人教版八年级2012年9月教案 邓发纪念中学：刘瑞文

人教版初中数学教案第四辑：八年级第二学期云浮市邓发纪念中学刘瑞文2012年9月第1课 9.1分式教学目的1．使学生理解分式的意义。

2． 会求使分式有意义的条件。

教学分析重点：分式的意义及其基本性质。

难点：分式的变号法则。

教学过程一、复习1、引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。

2、例题：甲、乙两人做某种机器零件。

已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。

求甲、乙每小时各做多少个？。

3、分析：设甲每小时做x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。

甲做90个所用的时间是90÷x （或 ）小时，乙做60个的用的时间是［60÷（x-6）］（或660-x ）小时，根据题意列方程 x 90=660-x 可以看出x90、660-x 都不是整式。

列出的方程也不是已学过的方程。

学习本章内容就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。

二、新授1．分式在算术里，两个数相除可以表示用分数的形式。

分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。

因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。

在代数里，整式的除法也有类似的表示。

如前面的例题中，（90÷x ）小时可表示成x90小时，［60÷（x-6）］小时可表示成660-x 小时。

又如n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷产量（m ÷n ）吨，可用式子nm 吨表示。

再如轮船的静水速度为a 千米/小时。

水流速度为b 千米/小时，轮船在逆流中航行s 千米所需时间［s ÷（a-b ）］小时，可用式子ba s -小时表示。

x 90、660-x 、n m 、b a s - 的分母中都含有字母。

一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。

如果B 中含有字母，式子B A叫做分式。

基中A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

可见，上列各式都是分式。

由分式的意义可以知道：（1）分式是两个整式的商。

其中分子是被除式，分母是除式。

在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。

式子90x 、606-x 、4y x -都不是分式，因为它们的分母都没有字母。

（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。

字母所取的值有可能使分母为零。

因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。

因此在分式中，分母的值不能是零，例如在x 90里，x ≠0；在b a s -里，a ≠b 。

例1 当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）2-x x ； （2）141+-x x 。

解：（1）由x-2≠0得x ≠2，即当x ≠2时，分式2-x x 有意义。

（2）由4x+1≠0得x ≠41-时，分式141+-x x 有意义。

例2：当x 是什么数时，分式522-+x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0，得x=-2。

而当x=-2时，分母2x-5=-4-5≠0， 所以当x=-2时，分式522-+x x 的值是零。

问题：（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？（2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以5102--x x 为例回答此题。

三、练习练习： P60中练习1，2，3，4。

四、小结1、本课学习了什么是分式。

2、本课还学习了使分式有意义的条件及使分式为0的未知数值的求法。

3、要特别注意分式中作为分母的代数式的值不得为零的教学。

在分数里，分数的分母是一个具体的数，是否为零一目了然；而在分式里，要明确其是否有意义，就必须分析，讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零。

五、作业1、P61 习题9.1 A 组1~4。

2、综合练习：同步练习。

第2课9.2分式的基本性质（1）教学目的1．使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。

2．使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

教学分析重点：分式的意义及其基本性质。

难点：分式的变号法则。

教学过程一、复习1、什么是分式？2、使分式有意义要有什么条件？二、新授分式的基本性质我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。

分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根据。

分式也有类似的性质，就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：分式的基本性质是分式变号法则。

通分，约分及化简繁分式的理论依据。

就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。

例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）)0(22≠=c bc ac b a ； （2）yx xy x 23=. 解：（1）∵c ≠0， ∵x ≠0， ∴bc ac c b c a b a 222=⨯⨯=， ∴yx x xy x x xy x 233=÷÷=. 例2 填空：（1）()b a ab b a 2=+； （2）()y x x xy x +=+22. 解：（1）∵a ≠0， ∴()ba ab a a ab a b a ab b a 22+=⨯⨯+=+，即填a 2+ab 。

（2）∵x ≠0， ∴()x y x x x x xy x x xy x +=÷÷+=+2222，即填x 。

注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

课时安排：本课题约需3课时，分配如下：三、练习 练习：P 63中练习1，2。

四、小结 本节学习了分式的基本性质。

五、作业 作业：P 66中习题9.2 A 组1，2。

另：需要注意的问题1．从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：)0(,≠÷÷=⨯⨯=M MB M A B A M B M A B A . 从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。

首先应引导学生认识到分式的基本性质中的A 、B 、M 表示整式。

随着知识的扩充，A 、B 、M 还可代表任何代数式。

其次要强调M ≠0。

在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M ≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M 是一个含字母的代数式。

由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。

因此，当我们应用这个性质时，都应考查M 这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。

第3课 9.2分式的基本性质（2）教学目的1．使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。

2．使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

教学分析重点：分式的意义及其基本性质。

难点：分式的变号法则。

教学过程一、复习1、分式有意义的条件是什么？2、分式的基本性质是什么？二、新授例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

（1）y x y x 32213221-+； （2）b a b a -+2.05.03.0. 解：（1）y x y x y x y x y x y x 4343632216322132213221-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+. （2）()()b a b a b a b a ba b a 10253102.0105.03.02.05.03.0-+=⨯-⨯+=-+. 例4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：（1）a b 65--； （2）yx 3-； （3）n m -2. 解：（1）ab a b a b 65)1(6)1(565=-⨯--⨯-=--. （2）yx y x y x 33)(3-=÷-=-. （3）n m n m n m 2)(22-=-÷=-. 注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。

例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）21x x -； （2）212---a a ； （3）322+--x x . 解：（1）1)1(1222--=--=-x x x x x x . （2）1-1-2-)1(-2-1--222a a a a a a +=+=. （3）32)3()2(32222--=----=+--x x x x x x . 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

三、练习练习：P65中练习1，2，3。

四、小结1、复习分式的意义及其基本性质。

2、分式的变号方法。

五、作业作业：P66中习题9.3 A组3，4，5。

另：需要注意的问题1．分式的变号规律是由两条法则概括而成的。

第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。

这一条是根据分式的基本性质推导出来的。

第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。

这一条用分式的基本性质是推导不出来的。

根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。

分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。

第4课 9.3分式的乘除法（1约分）教学目标1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．教学重点和难点重点：分式约分的方法．难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．教学过程设计一、导入新课问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．本性质．问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．二、新课我们观察：(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．例2 约分：分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．请同学说出解题思路．答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．当x=45时，请同学概括分式约分的步骤．答：1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．三、课堂练习1．约分：2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．四、小结把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．五、作业1．约分：2．约分：3．先约分，再求值：课堂教学设计说明1．分式的约分和分数的约分有很多类似之处，在导入分式约分时，先充分复习分数约分的概念、方法、目的，引导学生用类比的方法学习分式的约分，从中促使学生发现新旧知识间的联系与发展，让学生在类比、概括中主动获取知识．通过讨论例题，引导学生概括分式约分的步骤．2．学生在学习分式的约分时，不仅应掌握约分的方法，还应理解运算的算理．要求学生能知其然，也得知其所以然．教学设计中提出了一些问题，启发学生思考、回答．如提出“分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？”，从而使学生进一步明确分式约分的理论依据是分式的基本性质．3．在课堂练习题的设计中，把学生在学习分式约分中常出现的错误展现在他们面前，引导学生独立思考、互相讨论、共同分析，辨别正确与错误，在真理和谬误中比较、鉴别是与非，以培养学生的批判性思维．第5课9.3 分式的乘除法（2）教学目的1、使学生正确掌握分式的乘除法的法则。