最新高中数学微课题研究性精品教程专题6.21：整数平方数问题的研究与拓展

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人教版七年级下册教案6.1.2平方根

然而，我也注意到，在重点难点解析部分，仍有一些学生对求非完全平方数的平方根感到困难。这可能是因为从理论到实践的过渡中，缺乏足够的步骤分解和示例练习。在未来的教学中，我需要在这个环节上多下功夫，设计更多的例题和练习，帮助学生逐步掌握求平方根的方法。
此外，学生在小组讨论中，虽然能够分享成果，但有时候表达不够清晰，逻辑不够严密。这提醒我在今后的教学中，要加强对学生表达能力的培养，引导他们在讨论中学会如何更好地组织语言，清晰地表达自己的思考过程。
-在求平方根的方法上，难点在于如何从简单的完全平方数过渡到复杂的非完全平方数，可以通过近似计算的方法，如牛顿迭代法，进行教学。
-在应用平方根时，难点在于如何将实际问题转化为数学模型，如求一个正方形的对角线长度，需要引导学生从面积和边长的关系出发，应用平方根进行计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于平方根的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在导入环节中对于日常生活中的平方根应用表现出了好奇心，这为后续的学习奠定了良好的基础。在理论介绍环节，我注意到有些学生对负数没有平方根这一点感到困惑，我通过直观的图形解释帮助他们理解了这一概念。
在实践活动和小组讨论中，学生们积极参与，通过实际操作和讨论，他们能够将平方根的知识应用到解决具体问题中。我观察到，分组讨论的形式很好地促进了学生之间的交流与合作，他们互相启发，共同进步。
-平方根的性质：掌握0的平方根是0，负数没有平方根。
-求平方根的方法：学会使用算术平方根求解具体数值的平方根。
-应用平方根：能够将平方根应用于解决实际问题，如面积、速度等。
举例解释：
-在讲解平方根定义时，通过具体的数值例子让学生理解，如4的平方根是2和-2，强调正数的两个平方根互为相反数。

北师大版数学七年级下册1.6.2完全平方公式优秀教学案例

（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的动机。
2.培养学生勇于探究、善于发现的精神，增强学生的自信心。
3.通过数学学习，培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的责任心。
4.使学生认识到数学在生活中的重要作用，培养学生的数学素养，为学生的终身发展奠定基础。
在教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观有机地结合起来，以提高学生的数学素养为目标，为学生的未来发展提供有力支持。通过本章节的学习，使学生不仅在知识与技能上得到提升，还能在情感态度与价值观上获得全面发展。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握完全平方公式，教师应结合学生的生活实际，创设富有启发性的教学情境。例如，可以引用面积为1的正方形分割成四个相同的小正方形，通过提问“如何用代数式表示这个过程？”引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。通过情境创设，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的积极性。
（五）作业小结
1.教师布置作业，包括基础题、提高题和应用题，涵盖完全平方公式的各个方面，让学生巩固所学知识。
2.学生完成作业后，教师及时批改，给予反馈，帮助学生找到自己的不足，提高解题能力。
3.教师针对作业中存在的问题，进行针对性的辅导，确保每位学生都能掌握完全平方公式。
五、案例亮点
1.生活情境的巧妙融入
3.各小组汇报讨论成果，教师给予点评，总结完全平方公式的应用方法和技巧。
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结完全平方公式的推导过程、结构特点和应用方法。
2.教师强调完全平方公式在解决实际问题中的重要性，提醒学生要熟练掌握。
3.学生分享学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法，共同提高。

平方数的特点

平方数的特点在数学中，平方数是指某个整数乘以自己所得到的数。

比如，2的平方是4，3的平方是9，4的平方是16，以此类推。

在本文中，我们将讨论平方数的特点以及它们在数学和生活中的应用。

一、平方数的基本特点1. 平方数包含了所有非负整数：从0开始，平方数逐渐增大，包含了所有非负整数。

0的平方是0，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，以此类推。

因此，所有的非负整数都是某个平方数。

2. 平方数的求法：平方数可以通过将一个整数乘以自身来求得。

例如，4是2的平方，可以写作2 x 2 = 4。

3. 平方数的性质：平方数具有很多有趣的性质。

其中一个性质是，任何一个正整数的末尾只能是0、1、4、5、6或9。

换句话说，一个数的平方的个位数只能是0、1、4、5、6或9。

这个性质可以帮助我们快速判断一个数是否是平方数。

二、平方数的应用1. 几何意义：平方数和正方形的边长有着密切的关系。

如果一个正方形的边长为n，则它的面积就是n的平方。

例如，当n等于4时，正方形的面积是16。

因此，平方数在几何中有着重要的应用。

2. 数论应用：平方数在数论中有着广泛的应用。

其中一个著名的应用是费马定理。

费马定理指出，对于大于2的整数n，不存在满足a^n+ b^n = c^n的整数解。

这个定理的证明用到了平方数的性质和模运算等数论知识。

3. 编程应用：平方数在计算机编程中也有着广泛的应用。

例如，判断一个数是否是平方数可以通过编写一个简单的程序来实现。

此外，平方数的性质还可以用于优化某些算法的性能，提高程序的执行效率。

三、平方数的扩展内容1. 平方根：与平方数密切相关的一个概念是平方根。

平方根是指某个数的平方等于给定的数。

例如，4的平方根是2，因为2 x 2 = 4。

平方根在代数、几何和物理学等领域中都有重要的应用。

2. 平方数序列：平方数是一个递增的数列。

平方数序列从0开始，逐渐增大。

这个序列可以用数学公式n^2来表示，其中n表示序列中的第几个平方数。

数论研究整数性质和数学结构

数论研究整数性质和数学结构数论是研究整数性质和数学结构的一个分支领域，在数学中具有重要的地位和深远的影响。

数论的研究对象主要是整数集合，通过探究整数的性质和相互关系，揭示了许多整数的规律和特性。

一、整数的基本性质1. 整数的奇偶性：整数可以分为奇数和偶数两类。

其中，奇数是不能被2整除的整数，而偶数则可以被2整除。

2. 整数的因数与倍数：一个整数可以被其他整数整除，这个整数就是被除数的因数，而被除数是除数的倍数。

整数的因数和倍数关系具有重要的应用价值。

3. 整数的质数与合数：质数是指只能整除1和自身的整数，而合数则是除了1和自身还能被其他整数整除的数。

二、整数的性质1. 整数的素因数分解：素因数分解是将一个整数分解为几个素数相乘的形式。

任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为几个素数的乘积。

2. 整数的互质关系：如果两个整数的最大公约数是1，那么它们就被称为互质数。

互质数的性质在密码学和分数运算等领域有广泛的应用。

3. 整数的除法性质：整数的除法具有重要的性质，如：整数相除的商和余数有唯一性，余数的绝对值小于除数，两个整数的最大公约数等。

三、整数的数学结构1. 整数的数列：通过规则地对整数进行排列，形成了各种数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

数列的性质和规律在数学中有广泛的应用。

2. 整数的模运算：模运算是整数的一种运算方式，它将整数转化为与给定模数同余的剩余数。

模运算在整数计算、密码学等领域有着广泛的应用。

3. 整数的完全平方数与立方数：完全平方数是指能够表示为一个整数的平方的数，而立方数则是可以表示为一个整数的立方的数。

完全平方数与立方数的研究对于解决某些数学问题具有重要的作用。

总结：数论作为研究整数性质和数学结构的数学分支，通过深入研究整数的基本性质、性质和数学结构，揭示了许多整数的规律和特性，为解决实际问题提供了重要的数学工具和方法。

数论的研究不仅在纯数学领域中有着广泛的应用，而且在密码学、分数和分子运算等实际问题中也发挥着重要的作用。

平方数的发现之旅

平方数的发现之旅数学是一门神奇而又有趣的学科，它包含了众多的规律和奥秘。

其中，平方数是一个引人入胜的话题。

我们将踏上一段平方数的发现之旅，一起来探索平方数的魅力吧！一、平方数的定义与性质1.1 平方数的定义平方数是指一个数乘以自己所得到的结果。

例如，1是平方数，因为1乘以1等于1；4是平方数，因为2乘以2等于4。

我们用符号n²表示平方数，其中n是一个整数。

1.2 平方数的性质平方数具有一些独特的性质，让我们一一来探索。

首先，所有正整数的平方数是无限的。

这意味着我们可以不断地找到新的平方数。

例如，1²、2²、3²、4²……都是平方数。

其次，平方数的数列具有规律性。

我们可以观察到平方数之间的差距呈等差数列的形式。

例如，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，……这样的差距一直在递增。

二、平方数的奇妙现象2.1 平方数与图形平方数与几何图形之间存在着有趣的关联。

我们可以通过平方数构建出一些独特的图形。

首先，我们可以使用小正方形来表示平方数。

例如，1²可以用1个正方形拼成，2²可以用2x2的正方形拼成，3²可以用3x3的正方形拼成，依次类推。

这就是所谓的“方阵”。

其次，我们可以通过搭积木的方式来展示平方数。

以4为例，我们可以使用1块、4块、9块积木来组成一个完全填满的正方形。

同样的，对于其他平方数，我们也可以找到合适的积木组合来构成相应的图形。

2.2 平方数与数字变换平方数在数字变换中也有着独特的表现。

我们以个位数为例进行说明。

首先，观察个位数为0-9的平方数。

我们可以发现，它们的个位数字具有规律性的变化。

例如，0²=0，1²=1，2²=4，3²=9，4²=6，5²=5，6²=6，7²=9，8²=4，9²=1。

探索平方数平方数的定义和特征

探索平方数平方数的定义和特征平方数是指一个数的平方根为整数的数。

在数学中，平方数具有一些特征和定义。

本文将探索平方数的定义和特征。

一、平方数的定义平方数的定义非常简单明了：一个数的平方根为整数，那么这个数就是平方数。

二、平方数的特征1. 平方数是自然数的平方自然数是指从1开始的正整数，平方数是自然数的平方。

比如1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，依此类推。

2. 平方数是连续奇数之和每个平方数可以被表示为连续奇数之和。

例如，4可以表示为1 + 3，9可以表示为1 + 3 + 5，16可以表示为1 + 3 + 5 + 7，以此类推。

3. 平方数的个位数只能是0、1、4、5、6或9观察平方数的个位数，可以发现它们只能是0、1、4、5、6或9。

例如，1的平方是1，4的平方是16，5的平方是25，6的平方是36，9的平方是81。

4. 平方数的末尾只能是0、1、4、5、6或9平方数的末尾数字也具有规律性，只能是0、1、4、5、6或9。

例子包括：10的平方是100，11的平方是121，14的平方是196，以及15的平方是225等。

5. 平方数的个位数和十位数可以分别是0、1、4、5、6或9观察平方数的个位数和十位数，可以发现它们分别可以是0、1、4、5、6或9。

例如，20的平方是400，21的平方是441，24的平方是576，以及25的平方是625等。

6. 平方数可以通过数列求得有许多著名的数列可以用来求平方数，比如斐波那契数列和等差数列。

这些数列的特点是其中的每个数都是平方数。

三、平方数的应用平方数在数学和实际生活中有广泛的应用。

在数学领域，平方数是许多数论问题的关键，它们也出现在几何学和代数学的不同分支中。

在实际生活中，平方数的概念可以应用于计算面积、判断图形的完美平方等。

结论通过对平方数的探索，我们了解到它们的定义和特征。

平方数在数学中起着重要的作用，并且有着广泛的应用。

通过深入研究平方数，我们可以更好地理解数学的基础知识和原理。

人教版数学七年级下册6.1.2平方根优秀教学案例

（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。
2.通过小组合作，让学生在交流分享中相互学习，共同提高。
3.小组合作能够激发学生的学习积极性，提高学生的学习效果。
在教学过程中，我将组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。通过小组合作，让学生在交流分享中相互学习，共同提高。同时，小组合作能够激发学生的学习积极性，提高学生的学习效果。
（二）讲授新知
1.讲解平方根的定义，让学生理解平方根的概念。
2.通过例题讲解，让学生掌握求一个数的平方根的方法。
3.结合实际应用，让学生感受平方根在生活中的重要性。
在讲授新知环节，我会详细讲解平方根的定义，让学生理解平方根的概念。通过设置典型例题，我会引导学生掌握求一个数的平方根的方法。此外，我会结合实际应用，让学生感受平方根在生活中的重要性，从而提高他们的学习兴趣。
五、案例亮点
本节课作为“人教版数学七年级下册6.1.2平方根”的优秀教学案例，具有以下五个亮点：
1.生活实例导入：本节课以生活实例导入，有效地将平方根的概念与学生的日常生活联系起来，增强了学生对平方根实际意义的理解。这种教学方式充分体现了“从生活中来，到生活中去”的教育理念，使学生在轻松愉快的氛围中开始新课的学习。
（二）问题导向
1.设计具有挑战性的数学问题，激发学生的求知欲，引导学生主动探究。
2.引导学生提出问题，培养学生的提问能力，提高学生的思维水平。
3.问题导向的教学策略能够帮助学生建立知识体系，提高学生的学习能力。
在教学过程中，我将设计具有挑战性的数学问题，激发学生的求知欲，引导学生主动探究。同时，我将鼓励学生提出问题，培养学生的提问能力，提高学生的思维水平。通过问题导向的教学策略，帮助学生建立知识体系，提高学生的学习能力。

高中数学中的整数与数论

高中数学中的整数与数论数学作为一门科学，涵盖了众多的分支和领域。

在高中数学中，整数与数论是一个重要的部分，它们不仅具有理论的深度，还有实际应用的广泛性。

本文将探讨高中数学中整数与数论的相关知识和应用。

一、整数的基本性质整数是我们日常生活中最常见的数。

它们具有一些基本性质，如加法的封闭性、乘法的封闭性、加法的结合律、乘法的结合律等。

这些性质为我们解决实际问题提供了便利。

例如，当我们需要计算两个整数的和或积时，可以利用这些性质简化计算过程。

另外，整数还具有奇偶性的特点。

一个整数可以被2整除的称为偶数，否则称为奇数。

奇偶性在数论中有着重要的应用。

例如，我们可以通过判断一个整数的奇偶性来确定其能否被2整除，从而解决一些与偶数相关的问题。

二、质数与合数质数是指只能被1和自身整除的正整数。

合数是指除了1和自身外还有其他因数的正整数。

质数与合数在数论中有着重要的地位。

首先，质数是合数的基本组成单位。

任何一个合数都可以分解为若干个质数的乘积。

这就是著名的质因数分解定理。

其次，质数与合数还有一些特殊的性质。

例如，质数的个数是无穷的，合数的个数是有限的。

这个结论被称为欧几里得的无穷多素数定理。

三、最大公约数与最小公倍数最大公约数是指两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的正整数。

最小公倍数是指两个或多个整数中最小的能够同时被它们整除的正整数。

最大公约数与最小公倍数在解决实际问题中经常被使用。

例如，当我们需要将两个分数合并为一个分数时，可以利用最小公倍数来确定通分的分母。

又如，当我们需要将一个数化简为最简分数时，可以利用最大公约数来约分。

四、同余与模运算同余是数论中的一个重要概念。

如果两个整数除以一个正整数所得的余数相同，我们就称这两个整数对于这个正整数是同余的。

同余关系在密码学、编码等领域有着广泛的应用。

另外，同余还有一些重要的性质。

例如，同余关系具有传递性、对称性和反身性。

这些性质为我们解决一些同余相关的问题提供了便利。

完全平方公式教学研讨

完全平方公式教学研讨
完全平方公式是一种用于求解二次方程根的方法，其公式为：$ax^2+bx+c=0$的根可由下面的公式给出：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
下面是关于完全平方公式的教学研讨：
1. 导入：引起学生对完全平方公式的兴趣，可以从一个实际问题开始。

例如，描述一个抛射物的飞行轨迹，在解析解的基础上引入完全平方公式的概念。

2. 概念理解：解释二次方程与完全平方公式之间的关系。

强调完全平方公式是如何用于求解二次方程根的。

3. 推导过程：通过将二次方程转化为完全平方形式的方法，演示完全平方公式的推导过程。

此步骤可以通过解释如何将二次方程写成平方的形式，并对方程进行因式分解来完成。

4. 示例问题：提供一些问题和例子，给学生练习使用完全平方公式解决二次方程根的方法。

例如，求解$2x^2+5x-3=0$这个
方程。

5. 练习：提供一些练习题，让学生更熟练地运用完全平方公式。

逐步增加难度，以帮助他们巩固所学的概念。

6. 拓展应用：引导学生思考完全平方公式在几何问题中的应用。

例如，给学生一个图形，要求他们使用完全平方公式解决相关
问题。

7. 总结复习：对完全平方公式进行总结，并与学生讨论该公式的应用和重要性。

强调学生继续练习和应用这一概念的重要性。

8. 深入探究：鼓励学生进行进一步的研究和探究，例如完全平方公式的历史背景、其他二次方程求根的方法等等。

通过以上的教学研讨，学生可以更好地理解和运用完全平方公式，加深对二次方程求根的理解和应用能力。

高中数学中的数论相关性质解析

高中数学中的数论相关性质解析数论是研究整数性质的一个分支学科。

在高中数学中，数论的相关性质涉及到整数的性质、性质之间的联系以及应用。

本文将对高中数学中的数论相关性质进行解析，逐一介绍其性质及重要应用。

一、整数的性质整数是数论的基础，它有许多重要的性质。

首先，整数可以划分为正整数、负整数和0，它们在数轴上呈现出一种有序性。

其次，整数之间存在着加法、减法、乘法等运算，这些运算满足交换律、结合律和分配律等性质。

此外，整数还具有奇偶性、整除性、余数性质等。

二、最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中常见的重要概念。

最大公约数是指两个或多个整数中能够整除它们的最大正整数，最小公倍数是指两个或多个整数中能够被它们整除的最小正整数。

最大公约数和最小公倍数的求解方法有欧几里得算法、质因数分解法等。

三、模运算与同余关系模运算是数论中的重要概念之一，它是指对于整数a和正整数m，模运算的结果等于a除以m所得的余数。

模运算可以用符号“≡”来表示。

同余关系是指两个整数对于模运算同余，即它们除以模数m所得的余数相等。

同余关系具有传递性、对称性和反身性等性质，并且在数论中有着广泛的应用。

四、素数与合数素数是指只能被1和自身整除的正整数，大于1的整数且不是素数的称为合数。

素数与合数是数论中的重要概念。

素数有无穷多个，其中最小的素数是2，其他的素数称为奇素数。

素数有着独特的分解性质，任何一个大于1的整数都可以唯一地由素数的乘积表示，这个性质被称为唯一分解定理。

五、互质数与欧拉函数互质数是指最大公约数为1的两个或多个整数。

欧拉函数是数论中的一个重要函数，用来计算与正整数n互质的小于n的正整数的个数。

欧拉函数具有乘性和递推的性质，常用来解决一些数论相关的问题，如欧拉定理等。

六、费马小定理与中国剩余定理费马小定理是数论中的一条重要定理，它是关于整数幂模运算的一个性质。

费马小定理可以用来判断一个数是否为素数，以及求解模逆元等问题。

中数学微课题研究性精品教程专题5.1：解集为整数点的不等式(组)问题的研究与拓展

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专题5.1：解集为整数/点的不等式（组）问题的研究与拓展【课本溯源】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-0,5,0y y x y x 表示的平面区域内的整点个数为_________. 12【问题提出】问题1：如何研究上述整点问题？变式：在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 109问题2：ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =()*m N ∈，则这样的三角形共有_________个.2)1(+m m 问题3：三边长均为整数，且最大边长为11的ABC ∆的个数为_________. 36问题4：钝角三角形的三边长均为正整数，且组成公差为3的等差数列，这样的三角形有_________个. 5【拓展探究】探究1：若集合{|20}P x x a =-<，{|30}Q x x b =-> ，,a b N ∈，且{1}P Q N =，则满足条件的整数对(,)a b 的个数为_________.变式：已知集合A ＝{}{}a x x x B x x x 223|,15352|+<+=->+,且B A 只有5个整数解，则a 的取值范围是___________ .6-a < ≤211-探究2：若Z a ∈，且不等式062≤+-a x x 的解集中有且只有三个整数，则所有满足条件的a 值之和为__________. 21探究3：已知集合A ＝{}{}a x x x B x x x 223|,15352|+<+=->+,且B A 只有5个整数解，则a 的取值范围是___________ .6-a < ≤211- 探究4：关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-+<ax a x 221的解集为P .（1）若集合{}32<<=x x Q ，Q P ⊆，求实数a 的取值范围；(]{}20, ∞- （2）若集合P 中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围.探究5：关于x 的不等式23+<<a x a 恰有3个整数解，求实数a 的取值范围. 变式：设全集R U =，函数)1)(11lg()(<-++=a a x x f 的定义域为A ，集合{}1cos ==x x B π，B A C u )(恰好有两个元素，求实数a 的取值范围. 02≤<-a探究6：已知b a ,是实数，函数)(1)(R x x b ax x f ∈-+=（1）若()2,2,-∈b a ，且函数)(x f 在()+∞,0内存在最大值，试在平面直角坐标系aOb 内，求出动点()b a ,运动区域的面积；4（2）若0>b ，且关于x 的不等式0)(<x f 的解集中的整数恰有2个，试求ba的取值范围. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,32（数形结合）变式1：已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值，则实常数a 的取值范围是变式2：函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是______探究7：（2009，天津）关于x 的不等式22)1-2(ax x <的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是__________.2549916a <≤解法 1.1 令()()221g x x =-，()2h x ax =．易知当a ≤0时，不合题意．分别作出函数图象，见图1.1；由题意，要使()()g x h x <成立，则函数()y h x =的图象应在函数()y g x =的图象上方．又1()02g =，由图象得到，原不等式解集中的3个整数只能为1，2，3；则有不等式组g(1)(1)g(2)(2)g(3)(3)g(4)(4)h h h h <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪≥⎩成立，解得2549916a <≤．解法1.2 当x=0时，对任意实数a ，不等式()2221x ax -<不成立，则有()2222112x a x x -⎛⎫>=- ⎪⎝⎭．令()g x a =，()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0x <时，()y f x =单调递增，且4y >；当102x <<时，()y f x =单调递减，且0y >；当12x >时，()y f x =单调递增，且04y <<；其图象如图1.2所示，那么要使原不等式的解集中含有3个整数，则由函数图象得到(3)(4)f a f <≤，即2549916a <≤．解法 1.3 易知当a >0时，原不等式的解集非空．对不等式两边同时开平方，得到21x a x -<．由0x ≠得12a x>-．令()12f x x =-，()g x a =. 由于函数1()2h x x-=+在每个单调区间内都是增函数，则()()f x h x =的图象如图1.3所示．因此，当原不等式的解集中恰有3个整数时，应满足条件(3)(4)g a g <≤，解得2549916a <≤．变式1：（2013年连云港市高三数学期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 . 125[1,)(,9]33--参数分离：当2>x 时，此时22->x x a ，令02>-=x t ，则44++>tt a通过画图可得：⎥⎦⎤⎝⎛∈9,325a ；当2<x 时，同理可得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈31,1a并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究2()f x x =，解法 2.1 原不等式可转化为()22x a x <-．令()()2g x a x =-，在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1，当0a =时，设不等式解集为A ，且A=φ．图象始终在函当0a >时，首先，易知当08a <<时，函数()y g x =的方时对应的横数()y f x =图象下方．因此，要使函数()y g x =图象在上坐标的取值集合A 中有2个整数，则8a >；同时，当8a =时，直线和抛物线相切于点(4,16)．由图象知，当8a >时，4x =为解集A 中的一个整数．那么另一个整数则为3或5，即有：35A A ∈⎧⎨∉⎩ 或356AA A∉⎧⎪∈⎨⎪∉⎩，由此可解得：2593a <≤；当0a <时，由图象知0A ∈，那么解集A 另一个整数为1或中的一个．同理有：11A A ∈⎧⎨-∉⎩或112AA A∉⎧⎪-∈⎨⎪-∉⎩，解得113a -≤<-．综上，满足条件的实数a 的取值范围是113a -≤<-或2593a <≤．解法2.2 原不等式可转化为()22x a x <-．首先，当2x =时，不等式解集为A 为φ，故A 中不可能含有整数2；当2x >时，22x a x >-；当2x <时，22x a x <-．再令2t x =-，则当0t >时，44a t t >++；当0t <时，44a t t<++；令()g t a =，()44h t t t =++．由函数的图象图2.2可知，(1)(4)9h h ==，(2)8h =，25(3)3h =，(1)(4)1h h -=-=-，(2)0h -=，1(3)3h -=-．因此，若A 中整数为正整数时，则2t =和3为满足条件的整数，那么此时a 的取值范围为2593a <≤；若A 中整数为负整数时，则2t =-和3为满足条件的整数，那么此时a 的取值范围为113a -≤<-；从而得到满足条件的参数a 的取值范围为113a -≤<-或2593a <≤．变式2：若关于x 的不等式22+10x ax a --<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．解法 3.1 原不等式可转化为()21x a x a +<+．令2()1g x x =+，()()h x a x a =+．如图3.1，下对参数a 进行分类讨论：当1a =时，(1,0)A =-，A 中没有整数；则当01a ≤<时，A 中也没有整数；当1a >时，首先发现0A ∈，那么另外一个整数必为1，则有(1)(1)(2)(2)g h g h <⎧⎨≥⎩成立，解得161a <≤-；当1a =-时，(0,1)A =，A 中没有整数；则当10a -<<时，A 中也没有整数；当1a <-时，0A ∈，那么另外一个整数必为1，则有(1)(1)(2)(2)g h g h -<-⎧⎨-≥-⎩成立，解得611a -+≤<-.综上，可得所求参数a 的取值范围为611a -+≤<-或161a <≤-．解法3.2 将原不等式转化为2()1x x a a -<-．令()()f x x x a =-，2()1g x a =-．首先，当0a =时，A φ=；情形1，如图3.2.1，当0a >时，包含如下两种情形：情形1.1，当210a -≤时，即01a <≤，由图知A 中不可能有2个整数；情形1.2，当210a ->时，即1a >. 若要使A 中恰有2个整数，则这两个整数必为0和1．因此有1A ∈且2A ∉，即()22112(2)1a a a a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得161a <≤-．情形2，如图3.2.2，当0a <时，包含如下两种情形：情形2.1，当210a -≤时，即10a -≤<，由图知A 中不可能有2个整数；情形2.2，当210a ->时，即1a <-．若要使A 中恰有2个整数，则这两个整数必为0和:1．因此有1A-∈且2A -∉，即()221112(2)a a a a ⎧---<-⎪⎨-≤---⎪⎩，解得161a -≤<-．则有611a -+≤<-或161a <≤-．解法3.3 原不等式可转化为221ax a x +>+．首先当0x =时，21a >，即1a <-或1a >；当0x >时，21a a x x ->+；当0x <时，21a a x x -<+；令21()a g x x x -=+，()f x a =．又当21a =时，(0,1)A =或(1,0)A =-，不合题意；下只要考虑21a ≠时的两种情形：情形1，当21a >时，则有0A ∈，设另一个整数为0x ；解得情形1.1，如图3.3.1，当00x >时，有1A ∈，2A ∉，即(1)(2)g a g <≤，161a <≤-；情形1.2，如图3.3.2，当00x <时，有1A -∈，2A -∉，即(2)(1)g a g -≤<-，解得 611a -+≤<-；情形2，当21a <时，如图3.3.3，得0A ∉，则A 中两个整数要么同为正数，要么同为负数．情形2.1，若两个整数大于0时，1A ∈，则有221a a >-，且(2)(3)g a g <≤，计算得a φ∈；情形2.2，若两个整数小于0时，1A -∈，则有221a a <--，且(3)(2)g a g -≤<-，计算得a φ∈；即所求实数a 的取值范围是611a -+≤<-或161a <≤-．探究8：(南京市2014届高三年级12月阶段调研卷-14-inequality) 若关于x 的不等式022＜a x ax -+的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．解法1：令()22f x ax x a =+-，则由()0f x <解集中有且只有4个整数可知0a >；又()()22f x a x x =-+，那么，对∀0a >，二次函数()f x 过定点()()2,22,2--；由图1可知，10x = 必为解集中的一个整数；并且解集中的最大整数小于2；设解集为A ， 1°若21x =适合题意，则+120a a -<，有1a >.那么1,2,3A A A -∈-∈-∉，即12042209320a a a a a a --<⎧⎪--<⎨⎪--≥⎩，解得：a ∈∅，则1A ∉.2°由上分析可知1,2,3,4A A A A -∈-∈-∈-∉，即1204220932016420a a a a a a a a --<⎧⎪--<⎪⎨--<⎪⎪--≥⎩，解得2377a ≤<. 数a 的取值范围为2377a ≤<. 综上，满足题意的实解法2：()22202ax x a a x x +-<⇔-<-；令()()22f x a x =-，()g x x =-；则由()()f x g x <转化为函数()f x 的图像在函数()g x 的图像下方； 1°当0a ≤时，解集中含有无数个整数解，故舍去；2°当0a >时，在同一个坐标系中作出函数图像，由图2可知，10x =，21x =-满足题意；若31x =，则有42x =-，53x ≠-，可解得a ∈∅；因此，32x =-，43x =-，54x ≠-，解得2377a ≤<. 综上，满足题意的实数a 的取值范围为2377a ≤<.解法3：()22202ax x a a x x +-<⇔-<-，又分析可知0a >，故212x x a<-+；令()2f x x =，()12g x x a=-+；在坐标系内画出函数图像：由图像可知10x =，下同解法1°,2°先排除21x =，再说明21x =-，32x =-，43x =-，54x ≠-，此处略.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

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专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率；（2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．解：（1）232=e ；（2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t += 1：三角换元：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ)，当且仅当2=t 时（此时4πθ=时等号成立），21S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行；且在该交点处，此时21,S S ,21S S 都是最大的. 探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长（1）求C 1，C 2的方程；（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C 1相交与D,E ．（I ）证明：MD ⊥ME;（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732S S =？请说明理由. 解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而故C 1，C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k 于是221111111111111||||1||1|222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和探究3：如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（1）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（2）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =解：（1）21±=k （2）不存在，计算可得892-=k 探究4：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．（1）求直线OP 的方程；（2）求1PQQA 的值；Py NA解：（1）连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =，又122A A a =，所以1260A A P ∠=o . 所以260POA ∠=o ，所以直线OP 的方程为3y =.⑵由⑴知，直线2A P 的方程为3()y x a =--，1A P 的方程为3)y x a =+，解得2P ax =. 因为3e ，即3c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由22223),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y a a =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22()1414B k k ++，所以22114k OB a k +=+ 用1k -代替上面的k ，得2214k OC a k +=+．同理可得，21OM k =+，21ON k=+．所以4122214(14)(4)S S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=++．因为22221115(14)(4)4()17k k k k++++，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a探究5：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-，离心率为63（1）求椭圆C 的方程；（2）设点B 是点A 关于原点O 的对称点，P 是椭圆C 上的动点（不同于A ，B ），直线AP ，BP 分别与直线3x =交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由题意得22222111,,6,a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分解得2244,3a b ==． ………………… 4分 ∴椭圆C 的方程为223144x y +=． ………………… 5分（2）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 00(,)x y ，则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，探究6：已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u ur u u u u r =0，动点N 的轨迹为曲线E 。

专题2.29：整数(整除)性问题的研究与拓展

专题2.29：整数（整除）性问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项)1nx n ∈N 20123≤≤n 的二项式系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？解：连续三项的二项式系数分别为、、（），由题意，依组1-k n C k n C 1+k n C 11-≤≤n k 112+-+=k n k n k n C C C 合数的定义展开并整理得，故，则024)14(22=-++-k n k n 298142,1+±+=k k n ，代入整理得，，，2)12(98+=+m k 222-+=⇒m m k 2)1(21-+=m n 222-=m n 1936442= ，故的取值为，，…，，共42个2025452=n 2442-2432-232-（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）（2）已知，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若)1311(31+-=n T n 存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？解：∴ ∴，31)1311(31<+-=n T n 13+=n n n T 13,411+==m m T T m 31n n T n =+ ∵成等比数列．∴ ，所以n m T T T ,,11211341)13(2<+=+n n m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2321,232-1m 又∵为正整数且，∴，n ＝16，且1<m <n ，使得成等比数列.m 2≥m 2=m n m T T T ,,1（3）已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．{}n a 12315a a a ++={}n b 12327b b b =① 若．求数列和的通项公式；1243,a b a b =={}n a {}n b ② 若是正整数且成等比数列，求的最大值．112233,,a b a b a b +++3a （注：整数型问题一定要充分利用好条件中的整数进行求解）解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所225,3a b ==123a b =={}n a 2d =以，从而，所以．21n a n =+349b a ==13n n b -=（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.{}n a d {}n b q 15a d =-13b q=35a d =+33b q =因为成等比数列，所以．112233,,a b a b a b +++2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=设，，，1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩*,m n N ∈64mn =则，整理得，.3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩2()5()800d m n d m n +-++-=解得（舍去负根）.d =（预设提问：如何利用好m,n 是正整数实现对本题的研究是本题的难点），要使得最大，即需要d 最大，即及取最大值.，，35a d =+ ∴3a n m -2(10)m n +-*,m n N ∈ 64mn =当且仅当且时，及取最大值.∴64n =1m =n m -2(10)m n +-从而最大的所以，最大的d =3a =探究2：（1）已知数列的通项公式为，是其前n 项的和，问是否存在正整数，使得{}n a 212n n a -=n S n m ,成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由. 1221mn m n S m S m +-<-+()n m ,解：，由，得 12(1)124(1)1212n n n S -==--1221m n m n S m S m +-<-+14(1)221214(1)2m n m m m --<+--1<当时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为是正整数，故当4≥m m 3,2,1=m 1m =时，由得，，所以；当时，由得，，所以或；当时，()*2238n <⨯<1n =2m =()*22212n <⨯<1n =23m =由得，，所以或或，()*2220n <<2n =34综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．(,)m n (1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)拓展1：已知等差数列的公差d 不为0，等比数列的公比q 为小于1的正有理数，若，}{n a }{n b 211,d bd a ==且是正整数，则q 等于 ________. 321232221b b b a a a ++++12拓展2：m ∈N ，若函数存在整数零点，则m的取值集合为()210f x x m =-+________.解：当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ．若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点．若m ≠0，则令f (x )=0，得m N ．注意到-5≤x ≤10，且∈N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．223拓展3：函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值2()2(3)2f x ax a x a =--+-a a 的和为______________. -14拓展4：设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得b a ,1x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=m ，则. )()(m g m f =_____=+b a 2==b a拓展5：已知函数2()f x ax x =-,222*()(2)(,)g x x a x a Z b Z =-∈∈，若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对(,)a b 为_________.解：由2()f x ax x =-知243013b b b -+-≥⇒≤≤，又b Z ∈得1,2,3b =；而()f x 的最小值时0x 0()g x 为()g x 的最大值即20x a =2a =得6a =243b b -+-得a =0或1，则此时数对(,)a b 为（1，2）拓展6：各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若，则q 的所有可能的值构成的集合为. 4188a a -={}5837，【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么?。

竞赛题平方数解法与推广的分析论文

竞赛题平方数解法与推广的分析论文竞赛题平方数解法与推广的分析论文竞赛题平方数解法与推广的分析论文一、选题依据（背景与意义、国内外研究现状与发展趋势）在某种程度上，数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地位的地方创造秩序，从无序和混沌之中抽取出结构和不变量。

所以，把无序的数字转化为有序的模型，这才是数学家乃至所有数学爱好者所追求的。

平方数，也叫完全平方数或正方形数，是可以写成整数的二次方的数。

它是一种很“完美”的数，有关于它有许多很有序的规律，至今为止，已经有很多的数学爱好者乐此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的结论。

至今为止，平方数的一些基本的性质。

例如，性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

等等。

还有很多著名的数学家长久以来乐此不疲地研究平方数，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其他定理、命题。

例如，意大利著名的数学家Lagrange，他在整数论上也有有关平方数的Lagrange定理：任何一个正整数都可写成四个平方数之和。

并且在证明中他运用了欧拉恒等式：若則此类例子还有很多，在此不一一列举了。

本论文是对一道有关平方数的竞赛题的'解法与推广，我的目标是从无序的题目中找出有序的、有规律的结果，从而体会数学的规律美。

过程主要是猜想——计算机辅助验证——数学方法证明。

猜想在一般的观念里，似乎是具有一定的偶然性，但实际上，猜想要靠长期积累下来的对数学的直觉和经验形成一种敏锐的洞察力和技巧。

这是一个长期的过程。

数学题不一定单纯地做出答案就行了，很多情况下还可以更深入地研究，挖掘出它的背景，进行再推广、再发散。

很多看似简单的数学题其背后的内容却是十分丰富的，需要有心人去探讨研究，这样才能真正深刻的理解。

有些计算量相当大的数学题应用笔算和一般的计算器已经不能满足需求，这时我们要借助计算机，利用程序设计来解。

现在我就要解一道有关于平方数的竞赛题，由于计算量相当的大，笔算和一般的计算器已经不能满足需求，所以我通过在VisualBasic6.0环境下对算法进行分析和验证，验证结论的正确性。

中数学微课题研究性精品教程专题5.3：区域面积问题的研究与拓展.docx

高中数学学习材料唐玲出品专题5.3：区域面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中，已知平面区域()(){}0,0,1,≥≥≤+=y x y x y x A ，则平面区域()()(){}A y x y x y x B ∈-+=,,的面积为________ 1变式1：x x x f 2)(2-=，则满足条件⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点()y x ,所形成的区域面积为__________. 变式2：已知函数2)(2-=x x f ，若)()(b f a f ≥，且b a ≤≤0，则满足条件的的点()b a ,所围成的面积为______ 2π 解易知f (x )在[0,2]上为减函数，在[2,)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在(2,)+∞．若0≤a ≤b ≤2，则2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①；若0≤a ≤2≤b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π．探究2：如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 2+4π2 2 2 O a b②图7 ①探究3：直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤，(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积__________. 变式1：两个正实数b a ,满足3≤+b a ，若当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时，恒有2)()(22≥-+-b y a x ，则以b a ,为坐标的点),(b a 所形成的平面区域的面积等于________. 22π-解：两个面积为1的三角形减去两个(半径为根号2的圆的1/8）变式2： A ＝}0,2,|),{(≥≤≤y x x y y x ，B ＝}42,64|),{(≤≤≤≤y x y x ，设M ＝ ,2|),{(21x x x y x +=}),(,),(,2221121B y x A y x y y y ∈∈+=，则点集M 所形成图形的面积为．探究3：在直角坐标系平面上的点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=y x x y y x M 11),(， {}2),(22<+=y x y x N ，则集合N M ⋂所表示的图形的面积是_________________ 变式1：若将集合N 改为{}1),(22<+=y x y x N ，结论如何？变式2：若将集合N 改为{}4),(22<+=y xy x N ，结论如何？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

探索平方数与立方数的特性

探索平方数与立方数的特性平方数和立方数是数学中的常见概念，它们具有一些独特的特性。

在本文中，我们将探索平方数和立方数的特性，包括它们的定义、性质以及它们在数学和现实生活中的应用。

一、平方数的特性平方数是某个整数乘以自身所得到的数，其定义如下：如果一个整数a，可以表示为a = b * b，其中b为整数，则a就是一个平方数。

1.1 平方数的表示方式平方数通常用小的字母n表示，下标2表示平方，即n²或n^2，例如：1² = 1，2² = 4，3² = 9等。

可以看出，平方数是依次递增的，且每个平方数之间的差值也逐渐增加。

1.2 平方数的特性平方数具有以下几个特性：a. 任意一个自然数的个位数只能是0、1、4、5、6、9，且只有这些数的平方才可能以0、1、4、5、6、9结尾；b. 任意两个连续的平方数之间的差值是两个连续自然数之和；c. 一个整数n是平方数，当且仅当n的质因数分解中，每一个质因数的指数都是偶数；d. 平方数的个数是无穷的；二、立方数的特性立方数是指某个整数乘以自身两次所得到的数，其定义如下：如果一个整数a，可以表示为a = b * b * b，其中b为整数，则a就是一个立方数。

2.1 立方数的表示方式立方数通常用小的字母n表示，下标3表示立方，即n³或n^3，例如：1³ = 1，2³ = 8，3³ = 27等。

与平方数类似，立方数也是依次递增的。

2.2 立方数的特性立方数具有以下几个特性：a. 每一个自然数都有一个唯一的立方数与之对应；b. 任意两个连续的立方数之间的差值是两个连续自然数的和；c. 一个整数n是立方数，当且仅当n的质因数分解中，每一个质因数的指数都是3的倍数；d. 立方数的个数也是无穷的；三、平方数与立方数的应用平方数和立方数在数学和现实生活中都有着广泛的应用。

3.1 数论中的应用平方数和立方数是数论中重要的概念，它们的研究与探索有助于深化对数学基础知识的理解，例如在数论中研究平方残数、立方残数等问题。

数学中的数论与整数研究

数学是一门抽象而深邃的学科，它探究着自然界中的规律和现象。

而在数学的分支中，数论与整数研究则是一门专门研究整数及其性质的学科。

数论与整数研究不仅仅是一种数学上的研究领域，更是一种思维方式和解决问题的方法。

以下将以“数学中的数论与整数研究”为题，以不少于640字的篇幅来探索这门深奥而神秘的学科。

首先，数论与整数研究是指那些研究整数性质的理论和技巧。

整数是数学中最简单和最基础的数学对象，因此整数的研究在数学中具有重要的地位。

数论与整数研究的目标是找到整数之间的联系和规律，以及发现整数的性质和特点。

整数研究的内容非常广泛，包括素数的性质、约数的性质、同余关系、数列和数论函数等等。

其次，数论与整数研究不仅仅是单纯的数学理论，它还可以被应用于其他科学领域。

比如密码学就是数论的一个应用领域，通过研究整数之间的关系和性质来设计和破解密码。

另外，在计算机科学和信息技术领域，数字的运算和表示也是基于整数的性质和规律的。

数论与整数研究的研究方法主要包括数学证明、数学计算和数学归纳法等。

数学证明是数学中最重要的研究方法之一，通过推理和逻辑来证明数学命题的真伪。

而在整数研究中，数学计算则是非常重要的一个步骤，通过计算来发现整数之间的规律和性质。

另外，数学归纳法也是数论与整数研究中常用的方法之一，通过数学归纳的思想来证明数学命题的正确性。

最后，数论与整数研究作为数学的一个分支领域，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力有着重要的作用。

在学习数论与整数研究的过程中，学生需要进行大量的思考和推理，不断地提出问题和解决问题，这样可以培养他们的创新思维和独立思考能力。

而且，数论与整数研究的数学知识和技巧也可以应用于其他学科和工作领域中，帮助人们更好地理解和解决实际问题。

综上所述，数论与整数研究是一门重要而神秘的学科。

它不仅仅是一种数学理论，更是一种思维方式和解决问题的方法。

通过数论与整数研究，我们可以发现整数之间的联系和规律，进一步了解自然界中的数学规律和现象。

平方数特征

平方数特征1. 什么是平方数？在数学中，平方数是指能够表示为某个整数的平方的数字。

换句话说，平方数是一个整数乘以自己所得到的结果。

例如，4、9、16和25都是平方数，因为它们分别等于2²、3²、4²和5²。

2. 平方数的特点2.1 简化计算平方数有一个重要的特点是它们可以简化计算。

例如，如果我们需要计算16²，我们可以直接知道结果为256，而不需要进行乘法运算。

这在实际生活中非常有用，尤其是在涉及到面积、体积和其他与平方相关的计算时。

2.2 数列平方数还可以形成一个特殊的数列，称为平方数序列。

这个序列从1开始，每一项都是前一项加上一个等差值（递增的步长）。

例如：1, 4, 9, 16, 25, …这个序列中的每一项都是一个平方数。

2.3 数论性质平方数还具有一些重要的性质和规律。

以下是其中一些常见性质：•平方数可以被分解为两个连续奇数之和。

例如：9 = 4 + 5，16 = 7 + 9。

•平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。

这是因为一个数的个位数字的平方只有这几种可能性。

•平方数的因子个数是奇数。

这是因为平方数可以被分解为多个相同的因子，例如：36 = 2² × 3²，共有(2+1) × (2+1) = 9个因子。

2.4 几何解释平方数还可以通过几何方法进行解释。

例如，一个边长为n的正方形的面积就是一个平方数，等于n²。

这意味着一个正方形可以完美地填充成由n×n个小正方形组成的大正方形。

3. 平方根与平方数3.1 平方根与平方数相关联的一个概念是平方根。

平方根表示一个数字的平方等于给定数字时所得到的结果。

例如，√9 = 3，因为3² = 9。

3.2 整数平方根对于某些平方数来说，它们的平方根恰好是一个整数。

例如√4 = 2和√16 = 4。

这些称为整数平方根。

3.3 平方法寻找整数平方法是一种常见的数学问题。

小学数学教案：平方数的特性探究

小学数学教案：平方数的特性探究一、引言本教案旨在帮助小学生理解平方数的概念，并通过实例和活动探索平方数的特性。

通过这个教案，学生将提高他们的数学思维能力和问题解决能力。

二、目标•了解平方数的定义；•掌握平方数与正整数之间的关系；•探索平方数的特性并能够应用到问题中。

三、教学内容和步骤1. 平方数的定义（5分钟）•讲解什么是平方数，即一个数字乘以自己所得到的结果就是该数字本身。

2. 平方数列表（10分钟）•列举出前几个平方数，并让学生观察其中的规律。

3. 正整数与平方数之间的关系（15分钟）•引导学生观察正整数与其对应的平方数之间是否存在某种关系。

•让学生尝试使用不同方法验证他们的猜想，如计算、图表等。

4. 探索平方根（20分钟）•引导学生了解什么是平方根，即一个数字的平方根是指它被平方后所得到的结果。

•让学生进行一些简单的平方根计算，并讨论它们和平方数之间的关系。

5. 平方数的特性（20分钟）•发现并讨论平方数的一些特性，如：任意两个连续自然数之间总存在一个平方数。

6. 应用实例（20分钟）•提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决这些问题。

例如：其中某个数字是平方数，另外一个数字是多少？•引导学生思考并讨论问题的解决思路。

四、教学资源需求•课本或教材•各种实例和应用题•黑板或白板•白板笔或粉笔五、评估方式通过观察学生在课堂上的参与度、问题解决能力和对概念理解程度来评估他们在平方数探究中的表现。

可以提供课堂作业或小测验来进一步巩固所学内容。

六、延伸活动和拓展学习为了进一步提升学生对平方数概念和特性的理解，可以提供更多丰富有趣的问题和活动。

例如： - 探索平方数在几何图形中的运用； - 讨论其他数学概念与平方数的关系，如立方数等； - 家庭作业或自主学习任务。

七、结语通过这个教案，学生将在探究平方数的过程中培养他们的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

希望学生们能够享受到这个有趣而又实用的数学课程，并将所学方法应用到更多的数学领域中。