第六章 统计分析

第六章统计分析

[本章提要]本章主要介绍了描述统计分析、直方图分析以及基于成对数据的t检验、双样本假设检验和样本率差异检验，并对其他的假设检验问题进行了概要的说明。

统计分析就是以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种合理的估计和判断。统计分析的内容十分丰富，本章主要介绍如何利用Excel 2000提供的数据分析工具进行描述统计和假设检验。

6.1 描述统计

描述统计的任务就是描述随机变量的统计规律性。要完整地描述随机变量的统计特性需要分布函数。但在实际问题中，求随机变量的分布函数并不是一件容易的事，另一方面对于一些问题也不需要去全面考察随机变量的变化规律，而只需知道随机变量的某些特征。例如，在研究某一地区居民的消费水平时，在许多场合只需知道该地区的平均消费水平；又如在分析某个年龄段儿童的生长发育情况时，常常关心的是该年龄段儿童的平均身高、平均体重；再如检查一批灯泡的质量时，既需要注意灯泡的平均寿命，又需要注意灯泡寿命与平均寿命的偏离程度，平均寿命较大、偏离程度较小，质量就较好。尽管这些数值不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。

6.1.1 常用描述统计量

随机变量的常用数字特征有：数学期望、方差、协方差、相关系数、矩等。其中，数学期望又称为均值描述了随机变量的集中程度，方差描述了随机变量的离散程度，是最常用的两个数字特征。

在统计分析中，样本是进行统计推断的依据，利用样本的函数就可以进行统计推断。若

是来自总体的一个样本，则由样本所构成的不含任何未知参数的连续函数就称为一个统计量。下面是一些常用的统计量。

1. 常用统计量

设是来自总体的一个样本，是这一样本的观察值或试验值，则常用统计量定义如下。

样本均值

样本方差

样本标准差

样本k阶（原点）矩

样本k阶中心矩

2. 偏度、峰度系数

根据中心极限定理可知，正态分布随机变量广泛地存在于客观世界，因此，当研究一连续型总体时，人们往往先考虑它是否服从正态分布。用来检验总体正态性的方法较多，但“偏度、峰度检验法”及“夏皮罗-威尔克法”较为有效，在此仅简单介绍偏度、峰度检验法，目的是引出偏态系数和峰度系数。

所谓随机变量x的偏度和峰度是指x的标准化变量的三阶中心矩和

四阶中心矩，其中分别是随机变量x的均值和方差。

偏度和峰度的计算公式定义如下。

偏度

峰度

偏度描述了随机变量分布相对其均值的不对称程度。峰度反映了与正态分布相比，随机

变量分布的尖锐度或平坦度。当随机变量x服从正态分布时，其偏度、峰度。

设是来自总体X的一个样本，是这一样本的观察值

或试验值，则的矩估计分别为：

样本偏度

样本峰度

其中是样本k阶中心矩。

若总体x为正态变量，是来自总体x的样本，则可以证明当n充分大

时，样本偏度g1、样本峰度g2分别依概率收敛于总体偏度和总体峰度。即，当总体x

为正态变量且n充分大时，g1与的偏离不应太大，而g2与的偏离也不应太大。

需要说明的是，在Excel 2000中，将样本偏度称为偏斜度，将样本峰度称为峰值，其计算公式分别为：

偏斜度

峰值

比较偏度、样本偏度和偏斜度以及峰度、样本峰度和峰值的计算公式可以看出，偏斜度就是样本偏度的估计值，峰值约等于样本峰度减去3。因此，若一组观察数据的偏斜度、峰值都接近于0，则可以认为这组数据是来自正态总体的。若其峰值为正，则表示与正态分布相比，其分布相对尖锐；若其峰值为负，则表示与正态分布相比，其分布相对平坦。

6.1.2 描述统计工具

对于一组数据（即样本观察值），要想获得它们的一些常用统计量，可以使用Excel 2000提供的统计函数来实现。例如A VERAGE（平均值）、STDEV（样本标准差）、V AR（样本方差）、KURT（峰度系数）、SKEW（偏度系数）、MEDIAN（中位数，即在一组数据中居于中间的数）、MODE（众数，即在一组数据中出现频率最高的数值）等。但最方便快捷的方

法是利用Excel 2000提供的描述统计工具，它可以给出一组数据的许多常用统计量，包括：

标准差等统计量，并判断是否来自正态总体（取=0.05）。

将所有的测试数据输入工作表中，本例存放在A1:A85区域中。

选择工具菜单中的数据分析命令。

这时将弹出数据分析对话框，如图6－1所示。

图6－1

在分析工具列表中，选择描述统计工具，单击确定按钮。

这时将弹出描述统计对话框，如图6－2所示。

图6－2

在输入框内指定输入数据的有关参数。

输入区域：指定要分析的数据所在的单元格区域。本例输入A1:A85。

分组方式：指定输入数据是以行还是以列方式排列的。这里选定逐列，因为给定的成年男子头颅的最大宽度是按列排列的。

标志位于第一行复选框：若输入区域包括列标志行，则必须选中此复选框。否则，不能选中该复选框，此时Excel自动以列1、列2、列 3 ……作为数据的列标志。本例选中此复选框。

在输出选项框内指定有关输出选项。

指定存放结果的位置：根据需要可以指定输出到当前工作表的某个单元格区域，这时需在输出区域框键入输出单元格区域的左上角单元格地址；也可以指定输出到新工作表组，这时需要输入工作表名称；还可以指定输出到新工作簿。本例选中将结果输出到输出区域，并输入左上角单元格地址C1。

汇总统计复选框：若选中，则显示描述统计结果，否则不显示结果。本例选中汇总统计复选框。

平均数置信度复选框：如果需要输出包含均值的置信度，则选中此复选框，并输入所要使用的置信度。本例键入95%，表明要计算在显著性水平为5%时的均值置信度。

第K大值复选框：根据需要指定要输出数据中的第几个最大值。本例选中第K大值复选框，并输入3，表示要求输出第3大的数值。

第K小值复选框：根据需要指定要输出数据中的第几个最小值。本例选中第K小值复选框，并输入3，表示要求输出第3小的数值。

单击确定按钮。

这时Excel 2000将描述统计结果存放在当前工作表的C1:D18区域中。如图6－3所示。