关于非正态总体的工序能力指数C_p值计算的研究
工程能力指数Cp、Cpk中文
工程能力指数（Cp、CpK）一、制造部门的使命与职责作为一个制造部门，我们必须制造出具有稳定的品质的产品。
为此，我们须具备能充分理解“Cp、CpK”并且能将其活用的能力。
所以，我们的职责是：①确保工程、产品的“Cp、CpK”（减少偏差）②不作出不良（消除不良损失金额）③构造出能减少成本的工程④严守入库计划将这4点活用之后，必须在已定的“管理状态”下进行工作。
这些就是我们的使命。
就先前的工程能力指数“Cp、CpK”与“社内允许不良发生率”进行少许说明。
在我们公司内既有使用单侧规格的“Cp”，也使用有双侧规格的“CpK”（之后再作详细）。
生产工程中的允许不良发生率是，根据各机种成本资料设定样本工程。
各要求的规格如下所示：●Cp=1.33以上●CpK=1.33以上●允许不良发生率(社内):重大不良0.3%以下，通常的在1%以下(根据成本资料定)。
但铭板等也有允许不良发生率在10%的情况。
这些是产品在预算阶段的基准值（目标值），在初期流动时的工程设计阶段（制造工程管理表及作业手顺书的作成），取必要的数据，并据此数据进行把握。
二、工程管理中直方图的活用（参照附录6）工程管理，一般使用一些作为管理道具的如P管理图等的管理图表。
但是，如在直方图上下功夫的话也可将此运用在工程管理中。
直方图的优点在于，如样品数据有100个就可根据直方图看出其分布的状态,也可活用每个真实的数据。
不管是管理图也好还是QC七手法中的单独一个也好，虽频繁使用但如果不具备比较高水平的知识的话，是很难有效地掌握与使用的。
但是，直方图从直观上让人感觉易理解、只要有一张稿纸，任何人无论在何处均可直接的利用。
所以，比起其它更加活用。
三、管理状态（参照附录4）在前面第一部分中已说明过“管理状态”。
管理状态是指：“工程被维持在不得不有偏差的范围内（规格范围内）的状态”。
因此，即使工程属于管理状态下，依然还是会有不良发生。
请把“不得不有的偏差范围”与“规格”区别来考虑。
质量控制中非正态分布数据过程能力算法研究
应用上述公式，对非正态分布连续型数
据，只要给出了流程数据的分布密度函数， 就可以计算流程的不合格率，再根据 Ｐ（ｄ）与 Ｃｐ 的关系（式（５）或（６））求得过程能力指数。
因此，对任何类型的流程数据，都可以 根据等价性原理，由产品的不合格率确定一 个等价于正态分布数据的过程能力指数值。 用等价性原理计算过程能力指数的方法可 以归纳成附图所示的流程。
Ｃｐｋ＝
ｍｉｎ｛ＵＳＬ－ ｕ，ｕ－ ３σ
ＬＳＬ｝
（２）
（３）规范为单侧上限或下限，过程能力
指数计算公式为：
单 侧 下 限 过 程 能 力 指 数 ：ＣｐＬ＝
ｕ－ ＬＳＬ ３σ
（３）
单侧上限过程
能 力 指 数 ：ＣｐＵ＝
ＵＳＬ－ ｕ ３σ
（４）
１．２ 过程能力指数的计算依据
在 ６! 管理体系中，流程的数据类型主
此时的正态分布数据的过程能力指数与不
合格率关系如下：
４４ 科技进步与对策·３ 月号·２００６
科技哲学与科学方法
循环经济的价值增值与超循环理论
张则强，程文明，吴 晓，王金诺
（西南交通大学 机械工程学院，四川 成都 ６１００３１）
摘 要：面对当前资源与环境等诸多问题，循环经济成为可持续发展的必然选择。论述了循环经济的价值增值的本
指数计算中，正态分布连续数据的 Ｃｐ 与不 合格率（Ｐ（ｄ））存在确定的函数关系，附表列 出了部分 Ｃｐ 与 Ｐ（ｄ）之间的对应关系，详细的 推算可见参考文献［３］。
根据上一小节的讨论，为了计算针对离 散型数据的过程能力指数，可以首先计算出 不合格率，然后从附表中查出对应的过程能 力指数。对于不能直接查到的值，可以首先 查出两个相邻的过程能力指数，然后采用内 插法计算出对应的过程能力指数。 ２．２ 非正态分布的连续数据过程能力的计 算方法
CP(工序能力指数)和CPK介绍 甄选
最新CP(工序能力指数)和CPK介绍（优选.)rdCP和CPK介绍CP(或Cpk)是英文Process Capability index缩写，汉语译作工序能力指数，也有译作工艺能力指数、过程能力指数。
工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。
它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。
或者说他可以体现工序的质量水平。
这里所指的工序，是指操作者、机器、原材料、工艺方法和生产环境等五个基本质量因素综合作用的过程，也就是产品质量的生产过程。
产品质量就是工序中的各个质量因素所起作用的综合表现。
对于任何生产过程，产品质量总是分散地存在着。
若工序能力越高，则产品质量特性值的分散就会越小；若工序能力越低，则产品质量特性值的分散就会越大。
那么，应当用一个什么样的量，来描述生产过程所造成的总分散呢?通常，都用6σ(即μ＋3σ)来表示工序能力：工序能力＝6σ若用符号P来表示工序能力，则：P＝6σ（式中σ是处于稳定状态下的工序的标准偏差）工序能力是表示生产过程客观存在着分散的一个参数。
但是这个参数能否满足产品的技术要求，仅从它本身还难以看出。
因此，还需要另一个参数来反映工序能力满足产品技术要求(公差、规格等质量标准)的程度。
这个参数就叫做工序能力指数。
它是技术要求和工序能力的比值，即工序能力指数=技术要求／工序能力当分布中心与公差中心重合时，工序能力指数记为Cp。
当分布中心与公差中心有偏离时，工序能力指数记为Cpk。
运用工序能力指数，可以帮助我们掌握生产过程的质量水平。
工序能力指数的判断工序的质量水平按Cp值可划分为五个等级。
按其等级的高低，在管理上可以作出相应的判断和处置(见表1)。
该表中的分级、判断和处置对于Cpk也同样适用。
表1 工序能力指数的分级判断和处置参考表工序能力指数和工序能力分析当影响工序质量的各种系统性因素已经消除，而各种随机因素也受到有效的管理和控制时，工序质量处于受控状态。
如何计算非正态数据的过程能力指数Cp_Cpk
在精益六西格玛持续改进、统计质量管理和SPC中，评价过程的过程能力（Process Capability）都是必不可少的重要步骤。
在用控制图确认过程处于统计受控状态之后，进行过程能力分析可以进一步判断过程能力是否达到客户的要求。
过程能力分析也是六西格玛项目中评价过程基线和改进方向的重要手段。
对计量型的过程数据而言，如果数据服从正态分布，我们可以很方便地计算出相应的过程能力指数Cp，Cpk等。
但当数据呈现非正态分布状态时，如果直接按普通的计算过程能力的方法处理就会存在较大的风险。
一般而言，对此类数据计算过程能力的方法主要有如下几类：第一类方法是将非正态数据转换成正态数据进行计算，常用的转换方式包括我们在Minitab软件中经常用到的Box-Cox转换和Johnson转换等；第二类方法是拟合数据的实际分布，然后根据实际的分布估算其均值、标准差等，进而计算过程能力指数（比如在Minitab和JMP中，我们都可以比较方便地拟合所有连续分布）；第三类方法以非参数统计方法为基础，基于百分位数方法来计算过程能力。
下面分别进行简单说明：方法1：Box-Cox变换法的步骤1.估计合适的Lambda（λ）值；2.计算出变换后的数据Y x，3.根据原数据的USL和LSL，计算求出变换后的USL x和LSL x，4.对Y x用USL x和LSL x计算过程能力指数。
方法2：Johnson变换法的步骤1.根据Johnson判别原则确定转换方式；2.计算出变换后的数据Y x，3.根据原数据的USL和LSL，计算出变换后的USL x和LSL x，4.对Y x用USL x和LSL x计算过程能力指数。
关于上述两种方法的一个重要的问题是，并不是所有的非正态数据都能经过转换得到相应的服从正态分布的数据。
当出现这种情况时，准确的过程能力还是无法计算。
方法3：非参数计算法对于非正态数据，或者说上述两种方法中经过转换仍无法转换为正态分布的数据，我们可以使用这种方法计算过程能力指数，这时不需对原始数据做任何转换，可以直接使用以下公式计算过程能力指数Cp 和Cpk ：X X lower upper LSLUSL Cp --=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=X u u u X u lower upper USL USL Min Cpk ****,其中，X upper 和X lower 是随机数据X 的百分位数，通常取X upper 为X 99.865%，取X lower 为X 0.135%，对应于正态分布时覆盖99.73%的数据范围（±3σ）；也可取X upper 为X 99.5%，取X lower 为X 0.5%。
关于非正态总体的工序能力指数C_p值计算的研究
C^ pk = ( 1- k) C^ p .
( 3)
例如, 本文前言中所述当随机变量 Y 服从参数
为 s = 1, t = 2 的卡边分布时, 由工序能力指数的原
始定义计算得 0 8, 但由( 3) 式计算可得:
C^ p = T / 4 18S = 6/ 4 18 T / 6S 1 44 0 8 = 1 152 从而较客观地反映了工序能力与质量控制实际情况.
GUO Zheng guang, ZHANG Guo quan, WEI Fu yi
( College of Sciences, South China Agric. Univ. , Guangzhou 510642, China)
Abstract:This thesis aims at an in depth research of the phenomenon steadiness in product quality but low in dex of work procedure ability, which generally exists in such fields as chemical industry. The research proves that the above mentioned problem results form the fact that the quality index of work procedure products X is not subordinate to the normal distribution in parts of an area. And it further proves that the current calculating method of work procedure ability index is unadaptable in some areas such as chemical industry. According to the research result of the thesis, it can be concluded that redefining the calculating formula of work procedure ability index may lead to an effective solution of the above problem, with the quality index of work procedure products X subordinate to the above abnormal distribution, mathematical statistics as fundamental principle, and the probability leading to the first class error less than 0. 27% .
工程能力指数(Cp、Cpk)中文
工程能力指数（Cp、CpK）东莞信浓马达有限公司/雁田信浓电机电子厂一、制造部门的使命与职责作为一个制造部门，我们必须制造出具有稳定的品质的产品。
为此，我们须具备能充分理解“Cp、CpK”并且能将其活用的能力。
所以，我们的职责是：①确保工程、产品的“Cp、CpK”（减少偏差）②不作出不良（消除不良损失金额）③构造出能减少成本的工程④严守入库计划将这4点活用之后，必须在已定的“管理状态”下进行工作。
这些就是我们的使命。
就先前的工程能力指数“Cp、CpK”与“社内允许不良发生率”进行少许说明。
在我们公司内既有使用单侧规格的“Cp”，也使用有双侧规格的“CpK”（之后再作详细）。
生产工程中的允许不良发生率是，根据各机种成本资料设定样本工程。
各要求的规格如下所示：Cp=以上CpK=以上允许不良发生率(社内):重大不良%以下，通常的在1%以下(根据成本资料定)。
但铭板等也有允许不良发生率在10%的情况。
这些是产品在预算阶段的基准值（目标值），在初期流动时的工程设计阶段（制造工程管理表及作业手顺书的作成），取必要的数据，并据此数据进行把握。
二、工程管理中直方图的活用（参照附录6）工程管理，一般使用一些作为管理道具的如P管理图等的管理图表。
但是，如在直方图上下功夫的话也可将此运用在工程管理中。
直方图的优点在于，如样品数据有100个就可根据直方图看出其分布的状态,也可活用每个真实的数据。
不管是管理图也好还是QC七手法中的单独一个也好，虽频繁使用但如果不具备比较高水平的知识的话，是很难有效地掌握与使用的。
但是，直方图从直观上让人感觉易理解、只要有一张稿纸，任何人无论在何处均可直接的利用。
所以，比起其它更加活用。
三、管理状态（参照附录4）在前面第一部分中已说明过“管理状态”。
管理状态是指：“工程被维持在不得不有偏差的范围内（规格范围内）的状态”。
因此，即使工程属于管理状态下，依然还是会有不良发生。
请把“不得不有的偏差范围”与“规格”区别来考虑。
非正态分布数据的过程能力分析方法
非正态分布数据的过程能力分析方法作者：王雪情来源：《价值工程》2017年第19期摘要：非正态过程能力分析的方法的研究一直以来广受关注。
简要介绍了三种不同的计算非正态数据的过程能力指数的方法后，针对现有研究的不足，分别使用三种不同的方法计算过程能力指数，然后根据计算结果做出了分析和比较，最后将得到的结论应用到实际中进行分析，研究表明：虽然进行非正态分布数据的过程能力分析的方法很多，但是正态性转换的方法不具有稳健性，而非参数的方法的精度虽然不高，但对任何一种分布都是可以使用的。
Abstract： Process capability analysis of the non-normal is becoming an imperative problem. In this paper， three different methods of calculating the process capability index of non-normal data are briefly introduced. Based on the shortcomings of existing research， the process capability index is calculated by three different methods， and then the analysis and comparison are made according to the calculation results. Finally， the conclusions will be applied to the actual analysis. Although there are many ways to estimate process capability of non-normal data， results of the first two ways is not robust. Meanwhile， the parameters are not limited to any kind of distributions whose result is low accuracy.关键词：非正态分布；过程能力指数；MinitabKey words： non-normal distribution；process capability index；Minitab中图分类号：F224.0 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）19-0209-050 引言过程能力指数（Process Capability Index，PCIs）是用来度量过程能力的相对高低。
工序能力指数的基本概念
工序能力指数的基本概念引言工序能力指数是用于评估和量化生产工序的稳定性和可靠性的指标。
它是通过分析工序的输出数据来计算得出的，以帮助企业确定生产工序的可控性和可靠性，从而提高产品质量和生产效率。
工序能力指数的计算和应用在质量管理和生产管理中都具有重要意义。
本文将介绍工序能力指数的基本概念及其计算方法。
工序能力指数的定义工序能力指数是对生产工序进行客观评价的一种手段。
它可以帮助企业了解工序的稳定性和可靠性，从而帮助企业识别和解决潜在的生产问题，提高产品质量和生产效率。
工序能力指数通常使用两个主要指标来衡量，即过程能力指数（Cp）和过程能力指数六西格玛（Cpk）。
过程能力指数（Cp）过程能力指数（Cp）是一种衡量工序是否满足设计要求的指标。
它是通过比较工序的规格限制（USL和LSL）与工序的变异情况（过程标准差）来计算得出的。
Cp的计算公式如下：Cp = (USL - LSL) / (6 * 标准差)其中，USL表示工序的上限规格，LSL表示工序的下限规格，标准差表示工序的过程标准差。
Cp的值越大，表示工序的变异程度越小，更接近于设计要求。
过程能力指数六西格玛（Cpk）过程能力指数六西格玛（Cpk）是一种更综合和更严格的工序能力指数。
它考虑了工序的平均值偏移情况，并将工序的上限和下限规格统一转化为过程的表现能力。
Cpk的计算公式如下：Cpk = min((USL - 平均值) / (3 * 标准差), (平均值 - LSL) / (3 * 标准差))其中，平均值表示工序的平均值。
Cpk的值越大，表示工序的表现能力越好，更接近于设计要求。
工序能力指数的应用工序能力指数的计算和应用在质量管理和生产管理中都具有重要意义。
具体应用如下：1. 评估工序的表现能力通过计算工序能力指数，企业可以评估工序的表现能力，了解工序是否满足设计要求。
如果工序的能力指数较低，意味着工序存在一定的变异性和偏移性，需要进行改进和优化。
对工序(过程)能力指数的探讨
可用（ １ ） 式来计算工序 （ 过程 ）能力指数 Ｃ ｐ 。但随着统计方法在企业应用的越来越 广， 也有许多产品的质量特性值或可靠性指标的分布不遵从正态分布的， 是否也可
用（ １ ） 式来计算 Ｃ 值呢？下面举例加 以说明：
１１
故（ １ ） 式对于指数分布应改为 ：Ｃ ＝一 — 一
５． ９ 盯
（ ２ ）
式中：Ｔ —技术要求 （ 标准范围） ；
盯 一 以指数 分 布 为总体 的标准 差 。
在电子行业某些产品的质量特性值遵从威布尔 （ ｗｅ ｉ ｂ ｕ ｌ １ ） 分布 ， 其概率密度为＿ Ｐ （ 圈 ：
① 当产 品质 量特 性 值的 分布遵 从 正 态分布 ， 即Ｃ ／ ９ ＝ １ ， 则产 品不 合格 率是 ０ ． ２ ７ ％ 。 ②当产 品 质量 特性 值 的分 布 不遵 从正 态 分 布 ，要 Ｃ ／ ９ ＝ １ ，则 产 品不 合格 率便 不
是ｏ ＿ ２ ７ ‰
由此可见 ， 不 问质量特性值遵从什么分布 ， 一律用 （ １ ） 式来表述
维普资讯
口 冯 建平
工序（ 过程） 能力指数 ， 是指工序（ 过程） 在一定时间里， 处于控制状态（ 稳定状态） 下的实际加工能力。 也就是讲工序（ 过程） 能满足技术要求的程度 。 通常用工序（ 过程） 能力指数 用定量表示 ：Ｃ ｐ （ １ ）
维普资讯
对工序＾ 过程ｖ 能力指数的
式中 丁 —技术要求 （ 公差范 围） ；
盯 一 质量 特 性值 分 布的 总体 标 准差 。 通常 ， 当生 产 过程 处 于稳 定 状态 下 时 ， 产 品 质量 特性 值 的分 布如 遵 从正 态 分布
关于正态数据与非正态数据及其过程能力计算
关于正态数据与非正态数据及其过程能力计算摘要本文从企业生产现场的实际情况出发，提出数据呈正态或非正态分布时，如何对这些数据进行分析，并准确计算过程能力，将在本文进行讨论。
关键词正态；非正态数据；过程能力1 对数据的管控误区目前企业在流程中对所收集数据的统计、分析以及使用情况，较以前来说，规范性有了长足的进步，但与要求还是存在一定差距，可以通过以下几个方面来说明：1.1 数据来源可评价性差要想弄清楚一件事情，必须要获得现场数据，通过数据还原事实。
但现场数据并非是现存的，要经过人们的有效收集、传递，然后才有数据可以分析。
在此需要强调的是原始记录一定要整洁、规范，只有数据完整，后续才能进行推断性分析，但现实是部分数据在源头上就存在偏差。
这给后续的评价在客观上就带来极大影响。
因此，对数据进行策划和管理时务必确保数据来源的可靠。
1.2 异常数据混在正常数据中通常大家有这样的习惯，在对现场调查时，会对数据进行直接收集，完毕后，会对数据直接使用，所以在此就会存在一个误区，我们分析的数据能代表过程的正常情况吗？当你所收集的数据不能代表这个过程，也就是说数据来源于异常原因而非普通原因时，那所收集的数据就不能代表这个过程的正常情况，所以一定要将异常情况排除后，留下普通原因所引起的质量数据，这样就可以进行分析了。
我们可以通过箱线图进行数据的初步分析，如果数据跑到箱线图的两个尾巴之外的话，说明这样的数据属于异常数据，这样的数据要进行过程改善并予以剔除。
1.3 过程数据的‘伪’正态性在进行过程能力计算前，必须要看数据的分布情况是否符合正态。
在验证数据的时候，我们要关注子组容量的大小，因为子组容量的大小对我们数据的正态性研究也有一定的影响，我们可以通过模拟的125个数据来进行分析。
对于同样的125个数据，当子组容量分别为1和5时，我们可以看到数据正态性的表现情况。
当子组为1时，该125个数据的p值是小于0.05的，是呈非正态分布的。
工序能力指数(CPK)c
2. 工序能力的定量表征
实际工序能力指数： (3) 实际工序能力指数： CPK
2. 工序能力的定量表征
实际工序能力指数： (3) 实际工序能力指数： CPK
在元器件生产中，采用闭环工艺控制的情况并不多，大多为“ 在元器件生产中，采用闭环工艺控制的情况并不多，大多为“ 间 工艺控制，很难使两者重合。例如， 中的扩散工艺 中的扩散工艺， 接”工艺控制，很难使两者重合。例如，IC中的扩散工艺，并不 能在扩散过程中随时监测方块电阻R 的变化情况， 能在扩散过程中随时监测方块电阻 s的变化情况，因此不能做到 达到规范中心值时结束扩散。实际上都是先做试片， 在Rs达到规范中心值时结束扩散。实际上都是先做试片，根据试 片测试结果调整工艺条件。实践表明, 对于这种“ 片测试结果调整工艺条件。实践表明 对于这种“ 间接 ”控制的 工艺， 布中心值µ与规范 工艺，工艺参数分 布中心值 与规范 中心值偏移的程度一般为 1.5σ。 σ
实际工艺能力指数C 计算公式： 实际工艺能力指数 PK计算公式：
偏离为1.5σ情况下Cpk与Cp的关系：若工艺参数分布的中心值与 的关系： 偏离为 σ情况下 与 的关系 规范中心值偏移的程度为1.5σ，即：（ 规范中心值偏移的程度为 ， ：（µ-(TU+TL)/2）=1.5σ， ） ， 由上式可得： 由上式可得：
2. 工序能力的定量表征
(5) Cp和Cpk的常规计算方法 和 的常规计算方法 计算Cp和 计算 和Cpk的关键是计算母体正态分布的均值和 的关键是计算母体正态分布的均值和 标准偏差。常规计算方法为： 标准偏差。常规计算方法为：
通常用下述计算方法计算得S， 通常用下述计算方法计算得 ，作为母体分布标准偏 的近似值。 差σ的近似值。
工序能力指数Ca、Cp、CPk详解
9
P1
技术部
Cpk解析
5.工程能力判定标准
级别
工序能力 指数Cpk
A++ Cpk≥2.0
T与σ关系
不合格品率P
工序能 力评判
特优
可考虑降低成本
对应原则
A+ 2.0＞Cpk≥1.67
T＞10σ
P＜0.00006%
优
应当保持
A 1.67＞Cpk≥1.33 10σ≥T＞8σ 0.00006%≤P＜0.006% 良 B 1.33＞Cpk≥1.0 8σ≥T＞6σ 0.006%≤P＜0.27% 一般 C 1.0＞Cpk≥0.67 6σ≥T＞4σ 0.27%≤P＜4.45% 差
μ
Cp＝T /（6σ）
μ
SL
SU
T
①
SL
SU
T
状态：σ=C，T↑，Cp↑： 当设计精度要求过高，可适当降 低精度时，设计公差可适当放宽， 以迁就现有的工程能力，从而达 到不增加成本的目的。
μ
SL
SU
T
②
2021/5/23
P1
μ
SL
SU
T
状态：T=C，σ↓，Cp↑： 当设计精度为必须时，设计公差 不变，可从人、机、料、法、环 等环节入手，提高工程能力，以 确保设计精度及性能。如此，变 化增加成本。
2021/5/23
4
P3
技术部
3.Ca、Cp、Cpk的意义
Cpk解析
（1）Ca—制程准确度，是衡量制程中实际中心值与规格中心值一致性的指标（位置关系）。 Ca越大，表明制程中实际中心值与规格中心值偏离越大，制程能力越差。
μ
X
Ca＝2（X－μ）/ T
非正态分布工艺参数工序能力指数分析
图3
数据分布直方图与对数正态分布曲线比较
由于工序能力指数常规计算方法式 ( 1) ~ ( 6) 是基于工艺参数为正态分布的假设 , 如果实际分布明显偏离正
第1期
贾新章等 : 非正态分布工艺参数工序能力指数分析
15
态分布, 但是仍旧按传统方法考虑 , 用正态分布代表这组工艺参数, 将非正态分布的工艺按正态分布处理 , 结 果显然会与实际情况相差很大 , 导致不正确的评价结果 .
14 为[ 2] =
TU T
L
西安电子科技大学学 报( 自然科学版 )
第 31 卷
N( ,
2
) dx
.
( 2)
结合式( 1) 和 ( 2) , 可得到工序能力指数 Cp 与工艺成品率 之间的关系为 Cp = ( 1/ 3) !- 1 ( ( 1 + ) / 2) , ( 3) 式中 ! 为标准正态分布函数 . 图 2 是式 ( 3) 的曲线表示, 直观地显示了工 序能力指数 Cp 与工艺不合格品率 ( 1 - ) 之间一一对应的关系 . 1 3 实际工序能力指数 C pk 采用上述计算公式( 1) ~ ( 3) , 不但要求工艺参数服从正态分布, 而且 还隐含有一个条件, 就是 工艺参数分布中心 与工艺规 范要求中心值 T 0 = ( T U + T L ) / 2 相重合. 但是, 在实际的元器件生产中, 这种情况并不 多见 . 在 T0 与
[ 4]
求得对应的 Cp 值 , 并
∃ ( F( A , X j ) -
Fj ) 2
.
这是一个无约束优化问题 , 采用非线性最小二乘拟合算法, 就可以根据工艺参数数据 ( X j , Fj ) ( j = 1, 2, #) , 优化提取出描述母体分布的参数 A , 得到描述工艺参数分布的概率密度函数. 显然 , 这一步是计算等效工序 能力指数的关键 , 涉及的数学问题较多 . % 采用数值积分的方法, 由下式计算工艺成品率: =
工序能力指数的判断与计算
工序能力指数（CPK ）一）工序能力和工序能力指数工序能力，是指工序在一定时间，处于控制状态（稳定状态）下的实际加工能力，它是工序固有的能力，或者说它是工序保持质量的能力。
这里所指的工序，是指操作作者、机器、原材料、工艺方法和生产环境等五个基本质量因素综合作用的过程，也就是产品质量的生产过程，产品质量也就是工序中的各个质量因素的起作用的综合表现。
对于任何生产过程，产品质量总是分散地存在着，若工序能力越高，则产品质量特性值的分散就会越小；若工序能力低，则产品质量特性值的分散就会越大，那么，应当用一个什么样的量来描述生产过程所造成的总分散呢？通常，都用6 （即时 ）来表示工序能力：工序能力为=6 。
若用符号P 来表示工序能力，则P=6 （其中的 是处于稳定状态下的工序之标准偏差）。
工序能力与一般所说的生产能力是两个不同的概念。
前者是指质量上的能力，后者是指数量上的能力。
工序能力是表示生产过程客观存在着分散的一个参数。
但是，这个参数能否满足产品的技术要求（公差、规格等质量标准）的程度，这个参数就叫做工序能力指数，它是技术要求和工序能力的比值，即：σσμ3±σ工序能力技术要求工序能力指数=σσ当分布中心与公差中心重合时，工序能力指数记为Cp，当分布中心与公差中心偏离时，工序能力指数记为CPK，运用工序能力指数，可以帮助我们掌握生产过程的质量水平。
二）工序能力指数的判断工序的质量水平按Cp值可以划分为5个等级。
按其等级的高低，在管理上可作以下判断和处理，该表中的分级判断和处理对于CPK也同样运用。
工序能力指数的分级判断和处置参考表三）工序能力指数的计算1、在介绍工序能力指数计算以前，先介绍一下平均值和标准偏差的计算：平均值的数学表达式：标准偏差的数学表达式：在实际过程中，因为所取的数据一般较多（100个左右），这样用数学表达式来计算标准偏差十分麻烦，所以，在生产现场常得用作直方图过程中的频数表，采用两种简化的办法来求解平均值和标准偏差，这里不一一作介绍。
工序能力指数Cp
签合同时组合机床工作精度评定方法按以下标准执行：一.直接平定法：组合机床完成规定数量被加工零件的连续切削加工后，检验被加工部位的有关精度，均必须全部合格。
切削零件的数量不得少于表1的规定。
表1二.用“工序能力指数Cp值”评定机床完成规定数量（30～50件为宜，最少不得少于30件）被加工零件的连续削加工后，按加工顺序检验并记录被加工部位的有关精度。
1.工序能力指数Cp双向公差Cp=S T6单向公差Cp=s X T3S =vV =nu i∑2-(nui∑)2U i =x i -x 0x =x 0+nu i ∑式中：T —标准公差宽度；S —样本的标准差； V —无偏方差；U i —实测误差与中央值之差； x i —实测误差；x 0—中央值（位于或靠近波动曲线中央的某一便于简化计算的值；x—样本均值；n —样本大小;2.工序能力判断准则 表2签合同时组合机床自动线工作精度评定方法按以下标准执行：一.直接平定法：自动线完成规定数量(等于自动线加工工位数的6倍,但最少不少于25个)被加工零件的连续切削加工后，检验被加工部位的有关精度，均必须全部合格。
二.用“工序能力指数Cp 值”评定自动线完成规定数量（30～50件为宜，最少不得少于30件）被加工零件的连续削加工后，按加工顺序检验并记录被加工部位的有关精度。
1.工序能力指数Cp 双向公差 Cp=S T 6单向公差 Cp=sX T 3 -S =vV =nu i∑2-(nu i∑)2U i =x i -x 0x =x 0+nu i ∑式中：T—标准公差宽度；S—样本的标准差；V—无偏方差；U—实测误差与中央值之差；ix—实测误差；ix—中央值（位于或靠近波动曲线中央的某一便于简化计算的值；x —样本均值；n—样本大小;2.工序能力判断准则表2。
利用皮尔逊分布族计算非正态分布工序能力指数
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文章编号： （ ） ! " " # $ ! % & & # " " & " & $ " & ’ ( $ " %
利用皮尔逊分布族计算非正态 分布工序能力指数
吴海英
（武汉理工大学数学系， 武汉， ） ） ) * " " ( " 摘要： 本文利用皮尔逊分布族设计了一种计算非正态分布工序能力的方法。它可用于工序分布形 式完全未知的情况。 关键词： 工序能力指数； 非正态分布； 皮尔逊分布族 中图分类号： + # ! # 文献标识码： ,
错误。对于非正态情形， 我们将上面定义的形式改变一下。
#） 大家知道， 当 ! 服从正态分布" （!， 时， 工序数据的" " L ! * % - 位于!$ * " 之下， % " -位 于! 之下， 即* （!!! 则在正态 Q Q L ’ & % - 位于!P * " 之下。如此引进分位数 ! O #， # 记号， #）
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( 华南农业大学 理学院, 广 东 广州 510642)
摘要 : 就化工等行业中普遍存在的产品质量稳定而工序能 力指数偏低的问 题, 进 行了较为 深入的研究. 研究 表明, 上述问题是由于工序产品的质量指标 X 在局部范围内不服从正态分布 所导致, 进而指出了现行的工序能力指数的 计算方法在某些行业( 如化工等行业) 的 不适用 性. 根 据该研 究结果, 当产 品质 量指 标 X 在服从 上述 非正态 分布 时, 依据数理统计的基本原理, 在导致第一类错误发生的概率不大于 0 27% 的前提下, 重新定 义工序能力 指数的计 算公式即可以有效地解决上述问题.
关键词: 非正态总体; 工序能力; 工序能力指数
中图分类号: O212; C8
文献标识码: A
文章编号: 1001- 411X ( 2004) 01- 0110- 02
Research on computing the value of the work procedure ability index Cp
0 998 65. 取( B / 2) D( Z ) = ( B / 2) 0 8 = 1 87, 则 B 4 18. 所以, 当随机变量 Y 服从参数为 s = 1, t = 2 的卡边分布时
Cp = T / 4 18 D ( Y) = ( TU - T L) / 4 18 D ( Y) ,
C^ p = T / 4 18S = ( TU - T L) / 4 18S,
1 目前工序能力指数计算存在的问题
以上有关工序能力及工序能力指数的计算及其 理论, 起源于机械行业, 现已广泛地应用于其他各个
收稿日期: 2002- 07- 11
作者简介: 郭 正光( 1954- ) , 男, 教授.
基金项目: 华南农业大学校长基金资助项目( 4900- K01153)
第 1期
郭正光等: 关于非正态总体的工序能力指 数 Cp 值计算的研究
C^ p = T / BS = (T U - TL )/ BS,
( 1)
C^ pk = ( 1- k ) C^ p , k = 2 | - M | / T , ( 2)
其中, B 为常数, D( Y) 为卡边随机变量 Y 的标准差.
据数理统计的基本原理, 令 P( - B D( Y) / 2<
Y < + B D( Y) / 2) 99 73% . 根据标准卡边随机 变量的定义 Z = ( Y- ) / , 所以 D ( Y) = 2D ( Z ) ,
GUO Zheng guang, ZHANG Guo quan, WEI Fu yi
( College of Sciences, South China Agric. Univ. , Guangzhou 510642, China)
Abstract:This thesis aims at an in depth research of the phenomenon steadiness in product quality but low in dex of work procedure ability, which generally exists in such fields as chemical industry. The research proves that the above mentioned problem results form the fact that the quality index of work procedure products X is not subordinate to the normal distribution in parts of an area. And it further proves that the current calculating method of work procedure ability index is unadaptable in some areas such as chemical industry. According to the research result of the thesis, it can be concluded that redefining the calculating formula of work procedure ability index may lead to an effective solution of the above problem, with the quality index of work procedure products X subordinate to the above abnormal distribution, mathematical statistics as fundamental principle, and the probability leading to the first class error less than 0. 27% .
Key words: non normal totality; work procedure ability; work procedure ability index
工序能力是受控状态下工序对加工质量的保证 能力. 用数理统计的语言来表述, 工序能力就是在一 定的生产条件下, 工序产品的质量指标 X 假设在服 从正态分布 N ( , 2 ) 的 前提下, 落在质量 标准[ T L, TU ] 范围中的概率. 生产出的合格品越多, 工序能力
布. 在工艺参数控制中, 当数据处于( - s , + s ) 之间时, 操作者往往持 一般注意 , 当数据处于( t , - s ) 或( + s , + t ) 之间时( 其中 t > s> 0, s 、t R+ ) , 特别是接近 t 时, 必持 加强注意 , 这是因为有其责任制所带来的各种软硬约束作用的
综合结果, 此时, 工序产品质量指标的数据不再服从 正态分布, 这种情形本文称其为 卡边随机现象 .
2 非正态总体 Cp 值的计算
工序能力指数的计算及其工序能力判断标准的 理论依据是数理统计中众所周知的 3 原理. 即假 设产品质量指标 X ~ N ( , 2) , 则 P ( - 3 < X <
+ 3 ) 99 73% . 如果 Cp 值越大, 就 越有理由相 信产品的质量指标满足质量要求, 而 由此导致第一 类错误( 即拒真错误) 发生的概率仅为 0 27% . 在工 序控制的实践中, 由于总体分布的参数未知, 所以一 般是抽取一个容量 n 50 的随机样本, 其样本均值 为 X , 样本标准差为 S, 则
第 25 卷 第 1 期 2004 年 1 月
华南农业大学学报( 自然科学版) Journal of South China Agricultural University( Natural Science Edition)
Vol. 25, No. 1 Jan. 2004
关于非正态总体的工序能力指数 Cp 值计算的研究
为了实用的方便并结合化工系统中工序控制的
实际问题, 笔者曾在文献[ 2] 中导出了标准卡边随机
变量 Z 的概率分布函数为:
0
z <- t
ln
t+ z t- s
m
-
s
,
- t z <- s
FZ(z ) =
( z),
ln
t- s t- z
m
+
s
,
- s z< s s z< t
1,
zt
u
其中 ( u) =
映工序能力的高低. 通常在生产实际中判断标准[ 1] 是: 当 Cp > 1 67( 即 T > 10 ) 时, 认为工序能力过剩; 当 1 33< Cp 1 67( 即 8 < T 10 ) 时, 认为工序能力 充足; 当 Cp = 1 33( 即 T 8 ) 时处 于理 想状 态; 当 1 00< Cp 1 33( 即 6 < T 8 ) 时, 认为工序能力正 常; 当 Cp 值接近 1( 即 T 6 ) 时, 有超差危险, 应当加 强管理; 当 0 67< Cp 1( 即 4 < T 6 ) 时, 认为工序 能力不足; 当 Cp 0 67( 即 T 4 ) 时, 认为工序能力 严重不足, 此时必须查找原因, 采取相应的对策.
就越高, 通常用工序能力指数 Cp 值反映工序能力的 高低. 现行工序能力指数的计算方法: 设质量标准上 限为 T U , 下限为 T L, 质量标准范围 T = T U- T L, 中心 M= ( TU - T L ) / 2, 当 = M 时, 称之为工序无偏; 当
M 时, 称之为工序有偏. 如果工序无偏, 则 Cp = T / ( 6 ) = ( T U - T L ) / 6 ; 如果工序有偏, 则工序能力 指数定义为 Cpk, Cpk = ( 1- k ) Cp , 其中 k = 2| M| / T . 由上述计算公式可知, Cp值的大小应直接反
C^ p = T / 6S = ( TU - ( 1- k) C^ p ,
k = 2 | - M | /T. 根据文献[ 2、3] 的研究结果, 如果产品质量指标 Y 服从卡边分布, 重新定义工序能力指数为:
Cp = T / B D ( Y) = ( TU - T L) / B D ( Y) ,
即 D( Y) = D ( Z) .
故P
-
1 2
B
D( Y) < Y <
+
1 2
B
D( Y) =
P
-
B 2
D( Z) < Y -
<
B 2
D ( Z) =