）+nf（2），即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b），∴，解得：m=3，n=﹣3∴f（3）=3[f（2）﹣f（1）]，∴3＜f（3）＜21，故答案为：（3，21）．15．如图所示三棱锥A ﹣BCD ，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为 55π ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：如图，∵三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，∴把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，d==．∴它的外接球半径是．外接球的表面积是 4π．故答案为：55π．16．已知函数f （x ）=，g （x ）=ax 2﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ≤a≤ ．【考点】分段函数的应用．【分析】判断函数f （x ）的单调性，求出函数f （x ）的值域，根据若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立得到，f （x ）的值域和g （x ）的值域交集不是空集即可得到结论．【解答】解：当＜x≤1时，f （x ）=的导数f′（x ）===＞0，则此时函数f（x）为增函数，则f（）＜f（x）≤f（1），即＜f（x）≤1，当0≤x≤时，f（x）=﹣x+为减函数，则0≤f（x）≤，即函数f（x）的值域为[0，]∪（，1]函数g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），在[0，1]上为增函数，则g（0）≤g（x）≤g（1），即2﹣2a≤g（x）≤2﹣a，即g（x）的值域为[2﹣2a，2﹣a]若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）≠∅，若[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）=∅，则2﹣a＜0或或2﹣2a＞1，即a＞或a无解或0＜a＜，即若[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）≠∅，则≤a≤，故答案为：≤a≤．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期ππ（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin=2，可得A，即可得解函数f（x）的表达式．（2）由图象平移可求g（x），从而可求y=f（x）•g（x）=2sin（x﹣），由x∈（0，m），可求﹣π＜x﹣π＜m﹣π，由题意可得﹣π＜m﹣π≤﹣，即可解得m的最大值为．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可得：ω=，φ=﹣，由Asin=2，可得：A=2，故函数f（x）的表达式为：f（x）=2sin（x﹣），…6分（2）由图象平移可知：g（x）=2cos（x﹣），所以y=f（x）•g（x）=2×2sin（x﹣）cos（x﹣）=2sin（x﹣），因为x∈（0，m），所以：﹣π＜x﹣π＜m﹣π，要使该函数在区间（0，m）上是单调函数，则﹣π＜m﹣π≤﹣，所以：0＜m≤，所以m的最大值为．…12分18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（I）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A，第三组人数为100×0.06×5=30，第四组人数为100×0.04×5=20，第五组人数为100×0.02×5=10，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：．…（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3．且，则随机变量ξ的分布列为：19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC ⊥平面PBC ，只需证明AC ⊥平面PBC ，即证AC ⊥PC ，AC ⊥BC ；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC 的法向量=（1，﹣1，0），面EAC 的法向量=（a ，﹣a ，﹣2），利用二面角P ﹣A C ﹣E 的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC∩PC=C，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．…（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，﹣1，0）．设P （0，0，a ）（a ＞0），则E （，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a ），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC 的法向量．设=（x ，y ，z ）为面EAC 的法向量，则•=•=0，即取x=a ，y=﹣a ，z=﹣2，则=（a ，﹣a ，﹣2），依题意，|cos ＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为．…20．已知动圆过定点A （0，2），且在x 轴上截得的弦MN 的长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．（2）设E（），F（），由A，E，F三点共线，得到x1x2=﹣8，由已知条件利用导数性质求出P点坐标为（），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=﹣x1时取最小值，从而能求出直线EF方程为y=2．【解答】解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，则|ME|=，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴x2+（y﹣2）2=22+y2，整理，得x2=4y，∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y．（2）设E（），F（），由A，E，F三点共线，得，∴x1x2=﹣8，由x2=4y，得y=，∴，∴PE的方程为，即y=．同理PF的方程为y=，解得P点坐标为（），即（），∴|PE|==，∴|PE|•|PF|====≥=24，当且仅当x 2=﹣x 1时，上式取等号，此时EF 的斜率为0，所求直线EF 方程为y=2．21．已知a ＞0，函数f （x ）=ax 2﹣x ，g （x ）=lnx ．（1）若a=1，求函数y=f （x ）﹣3g （x ）的极值；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≥g（ax ）成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f （x ）﹣3g （x ）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （ax ）=ax 2﹣x ﹣ln （ax ），则问题等价于h （x ）min ≥0，h′（x ）=，令p （x ）=2ax 2﹣x ﹣1，△=1+8a ＞0，设p （x ）=0有两不等根x 1，x 2，不妨令x 1＜0＜x 2，利用导数可求得h （x ）min =h （x 2）≥0；由p （x 2）=0可对h （x 2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h （x 2）≤0，由此求得x 2=1，进而求得a 值．【解答】解：（1）当a=1时，y=f （x ）﹣3g （x ）=x 2﹣x ﹣3lnx ，导数y′=2x﹣1﹣=，因为x ＞0，所以当0＜x ＜时，y′＜0，当x ＞时，y′＞0，所以函数y=f （x ）﹣3g （x ）在x=处取得极小值f （）﹣3g （）=﹣﹣3ln =﹣3ln ，函数y=f （x ）﹣3g （x ）没有极大值；（2）假设存在f （x ）≥g（ax ）成立．令h （x ）=f （x ）﹣g （ax ）=ax 2﹣x ﹣ln （ax ），即h （x ）min ≥0，所以h′（x ）=2ax ﹣1﹣=，令p （x ）=2ax 2﹣x ﹣1，△=1+8a ＞0，所以p （x ）=0有两个不等根x 1，x 2，x 1 x 2=﹣，不妨令x 1＜0＜x 2，所以h （x ）在（0，x 2）上递减，在（x 2，+∞）上递增，所以h （x 2）=ax 22﹣x 2﹣ln （ax 2）≥0成立，因为p （x 2）=2ax 22﹣x 2﹣1=0，所以ax 2=，所以h （x 2）=﹣ln ≥0，令k （x ）=﹣ln=+ln2x ﹣ln （1+x ），k′（x ）=﹣+﹣=﹣，所以k （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以k （x 2）≤k（1）=0，又h （x 2）=﹣ln≥0，所以x 2=1代入ax 2=，得a=1，所以a ∈{1}．故存在实数a 的取值集合{1}，使得f （x ）≥g（ax ）成立．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1： [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数）．（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值；（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以将曲线C 1的方程转化为普通方程，再将直线l ：（t 为参数），方程代入后，求出交点A 、B 对应的参数t 1，t 2，得到两个参数的和与积，再利用交点点A 、B两点的坐标与参数t 1，t 2的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l 的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；（2）将曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线C 2的方程，再将直线l 平移到与曲线C 2的相切，利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C 1：（θ为参数），∴消去参数θ，得到C 1：x 2+y 2=4．∵直线l ：（t 为参数），∴（t+1）2+（）2=4， ∴4t 2+2t ﹣3=0．∴（t 2﹣t 1）2=（t 2+t 1）2﹣4t 1t 2==．设l 与C 1相交于A 、B 两点，则A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），|AB|2==[（1+t 2）﹣（1+t 1）]2+[]2 =4（t 2﹣t 1）2=13．∴|AB|=．（2）∵把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2， ∴由C 1：x 2+y 2=4得C 2：（4x ）2+（）2=4，∴．∵直线l ：（t 为参数），∴y=x ．将y=x+m 代入，∴，令△=0，，∴m=．取m=﹣，得到直线：y=x ，∵直线y=x与直线y=x 的距离为：=，∴曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于或或＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；（2）利用绝对值不等式可得f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4，依题意，解不等式|a﹣2|≥4即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或＜0…解得﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x≤3或3＜x＜4，故原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜4}．…（2）∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4．…又关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，∴|a﹣2|≥4，即a﹣2≥4或a﹣2≤﹣4，解得a≥6或a≤﹣2，…所以实数a的取值范围为a≥6或a≤﹣2．…。

辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学(理科)能力测试试题Word版含答案

辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理科）能力测试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的子集共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||z =z 的虚部为（）A ．2B ．4C ．2iD ．4i3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（）A ．,//,//m n m n αβ⊥B ．,,m n m n αβα⊥=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（）A ．9B ．17C ．36D ．816.已知函数2()2f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（）7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．^0.4 2.3y x =+B ．^2 2.4y x =-C ．^29.5y x =-+D ．^0.4 4.4y x =-+8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．1639. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件10.命题:p “0[0,]4x π∃∈，00sin 2cos 2x x a +>”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．a <．1a ≥ D ．a ≥11.过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，点(1,2)M -，若0MA MB ∙=，则直线l 的斜率k =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．212.函数1()ln (0)axf x e x a a=->存在零点，则实数a 的取值范围是（） A ．10a e <≤ B ．210a e <≤ C ．1a e ≥ D ．21a e ≥ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有种（用数字作答）.14.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点(,)M a b ，若1230MF F ∠=，则双曲线C 的离心率为 .15.已知函数232(22),0()(33),0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤=⎨-++>⎩，若曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x （1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 .16.若数列{}n a 满足：120,3a a ==且*1(1)(1)1(,2)n n n a n a n n N n +-=+-+∈≥，数列{}n b 满足18()11n n b -=，则数列{}n b 的最大项为第项. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =. （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）. （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =. （1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM 成角的正弦值为15，求BAC ∠的大小.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x kx k R =+∈.（1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；（2）当0k =时，若()0(,)b f x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值；（3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设1()()a F b m m R b -=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，CD 分别交,AE AB 于点,F D ，45ADF ∠=.（1）求证：CD 为ACB ∠的平分线；（2）若AB AC =，求AC BC的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C .（1）求1C 的极坐标方程；（2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（0απ≤<，t 为参数，且0t ≠），l 与C 交于点A ，l 与1C交于点B ，且||AB =α的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c ++=.（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥.辽宁省大连市2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理科）能力测试试题参考答案一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6三．解答题17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+3 C A C A B sin sin 33cos sin sin +=∴.........................................................................................2分C A C A C A C A sin sin 33cos sin sin cos cos sin +=+...........................................................4分即C A C A sin sin 33sin cos = 又0sin ≠C A A sin 33cos =∴ 即3tan =A 3π=∴A ....................................................................................................................6分(Ⅱ)A bc c b a cos 2222-+= bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴..............................................................................................8分bcc b 2≥+ 416)(2≤+≤+∴c b c b ，即又由题意知4≥+c b ，4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).........................................................................................10分33sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆πABC S ..................................................................................................12分18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,23342116()()3381P A C =⋅⋅=2（），...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为123881664=()+()+()=++=27278181P P A P A P A ................................................6分所以，X 的分布列为X∴的数学期望1108107=3+4+5=3272727E X ⨯⨯⨯（）..............................................................12分19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,中点为中点，为MC D MA PPD ∴//AC又131DC CD = ,=113BQ QC , QD ∴//BC又D QD PD =PQD 平面∴//平面ABC ...........................................4分又PQD PQ 平面⊂PQ ∴//平面ABC .........................................................6分（Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为：1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ，1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===....................................................................8分设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,00by ax z =⎧∴⎨+=⎩，取1x =，则可得平面ABM 的一组法向量(1,0,)n a =-，1cos ,n BA ∴<>==，...................................................................10分又因为228a b +=，4224120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）. 即6,21222sin ,2π=∠∴==∠∴=BAC BAC a ..................................................................12分20.解：22==a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF22==∴a c ，............................................................3分∴椭圆方程为12422=+y x .............................................4分（Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分证明如下：设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -,直线BD 方程为)(110101x x x x y y y y ---=-，令0=x ，则101010x x x y y x y --= )0(101010x x x y y x Q --∴，同理)0(101010x x x y y x P ++，.....................................................................................................................7分21F PF ∠ 和21F QF ∠均为锐角，)(tan 10101010101021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )(tan 10101021x x c x y y x F QF --=∠ )()()(tan tan 21202212021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(2121202120212020212120=--=----=x x x x x x x x x x ..................................................................10分21F PF ∠∴与21F QF ∠互余,︒=∠+∠∴902121F QF F PF ........................................................................................................12分21.解：（Ⅰ）1k =-时，1()ln ()101f x x x f x x x'=-⇒=->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分（Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)b g x x a x x =+->，则221()b x b g x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减，所以m ()g x ==，..............................................................................................5分所以11ln 101ln 11a a b a a b eb e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤，故11a e b --+的最大值为1...............................................................................................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当11a e b --+取最大值1时，1ln 1ln (),(0)a b e b a b F b m b b -=⇒-=⇒=->，记x......................................9分方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1()h x m x '=-，若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则1()0h x x m '>⇒<，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1(,)m+∞单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需1()0h m >，解得10m e<<. 不妨设12x x <，则1210x x m<<<，设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m '''=++- 化简可得32222()01m x G x m x '=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m>=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m ∴-<，121222x x mx mx m∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>，所以212x x e >成立.........................................................................................................................12分方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则221121221121lnln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211()ln 2x x x x x x +>-，即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+，也就是证明：1t +........................10分记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立.....................................................................................12分22、（Ⅰ）证明：CA 为圆O 的切线，CAE ABC ∴∠=∠，又BE 为直径，45,45ADF AFD ∠=∴∠=. 又,ADF ABC DCB AFD CAE ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠,,ACD BCD ∴∠=∠CD ∴为ACB ∠的平分线................................................................................................................4分（Ⅱ）解：,,=∴∠=∠=∠AB AC B ACB CAE Q 又+++180∠∠∠∠=B ACB CAE BAE oQ ， =30∴∠=∠=∠B ACB CAE o ，所以s is iAC BC ==.............................................................................................................10分23.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ..................................................................................4分（Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，又因为πα<≤0，所以ααααsin 2sin 2sin 2sin 4==-=AB =3，故23sin =α，所以323ππα或=..............................................................................................10分24.证明：(Ⅰ)acbc ab c b a 222)111(2222++≥++ acbc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ， 3)111(2≤++∴c b a 即3111≤++cb a ............................................................................................................................5分（Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+ )111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a ........................................................................................................................10分。

2018年大连市二模理科数学试题答案精品

2018年大连市高三第二次模拟考试理科数学参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一．选择题1.C2.B3.D4.D5.A6.B7.B8.A9.B 10.A 11.D 12.C 二．填空题613.14.(,1][1,)15.4116.23π-∞-+∞ 332.15 .1614++n nn 三．解答题17.解(Ⅰ)得分为4分，可以前4次中，第5次不中，概率为52)53(4⨯，……………………………………………3分或者前4次中2次，第5次中，概率为2324)52()53(⨯C ，…………………………………………………………………6分所以得分为4分的概率为52)53(4⨯+625162)52()53(2324=⨯C (8)分(Ⅱ) 得分为4分的投篮点的个数为X服从二项分布162(5,)625B ，所以1621625625125EX =⨯= ………………………12分18.解(Ⅰ)2()sin 222sin(2)3f x a b x x x π=⋅=-+=+………………………………………………………4分 (Ⅱ))4sin(2)24112(22ππππ-=-=n n n f n a n……………………………………………………………………………6分所以])2()12(4321[22222222n n S n --+⋅⋅⋅+-+-=…………………………………………………… …8分又14)2()12(22+-=--n n n ………………………………………………………………………………………… …10分所以n n nn S n 2222)143(222--=+--⨯=……………………………………………………………………12分19.（Ⅰ）证法一：取A A EM AB E M C EM M B A '∴''21//中点，为，又、，连接中点 C C B B A A '''//// ,为平行四边形，中点，为F C EM EM C F A A C F C C F '∴'∴''∴'//21//MC EF '∴//,………………………………………………………2分又C B A M C C B A EF ''⊂'''⊄平面平面,,C B A EF ''∴平面// …………………………………………………4分证法二：形为斜边的等腰直角三角是BC B C C BC C B C C '∆∴=='=',2,2O C AO O BC '、连接中点取, BC O C BC AO ⊥'⊥,有面⊥ABC 面''B BCC ,且面ABC 面BC B BCC =''∴⊥AO 面''B BCC ,⊥'O C 面ABC如图建立空间直角坐标系xyz O -)0,0,1(),,0,0(),10,0(),0,0,1(-'∴B b A C C )0(>b ),0,21,21(),2,0,21(F b E -∴)2,21,1(b EF -=∴设平面C B A ''的法向量为),,(z y x = 又)0,1,1(=C B ,),0,1(b AC C A -=='⎩⎨⎧=-=+∴00bz x y x ∴的一组解为)1,,(b b -= 022=--=⋅∴bb b ⊥∴又C B A EF ''⊄平面C B A EF ''∴平面//…………………………………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)解：利用（Ⅰ）中证法二的坐标系，设平面A C AC ''的法向量为),,(1z y x n = 又)0,1,1(-=C C ,),0,1(b AC -=⎩⎨⎧=-=+-∴00bz x y x 1n ∴的一组解为)1,,(1b b = (5)分)2,21,1(b-=又324451222=++=b b b ………………………………………………………………………………6分解得1=b ，210=b 12=∴≤b AC …………………………………………………………………………………………………………8分同理可求平面B A A '的一个法向量)1,1,1(2-=31cos 21>=⋅<∴n n ………………………………………………………………………………………………………11分所以所求二面角的大小为31arccos。

【数学】辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷含解析

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，则集合）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n，真子集的个数为2. ）【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.详解：几何体如图，为一个三棱柱，高为6，底面为直角三角形，直角边长分别为3，4；因C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．4. ）【答案】B.选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.5. 现从该零件的生产线上随机抽取20000内的零件估计有（）A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个【答案】A.A.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.6. ）C.【答案】C不是偶函数，在综上选C.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．7. ，，则双曲线的离心率是（）C. 2D.【答案】D由题得化简即得双曲线C的离心率.由题得所以所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线8. 下面四个命题：：命题“的充分且必要条件；.其中为真命题的是（）D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.：命题“m-n=0即m=n,且必要条件，所以是真命题；”的逆否命题是“在p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9.取值范围是（）C.【答案】C【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果...............................周长的取值范围是 C.点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.10. .受其启发，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每1构成锐角三；④根据统计数.假如本次）【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1，x+y＞1，面积为1此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），即x2+y2＞1面积为1因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，π故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，化简得x2+y2＞1.11. ）【答案】Dx的取值范围.，所以，所以，x的取值范围为故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想. (2)x的取值范围.12. 是定义在上的函数，为下列结论中正确的是（）B.【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以函数g(x)在R上单调递增，所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0..故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：21点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对系统抽样的掌握能力.（2）系统抽样时，如果有n个个体，需要抽出m14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 __________．【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15. 母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【解析】分析：先根据条件求轴截面顶角，再根据顶角大于最大值.详解：母线长为1，点睛：圆锥轴截面顶角为所有过圆锥的顶点的截面中顶角最大的，根据三角形面积公式，面积最大值决定于顶角正弦值的最大值.16. 已知数列用数字作答).【答案】26457项的和，再利用条件.点睛：找寻规律常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. .（1（2，求.【答案】17. （1（2【解析】分析：（1CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝13,所以由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋17，所以CD（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的，再求函数的定义域再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18. 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2.【答案】（1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值中位数的估计值：(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有614段外。

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷(解析版)

辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则集合的子集个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A的子集有：所以共8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n个元素，则集合的子集个数为，真子集的个数为.2. 复数，则（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.详解：几何体如图，为一个三棱柱，高为6，底面为直角三角形，直角边长分别为3，4；因此体积为，选C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．4. 设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列性质，成等比数列列式，解得结果.详解：由等比数列性质得，成等比数列，即,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.5. 某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：）服从正态分布.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在内的零件估计有（）（附：若随机变量服从正态分布，则，A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个【答案】A【解析】分析：根据定义求，再根据频数等于频率与总数的乘积得结果.详解：由，得，因此尺寸在内的零件估计有，选A.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.6. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C详解：是偶函数，在上单调递减；是偶函数，在上单调递减；既是偶函数，又在上单调递增；不是偶函数，在上不单调；综上选C.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．7. 双曲线的左焦点为，虚轴的一个端点为，为双曲线右支上的一点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,化简即得双曲线C的离心率.详解：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,所以,所以所以e=.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线的通径公式：.8. 下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.详解：对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；对于:等价于m-n=0即m=n,所以向量，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果.即周长的取值范围是，选C.点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1且，x+y＞1，面积为1﹣，由此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足且，即x2+y2＞1，且，面积为1﹣，因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，所以=1﹣，所以π=．故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是转化“卡片上的能与1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，所以，化简得x2+y2＞1.11. 已知，若，则的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】分析：先化成的形式，再利用三角函数的图像性质求x的取值范围.详解：由题得，因为，所以因为，所以所以或，所以x的取值范围为.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想. (2)解答本题的关键是三角函数的图像分析，先求出函数的再根据值域得到或，从而求出x 的取值范围.12. 已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A. 恒成立B. 恒成立C. D. 当时，；当时，【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.详解：由于系统抽样得到的编号组成等差数列，因为，所以公差为9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：21点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对系统抽样的掌握能力.（2）系统抽样时，如果有n个个体，需要抽出m个个体，所以要分成个小组，最后抽出来的编号成等差数列，公差为.14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．【答案】【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，s=,n=3;3≤2018，s=,n=4；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出s=.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是s=.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15. 已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件求轴截面顶角，再根据顶角大于，确定当顶角为时截面面积取最大值.详解：由底面直径为，母线长为1，根据余弦定理得轴截面顶角为，因此截面面积的最大值为.点睛：圆锥轴截面顶角为所有过圆锥的顶点的截面中顶角最大的，根据三角形面积公式，面积最大值决定于顶角正弦值的最大值.16. 已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).【答案】264【解析】分析：先根据条件确定，求得中间57项的和，再利用条件求，即得结果.详解：因为，，所以，因此因为，，所以，因此综上点睛：找寻规律常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】17. （1）（2）【解析】分析：（1）先化简得到cos∠DAC＝再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC 的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，，所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠D AC＝3,所以cos∠DAC＝.由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD＝.（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18. 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外。

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