四边形动点专题训练
中考数学专题复习《四边形的动点问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《四边形的动点问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 菱形ABCD 的周长为8 60ABC ∠=︒ 点P Q 分别是BC BD 上的动点 则CQ PQ +的最小值为（ ）A ．2B 3C ．22D ．12．如图 矩形ABCD 中 6AB = 8BC = P 是边BC 上一个动点 连接PD 在PD 上取一点E 满足2PC PE PD =⋅ 则BE 长度的最小值为（ ）A ．6.4B 34C 733-D ．1343．如图 在矩形ABCD 中 10cm AB = 点E 在线段AD 上 且6cm AE = 动点P 在线段AB 上 从点A 出发以2cm/s 的速度向点B 运动 同时点Q 在线段BC 上．以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动 当EAP 与PBQ 全等时 v 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4或65D ．2或1254．如图 点D 是ABC 的边AB 的延长线上一点 点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）以,BD BF 为邻边作平行四边形BDEF 又,AP BE AP BE =∥（点P E 在直线AB 的同侧） 如果14BD AB =那么PBC 的面积与ABC 面积之比为（ ）A ．14B ．35C ．15D ．345．如图 在矩形ABCD 中 6AB = 8BC =．点E 在边AD 上 且6ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 P 是线段CE 上的动点 连接PM PN 使PM PN =．当PM PN +的值最小时 线段PC 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．如图 在四边形ABCD 中 AD BC ∥ 30,60,6,4B C AB AD ∠=︒∠=︒==EF 是BC 上的两动点 且4EF = 点E 从点B 出发 当点F 移动到点C 时 两点停止运动．在四边形AEFD 形状的变化过程中 依次出现的特殊四边形是（ ）A ．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→正方形→菱形D ．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形7．如图 在正方形ABCD 中 E 为对角线AC 上与A C 不重合的一个动点 过点E 作EF AB ⊥与点F EG BC ⊥于点G 连接DE FG 若AED a ∠= 则EFG ∠=（ ）A ．90a -︒B ．180a ︒-C ．45a -︒D ．290a -︒8．已知 如图 菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上 点()3,0A - ()0,4B ()6,0E ．点P 是菱形ABCD 边上的一个动点 连接PE 把PE 绕着点E 顺时针旋转90︒得到FE 连接PF ．若点P 从点C 出发 以每秒5个单位长度沿C D A B C →→→→方向运动 则第2025秒时 点F 的坐标是（ ）A ．()6,9B ．()10,6-C ．()10,6D ．()2,6二 填空题9．如图 在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点 点P 是对角线AC 上的动点 连接PB PE 则PB PE +的最小值是 ．10．如图 在矩形ABCD 中 6AB = 12AD = E 是线段AD 上一动点 以E 为直角顶点在EB 的右侧作等腰三角形EBF 连接DF 设DF t = 当t 为整数时 点F 位置有 个．11．如图 MEN ∠＝90︒ 矩形ABCD 的顶点B C 分别是MEN ∠两边上的动点 已知BC ＝10 CD ＝5 点D E 之间距离的最大值是 ．12．如图 正方形ABCD E 为与点D 不重合的动点 以DE 为一边作正方形DEFG ．连CF CG 当DE CF CG ++的值最小时 正方形DEFG 的边长为 ．13．如图 正方形ABCD 中 P 为BD 上一动点 过点P 作PQ AP ⊥交CD 边于点Q ．点P 从点B 出发 沿BD 方向移动 若移动的路径长为6 则AQ 的中点M 移动的路径长为 ．三 解答题14．在正方形ABCD 中 点E 为边BC 上一个动点（点E 不与点B C 重合） 连接AE 点F 在对角线AC 的延长线上 连接EF 使得EF AE =．作点F 关于直线BC 的对称点G 连接CG EG ，．(1)依题意补全图形 (2)求证：BAE GEC ∠=∠(3)用等式表示线段AC CE CG ，，之间的数量关系 并证明．15．如图 矩形ABCD 中 AD AB > 点P 是对角线AC 上的一个动点（不包含A C 两点） 过点P 作EF AC ⊥分别交射线AB 射线AD 于点E F ．(1)求证：AEF BCA △∽△ (2)连接BP 若BPAB且F 为AD 中点 求APPC的值 (3)若2=AD AB 移动点P 使ABP 与CPD △相似 直接写出AFAB的值．16．在梯形ABCD 中 已知DC AB ∥ 90DAB ∠=︒ 3DC = 6DA = 9AB = 点E 在射线AB 上 过点E 作EF AD ∥ 交射线DC 于点F 设AE x =．(1)当1x =时 直线EF 与AC 交于点G 如图1 求GE 的长 (2)当3x >时 直线EF 与射线CB 交于点H ．①当39x <<时 动点M （与点A D 不重合）在边AD 上运动 且AM BE = 联结MH 交AC 于点N 如图2 随着动点M 的运动 试问:CH HN 的值有没有变化 如果有变化请说明你的理由 如果没有变化 请你求出:CH HN 的值 ①联结AH 如果HAE CAD ∠=∠ 求x 的值．17．如图1 在ABCD 中 60A ∠=︒ 4=AD 8AB =．(1)请计算ABCD 的面积(2)如图2 将ADC △沿着AC 翻折 D 点的对应点为D 线段CD '交AB 于点M 请计算AM 的长度(3)如图3 在（2）的条件下 点P 为线段CM 上一动点 过点P 作PN AC ⊥于点NPG AD '⊥交AD '的延长线于点G ．在点P 运动的过程中7PN PG +的长度是否为定值？如果是 请计算出这个定值 如果不是 请说明理由．18．如图1 四边形ABCD 中AD BC ∥90B 4tan 3C = 10CD =．(1)线段AB =(2)如图2 点O 是CD 的中点 E F 分别是AD BC 上的点 将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合．①当点E 从点D 运动到点A 时 点G 走过的路径长为52π 求AD 的长①在①的条件下 若E 与A 重合（如图3）Q 为EF 中点 P 为OE 上一动点 将FPQ 沿PQ 翻折得到F PQ ' 若F PQ '与APF 的重合部分面积是APF 面积的14求AP 的长．参考答案：1．B 2．C3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 910．1111．5+51213．14．（1）解：如图所示（2）解：①正方形ABCD ①45BAC ACB ∠=∠=︒ 90B①AE EF = ①EAC EFC ∠=∠①45BAE EAC BAC ∠+∠=∠=︒ ①45FEC EFC ACB ∠+∠=∠=︒ ①BAE FEC ∠=∠①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①HEF GEC ∠=∠ ①BAE GEC ∠=∠ （3）解：AC CG =+ 证明：①正方形ABCD ①AB BC = 45ACB ∠=︒ 90B①AC =①45FCH ACB ∠=∠=︒①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①45GCH FCH ∠=∠=︒ EF EG = ①AE EG =①FH BC ⊥交BC 延长线于H ①90GHC ∠=︒ ①45HGC HCG ∠=∠=︒ ①CH GH = ①2CG CH = ①2CH =在ABE 和EHG 中 BAE GEH B EHGAE EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS ABE EHG ≌ ①AB EH = ①EH CE CH =+①)2222AC CE CH CE CE CG ⎫=+==+⎪⎪⎭即2AC CE CG +．15．（1）证明： 四边形ABCD 是矩形 EF AC ⊥90ABC FAE ∴∠=∠=︒ 90APE ∠=︒ 90AEF EAC ∴∠+∠=︒ 90BCA EAC ∠+∠=︒ AEF BCA ∴∠=∠ AEF BCA ∴∽（2）BP AB =BAP BPA ∴∠=∠90BAP E BPA BPE ∠+∠=︒-∠+∠E BPE ∴∠=∠12AB BP BE AE ∴===设BC 交FE 于点G四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC =AFE BGE ∴∽12BG BE AF AE ∴== 12BG AF ∴= 1122AF AD BC ∴== 34CG BC BG AD ∴=-= AD BC ∥AFP CGP ∴∽122334ADAP AF PC GC AD ∴===（3或54．理由如下：四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC = AB CD =①当ABP CDP ∽△△时 1AP ABCP DC== ∴P 是AC 的中点AD BC ∥ACB FAP ∴∠=∠ tan tan ACB FAP ∴∠=∠即12PF AB AB AP BC AD === 设PF a = 则2AP a =5AF a ∴= 4AC a =2222(2)5AC AB BC AB AB AB =++455AB a ∴ 554455AF a AB a == ①当ABP CPD ∽时 AP AB CD CP= AP CP AB CD ∴⋅=⋅设AB CD x == AP t =则2AD BC x == 225AC AB BC x +5CP x t ∴=-2(5)t x t x ∴-=解得51x ± 51AB ±∴= 由①知12PF AB AB AP BC AD === 1122PF AP t ∴==5AF ∴=AFAB∴==554AFAB-∴=或554+或54．16．（1）DC AB∥①CFG AEG∽∴FC FGAE EG=EF AD∥∴四边形AEFD是平行四边形DF AE∴=AD EF=1AE x==1DF∴=3CD=2CF∴=又6AD=6EF∴=6FG EG∴=-∴261EGEG-=2EG（2）①:CH HN的值没有变化．过点C作CG AB⊥于点G6CG AD ∴== 3DC AG ==9AB =6GB ∴=CGB ∴是等腰直角三角形222CB CG GB ∴=+62CB ∴=45B ∠=︒ 90HEB ∠=︒45EHB ∴∠=︒B EHB ∴∠=∠HE BE ∴=AM BE =AM HE ∴=AM HE ∥∴四边形AMHE 是平行四边形A MHB ∴∥CNH CAB ∴∽ ∴CH CB HN AB= 9AB = ∴6222CH HN == ①当39x <<时 由①得HE BE =9HE x ∴=-在Rt CDA △中 31tan 62CD CAD AD ∠=== 在Rt AEH △中 9tan HE x HAE AE x-∠== CAD HAE ∠=∠∴192x x-= 6x ∴=当9x >时 同理可得BE EH =9EH x BE ∴=-= 同理12EH AE = ∴912x x -= 18x ∴=综上所述 x 的值为6或18．17．（1）解：作CE AB ⊥交AB 延长线于点E①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ 60DAB CBE ∠=∠=︒ 4AD BC == 8AB CD ==在Rt CBE △中 122BE BC == =CE①ABCD 的面积为8AB CE ⨯=⨯=（2）解：①四边形ABCD 是平行四边形①AB CD ∥①ACD CAB ∠=∠由折叠的性质得ACD ACM ∠=∠①ACM CAM ∠=∠①MA MC =设MA MC x == 则10ME AB BE AM x =+-=-在Rt CBE △中 由勾股定理得()(22210x x =-+解得： 5.6x = 即AM 的长度为5.6（3）解：①10AE AB BE =+= CE =①2247AC AE CE =+①ACM CAM ∠=∠ 90AEC CNP ∠=∠=︒①AEC CNP ∽△△ ①2334727PN CE CP AC ==37PN 由折叠的性质得CAD CAD '∠=∠ ①60CAD CAM ∠+∠=︒①60CAD ACM CD G ''∠+∠=︒=∠过点C 作CF AG ∥交GP 的延长线于点F①PG AD '⊥①PF CF ⊥ 60PCF CD G '∠=∠=︒ ①12CF CP = 223PF CP CF =-= 37PN PF == 7PN PG +的长度是FG 的长度过点C 作CH AG ⊥交AG 的延长线于点H①四边形CFGH 是矩形①FG CH = 由折叠的性质得8C D CD '==又60CD H '∠=︒ ①142D H CD ''== ①2243CH CD D H ''-综上 7PN PG +的长度是定值 这个定值为318．（1）解：如图1作DG BC ⊥于G①90DGB ∠=︒①AD BC ∥ 90B ∠=︒①18090A B ∠∠=︒-=︒①四边形ABGD 是矩形①AB DG = ①4tan 3C =①4sin 5C = ①4sin 1085AB DG CD C ==⋅=⨯= 故答案为：8（2）解：①如图2作AH CD ⊥ 交CD 的延长线于点H①AD BC ∥①ADH C ∠=∠ ①4tan 3AH ADH DH =∠= 设4AH a = 3DH a = 则5AD a =①DEO 沿着EO 翻折得GEO①OG OD = DOE GOE ∠∠=①点G 的轨迹是以O 为圆心 5为半径的弧 ①551802n ππ⋅⋅= ①90n =︒①45AOE ∠=︒ ①tan 1AH AOD OH=∠= ①4OH AH a ==由OH DH OD -=得435a a -=①5a =①420OH a == 525AD a ==①①将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合 ①DOE GOE ∠∠= COF GOF ∠∠=①90EOF ∠=︒①45AOD ∠=︒①45COF ∠=︒如图3作FW CD ⊥于W 设QF '交AP 于R ①4tan 3FW C CW == 设4FW x = 3CW x = ①tan 1FW COF OW∠== ①4OW FW x ==由OW CW OC +=得435x x += ①57x =①2047FW OW x ===①OF =由①知： AO ==①2007AF == 当QF '交AP 于R 时 取OA 的中点X 连接QX ①Q 是AF 的中点 ①QX OF ∥①12QX OF == 90AXQ AOF ∠∠==︒ 12APQ PQF APF S S S == ①14PQR APF S S = ①12PQR APQ S S =①点R 是AP 的中点由折叠得：PQF PQF '∠=∠ ①2QR AP AQ AR== ①15027RQ AQ ==①RX ==①AR AX RX =-=①2AP AR ==如图4当PF '交AQ 于R 时同理可得：R 是AQ 的中点2PF FQ PR RQ== ①2PF PF PR '==①R 是PF '的中点①四边形APQF'是平行四边形①110027 AP QF QF AF='===综上所述：8032AP=1007．。
初中数学几何动点训练题--四边形类(含答案)
几何动点训练题1一、单选题（共8题；共16分）1.（2020·绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形2.（2020八下·泰兴期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形3.（2020八下·杭州期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点(不与点C、D重合)，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G。
若FD=5AF，则CE：ED的值为( )A. 6-2B.C. -1D.4.如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点C运动终止，连接，设运动时间为xs，的面积为，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A. B. C. D.5.（2019九上·遵义月考）如图，正方形边长为4个单位，两动点、分别从点、处，以1单位/ 、2单位/ 的速度逆时针沿边移动.记移动的时间为，面积为（平方单位），当点移动一周又回到点终止，同时点也停止运动，则与的函数关系图象为（）A. B. C. D.6.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC 边上,以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q 也停止),在这段时间内,线段PQ有（）次平行于AB?A. 1B. 2C. 3D. 47.（2019八下·滦南期末）如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A. ②③B. ②⑤C. ①③④D. ④⑤8.（2019九下·江阴期中）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）A. 变大B. 先变大后变小C. 先变小后变大D. 不变二、填空题（共8题；共9分）9.（2020·嘉兴·舟山）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN=1cm。
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。
特殊四边形中的动点问题专项训练题
特殊四边形中的动点问题专项训练题一选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝．点M是AD边的中点，点N是AB边上的一个动点．将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值为（）A．5 B．7 C．4D．52．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B． C．1﹣D．1﹣3．我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（）A．2 B．6 C．12 D．245．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒个单位的速度沿AC运动到点C，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3√2；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6√2．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①③④D．①③9．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（）①AB2＝BF•AE②S△BGF：S△BAF＝2：3③当AB＝a时，BD2﹣BD•HD＝a2A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝2√2；⑤EP•DH＝2AG•BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤二填空题11．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9cm．点P以1cm/s的速度由A点向D点运动，同时点Q以2 cm/s的速度由C点向B点运动，当点P，Q运动s时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，CF的长为．13．如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是．14．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC＝S菱形，则PB+PC的最小值为．ABCDB C A M NP F E15．如图，在矩形OAHC 中，OC ＝8，OA ＝16，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （0＜t ＜16）秒，则t＝时，△CMN 为直角三角形．三 解答题16．如图，△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．(1)求证：PE ＝PF ；(2)当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是矩形吗？说明理由；(3)若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝32．求此时∠A 的大小．17．▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P 是AO 上一动点，点Q 是OC 上一动点（P ，Q 不与端点重合），且AP=OQ ，连接BQ ，DP ．（1）线段PQ 的长为 ；（2）设△PDO 的面积为S 1，△QBO 的面积为S 2，S 1+S 2的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着AP 的增大，S 1+S 2的值是如何变化的；（3）DP+BQ 的最小值是 ．18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝10，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A ，D 不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ，我们知道，结论“Rt △AEP ∽Rt △DPC ”成立．（1）当∠CPD ＝30°时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．20．如图，在口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，，对角线BD、AC交于点O．将直线AC 绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．(1)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；(2)证明：当旋转角为90⁰时，四边形ABEF是平行四边形；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．21．如图①，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形CEGF是菱形；（2）如图②，若AB＝3，BC＝9，当点G与点A重合时，求折痕EF的长．22．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想△GFC的形状并说明理由．（2）取DF中点M，连结MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．23．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．24．如图，四边形OABC为矩形，OA＝4，OC＝5，正比例函数y＝2x的图象交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了ts．（1）求△PCQ的面积S△PCQ＝？（用t的代数式表示）；（2）问：是否存在时刻t使S△DOP＝S△PCQ？为什么？（3）当t为何值时，△DPQ是一个以DP为腰的等腰三角形？25．如图1，平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝10，点P是BC边上的点，连结AP，以AP 为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP．（1）如图1，连接CQ，若CQ∥AP，求BP的长；（2）如图2，当点P，Q，D三点共线时，恰有∠DCQ＝∠DPC，求BP的长；（3）如图3，若点P在边BC运动的过程中，点Q到CD的最短距离为1，求BP的长．26．矩形ABCD的边长AB＝18cm，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在CD边的点F处，∠BAE＝30°．（1）如图1，求DF的长度；（2）如图2，点N从点F出发沿FD以每秒1cm的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿AF以每秒2cm的速度向点F运动，运动时间为t秒（0＜t＜9），过点P作PM⊥AD，于点M．①请证明在N、P运动的过程中，四边形FNMP是平行四边形；②连接NP，当t为何值时，△MNP为直角三角形？27．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE 交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．28．如图1，在正方形ABCD中，边长为2a，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：AF＝BE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DG＝2a；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．29．如图，点F在四边形ABCD的边AB上．（1）如图1，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，①如图2，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；②如图3，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，请直接写出DE的值．30．如图，矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若a＝4厘米，t＝1秒，则PM＝厘米；（2）若a＝5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题03特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠= ，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,90,120,12cm,15cm AD BC A B ADC AD BC ∠=∠=︒∠=︒==∥，点P 自点A 沿折线AD DC -以1cm/s 的速度运动，点Q 自点C 沿向CB BA -以1cm/s 的速度运动．点P ，Q 同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为(s)t ．(1)当P 在AD 边上，点Q 在BC 边上时，如图1．①用含t 的代数式表示：DP =___________，BQ =___________；②若四边形APQB 是平行四边形，求t 的值？(2)求BPQ V 的面积S 与运动时间t 之间的数量关系式，并写出t 的取值范围．【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB =12，BC =18，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿类型二、几何图形存在性问题长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D E ，运动的时间是t 秒()0t >．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF ．(1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．例2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿B C D →→方向向点D 运动，动点Q 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿A B →方向向点B 运动，若P 、Q 两点同时出发运动时间为s t ．(1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为27cm ？(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，(1)填空：AB =；菱形ABCD 的面积S =；菱形的高h =．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．类型三、直线位置关系问题例1．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，5AC =，4BC =，点D 是边AB 的中点，动点P 从点A 出发(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示(1)分别求BD和BE的长度；(2)连接PQ，当95t=时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由；(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，DC 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？2．如图，在ABC 中，6cm AC =，=8cm BC ，点O 以每秒1cm 的速度由点A 向点C 运动(不与点C 重合)，过点O 作直线MN BC ∥，BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，ACB ∠的平分线CE 于点.E 设运动时间为t 秒．发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是______，请写出理由．(2)当=2t 时，=EF ______cm ．探究：当=t ______时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论．拓展：若点O 在运动过程中，能使四边形AECF 是正方形，试写出线段AB 的长度．(直接写出结论即可)3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边(1)当运动时间为秒时，点P与点Q相遇；∥时，求线段DQ的长度；(2)当BQ PD全等时，求t的值．(3)连接PA，当PAB和QAD(1)CB的长为______．(2)用含t的代数式表示线段QB的长．(3)连接PQ，=；(1)求证：PE DQ(1)=a______cm，b=______cm；(2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？(1)当2t =时，BP =___________cm ；(2)当t 为何值时，连接,,CP DP CDP △是等腰三角形；(3)Q 为AD 边上的点，且6DQ =，P 与Q 不重合，当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与DCQ 全等．。
八年级数学平行四边形中的动点问题专题练习
八年级数学平行四边形中的动点问题专题练习1、如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；的最大值与最小值．（2）求EF2、在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1cm/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3cm/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t 秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？,3、如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？AM O F NEB C D4、如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
（1）求证：EO FO =；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
5、（1）如图1，纸片□ABCD 中，AD ＝5，S □ABCD ＝15，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE ，将它平移至△DCE '的位置，拼成四边形AEE 'D ，则四边形AEE 'D 的形状为（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE 'D 中，在EE '上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF ，剪下△AEF ，将它平移至△DE 'F '的位置，拼成四边形AFF 'D ．①求证：四边形AFF 'D 是菱形；②求四边形AFF 'D 的两条对角线的长。
四边形动点题型专项训练
四边形动点题型专项训练所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。
数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
专题一：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
（一）因为动点求线段长的最小值例1、如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）A、PB=PCB、PA=PDC、∠BPC=90°D、∠APB=∠DPC例2、（2011•日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．例3、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP= 时，四边形APQE的周长最小．例4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，点F是AC上的一个动点．若四边形AECD是菱形，△ABE的周长为6cm，则BF+EF的最小值是cm．例5、如图，四边形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的动点，若PM+PN的最小值是1，则菱形ABCD的面积是．例6、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）例7、边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．（Ⅰ）证明：AE+AF=CE+CF；（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四边形AECF的面积．（二）梯形中的动点问题例1、如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？例2、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D 以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？例3、（2011•新疆）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．（三）三角形中的动点问题例1：如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动例2：已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△D CQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PC D和△QC D的面积有什么关系？并说明理由．例3：如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．（四）特殊平行四边形中的动点问题例1：如图：边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a，证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是等边三角形．例2：如图，正方形ABCD中，边长为2，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N（1）当点P与C、D重合时，DM+BN的值分别为（2）当点P不与C、D重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．例3：如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边形？例4：如图所示，正方形ABCD的边长为6cm，点E为AB边上的一点，且AE=2cm，动点M由C点开始以3cm/s的速度沿折线CBE移动，动点N同时由D点以1cm/s的速度沿边DC移动，请问多长时间后，顺次连接点E，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形？CBPD AQ（六）与平面直角坐标系结合的动点问题例1：已知直角梯形OABC 在如图所示的平面直角坐标系中，AB ∥OC ，AB=10，OC=22，BC=15，动点M 从A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，同时动点N 从C 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O 点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动． （1）求B 点坐标； （2）设运动时间为t 秒；①当t 为何值时，四边形OAMN 的面积是梯形OABC 面积的一半； ②当t 为何值时，四边形OAMN 的面积最小，并求出最小面积；③若另有一动点P ，在点M 、N 运动的同时，也从点A 出发沿AO 运动．在②的条件 下，PM +PN 的长度也刚好最小，求动点P 的速度．例2：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（5，4），点P 为BC 上动点，当△POA 为等腰三角形时，点P 坐标为 ．例3：如图，坐标平面内一点A （2，-1），O 是原点，P 是x 轴上一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为 ．解决动态几何问题的常见方法有:一、特殊探路，一般推证 二、动手实践，操作确认 三、建立联系，计算说明练习1：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为练习2：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。
专题训练 平行四边形动点经典题型
-3，0），（0，的坐标分别是（6），动点P如图，在平面直角坐标系中，点A从点，OB出发，沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s是平行四PCDA运动多少秒时，四边形P）当点1（．P的坐标；边形并求此时点（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，∠B=90°，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动、P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），（1）问t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？可能是菱形吗为什么PQCD）在某一时刻，四边形2（ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E已知，矩形、F，垂足为O。
（1）如图1，连接AF、CE，求四边形AECF为菱形，AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点满足的数量关系式。
2023年中考数学高频考点提升练习--四边形的动点问题
2023年中考数学高频考点提升练习--四边形的动点问题一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点(不与点C、D重合)，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G。
若FD=5AF，则CE：ED的值为()A．6-2 √3B．√10−52C．√3-1D．√1042．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（）A．5B．3或5C．103D．103或53．如图，已知AB=8，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正方形APCD，以PB 为底作等腰△PBE，连接CE，则△PCE的面积的最大值是（）A．3√2B．4C．4.2D．4√24．如图，在矩形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，已知AB＝9，BC＝12，点P在矩形ABCD的边上，则满足PE+PF＝12的点P的个数是（）A．2B．4C．6D．85．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y，其中2<x⩽5．则下列结论中，正确的个数为（）△y与x的关系式为y=x−4x；（2）当AP=4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP=4时，tan∠EBP=35．A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发在边AB上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边BC上运动．分别连接AQ，DP，AQ与DP相交于点E，连接BE，则线段BE的最小值为（）A．√5B．2√2C．2√2−1D．2√5−27．如图，已知正方形ABCD的边长为4, P是AB边上的一个动点，连结PD，作PQ△PD交BC边于点Q．当点P从点A出发向终点B运动时，点Q所经过的路径长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E是AB上的点，且AE=2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C−D−A−E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为（）A．98或194B．194或98或274C．94或6D．6或94或274二、填空题9．如图在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E为对角线AC上的动点，EF△DE交BC边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.（1）当AE=2时，求EDEF=；（2）点H在AD上且HD=3，连接HG，则HG的取值范围是.10．如图，在直角梯形ABCD中，AD△BC，△C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.当t为时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s 的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为秒时，△MBN为等腰三角形．12．如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m。
四边形有关动点专题
《四边形有关动点》专题班级姓名天下没有不散的筵席。
【例题】15.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD 中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A B C D9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B C D→→作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是( )8.已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD.1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．A．B．C．D．D CPBA第9题（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？2.如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC=14cm ，A 点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动，设运动时间为ts （0≤t ≤4）．（1）求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形．（2）求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ 的函数关系式．3.如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为 （－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终图2点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2.① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值.。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--四边形的动点(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--四边形的动点1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=16，DC= 12，AD=21，动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？2．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）3．如图1，在矩形ABCD中，AD=4,CD=2，点M从点A出发向点D移动，速度为每秒1个单位长度，点N从点C出发向点D移动，速度为每秒2个单位长度.两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为t，当t为何值时，ΔAMB∼ΔDNA？（2）在（1）的情况下，猜想AN与BM的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当AB=CD=2时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则t=.2）中的结论仍成立，则②当ADAB=n(n>1)，AB=2时，其他条件不变，若（t=（用含n的代数式表示）.4．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，延长OD到点G，延长OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，以OG，OE为临边做正方形OEFG，连接AG，DE．（1）探究AG与DE的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD，以点O为旋转中心，将图1中的方形OEFG逆时针转n°（0<n<180）得到正方形OE1F1G1，如图2，①在旋转过程中，当∠OAG1=90°时，求n的值；②在旋转过程中，设点E1到直线AG1的距离为d，若正方形ABCD的边长为1，请直接写出d的最大值与最小值，不必说明理由．5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD，BC＝7cm，点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→D运动，到点D停止，点Q以3cm/s的速度沿B→C→D运动，到点D停止．设点P的运动时间为t（s），∠PBQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点C时，点P在AD上，此时S＝14（cm2）．（1）求CD的长；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．6．如图（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）（解决问题）如图③，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．7．在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN∠DM，且MN = 32DM，连接DN.（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E.①求证：∠ABD∠∠MND；②求证：∠CBN=∠DNM；（2）如图②，当AM=4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上.8．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD//BC//x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE，DE的长满足√AE−3+|DE−1|=0．（1）求点A的坐标；（2）若P(−4，−1)，求△EPC的面积；（3）在（2）的条件下，正方形ABCD的边上是否存在点M，使S△EPC=2S△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知，如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AD=CD=6，tanB=3，动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE∠BC，交折线BA-AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，设点P的运动时间为t 秒（t＞0）（1）当t为何值时，点F恰好落在CD上？（2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请求S关于t之间的函数关系式；（3）当F在CD右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形ABCD重叠部分的面积比为1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过点Q作QM∠BC，交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若两个等腰直角三角形分别有一条边恰好在一条直线上，请直接写出t的值．10．如图，在四边形ABCD中,AB// DC,CB∠AB.AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s。
八年级数学 四边形动点问题专题训练
四边形动点问题专题训练基础练习：1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 （ ）A.2B. 2.5或3.5C. 3.5或4.5D. 2或3.5或4.52、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是______________3.已知四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8,AD=18,BC=20,点P 以每秒钟1个单位长度的速度从点A 出发向点D 运动.（1）当运动时间为t 秒，则AP=______,PD=______;当t=_____时，△PCD 的面积等于40.（2）设运动时间为t 秒， △PCD 的面积为S ，则S 与t 之 间的函数关系式为：______________. 能力提升：1、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD=9cm ，BC=6cm.点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，几秒后直线PQ 将四边形ABCD 截出一个平行四边形.B A DC P2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝42，∠C＝45°，点P是BC边上的一动点，设PB的长为x。
（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)动点问题专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形动点问题训练1.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对着得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P在BC何处时，点N是MQ的中点．（3）若AB=3，P是BC的三等分点，求QM的长；2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的动点，连接AE，以AE为边在AE的右上侧作Rt△AEF，使得∠AEF=90°，AE=EF，再过点F作FG⊥BC，交BC的延长于点G．（1）求证：∠BAE=∠GEF；（2）求证：CG=FG；（3）填空：若正方形ABCD的边长是2，当点E从点B运动到点C的过程中，点F也随之运动，则点F运动的痕迹的长是______．3.如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC 中点．（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的关系，并说明理由；（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．4.如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=______度；（2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．6.如图，边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．（1）求证：∠DEF+∠CBF=90°；，求△BEF的面积；（2）若AB=3，△BCF的面积为32（3）求证：DE=2CF．8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：△NDE≌△MAE；（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．9.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≅△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2＋13．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH＝2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；（2）若△FCG的面积等于3，求DG的长；（3）试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值.12.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．13.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB=90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE=CD，点P是DE的中点.(1)如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；(2)如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G分别是OB、OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并说明理由.15.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1）求证：△ABF≌△BCE.（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长.16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设每秒运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形．参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CBP=CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；（2）解：由折叠的性质得：NQ=CQ，∠BNQ=∠C=90°，∠NBQ=∠CBQ，∴∠BNM=90°，∵点N是MQ的中点，∴NQ=MN，由（1）得：MQ=MB，∴MN=12MB，∴∠MBN=30°，∴∠CBN=60°，∴∠NBQ=∠CBQ=30°，∴CQ=33BC，∴BP=CQ=33BC，即BP=33BC时，点N是MQ的中点．（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，P是BC的三等分点，∴BP=2CP，或CP=2BP，①当BP=2CP时，BP=2，由折叠的性质得：NQ=CQ=BP=2，BN=BC=3，∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB，设MQ=MB=x，则MN=x-2，在Rt△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x 2=32+（x -2）2，解得：x =134，即MQ =134；②当CP =2BP 时，BP =1，由折叠的性质得：NQ =CQ =BP =1，BN =BC =3，∵∠NQB =∠CQB =∠ABQ ，∴MQ =MB ，设MQ =MB =x ，则MN =x -1，在Rt △MBN 中，MB 2=BN 2+MN 2，即x 2=32+（x -1）2，解得：x =5，即MQ =5；综上所述，若AB =3，P 是BC 的三等分点，QM 的长为134或5．2.解：（1）∵∠AEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠GEF ，（2）在△ABE 和△EGF 中，∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ），∴BE =GF ，AB =EG ，∴BE =CG ，∴CG =FG ；（3）223.解:（1）当点P在线段AO上时PE=PD且PE⊥PD.理由：当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中AB=AD∠BAP=∠DAP=45∘AP=AP∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,如图，过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,∵AC平分∠BCD，∴PM=PN，在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE,PM=PN∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EP N,易得∠MPN=90∘,∴∠DPE=90∘,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;（2）当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；如图2,当点P在线段OC上时，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，又PA=PA，∴△BAP≌△DAP(SAS)，∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD，①当点E与点C重合时，PE⊥PD；②当点E在BC的延长线上时，如图2所示，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∠CDP=∠CBP，∵PB=PE，∴∠CBP=∠PEC，故∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PE⊥PD，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；4.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠BAD=60°∴△ADB是等边三角形∴AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD∴△ADE≌△DBF（SAS）∴∠ADE=∠DBF又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB∴∠BGE=∠ADB=60°（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由（1）得∠ADE=∠DBF∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB又∠DEB=∠MDC∴∠CBF=∠CDM∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED∴点C在∠BGD的平分线上即GC平分∠BGD5.856.（1）证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO=90°，∠MFO=90°，∵正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴∠EOF=90°，∴四边形OEMF为矩形；（2）解：∵边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴利用勾股定理可以得到OA=OB=42，当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值=OE2+OF2=(22)2+(22)2=4.7.证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵∠EFB=90°，∴∠BFN +∠EFM =90°，∴∠MEF =∠BFN ，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．∴MN ⊥BC ，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠FBN +∠MEF =90°，即∠DEF +∠CBF =90°；证法二：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEB +∠CBE =180°，即∠DEF +∠BEF +∠EBF +∠CBF =180°，∵∠EFB =90°，∴∠BEF +∠EBF =90°，∴∠DEF +∠CBF =90°；（2）由（1）得MN ⊥AD ，∴正方形ABCD 的性质得四边形MNCD 是矩形，∴MN =CD =AB =3，在△BFN 与△FEM 中，由（1）得∠MEF =∠BFN ，∠EMF =∠FNB =90°，∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BF =EF ，在△BFN 与△FEM 中，∠EMF =∠FNB ∠MEF =∠BFN BF =EF，∴△BFN ≌△FEM （AAS ），∵BC =AB =3，∴S △BCF =12BC ⋅FN =32FN =32，∴FN =1．∴BN =FM =MN -FN =2，在Rt △BFN 中，EF =BN 2+FN 2=12+22=5，∴S △BEF =12BF 2=12×(5)2=52；（3）在△BFN与△FEM中由（2）△BFN≌△FEM，MD=NC，∴BN=FM，EM=FN，∵MN=AB=BC，∴FM+FN=BN+NC，∴FN=NC=MD=EM，∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN，CF，在Rt△FNC中，CN=22∴DE=2×2CF=2CF．28.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAEDE=AE，∠DEN=∠AEM∴△NDE≌△MAE（ASA）；（2）∵△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（3）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．9.解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，∴CE+CG=8是定值．10. (1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,∴FH //BE ,FH =12BE ,∴∠CFH =∠CBG .又∵点G 是BE 的中点,∴FH =BG .又∵BF =FC ,∴△BGF ≅△FHC .(2)连接EF ,GH .当四边形EGFH 是正方形时,可知EF ⊥GH且EF =GH .∵在△BEC 中,点G ,H 分别是BE ,EC 的中点,∴GH =12BC =12AD =12a ,且GH //BC ,∴EF ⊥BC .又∵AD //BC ,AB ⊥BC ,∴AB =EF =GH =12a ,∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =12a ⋅a =12a 211.解：（1）∵四边形EFGH 为正方形，∴HG =HE ，∠ADG =∠HAE =90°，∵∠DHG +∠AHE =90°，∠DHG +∠DGH =90°，∴∠DGH =∠AHE ，∴△DGH ≌△AHE （AAS ），∴DG =AH =2；（2）如图，作FM⊥DC，M为垂足，连结GE．∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEG-∠HEG＝∠MGE-∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，又∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离恒等于2，∴S▵FCG=1×2⋅GC=3，2解得GC＝3，∴DG＝2；（3）设DG＝x，则CG＝5-x，由（2）可知，S△FCG＝5-x．要使△FCG的面积最小，须使x最大，∵在Rt△DHG中，DH=13，∴当GH取得最大时，x最大当点E与点B重合时，HE最大，此时，HE=22+52=29，则GH=HE=29，在Rt△DHG中，x=(29)2−(13)2=4，∴当DG＝4时，△FCG的面积取得最小值．12.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∠AEB=∠BFC∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．13.解：（1）AP=1DE，理由如下：2连接AE.∵CE⊥CD，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，CE=CD∠ACE=∠BCD，AC=BC∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∵P为DE中点，DE.∴AP=12（2）①当Q在边AB上时，连接AE，EQ.∵P 为DE 中点，CE =CD ，∴PC 垂直平分DE ，∴DQ =QD ，∵AB =5，AQ =2，∴BD =3，设BD =AE =x ，则QD =EQ =3-x ，在Rt △AEQ 中，AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(3-x )2解得x =56;当Q 在BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，如图，设BD =AE =x ，同理可得AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(7-x )2解得x =4514.综上可得BD =56或4514.14.解析 四边形DEGF 是平行四边形.理由:∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点,∴DE =12BC ,DE //BC ,∵F、G分别是OB、OC的中点,BC,FG//BC,∴FG=12∴DE=FG,DE//FG,∴四边形DEGF是平行四边形15.（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC=90°，∴∠GCB=∠FBA，又∵BC=AB，∠FAB=∠EBC=90°，在△ABF与△BCE中，∠GCB=∠FBABC=AB，∠EBC=∠FAB∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB=1，∵AB=2，∴BC=2，∴CE=BC2+EB2=22+12=5，在Rt △CEB 中，由CE •BG =EB •BC 得BG =EB ⋅BC CE =1×25=255，∴CG =455，∵∠DCE +∠BCE =∠BCE +∠CBF =90°，∴∠DCE =∠CBF ，又∵DC =BC =2，∠CHD =∠CGB =90°，在△CHD 与△BGC 中，∠CHD =∠CGB =90°∠DCE =∠CBF DC =BC，∴△CHD ≌△BGC （AAS ）∴CH =BG =255，∴GH =CG -CH =255=CH ，∵DH =DH ，∠CHD =∠GHD =90°，在△DGH 与△DCH 中，GH =CH ∠GHD =∠CHD DH =DH，∴△DGH ≌△DCH （SAS ），∴DG =DC =2．16.解：（1）在矩形ABCD 中，∠C =∠B =90°，CD =AB =10，在Rt △BCE 中，CE =CD -ED =10-7=3，根据勾股定理得，BE =BC 2+CE 2=42+32=5，（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，则∠C =∠B =∠BPE =90°，∴四边形CBPE 是矩形，∴BP =CE =3，即10-t =3，∴t =7，②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得，BE 2+PE 2=BP 2，过点P 作PF ⊥CD 于F ，则PF=AD=4，DF=AP，设AP=t，则EF=7-t，BP=10-t，PE2=42+（7-t）2，∴52+42+（7-t）2=（10-t）2，，解得，t=53∴当t=7或5秒时，△BPE是直角三角形．3。
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
八年级下册四边形动点问题和答案
八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于 。
2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。
9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。
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四边形中的动点专题训练
1.如图：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一动点，求DN+MN的最小值。
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD>BC，BC=6cm，P、Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
3.如图，梯形ABCD中AD//BC，∠B=90 °AB=14cm，AD=15cm,BC=21cm，点M从A点开始，沿AD边向D运动，速度为1cm/s，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为2cm/s，设四边形MNCD的面积为S。
（1）写出面积S与时间t之间的函数关系式。
（2）t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
（3） t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
4.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC//AB，BC=3，DC=4，AD=
5.动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，则△ABP的最大面积为（）
A.10
B.12
C.14
D.16
5.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，
AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿
CA以1cm/s的速度向A运动，同时
动点Q从点C沿CB，以2cm/s的
速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。
则运动过程中所构成的△CPQ的面积y与运动时间x之间的函数关系是。
自变量的取值范围是。
6.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD
边上的动点，且AE=AF.
(1)在运动过程中，△CEF始终是等腰三角形
吗？
(2) △CEF能否运动成等边三角形？若能，请说明理由。
若不能，还需对四边形ABCD添加怎样的限定条件？
7.如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线
MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、
F。
（1）求证：OE=OF
（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？
（3）请在ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明你的理由。
8、△ABC中，∠B=90°，P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q 从B沿BC向
C以2cm/s的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2；(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P 到B点后，又继续沿BC向C移动，
点Q到达C后，又继续沿CA向A移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q，使△PBQ的面积等于9cm2？若存在，试确定P、Q的位置；若不存在，请说明理由。