2001高等代数

2001年首都师师范大学硕士研究生入学考试高等代数试卷专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。

一、（12分）计算行列式111212122212111n n n n n n nc b c b c b c b c b c b D c b c b c b ++=+二、（12分）如果123(),(),()f x f x f x 是数域F 上线性空间F[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，证明：123(),(),()f x f x f x 线性无关。

三、（14分）证明线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎛+++=+++=⎝ 对任何12,,,n b b b 都有解的充要条件是系数行列式1112121222120nn n n nna a a a a a a a a ≠四、（12分）设A ，B 为n 阶实对称矩阵，A 的所有特征值都小于a ，B 的所有特征值都小于b ，则矩阵A+B 的所有特征值都小于a b +。

五、（14分）证明，对n 维线性空间V 中的线性变换σ可逆的充要条件是σ把V 的一组基仍变为一组基。

六、（12分）设A 是数域F 上的n 阶方阵，I 是n 阶单位矩阵，2A I =，12,V V 分别是线性方程组()0()0I A X I A X -=+=和 的解空间，则12nF V V =⊕，其中nF 是所有n 维向量所成的向量空间。

七、（14分）设4阶实对称矩阵A 的特征值为3,1,1,1-，已知属于特征值1的特征向量是123111100,,010001ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、求属于特征值3-的特征向量ξ；2、求矩阵A 。

八、（10分）设α为一复数，且是数域F 上的非零多项式()g x 的根，令{()[]|()0}W f x F x f α=∈=证明：在W 中存在多项式()p x ,使得对任一()f x W ∈，都有()|()p x f x ，且()p x 在数域F 上不可约。

高等代数试卷专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。

一、（12分）设p(x)为数域F 上的次数大于0的多项式，证明：如果p(x)对任意多项式f(x),都有p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1，则p(x)必为F 上的不可约多项式。

二、（16分）设V 是数域F 上全体三阶矩阵所作成的线性空间，000001000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令{,|0}W B V AB =∈=（1）证明W 是V 的一个子空间；（2）求W ；（3）求W 的维数和一组基。

三、（14分）设V 是数域F 上全体n 阶方阵所作成的线性空间,C 为V 中一个矩阵，定义V 的变换:()A CA AC σσ=-，证明： （1）σ是V 的一个线性变换；（2）对V 中任意的A ，B ，都有()()()AB A B A B σσσ=+。

四、（12分）设矩阵201220a A b c -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的三个特征值为4,1,2-，求,,a b c 。

五、（12分）设12,,,n ααα 是线性无关的n 元向量，P 为n 阶方阵，试给出向量组12,,,n P P P ααα 线性无关的充要条件，并证明你的结论。

六、（12分）设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P ，使得1P AP B -=的充要条件是A 与B 有相同的特征多项式。

七、（12分）线性变换σ称为幂等的，如果2σσ=。

设σ与τ都是空间V 的幂等变换，证明στ+是幂等变换的充要条件是σττσ=。

八、（10分）设V 是复数域上的有限维线性空间，τ是V 的线性变换，如果对V 的任意U （即()U U τ⊂），存在V 的τ-子空间W ，满足V U W =⊕，则称τ是完全可约的。

证明τ是完全可约的当且仅当V 有由特征向量组成的基。

高等代数试卷专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。

一、（20分）用((),())f x g x 表示数域F 上多项式f(x)和g(x)的首项系数为1的最大公因式。

证明：((),())(()2(),()())f x g x f x g x f x g x =+-。

二、（20分）叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式101x -在实数域上分解为不可约多项式的乘积。

三、（20分）设F 为数域，已知矩阵n nA F ⨯∈，的列向量是一齐次线性方程组的基础解系，证明矩阵n nC F ⨯∈的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件为：存在可逆矩阵n nB F⨯∈，使C AB =。

四、（20分）设σ是数域F 上n 维线性空间V 的线性变换，αβ与分别是σ的属于特征值12λλ与的特征向量，而且12λλ≠，试证：1、,αβ线性无关；2、αβ-不可能是σ的特征向量。

五、（20分）设数域F 上n 维线性空间12V W W =⊕，则任一x V ∈可表示为12x x x =+，其中(1,2)i i x W i ∈=，我们把变换1():x x x σ→称为在1W 上的投影变换，试证： 1、投影变换也是线性变换；2、V 的线性变换σ是投影变换的充要条件是σ在V 的任何基下的矩阵A 满足2.A A = 六、（20分）设1110()[]n n n f x x a x a x a F x --=++++∈ 是数域F 上的不可约多项式，α是()f x 的一复数根，1、证明：[]{()|()[]}F g g x F x αα=∈是F 上n 维线性空间，且11,,,n αα- 是一基；2、定义[]F α的线性变换:αλβαβ ，求αλ在上述基下对应的矩阵n A ，并求行列式||n A 。

七、（15分）设A 与B 是两个n 阶实对称矩阵，且A 是正定矩阵，试证，存在一个n 阶实可逆矩阵T ，使T AT T BT ''及都是对角矩阵。

八、（15分）设12,,,r ααα 与12,,,s βββ 是线性空间V 的两组向量，且12,,,r ααα 线性无关，1(1,2,,)ri ij jj a i s βα===∑ ，求证1、向量组12,,,s βββ 的秩等于矩阵()ij A a =的秩；2、s r =时，12,,,s βββ 线性无关的充要条件是||0A ≠。

2005年首都师师范大学硕士研究生入学考试高等代数试卷专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计；研究方向：各方向。

一、（16分）证明多项式4321x x ++在有理数域上不可约。

二、（16分）设V 是数域F 的上全体n 阶方阵作成的线性空间，A ，B ，C ，D ∈V ，对任意X V ∈，定义()X AXB CX XD σ=++，证明： 1、σ是V 的线性变换；2、当C=D 时，σ为可逆线性变换当且仅当||0AB ≠。

三、（16分）设((),())f x g x 表示数域F 上多项式(),()f x g x 的首1最大公因式，证明，如果12((),())1f x f x =，则对任意的()[],g x F x ∈有1212(()(),())((()())(()())f x f x g x f x g x f x g x =。

四（18分）设V 是数域F 上的骊性空间，12,,,n ααα 是V 的基，于是由1,()1,2,,1,()0i i n i n σαασα+==-= 定义了V 的一个线性变换σ，1、试求σ在基12,,,n ααα 下的矩阵A ；2、证明10,0nn σσ-=≠；3、设τ是V 的线性变换且满足10,0,nn ττ-=≠则存在V 的基，使τ在该基下的矩阵与1中σ的矩阵A 相同。

五、（18分）设0γ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，12,,,r ηηη 是它的导出组的基础解系，证明：1、0γ，01020,,,r γηγηγη+++ 线性无关；2、n 元向量γ是这个方程组的解的充要条件是存在1r +数12(1,2,,),1i r k i r k k k =+++= ，使得1012020()()()r r k k k γγηγηγη=++++++ 。

六、（18分）设C 与D 为n 阶实矩阵，,,,A C C B D D λμ''==为正实数，证明： 1、存在方阵P ，使A B P P λμ'+=；2、若C 与D 之一为可逆矩阵，则上述矩阵P 可逆。

七、（16分）设A ，B 与两个n 阶复矩阵，是B 的特征多项式，证明，()A φ为可逆矩阵的充要是A 与B 没有公共的条件征值。

八、（16分）设A 是n 阶实方阵，X 与β均为实n 元列向量，证明，线性方程组AX β=是有解的充要条件是β与线性方程组0A X '=的解空间正交。

九、（16分）设V 是实数域R 上的n 维线性空间，若能在V 上定义一个二元函数，记为[,]αβ，满足以下性质：（1），[,][,]k k αβαβ=，对任意,,V k R αβ∈∈； （2）[,][,][,]αβγαγβγ+=+，对任意,,V αβγ∈； （3）[,][,]αββα=-，对任意,V αβ∈；（4）对对任意\{0}V α∈，存在V β∈，使[,]0αβ≠。

则称V 为S -空间，在n 维S -空间V 中，回答下列问题：1、证明，对任意，,,,V k R αβγ∈∈，有[,][,][,]γαβγαγβ+=+，[,]0αα=；2、设σ是V 上的一个可逆线性变换且满足，对任意,V αβ∈，有[(),()][,]σασβαβ=。

设U 是V 的一个σ-不变子空间，令{|,[,]0,}U v V u v u U ⊥=∈=∀∈，证明U ⊥是u U ∈是V 的σ-不变子空间；3、设2,n U >是V 的一个由α和β生成的子空间且[,]0αβ≠，证明{0}U ⊥≠； 4、是否存在一维和三维S -空间？说明理由。

2007年首都师师范大学硕士研究生入学考试高等代数试卷专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计、运筹学与控制论、数学物理、数学教育、数学与信息技术 研究方向：各方向。

一、（第1、3、4小题每题5分，第2小题10分，共25分）设3()22[]p x x x Q x =++∈为有理数域Q 上的一个多项式。

1、证明p(x)在Q[x]上不可约；2、设4321234()[]f x x a x a x a x a Z x =++++∈为整系数多项式，证明：()()f x p x 与不互素当且仅当1234(,,,)a a a a 为以下线性方程组的一个整数解。