苏州市2014届高三数学寒假作业试题及答案3

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1410 2014届江苏省苏州市高三调研测试 2014-01

苏州市2014届高三调研测试数学Ⅰ试题 2014．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ． 5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为． 6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是．7．已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ． 8．函数e ln y x x =-的值域为．9．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为．10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是．11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是．12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为．13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为． 14．若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是．结束开始 x ≥0输出y （第6题）y ← x (x -2)输入xy ← -2x YN二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=．（1）求角A的大小；（2）若15a=，4b=，求边c的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．PMD CBA甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．CBA yxO（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2014届高三调研测试数学Ⅱ（附加题）2014．1 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD = BC·DE．B．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知a，b∈R，若M=13ab-⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y = 3变换成自身，试求实数a，b．C．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，求点Mπ(2,)6关于直线π4θ=的对称点N的极坐标，并求MN的长．D．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z++++≥．NMEDCBA【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==．（1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．PO N MDCB Axyz23．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率P （ξ= 0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．（第22题）第11 页共8 页第12 页共8 页。

2014年江苏省高考数学试卷答案与解析

2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．答案：1.考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．3.考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4.考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．5.考点：三角方程；函数的零点．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=．∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．6.考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7.考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：立体几何．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．9.考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．10.考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．解答：解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．12.考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13.考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．14.考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．15.考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC 即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17.考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．18.考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．19.考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣1＜a e﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e a﹣1＞a e﹣1．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．20.考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．21.考点：弦切角．专题：直线与圆．分析：利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．解答：证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D．点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．22.考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．23.考点：直线的参数方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．解答：解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．24.考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．25.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．26.考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。

2014年高考江苏数学试题与答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh，其中s为圆柱的表面积，h为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合A{2，1，3，4}，B{1，2，3}，则AB_______．【答案】{1，3}【解析】由题意得AB{1,3}．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数【答案】21 z(52i)(i为虚数单位)，则z的实部为_______．2 2【解析】由题意22z(52i)25252i(2i)2120i，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是_______．【答案】5n的最小整数解．2n20整数解为n5，因此输出的n5．【解析】本题实质上就是求不等式220（4）【2014年江苏，4，5分】从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有 2C46种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为21P．63（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数ycosx与ysin(2x)(0≤)，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cossin(2)33 ，即21sin()32，2kk(1)，(kZ)，因为0，所36以．6（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.0150.025)106024．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}a中，若na8a62a4，则a21，a的值是________．6【答案】4【解析】设公比为q，因为a21，则由a8a62a4得64224220qqa，qq，解得22q，所以4a6a2q4．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S，体积分别为12 V，V，若它们的侧面积相12等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r、h，r2、h2，则2r1h12r2h2，11 h r12hr21，又2Sr112Sr2294，所以r1r232，则222Vrhrhrrr11111121222Vrhrhrrr2222221232．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆长为________．22(x2)(y1)4截得的弦【答案】2555 【解析】圆22(x2)(y1)4的圆心为C(2,1)，半径为r2，点C到直线x2y30的距离为22(1)33d，所求弦长为22512 229255 l2rd24．55（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数f(x)xmx1，若对任意x[m，m1]，都有f(x)0成立，则实2数m的取值范围是________．【答案】20，2【解析】据题意22f(m)mm102f(m1)(m1)m(m1)10，解得22m0．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线2byaxx(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是________．【答案】3【解析】曲线yax 2bxb b过点P(2,5)，则4a5①，又y'2ax22x，所以b74a②，由①②解得42ab11，所以ab2．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是________．【答案】22【解析】由题意，1APADDPADAB，433BPBCCPBCCDADAB，44所以13APBP(ADAB)(ADAB)442132ADADABAB，216即1322564ADAB，解得ADAB22．216（13）【2014年江苏，13，5分】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x[0，3)时，21f(x)x2x．2 若函数yf(x)a在区间[3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】01，22【解析】作出函数 21 f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21 f(0)，当x1时，21 f(x)极大， 27f ，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数yf(x)和图象与直线 (3) 2ya 在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线ya 与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21 a(0,)． 2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC 的内角满足sinA2sinB2sinC ，则cosC 的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sinA2sinB2sinC 及正弦定理可得a2b2c ， cosC a2b 222 ab() 2 222abc 2ab2ab223a2b22ab26ab22ab628ab8ab4，当且仅当 22 3a2b ，即a b 2 3时等号成立，所以cosC的最小值为 62 4．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin5 5 ．（1）求sin的值；4（2）求cos2 6的值．解：（1）∵sin5，，，∴ 25225cos1sin5， 210sinsincoscossin(cossin)．444210（2）∵43 sin22sincoscos2cossin，，sin22sincoscos2cossin2255∴3314334 cos2coscos2sinsin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥PABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知 PAAC ，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 为PC ，AC 中点∴DE ∥PA ∵PA 平面DEF ，DE 平面DEF ∴PA ∥平面DEF ．（2）∵D ，E 为PC ，AC 中点，∴DE1PA3∵E ，F 为AC ，AB 中点，∴14 EFBC ，22∴DE 2EF 2DF 2，∴DEF90°，∴DE ⊥EF ，∵DE//PA ，PAAC ，∴DEAC ， ∵ACEFE ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中， F ，F 分别是椭圆 12 22yxab的左、221(0)ab右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1B F22，求椭圆的方程；（1）若点C的坐标为41，，且33（2）若F CAB，求椭圆离心率e的值．13161解：（1）∵41C，，∴33 999ab22，∵2222BFbca，∴22(2)22a，∴b，21∴椭圆方程为2xy．21 2（2）设焦点F1(c，0)，F2(c，0)，C(x，y)，∵A，C关于x轴对称，∴A(x，y)，∵B，F，A三点共线，∴2bybcx，即bxcybc0①∵yb FCAB，∴11xcc ，即20xcbyc②①②联立方程组，解得xyca2bc222bc2bc22∴Cac2bc22，2222bcbcC在椭圆上，∴22ac2bc22bcbc2222ab221，化简得5ca，∴c522a5,故离心率为55．（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段O A上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O 正东方向170m处(OC为河岸)，tan4BCO．3（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率4k－tanBCO．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率3k．设点B的坐标为(a,b)，AB4则k BC=b04a1703 ，k AB=603ba04，解得a=80，b=120．所以BC= 22(17080)(0120)150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60．) 由条件知，直线BC的方程为4(170)yx，即4x3y6800，3由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，|3d680|6803d r．55所以rd≥ 80r(60d)≥80，即6803d 5 6803d5d80 ≥ (60d)80≥，解得10≤d ≤35．故当d=10时, 6803d r 最大，即圆面积最大．所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA,CB 交于点F ．因为tan ∠BCO=43 ．所以sin ∠FCO=45 ，cos ∠FCO=3 5 ．因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan ∠FCO=680 3．CF= OC 850cosFCO3 ， 4从而500AFOFOA．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=3 45，又因为A B⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB== 4003，从而BC=CF－BF=150．因此新桥B C的长是150m．（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接M D，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60．)因为O A⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO= M DMDr3MFOFOM 6805d3所以6803dr．5因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以rd≥80r(60d)≥80，即6803d56803d5d80≥(60d)≥80，解得10≤d≤35，故当d=10时，6803dr最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()eexxfx其中e是自然对数的底数．（1）证明：f(x)是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf(x)≤em1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；x（3）已知正数a满足：存在你的结论．x0[1，)，使得3ea1与f(x)a(x3x)成立．试比较000a e1的大小，并证明解：（1）x R，f(x)eef(x)，∴f(x)是R上的偶函数．xx（2）由题意，(ee)e1xxxm≤，∵x(0，)，∴exex10，xxxm≤m，即(ee1)e1即e1xm≤对x(0，)恒成立．令e(1)tt，则xee1xx m1t≤对任意t(1，)恒成立．tt12∵1111tt≥，当且仅当t2时等号成立，∴1m≤．223tt1(t1)(t1)113t11t1（3）f'(x)ee，当x1时f'(x)0∴f(x)在(1，)上单调增，令xx h(x)a(x3x)，h'(x)3ax(x1)，33∵a0，x1，∴h'(x)0，即h(x)在x(1，)上单调减，∵存在x0[1，)，使得f xaxx，∴f(1)e12a，即1e1()(3)a．3000e2e∵aaaa，设m(a)(e1)lnaa1，则m'(a)e11e1a e-1lnlnlne(e1)ln1e1a1eaaa1 ，11 ae．当2e 11eae1时，m'(a)0，m(a)单调增；当ae1时，m'(a)0，m(a)单调2e减，因此m(a)至多有两个零点，而m(1)m(e)0，∴当ae时，m(a)0，a e1ea1；当1e1ea 时，m(a)0，2ea e1e1；当ae 时，m(a)0， aae1ea1．（20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}a 的前n 项和为S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得 nnS a ， nm则称{}a 是“H 数列”． nn（1）若数列{a}的前n 项和S2(n N )，证明：{a}是“H 数列”；nnn（2）设{a}是等差数列，其首项 na 11，公差d0．若{a }是“H 数列”，求d 的值； n （3）证明：对任意的等差数列{}a ，总存在两个“H 数列”{b}和{c}，使得abc(n N )成立． nnnnnn 解：（1）当n ≥2时，nn1n1 aSS1222，当n1时，nnn a 1S 12， ∴n1时， S a ，当n ≥2时， 11 S a ，∴{a }是“H 数列”． nn1n（2） n(n1)n(n1) Snadnd ，对n N ，m N 使 n122Sa ，即 nm n(n1) nd1(m1)d ， 2 5取n2得1d(m 1)d ，m21d，∵d0，∴m2，又m N ，∴m1，∴d1．（3）设{} a 的公差为d ，令 n b a1(n1)a1(2n)a1，对n N ， nbba ， n1n1 c (n1)(ad)， n1 对n N ， c cad ，则 n1n1b ca1(n1)da ，且{b}，{c }为等差数列． nnnnn{b}的前n 项和 n n(n1) Tna(a)，令 n112T(2m)a ，则 n1 n(n3) m2． 2 当n1时m1；当n2时m1；当n ≥3时，由于n 与n3奇偶性不同，即n(n3)非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b}为“H 数列”． nmn{c }的前ｎ项和 n n(n1) R(ad)，令 n12c(m1)(ad)R ，则 n1m m n (n1) 2 1∵对n N ，n(n1)是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立， nm即{}c 为“H 数列”，因此命题得证． n数学Ⅱ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB=∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC ．故∠OCB=∠B ．又因为C,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D ．因此∠OCB=∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 1211 A ，B ，向量1x212 y ， x ，y 为实数，若A α=B α，求x ，y 的值．解： 2y2 A ，2xy2y B α，由A α=B α得4y2y22y ，解得14x ，y ．2xy4y ，2（21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2 x1t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y2t2y 24x 交于A ，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l ：xy3代入抛物线方程24 yx 并整理得x 210x90，∴交点A(1，2)，B(9，6)，故|AB|82．（21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知x0，y0，证明： 22 1xy1xy9xy ．解：因为x>0,y>0,所以1+x+y 2≥33xy 20，1+x 2+y ≥ 2≥33xy 20，1+x 2+y ≥ 22222 333 3xy0，所以(1+x+y)(1+x+y)≥3xy3xy=9xy ．【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．完（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外全相同．6（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x，x，随机变量X表示123 x，x，x 123中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解：（1）一次取2个球共有 2C36种可能情况，2个球颜色相同共有9222CCC10种可能情况，432∴取出的2个球颜色相同的概率105P．3618（2）X的所有可能取值为4，3，2，则C14PX；(4)4C12649CCCC133131P(X3)4536；C6339 11P(X2)1P(X3)P(X4)．∴X的概率分布列为：14X234P11 14 13631126故X的数学期望()2113134120EX．14631269（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数sinxf(x)(x0)x ，设f(x)为nf x的导数，n N．n1()（1）求2f f的值；12222（2）证明：对任意的n N，等式 2nff成立．n1n4442解：（1）由已知，得sinxcosxsinxf(x)f(x)102xxx，于是cosxsinxsinx2cosx2sinx f(x)f(x)21223xxxxx ，所以4216f(),f()，122322故2f()f()1．12222（2）由已知，得xf0(x)sinx,等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cosx，即f0(x)xf1(x)cosxsin(x)，类似可得2 2f(x)xf(x)sinxsin(x)，123 3f(x)xf(x)cosxsin(x)，232 4f(x)xf(x)sinxsin(x2)．34下面用数学归纳法证明等式nnfxxfxx对所有的nnn1()()sin()2N*都成立．（i）当n=1时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k时等式成立,即kkf1(x)xf(x)sin(x)．kk2因为[kf(x)xf(x)]kf(x)f(x)xf(x)(k1)f(x)f(x),k1kk1kkkk1(k1) kkk[sin(x)]cos(x)(x)sin[x]，所以2222 (k1)f(x)f(x)kk1(k1)sin[x]．2所以当n=k+1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式nnf1(x)xf(x)sin(x)对所有的nnnN都成立．*2令x，可得4nnf1()f()sin()(nnn44442N)．所以*2nff(nn1n()()4442N)．*7。

江苏省苏州中学2014届高三1月质量检测数学试题

17．(本小题满分 14 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线
f ( x) 1 ax 2 (a 0) 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交
于点 M、N，切曲线于点 P，设 P (t , f (t )) ． ( I)将 OMN （O 为坐标原点）的面积 S 表示成 f 的函数 S(t)； (II)若 t
， . . .点为线段的中点， . ，，化简得，
（1） 18．
故椭圆 E 的离心率为（2）存在满足条件的常数，从而设，，，， . .同理，点、、共线，，
ห้องสมุดไป่ตู้
，左焦点，
，椭圆 E 的方程为，则直线的方程为
代入椭圆方程整理得，故点三点
， . ，从而
.从而
，
.
从而
故 19.

2
2x

6
cos 2 x sin ) 2 2sin(2 x ) . 6 6 6

3 1 cos 2 x ) 2 2

…………5ʹ
2 k

2
，得 k

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [ k (2) 由 f ( x) 2 2sin(2 x
（1）求函数 f ( x) 的单调递增区间；（2）求使不等式 f ( x) 2 成立的 x 的取值集合． 16．(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形，
AD // BC , BAD 90 ， PA 垂直于底面 ABCD ， PA AD AB 2 BC 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点．（1）求证： PB DM ；（2）求点 B 到平面 PAC 的距离．

2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I _______．【答案】{13}-，【分析】由题意得{1,3}A B =-I ．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______．【答案】21【分析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】5【分析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =．（4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =和sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______．【答案】6π【分析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】24【分析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，测试时间为120分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________．【答案】4【分析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______．【答案】32【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【答案】255【分析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-=．（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线和直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________．【答案】3-【分析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是________．【答案】22【分析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u u r u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【分析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象和直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =和函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．62-【分析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c =，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=，当且仅当2232a b =，即23a b =所以cos C 62- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π，，，∴225cos 1sin αα=--=， ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5．（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并和BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 和直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AFcos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 和BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -和e 1a -的大小，并证明你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤．（3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a aa a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．（20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+．当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 和3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵和变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，．（21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2122x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 和抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =．（21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥．解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ．【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．．（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．测试时间30分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：X 2 3 4P11141363 1126 故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()12444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭，于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．（i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+．所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以12()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。

2014年江苏省高考数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ .2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 ▲ .11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形中，已知，，4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A I 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(ϕ+=x y πϕ<3πϕ}{n a ,12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4921=S S 21V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m xOy xbax y +=2)5,2(-P 0327=++y x b a +ABCD 8=AB 5=AD（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）（第12题），，则的值是 ▲ .13. 已知是定义在R 上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 ▲ .14. 若△的内角满足,则的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知,.(1)求的值；(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，E ，F 分zxxk 别为棱的中点.已知,求证: (1)直线平面；(2)平面平面.3=2=⋅BP AP ⋅)(x f )3,0[∈x |212|)(2+-=x x x f a x f y -=)(]4,3[-a ABC C B A sin 2sin 2sin =+C cos ),2(ππα∈55sin =α)4sin(απ+)265cos(απ-ABC P -D AB AC PC ,,AC PA ⊥,6=PA .5,8==DF BC //PA DEF ⊥BDE ABC （第16题）PD CEF B A17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A ，过点A 作轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.(1)若点C 的坐标为,且,求椭圆的方程；(2)若求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,19.(本小题满分16分)xOy 21,F F )0(12322>>=+b a by a x B ),0(b 2BF x C F 1)31,34(22=BF ,1AB C F ⊥OA 34tan =∠BCO已知函数,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:是R 上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，学科网求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数，学科网总存在正整数，使得，则称是“H 数列”. (1)若数列的前n 项和(N ),证明: 是“H 数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H 数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得 (N )成立.x x x f -+=e e )()(x f x )(x mf 1e -+-m x ),0(+∞m a ),1[0+∞∈x )3()(030x x a x f +-<1e -a 1e -a }{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *答案：12346791314二、解答题16171920【解析】（1）首先，当时，，所以，所112a S ==2n ≥111222n n n n n n a S S ---=-=-=12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩。

2014年高考数学(江苏卷) 解析版 Word版含解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,则B A = ▲ ．【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。

属于基础题，难度系数较小。

2、已知复数2)25(i z -=(i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。

【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。

属于基础题，难度系数较小。

3、右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题202>n 是否成立，若不成立，则n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；若成立，则输出n 的值。

本题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，则输出的n 的值为5【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。

属于基础题，难度系数较小。

4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为31。

【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。

2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)

2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式：圆柱的侧面积公式：S 圆柱=cl ，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长。

圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点,则ϕ的值是．【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+, 则6a 的值是．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，,体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等,且1294S S =,则12V V 的值是．【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 25510．已知函数2()1f x x mx =+-,若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+（a b ，为常数）过点(25)P -，,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，,32CP PD AP BP =⋅=，,则AB AD ⋅的值是．【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时,21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=，则cos C 的最小值是．624- 二、解答题：本大题共6小题，共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

苏州2014届高三数学

高三数学2013.09正题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ___▲___. 2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ___▲___． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___. 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ▲ ． 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___．11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，T ←1 i ←3 While T <10 T ←T +i i ←i +2 End WhileEFABCDPFED 1C 1B 1BCDA 1A113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ___▲___.12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ． 13．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11,321,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数,为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．F E DCBA l 2l 1公路公路19．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）图（2）20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．FEy xO P DCB A FEyxO P D CBAOPB AC2014届高三暑假自主学习测试试卷数学 2013.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，90APB ∠=︒， PC 平分APB ∠，交⊙O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．23．（本小题满分10分）设a ，b 为实数，我们称（a ，b ）为有序实数对．类似地，设A ，B ，C 为集合，我们称（A ，B ，C ）为有序三元组．如果集合A ，B ，C 满足||||||1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则我们称有序三元组（A ，B ，C ）为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）．（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．2014届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 2013.09正题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(0,1] 2．23 3．5 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,12)-+ 11．3212．2 13．2- 14．54 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分故1cos 2C =或cos 1C =-（舍），又0C π<<，所以3C π=． ………………… 7分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ① ………………… 9分由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② …………………12分由①②解得6,6AC BC ==． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分（Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==，又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==．所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆．所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵2(1)n n n S a a =+，①∴当2n ≥时，1112(1)n n n S a a ---=+，②以上两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-， ………………… 2分即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵0n a ≠，∴当2n ≥时，有11n n a a --=． ………………… 5分又当1n =时，由1112(1)S a a =+及10a ≠得11a =，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n *()n ∈N ． ………………… 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得11,321,n n n n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数；为偶数． ………………… 9分所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分2(14)(1)314n n n n -=++⨯+- 212222n n n +=++-． ………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………… 10分令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………………… 11分列表α(0,)6π6π 0(,)6πα ()f α'+ 0 - ()f α单调递增极大值单调递减F E D C B A l 2l1公路公路M所以当6πα=时有max ()3f α=-，此时有min 80603W =+．………………… 15分答：排管的最小费用为80603+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=．∴点O 到PD 的距离224abd b a =+＝65． ② …… 4分由①②解得3,2a b ==． …………… 6分∴所求椭圆方程为22194x y +=． ………… 7分（Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ，由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，00(,2)DP x a y b =++（说明：也可通过求直线方程做）得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b⋅--=+，即002()2b a x FB y b ⋅-=+．…… 11分又2200221x y a b +=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解．（Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分（Ⅱ）当()2xf x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220x xm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220xxm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分FEyxO P D CB A FEyxO P DCBA令12[,2]2x t =∈，则12m t t-=+．设1()g t t t=+，则22211()1t g t t t -'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423xx f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x x x m m --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得1313m -+≤≤； ……………… 13分 2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1322m +<≤． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1322m -≤≤． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由90APB ∠= 得AB 为直径，所以90ACB ∠=︒． …………………… 2分由AC AC =，得APC ABC ∠=∠，同理BPC BAC ∠=∠． …………………… 4分又因为PC 平分APB ∠，所以CPA CPB ∠=∠． …………………… 6分所以BAC ABC ∠=∠，故BC AC =． …………………… 8分从而，ABC ∆为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 4分故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 7分所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． ………………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分＝2223()[()]24b a b a b -++． …………………… 6分因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->，所以2223()[()]024b a b a b -++>，即有4422a b ab a b +>+（）． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点，直线12y =-为准线的抛物线，故其方程为22x y =． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，21111(,)2A x x '，22221(,)2A x x '，则12222121211()12()2A A x x k x x x x ''-==+-，故12A A l ''：2221211()()22y x x x x x -=+-． ……………… 6分令0y =，得12111x x x =+，即3121111162x x x =+=+． ……………… 8分同理，42311111172626x x x =+=++=， ……………… 9分于是467x =． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{1,2}A =，{2,3}B =，{1,3}C =，则{2}A B = ，{3}B C = ，{1}C A = ，A B C =∅ ，且||||||1A B B C C A === ．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分（Ⅱ）令{1,2,3,4,5,6}S =，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的,,x y z S ∈，使得{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = （如图），要确定,,x y z 共有654⨯⨯种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有34种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =365447680⨯⨯⨯=．……………… 10分 C BA z yx。

2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。

2014年高考数学江苏卷完美解析版(精品资料)

变式 4 最大值是__________ . 【答案】4
已知函数 f ( x ) x 2 2 x 1 ，若存在实数 t ，当 x [ 1 ,m ] 时， f ( x t ) x 恒成立，则实数 m 的（江苏苏州陈海锋）
变式 5 若关于 x 的不等式 x2 mx m 1 0 恒成立，则实数 m ________. 【答案】2 （江苏苏州陈海锋）变式 6 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x ) x 2 ，若对任意的 x [t , t 2] ，不等式则实数 t 的取值范围是________. 【答案】 f ( x t ) 2 f ( x) 恒成立， 2, 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2 切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是【答案】 3 【解析】曲线 y ax2 又 y 2ax
又 0 ，所以

6
. （三角函数图象的交点与
【考点】函数 y A sin( x ) 的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). 已知三角函数值求角）
1
2014 高考数学【江苏卷】解析版
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 100cm. 【答案】24 【解析】由题意在抽测的 60 株树木中，底部周长小于 100cm 的株数为(0.015+0.025) 10 60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图） 7. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中，
1 AB 4, FE 2 PE 6 2 ， 2

2014年江苏高考数学卷及答案

6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.
n n1
2n 20 N Y
输出 n
7. 在各项均为正数的等比数列{a n} 中, a 2 1, a 8 a 6 2a 4 ,则 a 6的值是 ▲ .
0.015 0.010
都有 f (x) 0 成立,则实数 m 的取值范围是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax2 b (a，b x
80 90 100 110 120 130 底部周长/cm
（第 6 题）
为常数)过点 P(2, 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ▲ .
并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位
于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan BCO 4 .
3 (1)求新桥 BC 的长； (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
BC 8, DF 5.
求证: (1)直线 PA// 平面 DEF ；
P
(2)平面 BDE 平面 ABC .
D
A
E
C
F
B
17.(本小题满分 14 分)
第第 16第第
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
F1
,
F2
分别是椭圆
x a
2 2

y3 b2
1(a b 0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐
标为 (0,b) ，连结 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C .

2014年江苏高考数学卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取乘积为6的概率是 ▲ .5.已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S 的值是 ▲ .底部周9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb ax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则ADAB ⋅的值是 ▲ .当13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.AB(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCP -中，D，E ，F 分别为棱ABAC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by ax 的左、右焦点，于点顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.程；(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n nS 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点∴DE ∥PA又∵DE ⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF2=EF2+DE2=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 =，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，∴221611(0)99a b a b +=>>，且c2+b2=a2∴a=，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>联立得x2x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·=∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。

2014届高三数学寒假作业十四(综合练习4)

2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）姓名____________学号___________一、填空题1．设全集U =R ，2{|10},{1,1}A x Z x B =∈-≤=-，则()U A B = ð___________． 2．,x y 为实数，i 为虚数单位，若5(1)(12)12x i y i i-+-=-，则复数z x yi =+的模为_____． 3．现有在外观上没有区别的6件产品，其中4件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，一件合格、另一件不合格的概率为___________．4则这组样本的方差为___________．5．已知函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f =___________．6．设动直线x a =与函数2()2sin ()4f x x π=+和()2g x x =的图象分别交于两点,M N ，则MN 的最大值为___________．7．已知1cos(75)3α+=，则cos(302)α-的值为___________． 8．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1211,179a d =-<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为___________．9．直线y x =与函数2()42f x x x =++（x m ≤）的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是___________．10．如果圆C ：22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是___________． 11．设00(,)M x y 为抛物线C ：28yx =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是___________．12．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程是___________．13．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AC ===13AA =，CAC 1A 1M 为线段1BB 上的一动点，则当1AM MC +最小时，1AMC ∆的面积为___________．14．已知关于x 的实系数一元二次不等式20a x b x c ++≥（0a ≠）的解集为R ，则24a b cM b a++=-的最小值是___________．二、解答题15．已知集合222{|280,},{|(23)30,}A x x x x R B x x m x m m x R =--≤∈=--+-≤∈．（1）若[2,4]A B = ，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．16．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，向量(sin cos ,cos ),a B B C =+ (sin ,sin cos )b C B B =-．（1）若a b ⊥，求A 的大小；（2）若15a b ⋅=- ，求cos2A 的值．17．已知抛物线28y x =与椭圆22221x y a b+=有公共焦点F ，且椭圆过点(D ．（1）求椭圆方程；（2）点,A B 是椭圆的上下顶点，点C 为右顶点，记过点,,A B C 的圆为M ，过点D 作M 的切线l ，求直线l 的方程；（3）过点A 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点,P Q ，则直线PQ 是否经过定点？若是，求出该点坐标；若不经过，请说明理由．18．学校拟在一块三角形边角地上建外籍教师和留学生公寓楼，如图，ABC ∆中，,,2C CBA BC a πθ=∠==．欲在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化．记ABC ∆的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）设()Tf Sθ=，试求()f θ的最大值P ；（2）试指出()Tf Sθ=的实际意义，并说明此方案是否为最佳方案？若不是，请给出新的设计方案，并加以证明．2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）参考答案1．{0} 2．5 3．8154．1.8 5．12 6．3 7．798．9 9．[2,1)-- 10．((2222-- 11．(2,)+∞ 解：圆心F 到准线的距离是4，圆半径FM 02x =+，由于圆F 与准线相交，故042x <+，所以02x >．12．22154x y -= 解：圆C ：22(3)4x y -+=，据题意，3c =，双曲线渐近线为0bx ay ±=，右焦点为圆心(3,0)C2=，得22,5b a ==．双曲线方程为22154x y -=． 13解：将平面11ABB A 与11BCC B 展开成一个平面（如图），由条件知：11ACC A 是边长为3的正方形，11//AA BB ，则1113BM CC ==，12B M =．由勾股定理，得1AM MC ==1AMC ∆中，设1AMC θ∠=，则2221111cos 22AM MC AC AM MC θ+-==-⋅，sin θ=是111sin 2AMC S AM MC θ∆=⋅= 14．8 解：由题意，得240,0b ac a -≤>，所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a++++=≥-- 212()1b ba ab a+⋅+=-．令b t a =（1t >），则2124(1)44811t t M t t t ++≥=-++≥=--．（当且仅当3t =，即3b a =时等号成立）15．解：由已知，得[2,4],[3,]A B m m =-=-．（1）因为[2,4]A B = ，所以32,4.m m -=⎧⎨≥⎩所以5m =．（2）因为[3,]B m m =-，所以(,3)(,)R B m m =-∞-+∞ ð．因为R A B ⊆ð，所以34m ->或1CA2m <-，所以7m >或2m <-，所以(,2)(7,)m ∈-∞-+∞ ．16．解：（1）因为,,A B C 是ABC ∆的三个内角，所以A B C π++=，由a b ⊥ 得0a b ⋅=，所以，sin (sin cos )cos (sin cos )0C B B C B B ++-=，即sin cos cos sin sin sin C B C B C B ++cos cos 0C B -=，即sin()cos()0B C B C +-+=，sin cos 0A A +=，tan 1A =-．又因为，0A π<<，所以34A π=．（2）由（1）及15a b ⋅=- ，得1sin cos 5A A +=-．（*）若02A π<≤，则sin cos 0A A +>与（*）矛盾，所以2A ππ<<，所以sin cos 0A A ->．由（*）得，12412sin cos ,2sin cos 2525A A A A +==-，sin cos A A -=75=，所以cos2A =(cos sin )(cos sin )A A A A -+717()()5525=--=．17．解：（1）(2,0)F ，则2c =．又222314a a +=-，得228,4ab ==，所以，所求椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意，易得2M ，M：229(22x y -+=，直线l 斜率不存在时，x =；直线l 斜率存在时，设为(y k x =，所以|3|d +==解得12k =．所以直线l为x =120y -+=．（3）显然，两直线斜率存在，设AP ：2y kx =+．代入椭圆方程，得22(12)80k x kx ++=，解得点222824(,)1212k k P k k --++．同理得222824(,)22k k Q k k -++，直线PQ：22222418()12312k k k y x k k k ----=-++．令0x =，得23y =-，所以直线PQ 过定点2(0,)3-． 18．解：（1）在ABC ∆中，由,CBA BC a θ∠==，得tan AC a θ=．所以1tan 2S a a θ=⋅⋅ 2tan 2a θ=，(0,)2πθ∈．设正方形DEFG 边长为m ，则cos ,sin m CG m BG θθ==，所以cos sin m BC m a θθ=+=，所以sin 1sin cos a m θθθ=+，2T m ==222sin (1sin cos )a θθθ+，(0,)2πθ∈．所以()Tf Sθ=22222sin 22sin cos (1sin cos )tan (1sin cos )a a θθθθθθθθ=⋅=++2sin 21sin 2sin 214θθθ=++，1sin 2114sin 2θθ=++，(0,)2πθ∈．令21111sin 2,,(0,1],'0,444t t t u t u u t t tθ==+∈=-<=+单调递减，所以当sin 2t θ=1=时，u 取得最小值，即()T f S θ=取得最大值49．（2）()Tf Sθ=表示土地利用率，原图中给出的方案不是最佳方案，若按右图给出的方案，土地利用率()f θ最大值为12．证明如下：21tan 2S a θ=，设正方形边长为m ，tan ma mθ=-，所以tan tan 1a m θθ=+，所以22tan ()tan 1a T m θθ==+．所以()T f Sθ=2222tan 2tan 2tan 1tan a a θθθθ=⋅++，22tan 1tan 1tan 2tan 1122tan θθθθθ==++++，(0,)2πθ∈．因为t a n 1122t a n u θθ=+≥，tan (0,)θ∈+∞，当且仅当tan 122tan θθ=，即4πθ=时，u 取得最小值1．所以()f θ最大值为12，此时ABC ∆为等腰直角三角形．由于12>49，所以右图给出的方案更佳．。

2014年江苏高考数学卷及答案

2014年江苏高考数学卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则B A I2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{na 中,,12=a4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 为1V ，2V 的值是 ▲ .（第39. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx xx f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb axy +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x xx f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲ .14. 若△ABC 的内角满足CB A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. B（第12(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且（第16题）PDCEF BA22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？（第18题）19.(本小题满分16分)已知函数xxx f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{na 的前n 项和为nS .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{na 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n nS 2=(∈n N *),证明: }{na 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{na 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na ，总存在两个“H 数列”}{nb 和}{nc ，使得nn n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+= （2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA又∵DE ⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 = ，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>， ∴221611(0)99a b a b+=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·= ∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。

苏州市2014届高三数学寒假作业试题及答案

2014届高三数学寒假作业二（函数2）姓名____________学号___________一、填空题 1．函数1()ln(1)f x x =+___________．2．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是___________． 3．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________． 5．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (2)＝0，则()()f x f x x--<的解集为____________．6．若直线y ＝2x 与函数y ＝|ax －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围_____． 7．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06×(0.50×{}m ＋1)给出，其中m >0，{}m 是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________． 8．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为__________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是_______． 10．已知2log 3log a =+2log 9log b =-，3log 2c =则a ,b ,c 的大小关系是________________.11．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。

则(1)(2)(2013)f f f +++=________．12．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为__________________．13．设函数f (x ) = (x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =____．14．对于实数a 和b ，定义运算“﹡”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________．二、解答题15．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．16．某公司生产某种消防安全产品，月产量x 台(0≤x ≤100，x ∈N )时，销售收入函数R (x )＝3000x －202x (单位：百元)，其成本函数满足C (x )＝500x ＋b (单位：百元)．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000(百元)． (1)求利润函数P (x )；(2)问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？(3)在经济学中，对于函数f (x )，我们把函数f (x ＋1)－f (x )称为函数f (x )的边际函数，记作Mf (x )．对于(1)求得的利润函数P (x )，求边际函数MP (x )；并利用边际函数MP (x )的性质解释公司生产利润情况．(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)17．设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，x ∈R . (1) 讨论f (x )的奇偶性； (2) 若(],x a ∈-∞，求f (x )的最小值；(3) 若x R，求f(x)的最小值．18．已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；（3）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．2014届高三数学寒假作业二（函数2）参考答案一、填空题 1．(1,0)(0,2] ；2．[－5, －1]；3．[0，34)；4．m ＝－2；5．(－2,0)∪(0,2) ；6．0＜a ＜12；7．(17,18]；8．34 解析：由题意得：x ＝1－2y ≥0，∴0≤y ≤12，∴2x ＋3y 2＝3y 2＋2(1－2y )＝3y 2－4y ＋2＝3(y －23)2－43＋2，∴当y ＝12时2x ＋3y 2有最小值34.9．(－2,1) 解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象如图．知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 10． a b c =>解析：222213log 3log 3log 3log 3log 322a =+=+=， 222213log 9log 32log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===则a b c =>11．337解析：由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，0)4()2(==-f f ，1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ，所以(1)(2)(2013)(1)(2)(3)33513352337f f f f f f +++=+++⨯=+=.12. 3=10a b +-解析：∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2b a +-+①。

苏州市高三数学寒假作业试题及答案

2014届高三数学寒假作业三（函数3）姓名____________学号___________一、填空题 1．设6()f x x=-在[1,2]上的平均变化率为_______，在1=x 处的瞬时变化率为_______． 2．若函数32()31f x x x ax =-+++在]2,1[-上单调递增，则实数a 的取值范围是_______． 3．过点(1,0)-与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图象相切的直线方程是_______.4．已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为21y x =-，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为_______.5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=_______.6．函数x x y ln 211+-=的单调减区间为_______. 7．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时t 的值为_______.8．设P是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是9．分别在曲线x y e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_______. 10．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且 (0)1f =，则不等式()x f x e <的解集为_______.11．已知函数)(ln )(R m xmx x f ∈-= 在区间[]e ,1（e 为自然对数的底数)上取得最小值4,则=m _______.12．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为_______. 13．已知322(),()9f x x g x x x a ==-+-，若存在01,(0)3a x a ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，使得00()()f x g x <，则实数a 的取值范围是_______.14．已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈⎪ ⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_______.二、解答题15．设3211()232f x x x ax =-++．（1）若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值．16．某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，25a ≤≤）的税收.设每件产品的日售价为x 元（3541x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润()L x 元与每件产品的日售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大，并求出()L x 的最大值.17．已知函数ln ()ln ,()xf x x x h x x=-=. (1)求()h x 的最大值；(2)若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围； (3)若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解,其中e 为自然对数的底数,求实数b 的值．18．设函数2()(1)ln ()2af x x a x x a R =-++-∈．(1)当0a =时，求函数()f x 的极值； (2)当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；(3)若对任意(2,3)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有2121ln 2()()2a m f x f x -+>-成立，求实数m 的取值范围．2014届高三数学寒假作业三（函数3）参考答案1．3,6．2．),9[+∞．3．1+=x y ．4．650x y --=．5．32．6．)2,1(),1,21(．7．22．8．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．9． 10．(0,)+∞.解答：法一：根据所求()x f x e <和已知()()f x f x '<可知构造函数，()()(),()0()xx xf x f x e P x P x P x e e '-'==<∴Q 在R 递减，所求为()1(0)0P x P x <=∴>.法二：特殊化函数，例如可令()1f x =． 11．3e -．提前限制m 的范围，减少讨论情况可令(1)4()4f f e ≥⎧⎨≥⎩，3m e ∴≤-，2()1,()0x mf x x e f x x +''∴=≤≤∴<Q ，()43f e m e ∴=∴=-． 12．12y ex =-．所求切线方程中需要求出(1),(0),(1)f f f '，两个函数值，一个导数值，函数解析式已知，导数解析式可求，列出三个方程组成方程组，可解． 13．⎛ ⎝⎭.存在01,(0)3a x a ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，使得00()()0f x g x -<，所以构造 ()()(),[1,](0)3aP x f x g x x a =-∃∈->，使得()0P x <．()(1)(31)P x x x '=+-，0a >Q133()03a a P ⎧≤⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或1331()03a P ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩．0x ∴< 14．14[,]23.解答：可通过导数得32()1x f x x =+在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是递增的，所以()f x 的值域[0,1]，()g x 在[0,1]的值域为3[22,2](0)2a a a -->．存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立等价于两值域有交集，可考虑反面：即3202a -<或221a ->．15．解：（1）()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间2(,)(,)3m n ⊆+∞ 使得.由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++，()f x '在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，则只需2()03f '>即可．（主要看图象）由22()2039f a '=+>解得19a >-，所以，当19a >-时，()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间.（2）令()0f x '=，得两根，12x x ==所以()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增（同理可以研究()f x ' 的图象）当02a <<时，有1214x x <<<，所以()f x 在[1,4]上的最大值为2()f x 又27(4)(1)602f f a -=-+<，即(4)(1)f f < 所以()f x 在[1,4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-，得21,2a x ==，从而()f x 在[1,4]上的最大值为10(2)3f =. 16．解：（1）设日销售量为x k e ，则4010k e =，4010k e ∴=，则日销售量为4010x e e 件.日售价为x 元时，每件利润为(30)x a --元，则日利润4010()(30)x e L x x a e=--.（2）4031()10x a xL x e e +-'=⋅①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， ()0L x '∴≤，()L x 在[35,41]上是单调递减函数.则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤. 令()0L x '=，得31x a =+.[)35,31x a ∈+时，()0L x '>，()L x 在[)35,31a +上是单调递增函数. (]31,41x a ∈+时，()0L x '<，()L x 在(]31,41a +上是单调递减函数.()L x 在[35,41]连续，∴当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -. 5max910(5),(24)()10,(45)aa e a L x e a -⎧-≤≤⎪∴=⎨<≤⎪⎩17．解：(1)因为()()ln ,0x h x x x =>,所以()21ln xh x x -'=, 由()0h x '>,且0>x ,得0x e <<,由()0h x '<,且0>x ,x e >, 所以函数()h x 的单调增区间是(0,]e ,单调减区间是[,)e +∞, 所以当x e =时,()h x 取得最大值1e；无最小值(2)因为2()212xf x x ax ≥-+-对一切),0(+∞∈x 恒成立, 即22ln 212x x x x ax -≥-+-对一切),0(+∞∈x 恒成立, 亦即12ln a x x x≤++对一切),0(+∞∈x 恒成立, 设xx x x 12ln )(++=ϕ,因为222)4)(3(12)(x x x x x x x +-=-+='ϕ, 故)(x ϕ在]3,0(上递减,在),3[+∞上递增, 3ln 7)3()(min +==ϕϕx , 所以7ln3a ≤+(3)因为方程02)(23=-+-bx ex x x f 恰有一解,即02ln 23=-+--bx ex x x x 恰有一解,即2ln 12x b x ex x =--+恰有一解, 看成y b =与2ln ()12xg x x ex x=--+图象有1个交点，21ln ()2()xg x e x x -'=+-Q 而函数2ln ()12xg x x ex x=--+在],0(e 上单调递增,在),[+∞e 上单调递减,（需用极限说明无渐近线）()g e b ∴=，即112-+=ee b （法二）：因为方程02)(23=-+-bx ex x x f 恰有一解,即02ln 23=-+--bx ex x x x 恰有一解,即12ln 2++-=b ex x xx恰有一解, 由(1)知,)(x h 在e x =时,ex h 1)(max =, 而函数()122++-=b ex x x k 在],0(e 上单调递减,在),[+∞e 上单调递增,故e x =时,()2min 1e b x k -+=,故方程12ln 2++-=b ex x x x 恰有一解当且仅当e e b 112=-+, 即112-+=ee b18．解：(1)由题，定义域为(0,)+∞，当0a =时，()ln f x x x =-，∴11()1x f x x x-'=-=．由()01f x x '>⇒>；()001f x x '<⇒<<，∴函数()f x 在区间(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增． ∴1x =时极小值为(1)1f =．(2)0a >时，1()(1)1()1a x x a f x ax a x x--'=-++-=．当()0f x '=时，1x =和1x a=． ①当1a =时，2(1)()0x f x x-'=-≤恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上递减；②当11a >即01a <<时，1()01;()001f x x f x x a ''>⇒<<<⇒<<或1x a >；∴f (x )在(1，1 a )上递增，在(0，1)和(1a ，＋∞)上递减；③当11a<即1a >时，f ′(x )>0⇒1 a <x <1；f ′(x ) <0⇒0<x <1 a 或x >1； ∴f (x )在(1 a ，1)上递增，在(0，1a )和(1，＋∞)上递减．(3)由(Ⅱ) a ∈(2，3)时， f (x )在区间[1，2]上递减，由条件a 2－12m ＋ln2>12max ()()f x f x -＝f (1)－ f (2)＝a2 －1＋ln2对任意a ∈(2，3)成立，∴a 2－12m >a2 －1对任意a ∈(2，3)成立．⇒ m >a －2a 2－1对任意a ∈(2，3)成立．由g (a )＝a －2a 2－1，∵()g a '＝－(a －2)2＋3(a 2－1)2>0对a ∈(2，3)恒成立，g (a )在a ∈(2，3)上递增， ∴ g (a )<g (3)＝18，∴ m ≥18 ．。

2014年江苏高考数学卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)25cos(απ-的值.（第3题）100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第12题）如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论. （第16题）P D CE F B A设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案。