2019-2020学年高二数学上学期期中试题文 (5)

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高二数学上学期期中文科试题

高二数学上学期期中文科试题可能对于很多文科生来说数学是很难的，大家不要放弃哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，就给阅读哦高二数学上期中文科试题第I卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知是等比数列， ( )A.4B.16C.32D. 642.若a>b>0，下列不等式成立的是( )A.a23. 在中，，则一定是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.在△ABC内角A，B， C的对边分别是a，b，c，已知a= ，c= ，∠A= ，则∠C的大小为( )A. 或B. 或C.D.5.原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026.在中，已知 ,则角A等于( )A. B. C. D.7.若数列为等差数列且，则sin 的值为( )A. B. C. D.8.在中，分别是角的对边，且 , ，则的面积等于( )A. B. C. D.109.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺10.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. 或B.C. 或D.11.等比数列的前n项的和分别为， ,则 ( )A. B. C. D.12.已知单调递增数列{an}满足an=3n﹣λ•2n(其中λ为常数，n∈N+)，则实数λ的取值范围是( )A.λ≤3B.λ<3C.λ≥3D.λ>3第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13.已知关于x的不等式ax2﹣(a+1)x+b<0的解集是{x|114.设且 ,则的最小值为15.若数列的前n项的和为，且，则的通项公式为_________.16.若数列为等差数列，首项,则使前项和的最大自然数n是_________________.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本题满分10分)(1)设数列满足，写出这个数列的前四项;(2)若数列为等比数列，且求数列的通项公式18.(本题满分12分)已知函数 .(1)当时，解不等式 ;(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.19.(本题满分12分)的内角的对边分别为 ,已知 .(1)求(2)若 , 面积为2,求20.(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足(I)求角的大小;(II)若边长，求的周长的最大值.21.(本小题满分12分)已知实数满足不等式组 .(1)求目标函数的取值范围;(2)求目标函数的最大值.22.(本小题满分12分)已知等比数列满足 , ,公比(1)求数列的通项公式与前n项和 ;(2)设，求数列的前n项和 ;(3)若对于任意的正整数，都有成立，求实数m的取值范围. 高二数学(文科)参考答案一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分1-12：C C C D B C B C C A B B二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13. 14.8 15. 16. 4034三、解答题：17.(本小题满分10分)(1) …………5分，(2)由已知得，联立方程组解得得，即…………10分18.(本小题满分12分).……4分(2)若不等式的解集为，则①当m=0时，-12<0恒成立，适合题意; ……6分②当时，应满足由上可知，……12分19. (1)由题设及得，故上式两边平方，整理得解得……………6分(2)由，故又，由余弦定理及得所以b=2……………12分20.解：(1)由题意可知，……………2分12absinC=34•2abcosC，所以tanC=3. 5分因为0所以，所以，当时，最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6其他方法请分步酌情给分21.(本小题满分12分)解：(1)画出可行域如图所示，直线平移到点B时纵截距最大，此时z取最小值;平移到点C时纵截距最小，此时z取最大值.由得由得∴C(3，4);当x=3，y=4时，z最大值2.………………………8分(2) 表示点到原点距离的平方,当点M在C点时，取得最大值，且………………12分22. 解：(1)由题设知，，又因为， ,解得：，故an=3 = ，前n项和Sn= - .……4分(2)bn= = = ，所以 = ，所以== < ，………8分(3)要使恒成立，只需，即解得或m≥1. ………………12分高二文科数学上学期期中试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若，则”的逆否命题是 ( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2 .命题“ ”的否定是 ( )A. B. C. D.3.若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是 ( )A. x23+y24=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x24+y23=14. 表示的曲线方程为 ( )[A. B.C. D.5.抛物线的准线方程是 ( )A. B. C. D.6.若k∈R则“k>5”是“方程x2k-5-y2k+2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若 ,则 ( )A.9B.10C.11D.128.已知双曲线的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 ( )A. B. C. D.9.双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距为4，则A.8B.6C.4D.210.已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.11.如果是抛物线的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若 ,则 ( )A. B. C. D.12.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13.若命题“ ”是假命题，则实数的取值范围是 .14.已知直线和双曲线的左右两支各交于一点，则的取值范围是 .15.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则 .16.已知是抛物线上的动点，点是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题函数在单调递增;命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程.(Ⅱ)求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.19.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2.(Ⅰ)求抛物线的标准方程;(Ⅱ)若直线与抛物线相交于两点，求弦长 .20.(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为，虚轴长为 .(Ⅰ)求双曲线的标准方程;(Ⅱ)过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积.21.(本小题满分12分)已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程.22.(本小题满分12分)已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)E,F是椭圆C上异于点的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.数学(文科)学科参考答案第Ⅰ 卷 (选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D C A A C D C B B A第Ⅱ 卷 (非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分. )(13) ; (14) ; (15) ; (16) .三、解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)(17)(本小题满分10分)解：命题p：函数在单调递增命题q：方程表示焦点在轴上的椭圆……4分“ ”为真命题,“ ”为假命题，命题一真一假……6 分① 当真假时：② 当假真时：综上所述：的取值范围为……10分(18)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设椭圆方程为，解得，所以椭圆方程为. ……6分(Ⅱ)设双曲线方程为，代入点，解得即双曲线方程为. ……12分(19)(本小题满分12分)解：(Ⅰ) 抛物线的方程为：……5分(Ⅱ)直线过抛物线的焦点，设，联立，消得，……9分或……12分(20)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意可得，解得双曲线的标准方程为. ……4分(Ⅱ)直线的方程为联立，消得，设，，由韦达定理可得 , ，……7分则……9分原点到直线的距离为……10分的面积为……12分(21)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，解得，所以椭圆方程是：……4分(Ⅱ)设直线：联立，消得，设，，则 ,……① ……② ……6分，即……③ ……9分由①③得由②得……11分解得或 (舍)直线的方程为：，即……12分(22)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，的周长为，，椭圆的标准方程为. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设直线方程：，联立，消得……5分设，点在椭圆上，……7分又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，，……9分……10分即直线的斜率为定值，其值为. ……12分高二数学上期中文科联考试题第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知sin α=25，则cos 2α=A.725B.-725C.1725D.-17252.已知数列1，3，5，7，…，2n-1，…，则35是它的A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c=2a，则cos B=A.18B.14C.12D.14.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbA.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形5.已知点(a，b) a>0，b>0在函数y=-x+1的图象上，则1a+4b 的最小值是A.6B.7C.8D.96.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则从上往下数第6节的容积为A.3733B.6766C.1011D.23337.设Sn为等比数列{an}的前n项和， 27a4+a7=0，则S4S2=A.10B.9C.-8D.-58.已知数列{an}满足an+1+an=(-1)n•n，则数列{an}的前20项的和为A.-100B.100C.-110D.1109.若x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0，则z=x+2y的最大值为A.3B.4C.5D.610.已知0A.13B.12C.23D.3411.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若对所有的n(n∈N*)，都有Sn≥S10，则A.an≥0B.a9•a10<0C.S2第Ⅰ卷选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{an}中，a4•a6=2 018，则a3•a7= ________ .13.在△ABC中，a=3，b=1，∠A=π3，则cos B=________.14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b;③若a ab>b2;④若c>a>b>0，则ac-a>bc-b;⑤若a>b，1a>1b，则a>0，b<0.其中正确的是________.(填写序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.(本小题满分8分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求角C;(2)若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.16.(本小题满分10分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大?并求出最大收入.17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.(本小题满分6分)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP→=4FQ→，则|QF|等于( )A.72B.52C.3D.2二、填空题19.(本小题满分6分)如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是__________.三、解答题20.(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD=2，AB=4，AD=BC=2.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图.(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF;(2)求二面角C-AB-F的正切值.21.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围;(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t，10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12-t(视区间[a，b]的长度为b-a).22.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e=12.(1)求椭圆的标准方程;(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l：y=kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM→+ON→=λOC→，求实数λ的取值范围.参考答案第Ⅰ卷(共100分)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案 C B B A D A A A B B D1.C 【解析】cos 2α=1-2sin2α=1-2×252=1725.故选C.2.B 【解析】由数列前几项可知an=2n-1，令an=2n-1=35得n=23.故选B.3.B4.A 【解析】由正弦定理可得sin C5.D 【解析】a+b=1，∴1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥9，当且仅当b=2a=23时取等号.故选D.6.A 【解析】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}，设其公差为d，且d>0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=1322，d=766，则第6节的容积a6=a1+5d=7466=3733.故答案为A.7.A 【解析】由27a4+a7=0，得q=-3，故S4S2=1-q41-q2=1+q2=10.故选A.8.A 【解析】由an+1+an=(-1)n•n，得a2+a1=-1，a3+a4=-3，a5+a6=-5，…，a19+a20=-19.∴an的前20项的和为a1+a2+…+a19+a20=-1-3-…-19=-1+192×10=-100，故选A.9.B 【解析】由x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0.作出可行域如图，由z=x+2y，得y=-12x+z2.要使z最大，则直线y=-12x+z2的截距最大，由图可知，当直线y=-12x+z2过点A时截距最大.联立x=2y，x+y=3解得A(2，1)，∴z=x+2y的最大值为2+2×1=4.故答案为B.10.B 【解析】∵0∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3•x+1-x22=34，当且仅当x=12时取等号.∴x(3-3x)取最大值34时x的值为12.故选B.11.D 【解析】由?n∈N*，都有Sn≥S10,∴a10≤0，a11≥0，∴a1+a19=2a10≤0，∴S19=19(a1+a19)2≤0，故选D.二、填空题12.2 01813.32 【解析】∵a=3，b=1，∠A=π3，∴由正弦定理可得：sin B=bsin Aa=1×323=12，∵b14.②③④⑤【解析】当c=0时，若a>b，则ac=bc，故①为假命题;若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，故②为真命题;若a ab且ab>b2，即a2>ab>b2，故③为真命题;若c>a>b>0，则cabc-b，故④为真命题;若a>b，1a>1b，即bab>aab，故a•b<0，则a>0，b<0，故⑤为真命题.故答案为②③④⑤.三、解答题15.【解析】(1)∵在△ABC中，0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C(sin AcosB+sin Bcos A)=sin C，整理得：2cos Csin(A+B)=sin C，即2cos Csin(π-(A+B))=sin C，2cos Csin C=sin C，∴cos C=12，∴C=π3.4分(2)由余弦定理得7=a2+b2-2ab•12，∴(a+b)2-3ab=7，∵S=12absin C=34ab=332，∴ab=6，∴(a+b)2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+7.8分16.【解析】(1)设甲、乙两种产品月产量分别为x，y件，约束条件是2x+y≤500，x+2y≤400，x≥0，y≥0，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分.5分(2)设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y，由z=3x+2y可得y=-32x+12z，截距最大时z最大.结合图象可知，直线z=3x+2y经过A处取得最大值由2x+y=500，x+2y=400可得A(200，100)，此时z=800.故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元.10分17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴2a1+9d=20，(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，解得a1=1，d=2，∴an=1+2(n-1)=2n-1.6分(2)bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.C 【解析】∵FP→=4FQ→，∴|FP→|=4|FQ→|，∴|PQ||PF|=34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，∴|QQ′||AF|=|PQ||PF|=34，∴|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3，故选C.二、填空题19.62 【解析】|F1F2|=23.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1.∵|AF2|+|AF1|=4，|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=2+a，|AF1|=2-a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2=90°，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即(2-a)2+(2+a)2=(23)2，∴a=2，∴e=ca=32=62.三、解答题20.【解析】(1)因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形.又G为FB的中点，所以AG⊥FB.2分在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，所以AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.5分(2)连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF.因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角.8分因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=32.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=2，所以CG=1.在Rt△CGH中，tan∠CHG=233，故二面角C-AB-F的正切值为233.12分21.【解析】(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，∴f(x)在区间[-1，1]上是减函数.∵函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有f(1)≤0，f(-1)≥0，即1-16+q+3≤0，1+16+q+3≥0，∴-20≤q≤12.6分(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x=8.①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)-f(8)=12-t，即t2-15t+52=0，解得t=15±172，∴t=15-172;9分②当6∴f(10)-f(8)=12-t，解得t=8;11分③当8∴f(10)-f(t)=12-t，即t2-17t+72=0，解得t=8，9，∴t=9.综上可知，存在常数t=15-172，8，9满足条件.13分22.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知得：4a2+3b2=1，ca=12，c2=a2-b2，解得a2=8，b2=6，所以椭圆的标准方程为x28+y26=1.4分(2)因为直线l：y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切，所以|t+k|1+k2=1?2k=1-t2t(t≠0)，6分把y=kx+t代入x28+y26=1并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=-8kt3+4k2，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6t3+4k2， 8分因为λOC→=(x1+x2，y1+y2)，所以C-8kt(3+4k2)λ，6t(3+4k2)λ，又因为点C在椭圆上，所以，8k2t2(3+4k2)2λ2+6t2(3+4k2)2λ2=1?λ2=2t23+4k2=21t22+ 1t2+1，11分因为t2>0，所以1t22+1t2+1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(-2，0)∪(0，2).13分。

北京市丰台二中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析

北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜08．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．210．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=（用复数代数式表示）16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件时，有m∥β（填所选条件的序号）18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而求得它的虚部．解答：解：复数z====i，故复数z的虚部为1，故选：C．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：本题考查命题的定义，根据定义逐项判断即可，属于基础题目．解答：解：A、无法判断真假，不是命题，A错误，B，C，D可以判断真假，是命题，正确，故选：A．点评：解题关键是定义：命题是能够判断真假的陈述句．3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即充分性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．解答：解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C点评：本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：结合互为逆否的两个命题真假性相同，逐一分析命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b 不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题真假，可得答案．解答：解：命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”为真命题，故其逆否命题为真命题；命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题为“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a+b＞0”为假命题；故原命题的否命题也为假命题；故命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是2个，故选：C点评：本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性．6．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱的结构特征进行判断．解答：解：截面以下的几何体满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行，这样的立体图形为四棱柱，故选：D．点评：主要考查了棱柱的结构特征，属于容易题．7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．8．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的性质、线面平行的判定，即可得出结论．解答：解：直线a⊥直线b，直线a⊥平面β，b⊂β，或b⊄β，若b⊄β，则b∥β，∴b⊂β，或b∥β．故选：D．点评：本题考查线面垂直的性质、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱锥．解答：解：该几何体为三棱锥，其体积为V=××3×1×2=1，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，分产生的截面四边形的四个顶点的位置进行讨论．解答：解：如图示时，该截面四边形为平行四边形，当截面产生的两个四个交点，其中两个为下底面的产生的，两个为截面与上底面产生时，此时截面四边形为梯形，故截面四边形可能为梯形或平行四边形，故选：C．点评：本题重点考查了空间中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于容易题．注意分类讨论思想在求解问题中的灵活运用．11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面，可得A正确，由圆的性质可得AC⊥BC，可得B正确，由B 及线面垂直的性质可得D正确．解答：解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故①正确，⇒BC⊥平面PAC，故②正确，对于③假设AC⊥PB，结合选项②，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，又AC⊥PA，故③不正确，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故④正确，故选B．点评：本题主要考查了三垂线定理的运用，涉及到了“线面垂直”与“线线垂直”的转化，要求考生熟练掌握基本概念、基本定理．12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：由ED⊥平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即∠EMD为EM与平面BCD所成角．解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；解答：解：∵ED⊥平面BCD，∴DM为EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD为EM与平面BCD所成角．∵DA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC，设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=a，在△ABC中，∠BAC=120°，∴BC=a，又∵M为BC中点，∴DM⊥BC，BM=BC=a，∴DM=a．在Rt△EDM中，EM==，∴sin∠EMD==，故选：A点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长），可得=．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=，可得h==．利用它们的体积比==即可得出．解答：解：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长）．∴==．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO==．∴h==．∵两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比===．故答案为：．点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：“平行四边形的对角线互相平分”．考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：由演绎推理的基本规则，大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是平行四边形的性质，可得答案．解答：解：将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为：大前提：“平行四边形的对角线互相平分”，小前提：“菱形是平行四边形”，结论：“菱形的对角线互相平分”，故答案为：“平行四边形的对角线互相平分”点评：本题考查进行简单的演绎推理，解题的关键是对演绎推理的规则有着熟练的掌握，再就是熟练掌握了平行四边形的性质，本题是概念型题，知识性理论性较强．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣5﹣4i（用复数代数式表示）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用向量的坐标运算结合复数的加法运算得答案．解答：解：∵=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣=﹣1﹣i﹣（4+3i）=﹣5﹣4i．故答案为：﹣5﹣4i．点评：考查了复数的代数表示法及其几何意义，训练了平面向量的坐标运算，是基础题．16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．解答：解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r=所以球的体积为：πr3=π故答案为：π．点评：本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件③⑤时，有m∥β（填所选条件的序号）考点：直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：要使m∥β，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与β内的一条直线平行或者m在与β平行的平面内即可．解答：解：根据面面平行的性质，可得m⊂α，α∥β时，m∥β．故满足条件③⑤时，有m∥β．故答案为：③⑤．点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为平行．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，可以取AD的中点为H，连接FH，得到FH∥PA，然后，得到AP∥平面EFG．解答：解：可以取AD的中点为H，连接FH，因为F为中点，所以FH∥PA，∴PA∥平面EFHG，∴AP∥平面EFG．故答案为：平行．点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、直线与平面平行等知识，属于中档题．若题目中出现中点问题，添加辅助线的口诀为：有中点连中点，得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，连结C1B，然后，得到四边形ABC1D1是平行四边形，从而得证；（2）根据（1）可以证明AB1∥平面EFG，从而证明；（3）根据平行关系，得到∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，然后放到三角形中求解．解答：解：（1）连结C1B，∵AB∥B1C1，且AB=B1C1∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，又∵E、G为中点，∴BC1∥EG，∴AD1∥EG，∴AD1∥平面EFG；（2）结合（1），同理可以证明AB1∥平面EFG，∵AB1∩AD1=A，∴平面AB1D1∥平面EFG；（3）∵BD∥B1D1，且BD∥EF，∴∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，在△EFG中，显然为等边三角形，∴异面直线B1D1与EG所成的角为60°．点评：本题重点考查了空间中平行关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；（2）结合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD过P作PE⊥AD，垂足为E，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CD，∵AD∩PE=E，∴CD⊥平面PAD；（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA．又∵PA=PD=AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答．21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）由a1=，a2=，a3=，a4=，即可猜想得到通项公式；（3）利用（2）的猜想a n的表达式，运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．解答：解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==．（2）由（1），a1=，a2=，a3=，a4=，可以猜想a n=．（3）用数学归纳法证明：ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=，当n=k+1时，a k+1===，所以当n=k+1时猜想也成立．由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．所以a n=．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（﹣3），f（﹣2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（﹣3）与f （﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x＜0，使得，然后将该方程变成：，由0＜a x＜1便得到，解该不等式得到的x的范围应该和x＜0矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（1）f（﹣3）=，f（﹣2）=a﹣2+4；∵a＞1；∴a﹣3＜a﹣2，；∴f（﹣3）＜f（﹣2）；同理可得f（0）＜f（1）；（2）f′（x）=＞0；∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；（3）证明：假设f（x）=0有负数根；即存在x＜0，使成立；∴；∵0＜a x＜1；∴，解得，与x＜0矛盾；∴假设不成立；即方程f（x）=0没有负数根．点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程．。

浙江省宁波市慈溪市2022-2022学年高二数学上学期期中试题(含解析)

故选A．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
5.已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )
A. 2B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.
【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,
【答案】 (1). (2，-1) (2). (x-1)2+y2=2
【解析】
【分析】
先整理直线的方程为 ,由可得定点;由于直线过定点 ,所以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.
【详解(xiánɡ jiě)】因为 ,由可得 ,所以(suǒyǐ)直线经过(jīngguò)定点 ;
【答案】
【解析】
如图，连接(liánjiē) 交于点，连接(liánjiē) ．因为(yīn wèi) 是正方体，所以(suǒyǐ) 面，从而(cóng ér)可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角．设正方体的边长为1，则，所以在中有
16.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)
11.已知直线，直线 .若直线的倾斜角为，则 =_________;若，则，之间的距离为_____.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
利用直线的倾斜角和斜率的关系可求；根据两条直线平行可得，再结合平行直线间的距离公式可求.
【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标 ,半径 ;
设关于直线的对称点为 ,则 ,解得 ,

上海市奉贤中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

上海市奉贤中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.直线l 过点A （1,2），且法向量为（1，-3），则直线l 的一般式方程为____________ 【答案】x -3y +5=0 【解析】【分析】先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为13，再结合直线点斜式方程的求法，求出直线方程，然后整理为一般式即可.【详解】解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为13，又直线过点A （1,2），由直线点斜式方程可得12(1)3y x -=-，整理得350x y -+=，故答案为：350x y -+=.【点睛】本题考查了直线的法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，属基础题.2.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________. 【答案】2- 【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.【详解】依题意得·1,2a b b =-=，因此向量a 在向量b 方向上的投影为·2a b b=-. 【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题. 3.20y ++=与直线10x +=的夹角为________ 【答案】6π【解析】【分析】分别求两直线的倾斜角，即可得出夹角.【详解】因为直线320x y ++=的斜率为3k =-，所以其倾斜角为23π，又直线10x +=的倾斜角为2π，所以两直线夹角为：2326πππ-=. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查求两直线的夹角，熟记斜率的定义，会求倾斜角即可，属于基础题型.4.设变量x 、y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则23z x y =+的最大值为________【答案】8 【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233zy x =-+，根据直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z 越大，z 就越大；结合图像，即可得出结果.【详解】由约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为23z x y =+化为233zy x =-+，因此直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z 越大，z 就越大；由图像可得：直线233zy x =-+过点A 时，截距最大；由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，所以max 268=+=z . 故答案为：8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.5.行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为____________. 【答案】29 【解析】【分析】由已知得元素6-是第2行第3列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得6-的代数余子式.【详解】由题意得元素6-的代数余子式是第2行第3列元素的代数余子式()()2335(1)(1)32572972+-⎡⎤-=-⨯⨯--⨯-=⎣⎦-,故填：29.【点睛】本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的位置有关，属于基础题. 6.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则mn =________ 【答案】35【解析】【分析】先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩，解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n . 故答案为：35【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7.已知(3,2)a =-，(1,4)b =-，向量a 与向量a λb +垂直，则实数λ的值为________ 【答案】1311- 【解析】【分析】先由题意求出(3,24)+=--+a λb λλ，再由向量垂直，得到()0a a b λ⋅+=，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为(3,2)a =-，(1,4)b =-，所以(3,24)+=--+a λb λλ，又向量a 与向量a λb +垂直，所以()0a a b λ⋅+=，即3(3)2(24)0---++=λλ，即11130+=λ，解得：1311λ=-. 故答案为：1311-【点睛】本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.8.已知||1a =，1b ||=，||3a b +=，则||a b -=________ 【答案】1【解析】【分析】先由题意求出a b ⋅，根据向量模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因||1a =，1b ||=，||3a b +=，所以()22223+=++⋅=a ba b a b ，因此12a b ⋅=，所以()2||1121-=-=+-⋅=a b a b a b .故答案为：1【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型. 9.已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最小值时，P 点的坐标为________ 【答案】(1,4)- 【解析】【分析】先由题意，得到点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =根据点与圆位置关系，得到min =-PA PM r ，推出P 为AM 的中点，进而可求出结果.【详解】因为22(02)(53)82-+-+=>，所以点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =则min=-==PA PM r此时,,A P M 三点共线，由12=PA PM 可得：P 为AM 的中点，因此P 的坐标为：0253,22+--⎛⎫⎪⎝⎭，即(1,4)-P . 故答案为：(1,4)-【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及中点坐标公式即可，属于常考题型.10.如图，已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________【答案】18【解析】【分析】先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==，因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB 1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】由题意设(,)--M x x a ，因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ，整理得：226(64)340x a x a +++-=① 因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，解得24224233-+≤≤a . 故答案为：242242,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.12.如图，已知半圆221x y +=（0y ≥），点(1,0)A -，点(0,1)D ，点C 在半圆上，点B在x 轴上，且ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，若直线AC 与直线BD 平行，则点B 的横坐标为________.【答案】12【解析】【分析】先设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<；再由题意，得到1==-AC BD k k a，得到直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a；再由ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，根据直线AC 方程，得到11,22-+⎛⎫-⎪⎝⎭a a C a ，代入221x y +=，求解，即可得出结果.【详解】因为点B 在x 轴上，设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<，因点(0,1)D ，所以1=-BD k a，又直线AC 与直线BD 平行，所以1=-AC k a ，由点(1,0)A -，可得直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a；因为ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，所以C 点横坐标为：12a -，代入1(1)=-+y x a ，可得，111122-+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a a y a a ，即11,22-+⎛⎫- ⎪⎝⎭a a C a ，又因为点C 在半圆221x y +=（0y ≥）上，所以2211212-+-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ，即2222(1)4(1)-=-+a a a a ，即222(1)321-=--a a a a ，即()()22(1)311-=+-a a a a ，即()()321310----=a a a a ，即()()()32212210⎡⎤---+--=⎣⎦a a a a a a ，即()()()211210-+--=a a a a ，解得：1a =±或1a =因为10a -<<，所以1a =即点B 的横坐标为1故答案为：1-【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 二、填空题13.若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果.【详解】因为a 与b c -都是非零向量，若a b a c ⋅=⋅，则0⋅-⋅=a b a c ，即()0⋅-=a b c ，所以()a b c ⊥-；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充分条件；若()a b c ⊥-，则0⋅-⋅=a b a c ，所以a b a c ⋅=⋅；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的必要条件；综上，“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充要条件. 故选：C【点睛】本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.14.已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（）A. (2,3)-B. (4,7)C. (3,5)D. 1(,4)2【答案】B 【解析】【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果.【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上；当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上；当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上；当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（） A. 内心 B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC △重心. 【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC △的重心。

吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案解析)

吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2214x y +=的焦点坐标是（）A ．()B ．()C ．(0,D ．(0,2．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±4．若直线1x ya b-=过第一､二､三象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b <<D ．0,0a b ><5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（）A ．π42-B ．π82-C ．4π-D ．8π-6．若P 为椭圆22195x y +=上的任意一点，F 是椭圆的一个焦点，则PF 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（）A ．30B ．45C ．60D ．908．双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是12，则P到2F 的距离是（）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或229．已知α、β是两个平面，直线l α⊄，l β⊄，若以①l α⊥；②//l β；③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，点M 在椭圆上，若12MF F △是直角三角形，则12MF F △的面积等于（）A ．485B ．365C ．16D ．485或1611．一束光线从点()2,3射出，经x 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或2312．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．3二、填空题13．经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为______．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过11,,A C B 三点的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11A C 的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）15．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．16．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的18，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．已知直线:4320l ax y a --+=.（1）求证：无论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.19．已知直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，12l l ⊥且垂足为A ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 与直线2l 相切于点A ，且圆心C 的横坐标为2，求圆C 的标准方程．20．如图，在多面体ABCDGE 中，已知四边形ABCD 为矩形，ABEG 为平行四边形，⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且24AB AE AD ===.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥P ACF -的体积.21．已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （N m ∈）个公共点.(1)若3m ≥，求k 的最小值；(2)若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，()0,1F ，证明：2FB FC FA⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，三点()()1230,2,,0,1A A A -中恰有两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于,M N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为-，过P 作直线l l '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.【详解】由题设方程，椭圆焦点在x 轴上且c ==∴焦点坐标为().故选：A.2．C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C 3．C【详解】c e a ==2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．C【分析】将直线1x ya b-=过第一､二､三象限，转化为直线在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，可得答案.【详解】将直线1x y a b -=化为+1x y a b=-，又直线过第一､二､三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a<0，0b ->．所以0,0a b <<.故选：C.5．B【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，所以体积为()21π222π12842⨯⨯-⨯⨯⨯=-.故选：B6．D【分析】先求得,a c ，由此求得PF 的最大值.【详解】22195x y += ，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：D 7．B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，由于正方形ABCD ，所以2AC PA ==，所以45PCA ∠=︒.故选：B8．D【分析】讨论P 点位置，结合1PF 求2PF .【详解】当P 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得2121210PF PF PF -=-=，解得222PF =，当P 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得1221210PF PF PF -=-=，解得22PF =，因为225PF c a =≥-=，所以22PF =满足题意.所以22PF =或22，故选:D.9．A【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：①②⇒③为真命题因为l α⊥，//l β，设l 平行于β内一条直线l '，所以l α'⊥，根据面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，所以①②⇒③为真命题；（2）证明：①③⇒②为真命题因为l α⊥，αβ⊥，所以l ⊂α或l //β，又因为l β⊄，所以l //β，所以①③⇒②为真命题；（3）证明：②③⇒①为假命题作出正方体如下图所示：记直线AD 为l ，平面1111D C B A 为α，平面11BB C C 为β，所以αβ⊥，//l β，但//l α，所以②③⇒①为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.10．D【分析】对12MF F △的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】依题意，5,4,3a b c ===，不妨设()()13,0,3,0F F -，对于直角三角形12MF F ，若12π2F MF ∠=，由1222212210436PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，整理得1232PF PF ⋅=,所以12121162MF F S PF PF =⨯⨯= .若12MF F ∠或21MF F ∠为直角，由()22312516M y ±+=得225616,255M M y y ==，所以121211164862255MF F M S F F y =⨯⨯=⨯⨯= .所以，12MF F △的面积等于485或16.故选：D 11．C【解析】设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，根据对称性可知，直线与圆()()22321x y ++-=关于x 轴的对称圆相切，即可求出斜率k .【详解】由题意可知，点()2,3在入射光线上，设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，即2kx y k --30+=.圆()()22321x y ++-=关于x 轴对称的圆为()()22321x y +++=，则入射光线与该圆相切.1=，化为21225120k k -+=，解得34k =或43.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.12．B【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b ba a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ===.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.13．20x y -=．【解析】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，然后将()2,1P 求解.【详解】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，把()2,1P 代入，得：2210c -⨯+=，解得0c =，∴经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.14．平行【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知：11//A C AC ，由于11A C ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以11//A C 平面ABCD ，由于平面11AC B ⋂平面ABCD l =，11AC ⊂平面11A C B ，所以11//l AC .故答案为：平行15．6【分析】利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．16【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.【详解】球的体积为3344ππ33R R ⨯=，则两个圆锥的体积之和为3314π=π8316R R ⨯，设两个圆锥的高分别为12,h h ，则122h h R +=，设圆锥底面圆半径为r ，则()2231212π1ππ336r h h r R R ⋅+==⋅，解得：2R r =，即2PD R =，所以222232AP R R R R ⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭，222232BP R R R R ⎛⎫=+-= ⎪⎝+⎭所以这两个圆锥的高之差的绝对值为2232233R --=3R17．（1）24π；（2）21π2．【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，2222534PO PB OB =-=-=，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==，∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）证明见解析；（2）2a ≥.【分析】（1）将含有a 的项整理在一起，令a 的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.【详解】（1）直线:4320l ax y a --+=化为(41)230a x y -+-=，令410,230,x y -=⎧⎨-=⎩1,42,3x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即直线:4320l ax y a --+=恒过定点12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 总经过第一象限.（2）直线:4320l ax y a --+=化为4233ax a y -=+，当0a =时，得23y =，直线经过第二象限；要使l 不经过第二象限，须有403203a a ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得2a ≥.19．（1）()1,3-；（2）()()22255x y -++=．【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得220a +=，解可得a 的值，即可得直线2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得A 的坐标，即可得答案．（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为(2,)b ，将其代入直线1l 的方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，若12l l ⊥，则有220a +=，解可得1a =-，则直线2l 的方程为270x y -++=，即270x y --=；联立两直线的方程：210270x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解可得13x y =⎧⎨=-⎩，即A 的坐标为()1,3-；（2）根据题意，若圆C 与直线2l 相切于点A 且12l l ⊥且垂足为A ，则圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为()2,b ，则有2210b ⨯++=，解可得=5b -，则圆心C 的坐标为()2,5-，圆的半径r CA ===则圆C 的标准方程为()()22255x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．20．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）通过证明EF BC ⊥、EF BE ⊥来证得EF ⊥平面BCE ；（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥P ACF -的体积.【详解】（1）因为⊥AE 平面,ABCD AE ⊂平面ABED ，所以平面ABCD ⊥平面ABEG .因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥.又BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABEG AB =，所以BC ⊥平面ABEG .因为EF ⊂平面ABEG ，所以EF BC ⊥.因为四边形ABEG 为平行四边形，AB AE =，所以AE GE =.又F 为AG 中点，所以EF AG ⊥.易知//BE AG ，所以EF BE ⊥.又,,BC BE B BC BE ⋂=⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE .（2）因为⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F ABEG 为平行四边形，GE AE ⊥，所以三棱锥F ACP -的高为122AE =.又PAC △的面积12222PAC S =⨯⨯= ，所以三棱锥P ACF -的体积142233P ACF F PAC V V --==⨯⨯=.21．(2)证明见解析【分析】（1）联立2x y =-与3y kx =-，21=120k ∆+>，故l 与抛物线2x y =-恒有两个交点.所以24x y =与3y kx =-，至少有一个交点，故令22=16480k ∆-≥，可求得k 的最小值；（2）由（1）知，k =A x =3A y =，142A FA y =+= ，即可证明22FB FC FA FA ⋅== .【详解】（1）联立2x y =-与3y kx =-，得230x kx +-=，∵21=120k ∆+>，∴l 与抛物线2x y =-恒有两个交点；联立24x y =与3y kx =-，得24120x kx -+=，∵直线l 与曲线M 有m 个公共点，且3m ≥，∴l 与抛物线24x y =至少有1个交点，∴22=16480k ∆-≥，∵0k >，∴k ≥∴k（2）由（1）知，k =且24120A A x kx -+=，∴24A x k =，∴2A x k ==，∴(24A y =，∴3A y =，故()A ，易知()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，则23142A FA y =+=+= ，设()11,B x y ，()22,C x y ，由230x kx +-=可得12x x k +=-=123x x =-，∴()121269y y k x x +=+-=-，()()()21212121233399y y kx kx k x x k x x =--=-++=，∴()()()121212*********FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ，∵2216FA FA == ，∴2FB FC FA⋅= 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)221124x y +=(2)证明见解析，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)分别讨论即可确定12,A A 在C 上，即可求解；(2)利用点差法表示出l 的斜率，再表示出l '的直线方程，即可求出定点.【详解】（1）显然13,A A 不能同时在C 上，若23,A A 在C 上，则2223331,31b a b a =+=+≠.故12,A A 在C 上，则22332,1b a b=+=，所以212a =.所以椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）设()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭.当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠.联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+.又P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-.又l l '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.当00y =时，l '过点,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，l '恒过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.。

河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

则 T2n19 为
A. 3 →
且一2
C.
l. 3
9.如图．在A八BC 中， B = 45° .八C = 8,D是 BC 边上一点，
DC= 5,DA = 7，则 AB 的长为
D-2 3
八. 4 Jz
B. 4 /3
／小＼
C. 8
D. 4 /6
+ rx-y-1 ：：：二 O,
10.实数:r,y满足条件｛
A. < 7, 17)
B. C 7, 13)
C. (7, /IT百）
+ 7.若lg(3a) lgb= lg（α十b+ 1)＇则αb的最小值为
D. C JTI9, 13)
A. 1
B.Jz
C./3
D. 2
τ 8.已知数列｛a.，｝的前 11 项积为T”’且满足a,,-,..t ＝丁1一十一υ」（ 1l ξN ‘ ），若α1 ＝ ’ 1 - l1
17.（本小题满分10分〉
设S，，为等差数列｛a，，｝的前 J1 项和．已知a3 = 5.S; = 49.
(1 ）求数列（矶，｝的通项公式；
(2）设 b,, =. G_”Jα_，，一J. ( ·求数列｛ b.，｝的前 11 项和丁，.，
18. C 本小题满分12分）
γ 。／在 6ABC ti•，角八.B.C 的对边分别为。，b C •已知C＝ π
叫她
2.考试结束，将答题卡交回．
睐
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．怜
1.若α＜b<O，那么下列不等式中不正确的是
m
巳邻
A. ab> b2

高二数学上学期期中考试试题文

高二数学试题（文）2012/11/8注意事项：1. 本试题共分三大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2．第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3. 第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第I卷（共60分）一、选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，.)1.11是A. C.1 D.22.在△ABC中，若222,b c a bc+-=则A=A.060 B.090 C.0135 D.01503.不等式2340x x-++<的解集为A.{|14}x x-<< B.{|41}x x x><-或 C.{|14}x x x><-或D.{|41}x x-<<4.若1,a>则11aa+-的最小值是A.2B.a5.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A.3B.53C.1D.-26.已知10b-<<，a<0，那么下列不等式成立的是A.2a ab ab>> B.2ab ab a>> C.2ab a ab>> D.2ab ab a>>7.ΔABC中，a=1，b=3, A=30°，则B等于A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120°8.已知点(3，1)和(4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是A.0a> B.7a<- C.0a>或7a<- D.70a-<<9.已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，求41x y+的最小值是A.4B.6C.7D.910.在中ABC∆，BaAb coscos=，则三角形的形状为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形11.数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nan n=+，则5S等于A.1B.56C.16D.13012.若222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数z x y=-的最小值为A.-2B.2C.0D.3第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上) 13.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若137,8,cos 14a b C ===，则c = . 14.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集{|12}x x <<，则a 的值为_________.15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .16.若不等式mx 2+4mx -4＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）(1)n S 为等差数列{a n }的前n 项和，62S S =,14=a ，求5a .(2)在等比数列{}n a 中，若422324,6,a a a a -=+=求首项1a 和公比q . 18.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．若ABC △a b ，.19.（本小题满分12分）有三个数成等差数列，前两个数的和的3倍正好是第三个数的2倍，如果把第二个数减去2，那么所得到数是第一个数与第三个数的等比中项.求原来的三个数. 20. （本小题满分12分）若0≤a ≤1, 解关于x 的不等式(x －a )(x +a －1)＜0. 21. （本小题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增.（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f (n )，试写出f (n )的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少．．．．．．）. 22. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和n S ，且22,N n n S a n +=-∈. （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和.n T第1个第2个第3个2011-2012学年度高二年级上学期模块笔试（学段调研）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：AABCD DBDDC BA二、填空题：13.3； 14.2 15.4n +2； 16.-1<m ≤0. 三、解答题：17.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得1112615,31,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩即11270,31,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………………3分解得，12,7.d a =-=所以，51474(2) 1.a a d =+=+⨯-=- …………………6分 (2)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得211(1)24,(1)6,a q q a q q ⎧-=⎨+=⎩ …………………………………3分解得，115,.5q a == ……………………………………………6分18.解：由题意，得222cos 4,31sin 23a b ab ab ππ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即224,4,a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩ (6)分因为222()3()34()124,a b ab a b a b +-=+-⨯=+-= 所以4,a b +=由4,4,a b ab +=⎧⎨=⎩得 2.a b == ………………………………………………12分19.解：设成等差数列的三个数分别为,,,a d a a d -+由题意，得23(2)2(),()()(2),a d a d a d a d a -=+⎧⎨-+=-⎩ 即245,44,a d a d =⎧⎨=+⎩…………………4分解得，4,5,d a =⎧⎨=⎩或1,5,4d a =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………8分所以，原来的三个数分别为1,5,9或159,,.444 …………………………12分20.解：原不等式即为(x －a )[x －(1－a )]>0，因为a -(1-a )=2a -1，所以，当0≤12a <时，1,a a <-所以原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <；…………3分当12a <≤1时，1,a a >-所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-；…………6分当12a =时，原不等式即为21()2x ->0,所以不等式的解集为1{|,R}.2x x x ≠∈……9分综上知，当0≤12a <时，原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <；当12a <≤1时，所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-；当12a =时，原不等式的解集为1{|,R}.2x x x ≠∈ ……………………12分 21.解：（Ⅰ）依题意f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n )+0.9n ……………………4分n n n 9.02)1(2.04.14+++=4.141.02++=n n ……………………6分（Ⅱ）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S ……………………8分14.411102 1.21 3.4n n =++≥=⨯+=……………………………………9分……………………………………………10分仅当nn 4.1410=，即n=12时，等号成立. ………………11分答：汽车使用12年报废为宜. ………………………………12分 22.解：（Ⅰ）当2n ≥时，111(22)(22)22,n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-所以，12,n n a a -= 即12,nn a a -= …………………………3分当1n =时，11122,2,S a a =-= …………………………4分由等比数列的定义知，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以，数列{}n a 的通项公式为1222,N .n n n a n -+=⨯=∈ ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n n n n nc a == ……………………8分所以231123122222n n n n nT --=+++⋅⋅⋅++，①以上等式两边同乘以1,2得2311121,22222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++②①-②，得2311111[1()]111111221()122222222212n n n n n n n n n n T +++-=+++⋅⋅⋅+-=-=--- 111211222n n n n n +++=--=-，所以222n n n T +=-. ………………………………14分。