广东省东莞市某中学12-13学年高二上学期期中考试数学(文)试题

2012-2013学年度第一学期高2014届 数学（文科）期中考试试卷说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、考号、座位号等填写在答题卡的侧面相应的空格内.2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

答案必须写在答题卷上，收卷时只交答题卷.一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若数列}{n a 的通项公式为)2(+=n n a n，则下面哪个数是这个数列的一项A.18B.20C.24D.302. 下列关系式中，正确的是 A.22bab a >⇒> B.bab a 110<⇒>>C. 22bc ac b a >⇒> D. c b c a b a -<-⇒>3. 在等差数列{}n a 中，若686=+a a ，则数列{}n a 的前13项之和为 A. 392B. 39C.1172D.784．命题：“若220a b +=(a ，b ∈R)，则0a b ==”的逆否命题是( )A ．若()0,a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若()0,a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠C ．若()0,a a b R ≠≠∈且b ，则220a b +≠D ．若()0,a a b R ≠≠∈或b ，则220a b +≠5. 在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且45,60,1,BC c ===则最短边的边长等于A. 12 D. 6. 在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且C c B b A a sin sin sin =+，则A B C ∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．数列{}n a 满足1a ，12a a -，23a a -，…，1--n n a a 是首项为1，公比为2的等比数列，那么=n aA.12-nB.121--nC.12+nD.14-n9.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ）A. 3B.12C.2D.210．下列关于数列的说法：① 若数列{}n a 是等差数列，且p q r +=（,,p q r 为正整数）则p qra a a +=；②若数列{}n a 前n 项和2)1(+=n Sn，则{}n a 是等差数列；③若数列{}{}n n n n a a a a 则满足,21=+是公比为2的等比数列；④若数列{}n a 满足{}n n na a S 则,12-=是首项为1，公比为2等比数列.其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 12设1>x ，则函数14-+=x x y 的最小值 ，此时相应x 的值为13.在A B C ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列,2b =,则=Aa sin14.定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有1||||n n a a d ++=（d 为常数），则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”1{},2n a a =中，“绝对公和”2d =，则其前2012项和2012S 的最大值为三、解答题（本大题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：15．（本小题满分12分）在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且.222bc a c b =-+ （1）求角A ；（2）若2=b ，且A B C ∆的面积为32=S ，求a 的值.16.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}2na 的前n 项和n S .17.（本小题满分14分）已知二次函数)(x f =c bx x ++2，且不等式0)(<x f 的解集为{}31<<x x . （1）求)(x f 的解析式；（2）若不等式1)(->mx x f 对于R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分14分）分别为x kg 、y kg 、z kg ．（1）试用含x 、y 的式子表示混合食物的成本P （元）；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少?19. （本小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 中，对任何正整数n 都有：11223311(1)21nn n n na b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+ ．（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 等差数列（10a d ≠），求数列{}n b 通项公式； （3）在（2）的条件下，判断数列{}n b 是否为等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知长方形,BC=1.以AB 的中点o 为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系xoy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2) 过点P(0,2)的直线m 与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线m 的方程；(3)过点P(0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.图20一、选择题 高二文数答案1. C2. B3. B 4．D 5. D 6. B 7． A 8．A 9. D 10．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11.存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0 12 5、313. 3 14. 2012 15．（本小题满分12分）在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且.222bc a c b =-+ （1）求角A ；（2）若2=b ，且A B C ∆的面积为32=S ，求a 的值.解1）222222cos =2b c aA b c a bc bc +-=+- 且------------------------------------------2分1 cos22bc A bc∴== ---------------------------------------------------------4分0A π<< 又， 3A π∴∠=--------------------------------------------6分112)sin sin 60 242242ABC ABC S bc A bc S b c ∆∆=====∴=又 --9分222222cos 24224cos 123a b c bc A a π=+-=+-⨯⨯⨯=∴= 又 ---12分16.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}2na 的前n 项和nS.解：（1）由题设知公差d ≠0 由11a =且139,,a a a 成等比数列得1218112d dd ++=+------------4分解得d =1,d =0（舍去） --------------6分 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯= ---------------8分（2）由（1）知22nan=， - ---9分由等比数列前n 项和公式得2312(12)222 (22)212nnn n S +-=++++==-- ----12分17、（本小题满分14分）已知二次函数)(x f =c bx x ++2，且不等式0)(<x f 的解集为{}31<<x x .（1）求)(x f 的解析式；（2）若不等式1)(->mx x f 对于R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 解（1）()243f x x x =-+ （2）80m -<<18. （本小题满分14分）x kg 、y kg 、z kg ．（1）试用含x 、y 的式子表示混合食物的成本P （元）；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少?（1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩…………… 2分由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，得3002P x y =++. …………… 4分 依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,700100300x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩ ……… 7分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩……10分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.… 12分让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25处取得最小值.∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 混合食物的成本最少.… 14分 19. （本小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 中，对任何正整数n 都有：11223311(1)21nn n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+ ．（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 等差数列（10a d ≠ ），求数列{}n b 通项公式； （3）在（2）的条件下，判断数列{}n b 是否为等比数列？并说明理由. 解（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， ……… 2分 由11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+ ，可得111223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+ ()2n ≥，两式相减可得12n n n a b n -⋅=⋅，即n a n =. ……… 5分当111n a ==时，，从而对一切n N *∈，都有n a n =. ……… 6分 所以数列{}n a 的通项公式是n a n =. ……… 7分 （2）法1：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. …… 8分 由（1）得，11122,(1)n n n n n n a b n b a n d--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥111122()n n n n b a da d nddn--⋅=--++＝ (11)分要使1n nb b +是一个与n 无关的常数，当且仅当10a d =≠ ………12分即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时， 数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=；…… 13分当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． ……… 14分 法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. …… 8分 由（1）得，12n n n a b n -⋅=⋅，即112(1)n n n b a n d-⋅=+-()2n ≥,若数列{}n b 是等比数列，则2111212[()]n nb dn a n a d b dn a n+++-=+ ………11分要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠. ………12分 即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时， 数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=，…… 13分 当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． …………… 14分20、已知长方形以AB 的中点o 为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系xoy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2) 过点P(0,2)的直线m 与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线m 的方程；(3)过点P(0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解 (1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为0⎡⎤⎣⎦,0⎤⎦,.⎤⎦设椭圆的标准方程是22221(0,0)x y a b ab+=>>.()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是22142xy+=(2)由题意直线的斜率存在,可设直线m 的方程为2(0)y kx k =+≠. 联立方程: 22224y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y整理得, 22(12)840k x kx+++=图20当2221(8)16(12)02k k k ∆=-+==±即,k=2，直线m 的方程为22y x =±+.（3）可设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠. 设M,N 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y 联立方程: 22224y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y 整理得, 22(12)840k x kx +++= 当2221(8)16(12)0>2k k k ∆=-+>即时有12122284,1212k x x x x kk+=-=++若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以12120x x y y += ,所以, 1212(2)(2)0x x kx kx +++= , 即21212(1)2()40k x x k x x ++++=所以,22224(1)16401212k kkk+-+=++ 即2284012k k-=+ 得212>,2k k ==所以直线l 的方程为2y =+,或2y =+.所以存在过P(0,2)的直线l :2y =+使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.。