东南大学离散数学课件
东南大学 离散数学 第2章 谓词逻辑

对公式中的自由变元也可以进行更改,这种 更改叫做代入,代入规则是: ⑴ 对于谓词公式中的自由变元可以代入, 代入时需对公式中该变元自由出现的每处进 行. ⑵ 代入的变元与原公式中其他变元的名称 不能相同.
【例2.12】对(x)(P(y)∧R(x,y))→(y)Q(y) 中的自由变元y进行代入. 解: 下面哪个是正确的? (x)(P(z)∧R(x,z))→(y)Q(y) (x)(P(x)∧R(x,x))→(y)Q(y) (x)(P(z)∧R(x,y))→(y)Q(y)
因 为 (x)P(x) 与 (y)P(y) , (x)P(x) 与 (y)P(y) 都具有相同意义,所以约束变元与表示该变 元的符号无关.根据这个特点,可以对约束 变元换名.换名规则如下: ⑴对约束变元可以换名,其更改变元名称 的范围是量词的指导变元,以及该量词辖域 中的所有该变元,公式的其余部分不变. ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的 变元名,最好是公式中没有的变量名.
(1)每列火车都比某些汽车快. (2) 某些汽车比所有火车慢. 解:设A(x):x是火车.B(x):x是汽车.C(x,y): x比y快. "每列火车都比某些汽车快."符号化为: (x)(A(x)→(y)(B(y)∧C(x,y))) "某些汽车比所有火车慢."符号化为: (x)(B(x)∧(y)(A(y)→C(y,x)))
【例2.3】 命题:⑴ 所有数小于5. ⑵ 至少有一个数小于5. 个体域: ① -1,0,1,2,4 ② 3,-2,7,8 ③ 15,20,24 解:设L(x):x小于5. ⑴ "所有数小于5."符号化为:(x) L(x) 5 (x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,假,假. ⑵ "至少有一个数小于5."符号化为:(x)L(x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,真,假.
离散数学课件(第5章)

的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B),其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响, 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生,则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集,表示两个关系中都存 在的关联;关系的交运算是指两个关系的交集,表示同时 存在于两个关系的关联;关系的差运算是指两个关系的差 集,表示存在于一个关系但不存在的关联;关系的逆运算 是指一个关系的逆关系,表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换,以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合,而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发,经过一系 列的边和节点,最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中,所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径,即起点和终点相同的路径。在图论 中,回路的概念非常重要,因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的,则 P(A∩B)=P(A)P(B),即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ,它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
东南大学离散数学第一章

计算机科学与工程学院
p q
F F F T T F T T
pq
F F F T
21
1.1 命题与联接词
析取联接词
– 符号,读作“析取”
定义:命题 p,q – p与q的析取式:复合命题“p或q” – 符号:pq(符号称作析取联结词) – pq为假当且仅当p和q同时为假 例子
数理逻辑提供了计算机科学与技术研究中的 重要工具与方法
计算机科学与工程学院
12
第一部分 数理逻辑
■ 主要内容 命题逻辑基本概念
命题逻辑等值演算
命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
计算机科学与工程学院
13
第1章 命题逻辑基本概念 Propositional Logic
• 离散数学与数据库理论
数据库理论中的关系演算与关系模型需要用到谓词逻辑 关系数据库是行和列组成的二维表,表间的连接操作由笛卡尔积 理论支持 表的操作(查询、删除、修改)与关系代数和数理逻辑密切相关
计算机科学与工程学院
6
绪论:离散数学与计算机科学(续)
• 离散数学与人工智能
计算机智能化(推理)的前提——自然语言的符号化 语言符号化是数理逻辑研究的基本内容
– 自然数、整数,真假值,有限节点等
研究方法:推理、运算及实验等
计算机科学与工程学院
2
绪论:为什么要学习离散数学
计算机技术的支撑科学:计算机只能处理离散的或
离散化了的数量关系
培养离散思维与抽象思维能力 计算机专业课程学习的重要基础
培养理论研究和应用开发的离散建模能力
东南大学离散数学课件

2.4 可满足性问题与消解法
例:设C1为R∨┐P∨Q,C2为P∨┐Q
以P,┐P为消解基的消解结果是 R∨Q∨┐Q 以Q,┐Q为消解基的消解结果是R∨┐P∨P
特别地,当C1,C2都是单文字子句,且互补时, C1,C2的消解结果不含有任何文字,这时我们称 其消解结果是“空子句”(nil),常用符号 λ表 示之, 空子句λ是永远无法被满足的。
2
2.4 可满足性问题与消解法
分离规则 可改为 说明:
p, p q q
p, p q q
该规则要求“消去两个互补文字”。 “操作”特色 对第二种形式作如下的推广:
p q1 .... qn , p r1 ... rm q1 ... qn r1 ... rm
7
2.4 可满足性问题与消解法
定理2:如果子句集S有一个否证,那么S是不可 满足的。 分析:设C1,C2 ,…,Cn(= λ)是S的一个否证。若S可满
足,即有某个赋值使S中所有子句为真,那么可对n归纳 证明,使C1,C2 ,…,Cn为真,从而( Cn ) = (λ) = 1, 导致矛盾。
证:n=1时,因C1S,显然( C1 ) = 1。
设对任意k < n,( Ck ) = 1,考虑Cn 。若CnS,则应有 ( Cn ) = 1;若Cn 为Ci , Cj 的消解结果,而i,j < n 。 据归纳假设, 有 ( Ci ) = 1,( Cj ) = 1,从而根据定理1可得 ( Cn ) = 1。
2.4 可满足性问题与消解法
可满足性问题:
用于证明A是否永真 用于验证逻辑蕴涵
• A1…Ak B 永真 当且仅当 A1…Ak B 永假
解决方法
真值表 主析取范式 主合取范式 缺点:计算量大
《离散数学教案》课件

《离散数学教案》PPT课件第一章:离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对,主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章:集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法:列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题:可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词:与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章:图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法:邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历:深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章:组合数学4.1 排列与组合排列:从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合:从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数:求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理:解决计数问题时,通过加减来排除某些情况。
第五章:命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算:联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广,引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构:个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章:组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素,构成满足特定条件的组合。
离散数学第一章PPT课件

R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments(作业)
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式(等值演算) 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式,对A所有可能的解释: (1)若A都为真,称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假,称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真,称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知,命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式,(PQ)∧Q为矛盾式,PQ)∧R为可满足式。
注: 1、 永真式必为可满足式,反之则不然;永真式的否定是永 假式,反之亦然; 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法:真值表法(适用于变元少而简单的公式)、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定,记作
P,读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P:离散数学是计算机专业的核心课程, 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题, 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解,使用 适当的联结词: (1)确定语句是否是一个命题;
(2)找出句中连词,用适当的命题联结词表
示。
Assignments(作业)
第30页: 3(偶数小题)
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式,将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表,称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表,我们约定: ①命题变元按字典序排列;②对公式的每个 解释,以二进制从小到大列出;③当公式较 复杂时,可先列出子公式的真值,最后列出 所给公式的真值。
离散数学课件-绪论

目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学:离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域, 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中,形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象,如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法, 通过对一些具体实例的分析,归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中,归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理,如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法,通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立,推出矛盾, 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等,这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究,如几何学和逻辑学。随着 时间的推移,离散数学的各个分支逐渐形成和发展,成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起,离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如,利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等,可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科, 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策,离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ,可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起,形成一个新的集合。
详细描述
例如,{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如,对于集合{1, 2, 3},{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
)的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系,强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如,集合{1, 2, 3}的基数是3,即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向,即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向,即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子(如necessity、possibility)的语义和语法。
离散数学第一章课件

表示“或者” “或者”有二义性,看下面两个例子: 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或,也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P:灯泡有故障。 Q:线路有故障。 例中的复合命题可表示为:P∨Q P∨Q读成P析取Q,P或者Q。 P∨Q的真值为F,当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为: 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词,所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.)
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”, 例1-2.5: P表示:缺少水分。 Q表示:植物会死亡。 PQ:如果缺少水分,植物就会死亡。 PQ:也称之为蕴涵式,读成“P蕴涵Q”, “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件,Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件,Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成:是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词,定义了六个逻辑联 结词,分别是: (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
《离散数学讲义》课件

离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算,通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用,是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支,主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合,包含所有元素;交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合;差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数,通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图(由节点和边构成的结构)的数学分支,它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支,它研究推理的形式和规则,是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支,它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象(如集合、图、树等)的数学分支,它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学,如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合,而不是连续性和微积分。
《离散数学数论》课件

素数与合数的应用
素数的应用
在密码学中,大素数是生成加密密钥的 重要材料;在计算机科学中,素数的性 质被用于实现一些加密算法和散列函数 等。
VS
合数的应用
在计算机科学中,合数的性质被用于实现 一些算法和数据结构,如快速排序、堆排 序等;在数学中,合数的性质被用于证明 一些数学定理和猜想等。
04
CHAPTER
THANKS
谢谢
02
在计算机科学中,最大公约数 和最小公倍数的概念也被广泛 应用,如算法设计、数据结构 等领域。
03
在日常生活和工作中,最大公 约数和最小公倍数的概念也有 很多应用,如解决时间安排问 题、资源分配问题等。
05
CHAPTER
同余方程
同余方程的定义
同余方程
01
在数论中,同余方程是一个关于模的等式,表示两个或多个整
离散概率论的应用领域
离散概率论在计算机科学、统计学、决策理论等 领域有广泛应用。
3
离散概率论与连续概率论的联系
离散概率论是连续概率论的离散化形式,两者在 概念和方法上有许多相似之处。
离散概率论的基本概念
样本空间
样本空间是随机实验所有可能结果的集合。
概率
概率是用来描述随机事件发生可能性大小的 数值。
计算机科学
在计算机科学中,同余方程可以用于实现快速模运算,从而提高 算法的效率。
数论研究
同余方程也是数论研究中的一个重要工具,可以用于研究整数的 性质和结构。
06
CHAPTER
离散概率论基础
离散概率论简介
1 2
离散概率论的定义
离散概率论是研究离散随机现象的数学分支,主 要研究离散随机事件、离散随机变量等。
离散数学第2章ppt课件

C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
, 6)
若A⊆B,C⊆D,则A∪C
是集合,没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}, {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集,即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明: 设1,2是两个空集, 则1 2,且2 1,
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注:任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A,则b是不给自己刮脸的人, 而由题意,b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸, 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上,住着一些人家,岛上只 有一位理发师,该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么,谁给这位理发师刮脸?
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A1={{a},{b,c}} ∴| A1 |=2(秩) A2={{a,b},{c}} ∴ | A2 | =2(秩) A3={{a,c},{b}} ∴ | A3 | =2(秩) A4={{a},{c},{b}} ,秩为3 A5={{a,b,c}} ,秩为1
{6,12} {6,12,24,36}
6,12,24,36 6,12,24,36
12,24,36 2,3,6 2,3,6
29
7.7 偏序关系
定义 设〈P,≤〉是一个偏序集合,有QP
若q∈P是Q的上界,对于Q的每一个上界q’都有 q≤q’,称q是Q的最小上界 若q∈P是Q的下界,对于Q的每一个下界q’都有 q’≤q,称q是Q的最大下界
17
第七章: 二元关系
第一节:有序对与笛卡儿积 第二节:二元关系 第三节:关系的运算 第四节:关系的性质 第五节:关系的闭包 第六节:等价关系与划分 第七节:偏序关系
18
7.7 偏序关系
偏序关系
自反性 反对称性 传递性 记作≤
a
b
c
例
A={a,b,c} R={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,b>, <b,c>,<c,c>} 偏序关系
x A
12
7.6 等价关系与划分
商集
R是A上的等价关系,R的所有等价类构成的集合 为商集 记为A/R
例:X为全班同学的集合,|X|=n,(n∈N)
按指纹的相同关系R1是一个等价关系 X/R1={[x1]R1,…[xn]R1} 同姓关系R2是一等价关系 X/ R2 ={[张],[李],…}
6 4 5 3 1
22
2
7.7 偏序关系
A={a,b,c},包含关系R是P(A)上的偏序关 系,哈斯图如下:
P(A)={ф,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b, c},{a,b,c}}
{a,b,c} {a,b} {b} {a} ф
{a,c}
{b,c} {c}
23
7.7 偏序关系
第七章: 二元关系
第一节:有序对与笛卡儿积 第二节:二元关系 第三节:关系的运算 第四节:关系的性质 第五节:关系的闭包 第六节:等价关系与划分 第七节:偏序关系
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第七章: 二元关系
第一节:有序对与笛卡儿积 第二节:二元关系 第三节:关系的运算 第四节:关系的性质 第五节:关系的闭包 第六节:等价关系与划分 第七节:偏序关系
定理:任何集合XI(I的任何子集X)上的 模k等价,是一个等价关系。
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7.6 等价关系与划分
定义 设R是X集合上的等价关系,对于任何 x∈X,规定集合[x]R X:
[x]R ={y|y∈X∧yRx}
[x]R是由x∈X生成的R等价类, x为等价类[x]R 的表示元素。
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7.6 等价关系与划分
4 3 2
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7.7 偏序关系
定义 设〈P,≤〉是一个偏序集合,QP
若对每个b∈Q,有b≤a,称a∈P是Q的上界 若对每个b∈Q,有a≤b,称a∈P是Q的下界
说明
上下界不一定唯一
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7.7 偏序关系
例〈P,DA〉,P={2,3,6,12,24,36}
Q P 上界 下界
{2,3} {2,3,6}
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7.7 偏序关系
可以在一个非空有限的偏序集合<A,≤’>上构 造出一个线序集合<A,≤> ,使得每当a≤’b 有a≤b,方法如下:
选取A的极小元x,使x是<A,≤>列表表示中的 第一个元素 对子集A-{x}重复这一过程,每次一个新的极小 元素被找到,它在<A,≤>的列表表示中成为下 一个元素 重复这一过程,直到A的元素被抽完
A中不存在最大元
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7.7 偏序关系
定义 设<A,≤>是偏序集,BA
若存在元素b∈B,a∈B,如b≤a,则a=b,称b为 B的极大元。 若存在元素b∈B,a∈B,如a≤b,则a=b称b为 B的极小元。 6
说明
极大元未必是最大元 5 极大元未必是唯一的 如果B是有限集,则B必存在极大元 最大元就是极大元
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7.6 等价关系与划分
定理 X是一非空集合,C是X的一个划分, C={S1, S2,… Sm},下述关系必定是一个等 价关系
R { x, y | Si (Si C x Si y Si )}
定理 设A是非空集合,R是A上的等价关系。 R的等价类集合{[a]R|a∈A}是A的划分。
讨论
等价类[x]R是一个集合,[x]R X ([x]R是X 的子集) [x]R 中的元素是在等价关系R中,所有与x具有 等价关系的元素所组成的集合 在等价关系中的关系图中,一个最大连通子图中 的点就是一个等价类
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7.6 等价关系与划分
例:
X={a,b,c,d} R={<a,a><b,b><a,b><b,a><c,c><d, d><c,d><d,c>} [a]R ={a,b}= [b]R [c]R ={c,d}= [d]R
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7.7 偏序关系
例 A是非零自然数集,DA是A上的整除关系。
x∈A, x能整除x ∴DA具有自反性。 x,y∈A,如x能整除y,且y能整除x,则x=y。 ∴ DA具有反对称性。 x,y,z∈A,如<x,y>∈DA,<y,z>∈DA,即x 能整除y,y能整除z,则x能整除z,<x,z>∈ DA ∴ DA具有传递性。
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7.6 等价关系与划分
(2) R的关系矩阵
1001001 0100100 0010010 M R 1001001 0100100 0010010 1001001
R满足自反、对称和可传递的
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7.6 等价关系与划分
定义 设k是一个正整数而a,b∈I。若对于某个 整数n,有(a-b)=n×k,称a和b是模k等价 ,记作:a≡b(mod k)。
充 分 性 , 因 为 a∈[a]=[b], 即 a∈[b] , 所 以 aRb。 必要性,已知aRb,考虑[a]的任意元素x,有 xRa。根据R的传递性,有xRb,因此x∈[b] 。证明[a][b]。类似可证明[b][a] ,所以 [a]=[b]。证毕。
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7.6 等价关系与划分
定理 设X是一个集合,R是X上的等价关系,则 对于所有a,b∈X,或者[a]=[b],或者 [a] ∩[b]=Ø。 定理 设R是集合A上的等价关系, 则A= U [ x ]
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7.6 等价关系与划分
定 义 给 定 一 非 空 集 合 S , 设 非 空 集 合 族 A={A1, A2,… Am},如果有: (1) Ai I Aj 或 Ai Aj (i,j=1,2…,m) m (2) U Ai S
i 1
称集合A是集合S的一个划分。
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7.6 等价关系与划分
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7.6 等价关系与划分
等价关系
自反的 对称的 可传递的
例
实数(或I、N集上)集合上的“=”关系 Δ集合上的相似关系 全集上集合的相等关系 命题集合上的命题等价关系
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7.6 等价关系与划分
例:设X={1,2,3,4,5,6,7} R={<x,y>|x,y∈X∧(x-y)可被3整除} 试证明R是等价关系,画出R的关系图,列出R 的关系矩阵。 解 (1)R={<1,1><1,4><1,7><2,2><2,5 ><3,3><3,6><4,1><4,4><4,7><5, 5><5,2><6,6><6,3> <7,7><7,4><7,1>}
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7.6 等价关系与划分
例
X ={a,b,c,d,e} C={{a,b},{c},{d,e}} 对应划分C的等价关系为 R={a,b}×{a,b}∪{c}×{c}∪{d,e}×{d, e}={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>, <d,d>,<e,e>,<d,e>,<e,d>}
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7.6 等价关系与划分
例:设X=N,m=3
R={<x,y>|x∈X∧y∈Y∧(x-y)可被3整除}
等价类
[0]R ={0,3,6,9…} [1]R ={1,4,7,10…} [2]R={2,5,8,11…}
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7.6 等价关系与划分
定理 设X是一个集合,R是X上的等价关系, aRb当且仅当[a]=[b] 证明:
说明
最小上界或最大下界可能不存在 若存在最小上界或最大下界,是唯一的
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7.7 偏序关系
例:〈P,DA〉,P={2,3,6,12,24,36}
Q P {2,3 } {2,3,6 } {6,12 } {6,12,24,36 }
LUB
6 6 12
GLB
6 6
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7.7 偏序关系
定义 设R是A上的偏序关系,若a,b∈A, 则 a≤b和b≤a,两者必居其一,则称R为A上的全 序关系,或称线序关系。 例 实数上的≤,≥关系是全序关系
例 已知偏序集<A,≤>的哈斯图,写出集合A和 关系≤。 f d a b