2019-2020学年高二数学上学期期中试题文 (5)

合集下载

高二数学上学期期中文科试题

高二数学上学期期中文科试题可能对于很多文科生来说数学是很难的，大家不要放弃哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，就给阅读哦高二数学上期中文科试题第I卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知是等比数列， ( )A.4B.16C.32D. 642.若a>b>0，下列不等式成立的是( )A.a23. 在中，，则一定是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.在△ABC内角A，B， C的对边分别是a，b，c，已知a= ，c= ，∠A= ，则∠C的大小为( )A. 或B. 或C.D.5.原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026.在中，已知 ,则角A等于( )A. B. C. D.7.若数列为等差数列且，则sin 的值为( )A. B. C. D.8.在中，分别是角的对边，且 , ，则的面积等于( )A. B. C. D.109.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺10.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. 或B.C. 或D.11.等比数列的前n项的和分别为， ,则 ( )A. B. C. D.12.已知单调递增数列{an}满足an=3n﹣λ•2n(其中λ为常数，n∈N+)，则实数λ的取值范围是( )A.λ≤3B.λ<3C.λ≥3D.λ>3第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13.已知关于x的不等式ax2﹣(a+1)x+b<0的解集是{x|114.设且 ,则的最小值为15.若数列的前n项的和为，且，则的通项公式为_________.16.若数列为等差数列，首项,则使前项和的最大自然数n是_________________.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本题满分10分)(1)设数列满足，写出这个数列的前四项;(2)若数列为等比数列，且求数列的通项公式18.(本题满分12分)已知函数 .(1)当时，解不等式 ;(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.19.(本题满分12分)的内角的对边分别为 ,已知 .(1)求(2)若 , 面积为2,求20.(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足(I)求角的大小;(II)若边长，求的周长的最大值.21.(本小题满分12分)已知实数满足不等式组 .(1)求目标函数的取值范围;(2)求目标函数的最大值.22.(本小题满分12分)已知等比数列满足 , ,公比(1)求数列的通项公式与前n项和 ;(2)设，求数列的前n项和 ;(3)若对于任意的正整数，都有成立，求实数m的取值范围. 高二数学(文科)参考答案一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分1-12：C C C D B C B C C A B B二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13. 14.8 15. 16. 4034三、解答题：17.(本小题满分10分)(1) …………5分，(2)由已知得，联立方程组解得得，即…………10分18.(本小题满分12分).……4分(2)若不等式的解集为，则①当m=0时，-12<0恒成立，适合题意; ……6分②当时，应满足由上可知，……12分19. (1)由题设及得，故上式两边平方，整理得解得……………6分(2)由，故又，由余弦定理及得所以b=2……………12分20.解：(1)由题意可知，……………2分12absinC=34•2abcosC，所以tanC=3. 5分因为0所以，所以，当时，最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6其他方法请分步酌情给分21.(本小题满分12分)解：(1)画出可行域如图所示，直线平移到点B时纵截距最大，此时z取最小值;平移到点C时纵截距最小，此时z取最大值.由得由得∴C(3，4);当x=3，y=4时，z最大值2.………………………8分(2) 表示点到原点距离的平方,当点M在C点时，取得最大值，且………………12分22. 解：(1)由题设知，，又因为， ,解得：，故an=3 = ，前n项和Sn= - .……4分(2)bn= = = ，所以 = ，所以== < ，………8分(3)要使恒成立，只需，即解得或m≥1. ………………12分高二文科数学上学期期中试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若，则”的逆否命题是 ( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2 .命题“ ”的否定是 ( )A. B. C. D.3.若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是 ( )A. x23+y24=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x24+y23=14. 表示的曲线方程为 ( )[A. B.C. D.5.抛物线的准线方程是 ( )A. B. C. D.6.若k∈R则“k>5”是“方程x2k-5-y2k+2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若 ,则 ( )A.9B.10C.11D.128.已知双曲线的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 ( )A. B. C. D.9.双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距为4，则A.8B.6C.4D.210.已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.11.如果是抛物线的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若 ,则 ( )A. B. C. D.12.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13.若命题“ ”是假命题，则实数的取值范围是 .14.已知直线和双曲线的左右两支各交于一点，则的取值范围是 .15.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则 .16.已知是抛物线上的动点，点是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题函数在单调递增;命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程.(Ⅱ)求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.19.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2.(Ⅰ)求抛物线的标准方程;(Ⅱ)若直线与抛物线相交于两点，求弦长 .20.(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为，虚轴长为 .(Ⅰ)求双曲线的标准方程;(Ⅱ)过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积.21.(本小题满分12分)已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程.22.(本小题满分12分)已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)E,F是椭圆C上异于点的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.数学(文科)学科参考答案第Ⅰ 卷 (选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D C A A C D C B B A第Ⅱ 卷 (非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分. )(13) ; (14) ; (15) ; (16) .三、解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)(17)(本小题满分10分)解：命题p：函数在单调递增命题q：方程表示焦点在轴上的椭圆……4分“ ”为真命题,“ ”为假命题，命题一真一假……6 分① 当真假时：② 当假真时：综上所述：的取值范围为……10分(18)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设椭圆方程为，解得，所以椭圆方程为. ……6分(Ⅱ)设双曲线方程为，代入点，解得即双曲线方程为. ……12分(19)(本小题满分12分)解：(Ⅰ) 抛物线的方程为：……5分(Ⅱ)直线过抛物线的焦点，设，联立，消得，……9分或……12分(20)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意可得，解得双曲线的标准方程为. ……4分(Ⅱ)直线的方程为联立，消得，设，，由韦达定理可得 , ，……7分则……9分原点到直线的距离为……10分的面积为……12分(21)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，解得，所以椭圆方程是：……4分(Ⅱ)设直线：联立，消得，设，，则 ,……① ……② ……6分，即……③ ……9分由①③得由②得……11分解得或 (舍)直线的方程为：，即……12分(22)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，的周长为，，椭圆的标准方程为. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设直线方程：，联立，消得……5分设，点在椭圆上，……7分又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，，……9分……10分即直线的斜率为定值，其值为. ……12分高二数学上期中文科联考试题第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知sin α=25，则cos 2α=A.725B.-725C.1725D.-17252.已知数列1，3，5，7，…，2n-1，…，则35是它的A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c=2a，则cos B=A.18B.14C.12D.14.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbA.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形5.已知点(a，b) a>0，b>0在函数y=-x+1的图象上，则1a+4b 的最小值是A.6B.7C.8D.96.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则从上往下数第6节的容积为A.3733B.6766C.1011D.23337.设Sn为等比数列{an}的前n项和， 27a4+a7=0，则S4S2=A.10B.9C.-8D.-58.已知数列{an}满足an+1+an=(-1)n•n，则数列{an}的前20项的和为A.-100B.100C.-110D.1109.若x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0，则z=x+2y的最大值为A.3B.4C.5D.610.已知0A.13B.12C.23D.3411.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若对所有的n(n∈N*)，都有Sn≥S10，则A.an≥0B.a9•a10<0C.S2第Ⅰ卷选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{an}中，a4•a6=2 018，则a3•a7= ________ .13.在△ABC中，a=3，b=1，∠A=π3，则cos B=________.14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b;③若a ab>b2;④若c>a>b>0，则ac-a>bc-b;⑤若a>b，1a>1b，则a>0，b<0.其中正确的是________.(填写序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.(本小题满分8分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求角C;(2)若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.16.(本小题满分10分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大?并求出最大收入.17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.(本小题满分6分)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP→=4FQ→，则|QF|等于( )A.72B.52C.3D.2二、填空题19.(本小题满分6分)如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是__________.三、解答题20.(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD=2，AB=4，AD=BC=2.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图.(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF;(2)求二面角C-AB-F的正切值.21.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围;(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t，10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12-t(视区间[a，b]的长度为b-a).22.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e=12.(1)求椭圆的标准方程;(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l：y=kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM→+ON→=λOC→，求实数λ的取值范围.参考答案第Ⅰ卷(共100分)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案 C B B A D A A A B B D1.C 【解析】cos 2α=1-2sin2α=1-2×252=1725.故选C.2.B 【解析】由数列前几项可知an=2n-1，令an=2n-1=35得n=23.故选B.3.B4.A 【解析】由正弦定理可得sin C5.D 【解析】a+b=1，∴1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥9，当且仅当b=2a=23时取等号.故选D.6.A 【解析】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}，设其公差为d，且d>0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=1322，d=766，则第6节的容积a6=a1+5d=7466=3733.故答案为A.7.A 【解析】由27a4+a7=0，得q=-3，故S4S2=1-q41-q2=1+q2=10.故选A.8.A 【解析】由an+1+an=(-1)n•n，得a2+a1=-1，a3+a4=-3，a5+a6=-5，…，a19+a20=-19.∴an的前20项的和为a1+a2+…+a19+a20=-1-3-…-19=-1+192×10=-100，故选A.9.B 【解析】由x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0.作出可行域如图，由z=x+2y，得y=-12x+z2.要使z最大，则直线y=-12x+z2的截距最大，由图可知，当直线y=-12x+z2过点A时截距最大.联立x=2y，x+y=3解得A(2，1)，∴z=x+2y的最大值为2+2×1=4.故答案为B.10.B 【解析】∵0∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3•x+1-x22=34，当且仅当x=12时取等号.∴x(3-3x)取最大值34时x的值为12.故选B.11.D 【解析】由?n∈N*，都有Sn≥S10,∴a10≤0，a11≥0，∴a1+a19=2a10≤0，∴S19=19(a1+a19)2≤0，故选D.二、填空题12.2 01813.32 【解析】∵a=3，b=1，∠A=π3，∴由正弦定理可得：sin B=bsin Aa=1×323=12，∵b14.②③④⑤【解析】当c=0时，若a>b，则ac=bc，故①为假命题;若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，故②为真命题;若a ab且ab>b2，即a2>ab>b2，故③为真命题;若c>a>b>0，则cabc-b，故④为真命题;若a>b，1a>1b，即bab>aab，故a•b<0，则a>0，b<0，故⑤为真命题.故答案为②③④⑤.三、解答题15.【解析】(1)∵在△ABC中，0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C(sin AcosB+sin Bcos A)=sin C，整理得：2cos Csin(A+B)=sin C，即2cos Csin(π-(A+B))=sin C，2cos Csin C=sin C，∴cos C=12，∴C=π3.4分(2)由余弦定理得7=a2+b2-2ab•12，∴(a+b)2-3ab=7，∵S=12absin C=34ab=332，∴ab=6，∴(a+b)2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+7.8分16.【解析】(1)设甲、乙两种产品月产量分别为x，y件，约束条件是2x+y≤500，x+2y≤400，x≥0，y≥0，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分.5分(2)设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y，由z=3x+2y可得y=-32x+12z，截距最大时z最大.结合图象可知，直线z=3x+2y经过A处取得最大值由2x+y=500，x+2y=400可得A(200，100)，此时z=800.故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元.10分17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴2a1+9d=20，(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，解得a1=1，d=2，∴an=1+2(n-1)=2n-1.6分(2)bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.C 【解析】∵FP→=4FQ→，∴|FP→|=4|FQ→|，∴|PQ||PF|=34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，∴|QQ′||AF|=|PQ||PF|=34，∴|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3，故选C.二、填空题19.62 【解析】|F1F2|=23.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1.∵|AF2|+|AF1|=4，|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=2+a，|AF1|=2-a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2=90°，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即(2-a)2+(2+a)2=(23)2，∴a=2，∴e=ca=32=62.三、解答题20.【解析】(1)因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形.又G为FB的中点，所以AG⊥FB.2分在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，所以AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.5分(2)连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF.因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角.8分因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=32.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=2，所以CG=1.在Rt△CGH中，tan∠CHG=233，故二面角C-AB-F的正切值为233.12分21.【解析】(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，∴f(x)在区间[-1，1]上是减函数.∵函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有f(1)≤0，f(-1)≥0，即1-16+q+3≤0，1+16+q+3≥0，∴-20≤q≤12.6分(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x=8.①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)-f(8)=12-t，即t2-15t+52=0，解得t=15±172，∴t=15-172;9分②当6∴f(10)-f(8)=12-t，解得t=8;11分③当8∴f(10)-f(t)=12-t，即t2-17t+72=0，解得t=8，9，∴t=9.综上可知，存在常数t=15-172，8，9满足条件.13分22.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知得：4a2+3b2=1，ca=12，c2=a2-b2，解得a2=8，b2=6，所以椭圆的标准方程为x28+y26=1.4分(2)因为直线l：y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切，所以|t+k|1+k2=1?2k=1-t2t(t≠0)，6分把y=kx+t代入x28+y26=1并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=-8kt3+4k2，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6t3+4k2， 8分因为λOC→=(x1+x2，y1+y2)，所以C-8kt(3+4k2)λ，6t(3+4k2)λ，又因为点C在椭圆上，所以，8k2t2(3+4k2)2λ2+6t2(3+4k2)2λ2=1?λ2=2t23+4k2=21t22+ 1t2+1，11分因为t2>0，所以1t22+1t2+1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(-2，0)∪(0，2).13分。

北京市丰台二中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析

北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜08．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．210．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=（用复数代数式表示）16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件时，有m∥β（填所选条件的序号）18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而求得它的虚部．解答：解：复数z====i，故复数z的虚部为1，故选：C．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：本题考查命题的定义，根据定义逐项判断即可，属于基础题目．解答：解：A、无法判断真假，不是命题，A错误，B，C，D可以判断真假，是命题，正确，故选：A．点评：解题关键是定义：命题是能够判断真假的陈述句．3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即充分性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．解答：解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C点评：本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：结合互为逆否的两个命题真假性相同，逐一分析命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b 不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题真假，可得答案．解答：解：命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”为真命题，故其逆否命题为真命题；命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题为“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a+b＞0”为假命题；故原命题的否命题也为假命题；故命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是2个，故选：C点评：本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性．6．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱的结构特征进行判断．解答：解：截面以下的几何体满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行，这样的立体图形为四棱柱，故选：D．点评：主要考查了棱柱的结构特征，属于容易题．7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．8．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的性质、线面平行的判定，即可得出结论．解答：解：直线a⊥直线b，直线a⊥平面β，b⊂β，或b⊄β，若b⊄β，则b∥β，∴b⊂β，或b∥β．故选：D．点评：本题考查线面垂直的性质、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱锥．解答：解：该几何体为三棱锥，其体积为V=××3×1×2=1，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，分产生的截面四边形的四个顶点的位置进行讨论．解答：解：如图示时，该截面四边形为平行四边形，当截面产生的两个四个交点，其中两个为下底面的产生的，两个为截面与上底面产生时，此时截面四边形为梯形，故截面四边形可能为梯形或平行四边形，故选：C．点评：本题重点考查了空间中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于容易题．注意分类讨论思想在求解问题中的灵活运用．11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面，可得A正确，由圆的性质可得AC⊥BC，可得B正确，由B 及线面垂直的性质可得D正确．解答：解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故①正确，⇒BC⊥平面PAC，故②正确，对于③假设AC⊥PB，结合选项②，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，又AC⊥PA，故③不正确，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故④正确，故选B．点评：本题主要考查了三垂线定理的运用，涉及到了“线面垂直”与“线线垂直”的转化，要求考生熟练掌握基本概念、基本定理．12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：由ED⊥平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即∠EMD为EM与平面BCD所成角．解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；解答：解：∵ED⊥平面BCD，∴DM为EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD为EM与平面BCD所成角．∵DA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC，设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=a，在△ABC中，∠BAC=120°，∴BC=a，又∵M为BC中点，∴DM⊥BC，BM=BC=a，∴DM=a．在Rt△EDM中，EM==，∴sin∠EMD==，故选：A点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长），可得=．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=，可得h==．利用它们的体积比==即可得出．解答：解：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长）．∴==．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO==．∴h==．∵两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比===．故答案为：．点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：“平行四边形的对角线互相平分”．考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：由演绎推理的基本规则，大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是平行四边形的性质，可得答案．解答：解：将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为：大前提：“平行四边形的对角线互相平分”，小前提：“菱形是平行四边形”，结论：“菱形的对角线互相平分”，故答案为：“平行四边形的对角线互相平分”点评：本题考查进行简单的演绎推理，解题的关键是对演绎推理的规则有着熟练的掌握，再就是熟练掌握了平行四边形的性质，本题是概念型题，知识性理论性较强．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣5﹣4i（用复数代数式表示）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用向量的坐标运算结合复数的加法运算得答案．解答：解：∵=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣=﹣1﹣i﹣（4+3i）=﹣5﹣4i．故答案为：﹣5﹣4i．点评：考查了复数的代数表示法及其几何意义，训练了平面向量的坐标运算，是基础题．16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．解答：解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r=所以球的体积为：πr3=π故答案为：π．点评：本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件③⑤时，有m∥β（填所选条件的序号）考点：直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：要使m∥β，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与β内的一条直线平行或者m在与β平行的平面内即可．解答：解：根据面面平行的性质，可得m⊂α，α∥β时，m∥β．故满足条件③⑤时，有m∥β．故答案为：③⑤．点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为平行．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，可以取AD的中点为H，连接FH，得到FH∥PA，然后，得到AP∥平面EFG．解答：解：可以取AD的中点为H，连接FH，因为F为中点，所以FH∥PA，∴PA∥平面EFHG，∴AP∥平面EFG．故答案为：平行．点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、直线与平面平行等知识，属于中档题．若题目中出现中点问题，添加辅助线的口诀为：有中点连中点，得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，连结C1B，然后，得到四边形ABC1D1是平行四边形，从而得证；（2）根据（1）可以证明AB1∥平面EFG，从而证明；（3）根据平行关系，得到∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，然后放到三角形中求解．解答：解：（1）连结C1B，∵AB∥B1C1，且AB=B1C1∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，又∵E、G为中点，∴BC1∥EG，∴AD1∥EG，∴AD1∥平面EFG；（2）结合（1），同理可以证明AB1∥平面EFG，∵AB1∩AD1=A，∴平面AB1D1∥平面EFG；（3）∵BD∥B1D1，且BD∥EF，∴∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，在△EFG中，显然为等边三角形，∴异面直线B1D1与EG所成的角为60°．点评：本题重点考查了空间中平行关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；（2）结合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD过P作PE⊥AD，垂足为E，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CD，∵AD∩PE=E，∴CD⊥平面PAD；（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA．又∵PA=PD=AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答．21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）由a1=，a2=，a3=，a4=，即可猜想得到通项公式；（3）利用（2）的猜想a n的表达式，运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．解答：解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==．（2）由（1），a1=，a2=，a3=，a4=，可以猜想a n=．（3）用数学归纳法证明：ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=，当n=k+1时，a k+1===，所以当n=k+1时猜想也成立．由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．所以a n=．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（﹣3），f（﹣2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（﹣3）与f （﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x＜0，使得，然后将该方程变成：，由0＜a x＜1便得到，解该不等式得到的x的范围应该和x＜0矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（1）f（﹣3）=，f（﹣2）=a﹣2+4；∵a＞1；∴a﹣3＜a﹣2，；∴f（﹣3）＜f（﹣2）；同理可得f（0）＜f（1）；（2）f′（x）=＞0；∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；（3）证明：假设f（x）=0有负数根；即存在x＜0，使成立；∴；∵0＜a x＜1；∴，解得，与x＜0矛盾；∴假设不成立；即方程f（x）=0没有负数根．点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程．。

浙江省宁波市慈溪市2022-2022学年高二数学上学期期中试题(含解析)

故选A．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
5.已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )
A. 2B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.
【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,
【答案】 (1). (2，-1) (2). (x-1)2+y2=2
【解析】
【分析】
先整理直线的方程为 ,由可得定点;由于直线过定点 ,所以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.
【详解(xiánɡ jiě)】因为 ,由可得 ,所以(suǒyǐ)直线经过(jīngguò)定点 ;
【答案】
【解析】
如图，连接(liánjiē) 交于点，连接(liánjiē) ．因为(yīn wèi) 是正方体，所以(suǒyǐ) 面，从而(cóng ér)可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角．设正方体的边长为1，则，所以在中有
16.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)
11.已知直线，直线 .若直线的倾斜角为，则 =_________;若，则，之间的距离为_____.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
利用直线的倾斜角和斜率的关系可求；根据两条直线平行可得，再结合平行直线间的距离公式可求.
【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标 ,半径 ;
设关于直线的对称点为 ,则 ,解得 ,

上海市奉贤中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

上海市奉贤中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.直线l 过点A （1,2），且法向量为（1，-3），则直线l 的一般式方程为____________ 【答案】x -3y +5=0 【解析】【分析】先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为13，再结合直线点斜式方程的求法，求出直线方程，然后整理为一般式即可.【详解】解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为13，又直线过点A （1,2），由直线点斜式方程可得12(1)3y x -=-，整理得350x y -+=，故答案为：350x y -+=.【点睛】本题考查了直线的法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，属基础题.2.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________. 【答案】2- 【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.【详解】依题意得·1,2a b b =-=，因此向量a 在向量b 方向上的投影为·2a b b=-. 【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题. 3.20y ++=与直线10x +=的夹角为________ 【答案】6π【解析】【分析】分别求两直线的倾斜角，即可得出夹角.【详解】因为直线320x y ++=的斜率为3k =-，所以其倾斜角为23π，又直线10x +=的倾斜角为2π，所以两直线夹角为：2326πππ-=. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查求两直线的夹角，熟记斜率的定义，会求倾斜角即可，属于基础题型.4.设变量x 、y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则23z x y =+的最大值为________【答案】8 【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233zy x =-+，根据直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z 越大，z 就越大；结合图像，即可得出结果.【详解】由约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为23z x y =+化为233zy x =-+，因此直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z 越大，z 就越大；由图像可得：直线233zy x =-+过点A 时，截距最大；由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，所以max 268=+=z . 故答案为：8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.5.行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为____________. 【答案】29 【解析】【分析】由已知得元素6-是第2行第3列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得6-的代数余子式.【详解】由题意得元素6-的代数余子式是第2行第3列元素的代数余子式()()2335(1)(1)32572972+-⎡⎤-=-⨯⨯--⨯-=⎣⎦-,故填：29.【点睛】本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的位置有关，属于基础题. 6.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则mn =________ 【答案】35【解析】【分析】先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩，解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n . 故答案为：35【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7.已知(3,2)a =-，(1,4)b =-，向量a 与向量a λb +垂直，则实数λ的值为________ 【答案】1311- 【解析】【分析】先由题意求出(3,24)+=--+a λb λλ，再由向量垂直，得到()0a a b λ⋅+=，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为(3,2)a =-，(1,4)b =-，所以(3,24)+=--+a λb λλ，又向量a 与向量a λb +垂直，所以()0a a b λ⋅+=，即3(3)2(24)0---++=λλ，即11130+=λ，解得：1311λ=-. 故答案为：1311-【点睛】本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.8.已知||1a =，1b ||=，||3a b +=，则||a b -=________ 【答案】1【解析】【分析】先由题意求出a b ⋅，根据向量模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因||1a =，1b ||=，||3a b +=，所以()22223+=++⋅=a ba b a b ，因此12a b ⋅=，所以()2||1121-=-=+-⋅=a b a b a b .故答案为：1【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型. 9.已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最小值时，P 点的坐标为________ 【答案】(1,4)- 【解析】【分析】先由题意，得到点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =根据点与圆位置关系，得到min =-PA PM r ，推出P 为AM 的中点，进而可求出结果.【详解】因为22(02)(53)82-+-+=>，所以点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =则min=-==PA PM r此时,,A P M 三点共线，由12=PA PM 可得：P 为AM 的中点，因此P 的坐标为：0253,22+--⎛⎫⎪⎝⎭，即(1,4)-P . 故答案为：(1,4)-【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及中点坐标公式即可，属于常考题型.10.如图，已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________【答案】18【解析】【分析】先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==，因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB 1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】由题意设(,)--M x x a ，因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ，整理得：226(64)340x a x a +++-=① 因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，解得24224233-+≤≤a . 故答案为：242242,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.12.如图，已知半圆221x y +=（0y ≥），点(1,0)A -，点(0,1)D ，点C 在半圆上，点B在x 轴上，且ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，若直线AC 与直线BD 平行，则点B 的横坐标为________.【答案】12【解析】【分析】先设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<；再由题意，得到1==-AC BD k k a，得到直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a；再由ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，根据直线AC 方程，得到11,22-+⎛⎫-⎪⎝⎭a a C a ，代入221x y +=，求解，即可得出结果.【详解】因为点B 在x 轴上，设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<，因点(0,1)D ，所以1=-BD k a，又直线AC 与直线BD 平行，所以1=-AC k a ，由点(1,0)A -，可得直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a；因为ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，所以C 点横坐标为：12a -，代入1(1)=-+y x a ，可得，111122-+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a a y a a ，即11,22-+⎛⎫- ⎪⎝⎭a a C a ，又因为点C 在半圆221x y +=（0y ≥）上，所以2211212-+-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ，即2222(1)4(1)-=-+a a a a ，即222(1)321-=--a a a a ，即()()22(1)311-=+-a a a a ，即()()321310----=a a a a ，即()()()32212210⎡⎤---+--=⎣⎦a a a a a a ，即()()()211210-+--=a a a a ，解得：1a =±或1a =因为10a -<<，所以1a =即点B 的横坐标为1故答案为：1-【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 二、填空题13.若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果.【详解】因为a 与b c -都是非零向量，若a b a c ⋅=⋅，则0⋅-⋅=a b a c ，即()0⋅-=a b c ，所以()a b c ⊥-；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充分条件；若()a b c ⊥-，则0⋅-⋅=a b a c ，所以a b a c ⋅=⋅；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的必要条件；综上，“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充要条件. 故选：C【点睛】本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.14.已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（）A. (2,3)-B. (4,7)C. (3,5)D. 1(,4)2【答案】B 【解析】【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果.【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上；当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上；当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上；当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（） A. 内心 B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC △重心. 【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC △的重心。

吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案解析)

吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2214x y +=的焦点坐标是（）A ．()B ．()C ．(0,D ．(0,2．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±4．若直线1x ya b-=过第一､二､三象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b <<D ．0,0a b ><5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（）A ．π42-B ．π82-C ．4π-D ．8π-6．若P 为椭圆22195x y +=上的任意一点，F 是椭圆的一个焦点，则PF 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（）A ．30B ．45C ．60D ．908．双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是12，则P到2F 的距离是（）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或229．已知α、β是两个平面，直线l α⊄，l β⊄，若以①l α⊥；②//l β；③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，点M 在椭圆上，若12MF F △是直角三角形，则12MF F △的面积等于（）A ．485B ．365C ．16D ．485或1611．一束光线从点()2,3射出，经x 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或2312．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．3二、填空题13．经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为______．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过11,,A C B 三点的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11A C 的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）15．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．16．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的18，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．已知直线:4320l ax y a --+=.（1）求证：无论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.19．已知直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，12l l ⊥且垂足为A ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 与直线2l 相切于点A ，且圆心C 的横坐标为2，求圆C 的标准方程．20．如图，在多面体ABCDGE 中，已知四边形ABCD 为矩形，ABEG 为平行四边形，⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且24AB AE AD ===.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥P ACF -的体积.21．已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （N m ∈）个公共点.(1)若3m ≥，求k 的最小值；(2)若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，()0,1F ，证明：2FB FC FA⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，三点()()1230,2,,0,1A A A -中恰有两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于,M N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为-，过P 作直线l l '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.【详解】由题设方程，椭圆焦点在x 轴上且c ==∴焦点坐标为().故选：A.2．C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C 3．C【详解】c e a ==2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．C【分析】将直线1x ya b-=过第一､二､三象限，转化为直线在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，可得答案.【详解】将直线1x y a b -=化为+1x y a b=-，又直线过第一､二､三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a<0，0b ->．所以0,0a b <<.故选：C.5．B【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，所以体积为()21π222π12842⨯⨯-⨯⨯⨯=-.故选：B6．D【分析】先求得,a c ，由此求得PF 的最大值.【详解】22195x y += ，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：D 7．B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，由于正方形ABCD ，所以2AC PA ==，所以45PCA ∠=︒.故选：B8．D【分析】讨论P 点位置，结合1PF 求2PF .【详解】当P 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得2121210PF PF PF -=-=，解得222PF =，当P 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得1221210PF PF PF -=-=，解得22PF =，因为225PF c a =≥-=，所以22PF =满足题意.所以22PF =或22，故选:D.9．A【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：①②⇒③为真命题因为l α⊥，//l β，设l 平行于β内一条直线l '，所以l α'⊥，根据面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，所以①②⇒③为真命题；（2）证明：①③⇒②为真命题因为l α⊥，αβ⊥，所以l ⊂α或l //β，又因为l β⊄，所以l //β，所以①③⇒②为真命题；（3）证明：②③⇒①为假命题作出正方体如下图所示：记直线AD 为l ，平面1111D C B A 为α，平面11BB C C 为β，所以αβ⊥，//l β，但//l α，所以②③⇒①为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.10．D【分析】对12MF F △的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】依题意，5,4,3a b c ===，不妨设()()13,0,3,0F F -，对于直角三角形12MF F ，若12π2F MF ∠=，由1222212210436PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，整理得1232PF PF ⋅=,所以12121162MF F S PF PF =⨯⨯= .若12MF F ∠或21MF F ∠为直角，由()22312516M y ±+=得225616,255M M y y ==，所以121211164862255MF F M S F F y =⨯⨯=⨯⨯= .所以，12MF F △的面积等于485或16.故选：D 11．C【解析】设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，根据对称性可知，直线与圆()()22321x y ++-=关于x 轴的对称圆相切，即可求出斜率k .【详解】由题意可知，点()2,3在入射光线上，设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，即2kx y k --30+=.圆()()22321x y ++-=关于x 轴对称的圆为()()22321x y +++=，则入射光线与该圆相切.1=，化为21225120k k -+=，解得34k =或43.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.12．B【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b ba a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ===.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.13．20x y -=．【解析】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，然后将()2,1P 求解.【详解】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，把()2,1P 代入，得：2210c -⨯+=，解得0c =，∴经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.14．平行【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知：11//A C AC ，由于11A C ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以11//A C 平面ABCD ，由于平面11AC B ⋂平面ABCD l =，11AC ⊂平面11A C B ，所以11//l AC .故答案为：平行15．6【分析】利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．16【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.【详解】球的体积为3344ππ33R R ⨯=，则两个圆锥的体积之和为3314π=π8316R R ⨯，设两个圆锥的高分别为12,h h ，则122h h R +=，设圆锥底面圆半径为r ，则()2231212π1ππ336r h h r R R ⋅+==⋅，解得：2R r =，即2PD R =，所以222232AP R R R R ⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭，222232BP R R R R ⎛⎫=+-= ⎪⎝+⎭所以这两个圆锥的高之差的绝对值为2232233R --=3R17．（1）24π；（2）21π2．【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，2222534PO PB OB =-=-=，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==，∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）证明见解析；（2）2a ≥.【分析】（1）将含有a 的项整理在一起，令a 的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.【详解】（1）直线:4320l ax y a --+=化为(41)230a x y -+-=，令410,230,x y -=⎧⎨-=⎩1,42,3x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即直线:4320l ax y a --+=恒过定点12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 总经过第一象限.（2）直线:4320l ax y a --+=化为4233ax a y -=+，当0a =时，得23y =，直线经过第二象限；要使l 不经过第二象限，须有403203a a ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得2a ≥.19．（1）()1,3-；（2）()()22255x y -++=．【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得220a +=，解可得a 的值，即可得直线2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得A 的坐标，即可得答案．（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为(2,)b ，将其代入直线1l 的方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，若12l l ⊥，则有220a +=，解可得1a =-，则直线2l 的方程为270x y -++=，即270x y --=；联立两直线的方程：210270x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解可得13x y =⎧⎨=-⎩，即A 的坐标为()1,3-；（2）根据题意，若圆C 与直线2l 相切于点A 且12l l ⊥且垂足为A ，则圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为()2,b ，则有2210b ⨯++=，解可得=5b -，则圆心C 的坐标为()2,5-，圆的半径r CA ===则圆C 的标准方程为()()22255x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．20．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）通过证明EF BC ⊥、EF BE ⊥来证得EF ⊥平面BCE ；（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥P ACF -的体积.【详解】（1）因为⊥AE 平面,ABCD AE ⊂平面ABED ，所以平面ABCD ⊥平面ABEG .因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥.又BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABEG AB =，所以BC ⊥平面ABEG .因为EF ⊂平面ABEG ，所以EF BC ⊥.因为四边形ABEG 为平行四边形，AB AE =，所以AE GE =.又F 为AG 中点，所以EF AG ⊥.易知//BE AG ，所以EF BE ⊥.又,,BC BE B BC BE ⋂=⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE .（2）因为⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F ABEG 为平行四边形，GE AE ⊥，所以三棱锥F ACP -的高为122AE =.又PAC △的面积12222PAC S =⨯⨯= ，所以三棱锥P ACF -的体积142233P ACF F PAC V V --==⨯⨯=.21．(2)证明见解析【分析】（1）联立2x y =-与3y kx =-，21=120k ∆+>，故l 与抛物线2x y =-恒有两个交点.所以24x y =与3y kx =-，至少有一个交点，故令22=16480k ∆-≥，可求得k 的最小值；（2）由（1）知，k =A x =3A y =，142A FA y =+= ，即可证明22FB FC FA FA ⋅== .【详解】（1）联立2x y =-与3y kx =-，得230x kx +-=，∵21=120k ∆+>，∴l 与抛物线2x y =-恒有两个交点；联立24x y =与3y kx =-，得24120x kx -+=，∵直线l 与曲线M 有m 个公共点，且3m ≥，∴l 与抛物线24x y =至少有1个交点，∴22=16480k ∆-≥，∵0k >，∴k ≥∴k（2）由（1）知，k =且24120A A x kx -+=，∴24A x k =，∴2A x k ==，∴(24A y =，∴3A y =，故()A ，易知()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，则23142A FA y =+=+= ，设()11,B x y ，()22,C x y ，由230x kx +-=可得12x x k +=-=123x x =-，∴()121269y y k x x +=+-=-，()()()21212121233399y y kx kx k x x k x x =--=-++=，∴()()()121212*********FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ，∵2216FA FA == ，∴2FB FC FA⋅= 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)221124x y +=(2)证明见解析，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)分别讨论即可确定12,A A 在C 上，即可求解；(2)利用点差法表示出l 的斜率，再表示出l '的直线方程，即可求出定点.【详解】（1）显然13,A A 不能同时在C 上，若23,A A 在C 上，则2223331,31b a b a =+=+≠.故12,A A 在C 上，则22332,1b a b=+=，所以212a =.所以椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）设()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭.当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠.联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+.又P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-.又l l '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.当00y =时，l '过点,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，l '恒过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.。

河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

则 T2n19 为
A. 3 →
且一2
C.
l. 3
9.如图．在A八BC 中， B = 45° .八C = 8,D是 BC 边上一点，
DC= 5,DA = 7，则 AB 的长为
D-2 3
八. 4 Jz
B. 4 /3
／小＼
C. 8
D. 4 /6
+ rx-y-1 ：：：二 O,
10.实数:r,y满足条件｛
A. < 7, 17)
B. C 7, 13)
C. (7, /IT百）
+ 7.若lg(3a) lgb= lg（α十b+ 1)＇则αb的最小值为
D. C JTI9, 13)
A. 1
B.Jz
C./3
D. 2
τ 8.已知数列｛a.，｝的前 11 项积为T”’且满足a,,-,..t ＝丁1一十一υ」（ 1l ξN ‘ ），若α1 ＝ ’ 1 - l1
17.（本小题满分10分〉
设S，，为等差数列｛a，，｝的前 J1 项和．已知a3 = 5.S; = 49.
(1 ）求数列（矶，｝的通项公式；
(2）设 b,, =. G_”Jα_，，一J. ( ·求数列｛ b.，｝的前 11 项和丁，.，
18. C 本小题满分12分）
γ 。／在 6ABC ti•，角八.B.C 的对边分别为。，b C •已知C＝ π
叫她
2.考试结束，将答题卡交回．
睐
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．怜
1.若α＜b<O，那么下列不等式中不正确的是
m
巳邻
A. ab> b2

高二数学上学期期中考试试题文

高二数学试题（文）2012/11/8注意事项：1. 本试题共分三大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2．第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3. 第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第I卷（共60分）一、选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，.)1.11是A. C.1 D.22.在△ABC中，若222,b c a bc+-=则A=A.060 B.090 C.0135 D.01503.不等式2340x x-++<的解集为A.{|14}x x-<< B.{|41}x x x><-或 C.{|14}x x x><-或D.{|41}x x-<<4.若1,a>则11aa+-的最小值是A.2B.a5.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A.3B.53C.1D.-26.已知10b-<<，a<0，那么下列不等式成立的是A.2a ab ab>> B.2ab ab a>> C.2ab a ab>> D.2ab ab a>>7.ΔABC中，a=1，b=3, A=30°，则B等于A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120°8.已知点(3，1)和(4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是A.0a> B.7a<- C.0a>或7a<- D.70a-<<9.已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，求41x y+的最小值是A.4B.6C.7D.910.在中ABC∆，BaAb coscos=，则三角形的形状为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形11.数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nan n=+，则5S等于A.1B.56C.16D.13012.若222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数z x y=-的最小值为A.-2B.2C.0D.3第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上) 13.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若137,8,cos 14a b C ===，则c = . 14.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集{|12}x x <<，则a 的值为_________.15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .16.若不等式mx 2+4mx -4＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）(1)n S 为等差数列{a n }的前n 项和，62S S =,14=a ，求5a .(2)在等比数列{}n a 中，若422324,6,a a a a -=+=求首项1a 和公比q . 18.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．若ABC △a b ，.19.（本小题满分12分）有三个数成等差数列，前两个数的和的3倍正好是第三个数的2倍，如果把第二个数减去2，那么所得到数是第一个数与第三个数的等比中项.求原来的三个数. 20. （本小题满分12分）若0≤a ≤1, 解关于x 的不等式(x －a )(x +a －1)＜0. 21. （本小题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增.（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f (n )，试写出f (n )的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少．．．．．．）. 22. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和n S ，且22,N n n S a n +=-∈. （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和.n T第1个第2个第3个2011-2012学年度高二年级上学期模块笔试（学段调研）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：AABCD DBDDC BA二、填空题：13.3； 14.2 15.4n +2； 16.-1<m ≤0. 三、解答题：17.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得1112615,31,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩即11270,31,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………………3分解得，12,7.d a =-=所以，51474(2) 1.a a d =+=+⨯-=- …………………6分 (2)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得211(1)24,(1)6,a q q a q q ⎧-=⎨+=⎩ …………………………………3分解得，115,.5q a == ……………………………………………6分18.解：由题意，得222cos 4,31sin 23a b ab ab ππ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即224,4,a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩ (6)分因为222()3()34()124,a b ab a b a b +-=+-⨯=+-= 所以4,a b +=由4,4,a b ab +=⎧⎨=⎩得 2.a b == ………………………………………………12分19.解：设成等差数列的三个数分别为,,,a d a a d -+由题意，得23(2)2(),()()(2),a d a d a d a d a -=+⎧⎨-+=-⎩ 即245,44,a d a d =⎧⎨=+⎩…………………4分解得，4,5,d a =⎧⎨=⎩或1,5,4d a =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………8分所以，原来的三个数分别为1,5,9或159,,.444 …………………………12分20.解：原不等式即为(x －a )[x －(1－a )]>0，因为a -(1-a )=2a -1，所以，当0≤12a <时，1,a a <-所以原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <；…………3分当12a <≤1时，1,a a >-所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-；…………6分当12a =时，原不等式即为21()2x ->0,所以不等式的解集为1{|,R}.2x x x ≠∈……9分综上知，当0≤12a <时，原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <；当12a <≤1时，所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-；当12a =时，原不等式的解集为1{|,R}.2x x x ≠∈ ……………………12分 21.解：（Ⅰ）依题意f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n )+0.9n ……………………4分n n n 9.02)1(2.04.14+++=4.141.02++=n n ……………………6分（Ⅱ）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S ……………………8分14.411102 1.21 3.4n n =++≥=⨯+=……………………………………9分……………………………………………10分仅当nn 4.1410=，即n=12时，等号成立. ………………11分答：汽车使用12年报废为宜. ………………………………12分 22.解：（Ⅰ）当2n ≥时，111(22)(22)22,n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-所以，12,n n a a -= 即12,nn a a -= …………………………3分当1n =时，11122,2,S a a =-= …………………………4分由等比数列的定义知，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以，数列{}n a 的通项公式为1222,N .n n n a n -+=⨯=∈ ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n n n n nc a == ……………………8分所以231123122222n n n n nT --=+++⋅⋅⋅++，①以上等式两边同乘以1,2得2311121,22222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++②①-②，得2311111[1()]111111221()122222222212n n n n n n n n n n T +++-=+++⋅⋅⋅+-=-=--- 111211222n n n n n +++=--=-，所以222n n n T +=-. ………………………………14分。

2020学年上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题(解析版)

上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与2l ：()160x a y +++=平行”的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【解析】两直线平行等价于(1)20a a +-=,且610a +≠,即1a =或2a =-,根据充分非必要条件的定义可得答案. 【详解】当1a =时,1:210l x y +-=,与2:260l x y ++=平行,当1:210l ax y +-=与2:(1)60l x a y +++=平行时, (1)20a a +-=且610a +≠,解得1a =或2a =-.所以“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与2l ：()160x a y +++=平行”的充分非必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件以及充分非必要条件,属于基础题.2．已知点P 分12PP u u u u r 的比为23-，设121PP PP λ=u u u u r u u u r ，则λ的值为（） A ．25-B ．35C ．13D ．12【答案】D【解析】由点P 分12PP u u u u r 的比为23-得1223PP PP =-u u ur u u u r ,再将121PP PP λ=u u u u r u u u r 化为1211PP PP λ=-+u u u r u u ur ,由此可得答案. 【详解】因为点P 分12PP u u u u r 的比为23-,所以1223PP PP =-u u u r u u u r , 由121PP PP λ=u u u u r u u u r 得121PP PP PP λ+=u u u r u u u r u u u r ,得121PP PP PP λ+=-u u u r u u u r u u u r ,得1211PP PP λ=-+u u u r u u u r,所以1213λ-=-+,解得12λ=.故选:D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,属于基础题.3．曲线y =0y x +=的公共点的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】联立y y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩可求得两个交点的坐标.【详解】联立y y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y得||x =-,化简得212x =,所以2x =,或2x =-,所以2y =-,所以曲线y =0y x +=的公共点为(22--和,故选:B. 【点睛】本题考查了求曲线的交点,属于基础题.4．关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．随θ值的变化而变化【答案】B【解析】由根与系数的关系得到+a b 和ab ,根据两点的坐标求出直线方程,再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径,可得答案. 【详解】因为关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b , 所以a b ¹,1tan a b θ+=-,1sin ab θ=-,因为过点()2,A a a，()2,B b b 的直线方程为222()a b y a x a a b--=--,化简得()0a b x y ab +--=,由圆心到直线的距离公式得1==11==,所以过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221xy +=的位置关系是相切.故选:B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,由两点坐标求直线方程,点到直线的距离,直线与圆相切,属于中档题. 二、填空题5．已知直线l 的一个方向向量()3,4d =，且过点()1,2-，则直线l 的点方向式方程为______ 【答案】1234x y +-= 【解析】直接写出直线l 的点方向式方程即可. 【详解】因为直线l 的一个方向向量()3,4d =，且过点()1,2-, 所以直线l 的点方向式方程为:1234x y +-=. 故答案为: 1234x y +-=. 【点睛】本题考查了直线l 的点方向式方程,属于基础题.6．已知矩阵3121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，45B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =________【答案】173⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据矩阵的乘法运算法则计算可得. 【详解】因为矩阵3121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，45B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB =34151724153⨯+⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⨯-⨯⎝⎭⎝⎭.故答案为: 173⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算,属于基础题.7．在行列式4513789xx 中，第二行第一列元素1的代数余子式的值为11，则x的值是_______ 【答案】7【解析】根据代数余子式的定义列式计算可得. 【详解】依题意得21(1)(598)11x +-⨯-=, 解得7x =. 故答案为:7. 【点睛】本题考查了三阶行列式的代数余子式的计算,属于基础题.8．已知()3,4a =r ，()1,1b =-r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为_______【答案】2-【解析】根据向量数量积的几何意义计算可得. 【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为||a b b ⋅==rr r . 故答案为:2-. 【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义,属于基础题.9．已知直线l 过点()1,1A -，且与直线m ：3560x y -+=平行，则直线l 的一般式方程为_______ 【答案】3580x y --=【解析】设直线l 的一般式方程为:350(6)x y m m -+=≠,再代入(1,1)A -计算出8m =-,可得设直线l 的一般式方程. 【详解】依题意设直线l 的一般式方程为:350(6)x y m m -+=≠, 因为直线l 过点()1,1A -,所以315(1)0m ⨯-⨯-+=,解得8m =-, 所以直线l 的一般式方程为:3580x y --=. 故答案为: 3580x y --=. 【点睛】本题考查了根据两直线平行求直线方程的一般式,属于基础题.10．直线1l ：6870x y +-=与2l ：340x y c ++=间的距离为2，则实数c 的值为_______ 【答案】132或272-【解析】由6870x y +-=得73402x y +-=,再根据两条平行直线之间的距离公式列式解方程可得答案. 【详解】由6870x y +-=得73402x y +-=,7||2c --=,解得132c =或272c =-. 故答案为: 132或272-.【点睛】本题考查了两条平行直线之间的距离公式,属于基础题. 11．直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线方程为_______ 【答案】350x y -++=【解析】在所求直线上设动点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线上,将N 的坐标代入已知直线方程可得答案. 【详解】设所求直线上任意一个点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线350x y -+=上,所以350y x -+=,即350x y -++=. 故答案为:350x y -++=. 【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对称的直线方程,属于基础题.12．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2{12x y x y +≥≤≤上的一个动点，则·OAOM u u u r u u u u r的取值范围是_________. 【答案】[0,2] 【解析】【详解】令z =OA OM ⋅u u u r u u u u rx y =-+，则y =x+z ，画出2,{1,2x y x y +≥≤≤对应的可行域，可得在点（1，1）处取得最小值0，在点（0,2）处取得最大值213．已知点P 、Q 是以点C 为圆心、半径为3的圆上的两点，且3PQ =u u u r，则PC CQ ⋅=u u u r u u u r______【答案】92-【解析】根据题意分析可得,120PC CQ <>=o u u u r u u u r,再根据向量的数量积的定义计算可得答案. 【详解】因为圆C 的半径为3, 3PQ =u u u r,所以△CPQ 为边长为3的正三角形,所以,120PC CQ <>=o u u u r u u u r,所以PC CQ ⋅=u u u r u u u r 19||||cos12033()22PC CQ ⋅=⨯⨯-=-ou u u r u u u r .故答案为:92-. 【点睛】本题考查了向量的数量积,属于基础题.14．已知直线1l ，：30x y -+=和直线2l ：()3y a x =+的夹角θ在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动，则实数a 的取值范围为_______【答案】(⎫⎪⎪⎝⎭U【解析】设直线2l 的倾斜角为α,由已知可得64ππα<<或43ππα<<,根据斜率的定义可得答案. 【详解】因为直线1l ，：30x y -+=的斜率为1,所以倾斜角为4π, 设直线2l 的倾斜角为α,则||(0,)412ππα-∈,所以64ππα<<或43ππα<<,所以tan 13α<<或1tan α<<1a <<或1a <<故答案为: (⎫⎪⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率,属于基础题.15．如图，已知在以O 为圆心，AB 为直径的半圆中，AB 4=，C 是»AB 上靠近点A 的三等分点，F 是»AB 上一点，若//AC OF ，则AF BC ⋅=______【答案】6-【解析】以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,根据已知条件求出60CAO FOB ∠=∠=o ,求出,,,A F B C 的坐标,求出AF u u u r ,BC u u ur 的坐标,再根据向量的数量积进行运算即可得到答案. 【详解】以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:连接OC ,依题意得60COA ∠=o ,所以60CAO FOB ∠=∠=o ,且2OC OF ==, 所以(2,0)A -,3)F ,(2,0),(3)B C -,所以3)AF =u u u r,(3)BC =-u u u r ,所以936AF BC ⋅=-+=-u u u r u u u r. 故答案为:6-. 【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算,建立直角坐标系是解题关键,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为______ 【答案】165π 【解析】设以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切于点D ,连,CD OC ,根据图象可知, ,,O C D 三点共线时,圆的半径最小,从而圆的面积最小,由原点到直线的距离可求得半径的两倍的最小值.从而可求得面积的最小值. 【详解】圆的半径为r ,设以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切于点D ,连,CD OC , 如图所示:则CD OC r ==,过O 作直线280x y +-=的垂线,垂足为E , 所以85541OE ==+, 所以OC CD OE +≥55=,当且仅当,,O C D 三点共线时等号成立, 所以525r ≥,所以455r ≥,即圆的半径的最小值为455,所以圆C 的面积的最小值为2165r ππ=. 故答案为:165π. 【点睛】本题考查了直线与圆相切,点到直线的距离,属于基础题.17．两条直线1l ：1110a x b y ++=和2l ：2210a x b y ++=相交于点()5,6P -，则过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程为_______ 【答案】5610x y -+=【解析】将点()5,6P -的坐标代入12,l l 的方程,可知()11,A a b ，()22,B a b 都在直线5610x y -+=上,由此可得过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程. 【详解】因为两条直线1l ：1110a x b y ++=和2l ：2210a x b y ++=相交于点()5,6P -, 所以115610a b -+=,225610a b -+=,所以点()11,A a b ,()22,B a b 都在直线5610x y -+=上, 所以过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程为: 5610x y -+=. 故答案为: 5610x y -+= 【点睛】本题考查了求直线方程,属于基础题.18．设()1,2M -，()2,2N - ，若动点(),P x y ，满足5PM PN +=，则2y x+的取值范围为_______ 【答案】(][),40,-∞-+∞U【解析】根据5||PM PN MN +==,可得点P 的轨迹为线段MN ,求出其方程,根据其方程可得2y x+的取值范围. 【详解】因为||5MN ==,且5PM PN +=, 所以点(,)P x y 在线段MN 上, 因为224213MN k --==-+,所以直线MN 的方程为42(1)3y x -=-+,即4233y x =-+,所以点P 的轨迹为线段:42(12)33y x x =-+-≤≤,所以2y x+428243333x x x-++==-+, 当10x -≤<时,844834333x -+≤--=-,当02x <≤时,8844330332x -+≥-+=,所以2y x+的取值范围是(][),40,-∞-+∞U . 故答案为: (][),40,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了由两个点的坐标求直线方程,两点间的距离公式,属于基础题.19．在锐角ABC ∆中，1tan 3A =，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=u u u r u u u r_________【答案】45-【解析】由题意画出图象,结合面积求出10310sin ,cos 1010A A ==,410||||15DE DF ⋅=u u ur u u u r ,然后代入数量积公式可得. 【详解】如图所示:因为ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，所以1||||2,2AB DE ⋅=u u u r u u u r 1||||42AC DF ⋅=u u ur u u u r ,所以4||||DE AB =u u u r u u u r ,8||||DF AC =u u u r u u u r , 所以||||DE DF ⋅=u u u r u u u r32||||AB AC ⋅u u u r u u u r , 又1tan 3A =,所以sin 1cos 3A A =, 将sin 1cos 3A A =与22sin cos 1A A +=联立,结合A 为锐角解得10310sin A A ==由1||||sin 242AB AC A ⋅=+u u u r u u u r ,可得||||1210AB AC ⋅=u u u r u u u r所以410||||151210DE DF ⋅==u u u r u u u r , 所以||||cos ,DE DF DE DF DE DF ⋅=⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 410cos()A π=-410cos A =-41031045=-⨯=-.故答案为:45-.【点睛】本题考查了同角公式,三角形的面积公式,向量的数量积,属于中档题.20．已知4OA =u u u r ，6OB =u u u r ，OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，且1x y +=，AOB ∠是钝角，若()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23，则OC u u u r 的最小值是_______ 【答案】65719【解析】根据()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23,结合图象分析可知, 当()OA tOB OB -⊥u u u r u u u r u u u r时, 直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小,由此计算出23AOB π∠=,再求出2||OC u u u r 关于x 的表达式,根据二次函数求出最小值后,开方可得答案. 【详解】因为()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23即直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小值为23所以当()OA tOB OB -⊥u u u r u u u r u u u r时, 直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小,因为AOB ∠是钝角,所以sin()42AOB π-∠==,所以3AOB ππ-∠=,所以23AOB π∠=, 因为OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r,且1x y +=,所以22()OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 2222||||2x OA y OB xyOA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2211636246()2x y xy =++⨯⨯-g221636(1)2(1)(12)x x x x =+-+-⨯- 2769636x x =-+21276()19x =-10819+,所以1219x =时,2||OC u u u r 取得最小值10819,所以||OC u u u r .【点睛】本题考查了向量的线性运算,向量的数量积,二次函数求最值,属于中档题. 21．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③【解析】【详解】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线0(),f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线0(),f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++的图象关于y 轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为②③.【考点】对新定义的理解、函数的对称性. 三、解答题22．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组()6232x ay a x y a +=-⎧⎨-+=-⎩.【答案】当3a ≠且1a ≠-时,原方程组有唯一组解,2(3)1a x a +=-+, 41y a =-+当1a =-时,原方程组无解, 当3a =时,原方程组有无数组解.【解析】先求出系数行列式,,x y D D D ,然后讨论a ,从而确定二元一次方程组解的情况. 【详解】由题意得,2113(2)2323aD a a a a a ==⨯--=-++-(3)(1)a a =--+,2618(2)2182(3)(3)23x aD a a a a a a -==---=-=-+-, 1626(2)4(3)22y D a a a a a-==-+-=---,当0D ≠,即3a ≠且1a ≠-时,原方程组有唯一组解,2(3)(3)2(3)(3)(1)1x D a a a x D a a a -++===---++, 4(3)(3)(1)y D a y Da a -==--+41a =-+,当0D =,0x D ≠,即1a =-时,原方程组无解, 当0x y D D D ===,即3a =时,原方程组有无数组解. 【点睛】本题考查了用行列式解二元一次方程组,属于基础题.23．已知在平面直角坐标系中，()1,2A ，()2,1B -，O 为坐标原点. （1）求AOB ∆的面积；（2）求AOB ∆的外接圆的方程.【答案】（1）52；（2）22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】(1)利用两点,A B 的坐标求出,OA OB 的斜率,根据斜率判断出OA OB ⊥,求出两直角边的长度后,代入面积公式可求得; (2)求出圆心坐标和半径后,写出圆的标准方程可得. 【详解】 (1)20210OA k -==-,101202OB k --==--,且12()12OA OB k k ⋅=⨯-=-, 所以OA OB ⊥,又||OA ==,||OB ==所以12OAB S =V 52=.(2)由(1)可知圆心为AB 的中点31(,)22,2=,所以AOB ∆的外接圆的方程为:22315()()222x y -+-=.【点睛】本题考查了用斜率乘积为1-判断两直线垂直,圆的标准方程,属于基础题.24．已知a r 与b r 的夹角为34π，且2a =r，b =r （1）求32a b +r r ；（2）求32a b +r r与a r 的夹角θ的大小.【答案】（1）（2）arccos5. 【解析】(1)利用|32|a b +=r r ;(2)利用cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+r r r r rr 2=r r r . 【详解】(1)|32|a b +==r r====(2)cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+r r r r rr 2=r rr 3422(⨯+⨯==.所以θ=. 【点睛】本题考查了求向量的模,向量的夹角,属于基础题.25．在ABC ∆中，点A 的坐标为()1,2，AB 边上的高所在直线方程为2310x y -+=，且4CAB π∠=.（1）求边AB 所在的直线方程；（2）求边AC 所在的直线方程.【答案】（1）3270x y +-=；（2）530x y --=或5110x y +-=.【解析】(1)先根据AB 边上的高所在直线的斜率求出边AB 所在的直线的斜率,再由点斜式可得答案;(2)根据夹角公式列式求出边AC 所在直线的斜率,再由点斜式求得答案. 【详解】(1)因为AB 边上的高所在直线方程为2310x y -+=,所以32AB k =-,由点斜式可得边AB 所在的直线方程为32(1)2y x -=--,即3270x y +-=,(2)因为||tan 4|1|AB AC AB AC k k k k π-==+2||312|1|3AC AC k k -=+, 所以22|||1|33AC AC k k -=+,解得15AC k =-或5AC k =,由点斜式可得边AC 所在直线的方程为12(1)5y x -=--或25(1)y x -=-, 即5110x y +-=或530x y --=. 【点睛】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系,夹角公式,直线方程的点斜式,属于中档题.26．在平行四边形ABCD 中，()1,1A ，()6,0AB =，()2,4AD =. （1）求点C 的坐标；（2）过点()3,3P -的直线l 与平行四边形ABCD 围成的区域（包括边界）有公共点，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；（3）对角线AC 所在的直线与圆Q ：222924505x y mx my m m +--++-=没有交点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()9,5；（2）,arctan 24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）89,1,95⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【解析】(1)根据AC =u u u r AB AD +u u u r u u u r可求得答案;(2)作出图象后,利用直线PB 和PA 的倾斜角表示即可;(3)求出直线AC 的方程后,利用圆心到直线的距离大于半径,列不等式即可解得答案. 【详解】(1) 在平行四边形ABCD 中,AC =u u u r AB AD +u u u r u u u r()6,0=()2,4+(8,4)=,又()1,1A ,设(,)C a b ,则(1)1,AC a b =--u u u r,所以18,14a b -=-=,所以9,5a b ==,所以(9,5)C . (2)如图所示:因为()1,1A ，()6,0AB =，()2,4AD =, 所以(7,1)B ,因为1(3)41734PB k --===-,1(3)213PA k --==--, 所以直线PB 的倾斜角为4π,直线PA 的倾斜角为arctan 2π-,由图可知直线l 的倾斜角θ的取值范围是[,arctan 2]4ππ-.(3)由圆Q ：222924505x y mx my m m +--++-=可得229()(2)5x m y m m -+-=-,所以圆心为(,2)m m ,9)5m >, 又511912AC k -==-,所以直线AC 的方程为11(x 1)2y -=-,即210x y -+=,依题意直线AC 与圆Q 没有交点,>化简得(98)(1)0m m +->,解得1m >或89m <-,又95m <,所以89m <-或915m <<.所以实数m 的取值范围是89,1,95⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查了平行四边形法则,向量的线性运算,直线的倾斜角与斜率,直线与圆的位置关系,点到直线的距离,属于中档题.27．已知过点()0,3A -的动直线l 与圆C ：22450x x y -+-=相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：230x y t ++=（t 为常数）相交于点N . （1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（2）当PQ =l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角θ变化时，探索AM AN ⋅的值是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）0x =或512360x y --=；（3）AM AN ⋅u u u u r u u u r为常数,该常数为9t -【解析】(1)根据直线l 与m 垂直可得到直线l 的斜率,由点斜式可得l 的方程,由圆的方程可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线l 的方程满足可证结论正确, (2)利用弦长的一半,半径和勾股定理可求得||2CM =,再讨论直线l 的斜率,利用点到直线的距离公式列等式可解得.(3)利用CM AN ⊥,将AM AN ⋅u u u u r u u u r 转化为AC AN ⋅u u u r u u u r,再讨论直线l 的斜率是否存在,可得点N 的坐标,利用向量的数量积运算可得结论. 【详解】如图所示:(1)证明: 当l 与m 垂直时,32l k =,所以直线l 的方程为:33(0)2y x +=-,即332y x =-, 又圆C ：22450x x y -+-=的圆心为(2,0)满足直线l 的方程, 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C(2)因为圆C ：22450x x y -+-=的圆心(2,0)C ,半径为3, 根据圆的性质可知,CM PQ ⊥,所以有222||||3PM CM +=, 所以22(5)||9CM +=,所以2||4CM =,所以||2CM =, 当直线l 的斜率不存在时,0x =满足||2CM =, 当直线l 的斜率存在时,设:3l y kx =-,即30kx y --=, 由点到直线的距离可得2||1CM k =+2=,解得512k =, 所以5:3012l x y --=,即512360x y --=, 综上所述:直线l 的方程为0x =或512360x y --=.(3)因为CM AN ⊥,所以0CM AN ⋅=u u u u r u u u r,所以()AM AN AC CM AN ⋅=+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r AC AN =⋅u u u r u u u r ,①当l 与x 轴垂直时,易得(0,)3tN -,则(0,3)3tAN =-+u u u r ,(2,3)AC =u u u r ,所以AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r 02(3)393tt =⨯+-+⨯=-,②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为3y kx =-,即30kx y --=,则由30230kx y x y t --=⎧⎨++=⎩ 得923623t x kkt y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩,所以96(,)2323t kt N k k -+-++, 则99(,)2323t k ktAN k k--=++u u u r , 所以AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r 99(2,3)(,)2323t k kt k k --=⋅++1822732323t k ktk k--=+++ 9(23)(23)23k t k k +-+=+9t =-.综上所述: AM AN ⋅u u u u r u u u r为常数,该常数为9t -. 【点睛】本题考查了圆的性质,直线方程,点到直线的距离,向量的数量积,属于中档题.。

上学期数学高二年级期中试题

上学期数学高二年级期中试题大家在学习的时候一定要结合题目来学习哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，有喜欢的一起来参考一下吧高二数学上学期期中试卷阅读一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.过点，斜率是3的直线的方程是( )A. B. C. D.2.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于( )A. B. C. D.3.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( )A B C D4.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，则5.直线与的交点坐标为( )A. B. C. D.6.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7.两圆和的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.P、Q分别为与上任一点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D. 69.已知，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.10圆上的点到直线的距离的最大值是( )A. B. C. D.11.正方体的全面积为,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. B. C. D.12.过点引直线与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.直线过定点，定点坐标为.14.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是.15.已知 , .16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下面四个结论：(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形;(3)二面角B-AC-D的余弦值为 ;(4)AB与CD所成的角为60°.则正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤)17.(本小题满分10分)已知两直线，当为何值时，(1)直线∥ ;(2)直线 .18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，∠ACB=90°，AA1= ，D，F 分别是A1B1、BB1中点.(1)求证：C1D⊥AB1 ;(2)求证：AB1⊥平面C1DF.19.(本小题满分12分)如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(1)证明：∥平面 ;(2)证明：平面平面 .20.(本小题满分12分)已知圆的圆心坐标，直线：被圆截得弦长为.(1)求圆的方程;(2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程.21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.(1)求证：平面;(2)若，求点到平面的距离.22.(本小题满分12分)已知直线：，半径为4的圆与直线相切，圆心在轴上且在直线的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在轴上方)，问在轴正半轴上是否存在定点N，使得轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.高二数学答案一、选择题1-5 DBADD 6-10 DBCCB 11-12 BA二、填空题13、(0，-3) 14、 15、 16、(1)(2)(4)三、解答题17.解、(1)若l1∥l2，则……4分解之得m=-1.……5分(2)若l1⊥l2，则1•(m-2)+3m=0，……9分∴m= .……10分18. (1)证明：如图，∵ ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴ A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.又 D是A1B1的中点，∴ C1D⊥A1B1. ………3分∵ AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴ AA1⊥C1D，∴ C1D⊥平面AA1B1B.∴C1D⊥AB1 ………6分(2)证明：连结A1B，∵D，F分别是A1B1，BB1的中点，∴DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中，A1B12= A1C12+ B1C12，∴A1B1= ，∴A1B1= AA1，即四边形AA1B1B为正方形，∴A1B⊥AB1，即AB1⊥DF ………9分又(1)已证C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1 ………10分又DF C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF. ………12分19.解(1)证明：取中点，连结，. ………1分由正(主)视图可得为的中点，所以∥ ，.……2分又因为∥ ，，所以∥ ， .所以四边形为平行四边形，所以∥ . ………………4分因为平面，平面，所以直线∥平面. ………………6分(2)证明：因为平面，所以 .因为面为正方形，所以 .所以平面.……………8分因为平面，所以 .因为，为中点，所以 .所以平面.……10分因为∥，所以平面. ………………11分因为平面，所以平面平面. ………………12分20.解(1)设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，………2分则………4分圆的标准方程：………6分(2)①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.………7分②当切线斜率存在时，设切线：，即………8分则圆心到直线的距离：………9分解得：………10分则切线方程为：………11分综上，切线方程为：………12分21.解(1)如图，连接，交于点，再连接，………1分据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点………2分，∵当时，，∴是的中点，∴，………3分又平面，平面，∴平面.………4分(2)∵是中点，∴点到平面与点到平面距离相等，∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，即等于点到平面距离相等，设距离为d.………6分………8分………12分22.解(1)设圆心，………1分则.………3分所以圆C的方程为x2+y2=16. ………4分(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.………5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-2)， (6)分假设符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2+1) x2-4k2x+4k2-16=0，………7分所以………8分若x轴平分∠ANB，则kAN=-kBN ………9分即⇒2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0………11分所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM=∠BNM总成立.………12分第一学期高二数学考试试卷题一. 选择题(共12小题，60分)1.在空间直角坐标系中，已知M(﹣1，0，2)，N(3，2，﹣4)，则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )A. B. C.2 D.32.已知集合A={(x，y)|y=5x}，B={(x，y)|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.33.设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC.a⊂α，b⊂α，b∥β，则a∥βD.α∥β，a⊂α，则a∥β4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是( )A. B.C. D.6.在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于( )A.6B.7C.8D.98.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.f(x)=﹣x|x|B.f(x)=log0.5xC.f(x)=﹣tanxD.f(x)=3x9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< )的图象如图所示，则tanφ=()A. B.C. D.10.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=11.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为( )A. B. C. D.12.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A.[﹣4，0]B.[﹣3，0]C.[﹣2，0]D.[﹣1，0]二. 填空题(共4小题，20分)13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an= .14.若x>0，y>0，且log2x+log2y=2，则的最小值为.15.如图，四边形ABCD中 .将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为.16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线;其中正确的命题编号是.三. 解答题(共6小题，70分)17.(10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(0，3)，B(﹣2，1)，C(4，3)，M是BC边上的中点.(1)求BC边的中线所在的直线方程;(2)求点C关于直线AB对称点C’的坐标.18.(12分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积;(2)设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的正切值.19.(12分)锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且∥ .(1)求B的大小;(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.20.(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC= ，AA1= ，BB1= ，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA;(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.21.(12分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点.(1)求k的取值范围;(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|.22.(12分)已知函数y=f(x)，x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x+T)>m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.(1)试判断函数是否为(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;(2)已知T=1，y=f(x)是[0，+∞)上m级类周期函数，且y=f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数，当x∈[0，1)时，f(x)=2x，求实数m的取值范围.参考答案1-6 ACDCCB 7-12DACCAB13. 2n 14. 15. 16. ①③④17.解：(1)x+y-3=0(2)设点C关于直线AB对称点C′的坐标为(a，b)，则AB为线段CC′的垂直平分线，由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，故，解得：a=0，b=7，即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’(0，7)18.解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V= == .(2)19.解：(1)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且∥ ，∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B= ，则B= ;(2)当B= ，b=2时，由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当a=c=2时等号成立)，则S△ABC的最大值为 .20.(1)证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA;(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1;(3)取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于 B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1= =4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N= = ，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°21.(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0，1)的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径R=1.故由 <1，故当(2)设M(x1，y1);N(x2，y2)，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1，可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0，∴x1+x2= ，x1•x2= ，∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= •k2+k• +1= ，由• =x1•x2+y1•y2= =12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0.圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.所以|MN|=2.22.解：(1)∵(x+1﹣1)﹣(x﹣1)2=﹣(x2﹣3x+1)<0，即)(x+1﹣1)<(x﹣1)2，∴ > ，即 >2 ，即 f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3，+∞)恒成立，故函数f(x)= 是(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.(2)∵x∈[0，1)时，f(x)=2x，∴当x∈[1，2)时，f(x)=mf(x﹣1)=m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1)时，f(x)=mf(x﹣1)=m2f(x﹣2)=…=mnf(x﹣n)=mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1)时，f(x)=mn•2x﹣n，n∈N*，∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴m>0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣(n﹣1)，即m≥2.高二上学期数学期中试题试卷第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列则是它的(A)第项 (B)第项 (C)第项 (D)第项2.已知命题，命题，则命题是命题成立的(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.已知是单调递增的等比数列，满足，则数列的前项和(A) (B)(C) (D)5.已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为(A) (B) 或4 (C) (D) 或46.已知，且，则的最小值为(A)100 (B)10 (C)1 (D)7.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形( 为原点)，，则双曲线的方程为(A) (B)(C) (D)8.设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的前项和为，若，则 __________.10.已知数列满足，且，则 __________.11.设直线与双曲线相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数 __________.12.已知，且，则的最小值为___________.13.已知数列满足，，，则 _______.14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 _______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解关于的不等式 .16.(本小题满分13分)已知数列满足，且 .(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.17.(本小题满分13分)设各项均为正数的数列满足 .(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设，，求的前n项和 .18.(本小题满分13分)已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，且点的横坐标取值范围是，求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，离心率为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值.20.(本小题满分14分)已知数列的前项和为，，且，为等比数列， .(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设，数列的前项和为，若对均满足，求整数的最大值.2018～2019学年度第一学期期中七校联考高二数学参考答案第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.6 10. 11. 12. 13. 4 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解：(1)当时，有，即 (2)(2)当时， .①当，即时，. (4)②当，即时，且 (6)③当，即时，方程两根，，且，所以或 (9)综上，关于的不等式的解集为：当时，解集为当时，解集为且当时，解集为或当时，解集为 (13)16.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)证明：由已知得，所以数列是等比数列， (2)公比为2，首项为所以 (4)(Ⅱ)数列的前项和即记，，则 (5)(1)(2)(1)-(2)得 (6) (8) (9) (11)所以数列的前项和 (13)17.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题设知 . (1)当时，有 (3)整理可得因为数列各项均为正数， (5)所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为 . (6)(Ⅱ)由， (9)所以 (11). (13)18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)椭圆的长轴长为4，则所以， (1)因为点在椭圆上，所以，所以. (3)故椭圆的标准方程为. (4)(Ⅱ)设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得， (6)所以即 (7)，故，,即 (9)所以线段的垂直平分线方程为， (10)故点的横坐标为，即所以符合式 (11)由 (12)所以 (13)19.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为，由已知有 ,又由，得，故椭圆的标准方程为. (3)(Ⅱ)由消去得， (5)所以，即. (6)设，则，即. (8)因为，所以 (9)由恒成立可得，即恒成立， (11)故 (13)所以 . (14)20.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题设知 .当时，有 (1)整理得 (2)故 (4)经检验时也成立，所以的通项公式为. (5)设等比数列的公比为 .由，可得，所以，故所以的通项公式为. (7)(Ⅱ)因为 (9) (11)因为所以，即单调递增 (12)故 (13)即，所以. (14)。

北京市海淀区2019_2020学年高二数学上学期期中参考试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！北京市海淀区2019-2020学年高二数学上学期期中参考试题（含解析）一、选择题1.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列结论一定成立的是（） A. ac bc >B.11a b< C. 22a b >D.a cbc ->-【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，即可选出答案. 【详解】当0c =时，=ac bc ，错误. 当1,1a b ==-时，,1111a b==-，11a b >，错误.当1,1a b ==-时，22=1=a b ，错误. 因为a b >，所以a c b c ->-，正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式基本性质，属于基础题.若不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B.310n a n =- C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A.22B.32C.5 D.72【答案】C 【解析】【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 4.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（） A. 1322a a a +≥ B. 2221322a a a +≥C. 若13a a =，则12a a =D. 若31a a >，则42a a >【答案】B 【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．【此处有视频，请去附件查看】5.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则|QF |＝( )A.72B.52C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，利用抛物线定义以及相似得到|QF |＝|QQ ′|＝3. 【详解】如图所示：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为4FP FQ =u u u r u u u r，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.6.已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 A. 2a B.214a C.212a D.234a 【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量AE AF u u u v u u u v、,然后求得结果. 【详解】在正四面体ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点1,2AE AB BE AF AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v∴=+=则AE AF ⋅u u u v u u u v =111()222AB BE AD AB AD BE AD +⋅=⋅+⋅u u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v因为是正四面体，所以,3BE AD BAD π⊥∠=即0,BE AD ⋅=u u u v u u u v2cos 32a AB AD AB AD π⋅=⋅=u u u v u u u v 所以AE AF ⋅u u u v u u u v =24a故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.7.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A. q r p =< B. q r p => C. p r q =< D. p r q =>【答案】C 【解析】p f ==，()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ．【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．【此处有视频，请去附件查看】8.已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若V OMN 为直角三角形，则|MN |=A.32B. 3C. D. 4【答案】B 【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,2M N ，所以3MN ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 二、填空题9.若双曲线()2210x y a a b-=>的，则渐近线方程为______，若4b =，则a =______.【答案】 (1). 12y x =± (2). 16 【解析】【分析】根据双曲线的离心率的定义c e a === ，代入即可得到a b 、的关系式，再利用渐近线的定义即可写出答案.【详解】因为双曲线()2210x y a a b-=>. 所以14b e a ==⇒= 所以双曲线221x y a b-=的渐近线方程为12y x ==±。

吉林省吉林市蛟河市第一中学2020学年高二数学上学期期中试题文

吉林省吉林市蛟河市第一中学 2020学年高二数学上学期期中试题文12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.a ,b ,c € R,那么下列命题中正确的是（与门店C 都相距akm akm,而门店A 位于门店C 的北偏东50°方向上，门店B 位于门店o偏西70方向上，则门店 A , B 间的距离为（ A a km B 逅a km cV3a km ° 2a km 7.在等比数列a n 中，a 2 a 4 1,比 a 8 4，则a ?（）、选择题：本大题共 1、命题 “ x >0, In x).XA. 0,ln x o 1X 。

B .X o 0,ln x o1 1 —X o C.1 X 0 0,ln X 01 —X 0 0,ln X 0xD.2.已知ABC 中,A 30°,B 1200, ABC 的外接圆的面积为A.9C.12D.33.已知 A.若 a>b ，则 ac 2>bc 2a bB.若-b ，则 a>bc c331C.若 a >b 且 ab<0，则—a£D .若b2 2a >b 且 ab>0,则4、椭圆的焦点在坐标轴上, 经过点（2 , 0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（2A.— y 242 2B.1642C X2C. — y421或y -16D.5、等差数列內的前n项和为 S n ，且 a 7 a 4 6S B S 5 45 则 a 10( )A. 21 B . 27 C. 32 D. 566.某快递公司在我市的三个门店A ,B ,C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ,BC 的北x最小值（） A.6 B.4 C.2 D则A ABC 的形状是的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于1,2,3,L ,n 2填入n n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为第n 卷、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分.A. 2B . 4 C.1D.28.若变量 x , y 满足约束条件y2y 13x 2y 的最小值为).A. 2 B . 3 C. 4 D.19.数列1,丄12'1的前n 项和为A.亘2n 1B.2n n 1C. D.n 2n 110.已知正项等比数列a n 满足a 2019a 20182a 2017，且.a n a 2a i ，1 则4(- m 1 -)的n11.已知△ ABC 的内角 A ， B , C 的对边分别是 a , b , c ,若— sin B sin C2a ，A.等边三角形B .等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角12.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1, 2, …，9填入3 3 15. 一般地，将连续的正整数N 9的值为（）A.41B.45C.369D.3214 9 2: 35 78 I 6N n ,如图三阶幻方的N 3 15，那么13.不等式0的解集为14.已知命题"无E艮4孑+ (a_2)x I 是假命题，则实数门的取值范围为.2 215・设椭圆C：x r^2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F、F2 , P是C上的点，PF? FF2,a bPFF 30°，贝y C的离心率为. _____________16.已知数列｛a n｝, a n 1 a n Zn® 3,空的最小值n三、解答题：本大题共6大题，共70分，其中17题满分10分，其余解答题满分均为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 2 217.(10 分)已知p:x 7x 10 0, q: x 4mx 3m 0，其中m 0.(1)若m 4，且p q为真，求x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.18 (12分).在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a 2csin A.(1)确定C的大小；⑵若c= . 7 ,且ABC的周长为5 ,7，求ABC的面积。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

临川一中2019-2020高二数学期中理科试卷含答案

18．如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，则棱 SB 垂
直于底面．
（Ⅰ）求证：平面 SBD⊥平面 SAC； 2
（Ⅱ）若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为，求 SB 的长． 5
19．设命题 p：函数 f (x) lg(ax2 x 16a) 的定义域为 R；命题 q：不等式
b
0,
y
0)
和部分抛
物线 C2 ： y x2 1( y 0) 连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A ，B ，其中
C1 所在椭圆的离心率为
3 2
.
（Ⅰ）求 a ， b 的值；
（Ⅱ）过点 B 的直线 l 与 C1 ，C2 分别交于点 P ，Q （ P ，Q ， A ， B 中任意两点

13．命题“已知不共线向量 e1 ，e2 ，若 e1 e2 0 ，则 0 ”的等价命
题为__________.
14．在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD,若 BCD 是正三角形，且 E 为其中心，
则
AB

1
BC

C.30°
D.0°
7．下列命题正确的是（）
高二数学(理科）试卷共 4 页第1页
（1）命题“ x R ， 2x 0 ”的否定是“ x0 R ， 2x0 0 ”；
（2）“若 ꄢ ᘻ，则 ꄢ ᘻ”的否命题是“若 ꄢ ᘻ，则 ᘻ”；
（3）给定命题 p，q，若“ p q 为真命题”，则 p 是假命题；
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，其焦距为 2c ，
点
Q

c,
a 2

浙江省湖州市长兴县、德清县、安吉县2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含解析

2019学年第一学期期中考试高二数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 若直线经过()0,0O ，(3A 两点，则直线OA 的倾斜角为（） A. 6π B. 3π C. 33 3【答案】B【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线OA 的倾斜角.【详解】解：直线经过O （0，0），3)A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，α∈[0，π），则tan α30-3， ∴α＝3π，故选：B.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，属于基础题.2. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为（） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】D【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1B D所成的角.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1B D＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为θ，则cosθ＝11||||||AC B DAC B D⋅⋅＝0，∴θ＝2π.∴异面直线AC与B1D所成的角为2π.故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.3. 设x∈R，则“x＞1”是“2x＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由1x>可得21x>成立，反之不成立，所以“1x>”是“21x>”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 23C. 43D. 53 【答案】B【解析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面是边长分别为139323+=+=高是２的三棱锥，其底面积123132S =⨯=则其体积11233233V Sh === B ． 5. 圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为（）A. 1B. 2 3 D. 23【答案】D【解析】【分析】求出圆心到直线3450x y ++=的距离，借助由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦长.【详解】解：依题意，圆x 2+y 2＝4圆心为（0，0），半径r ＝2，所以圆心到直线圆x 2+y 2＝4的距离d ＝1，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l 和弦心距d 构成直角三角形，所以222212l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得l ＝故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离，考查了圆的弦长的求法，借助半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理是常用方法，本题属于基础题.6. 已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误．．的是（） A. 若//m α，n αβ=，则//m n B. 若m α⊥，m β⊥，则//αβC. 若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D. 若//m n ，m α⊥，则n α⊥ 【答案】A【解析】【分析】在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，由线面垂直的性质可得//αβ；在C 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥正确；在D 中，由线面垂直的性质可得n α⊥.【详解】解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知：在A 中，∵//m α，n αβ=，∴m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，∵m α⊥，m β⊥，∴由线面垂直的性质可得//αβ，故B 正确；在C 中，∵m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确；在D 中，∵//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的性质可得n α⊥，故D 正确.故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7. 设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是（）A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，得r，由此能求出12V V 的值. 【详解】解：设球O 的半径为R ，圆锥SO 1的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由题意得4πR 2＝πrl ＝2πr 2，解得r，3312244313R R V V r πππ∴===⨯故选：C.【点睛】本题考查球和圆锥的体积求法，考查球和圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.8. 若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（）A. []2,4B. []0,4C. [)4,+∞D. [)2,+∞【答案】B【解析】【分析】根据有公共交点得到2224a ab b -+≤和2224a ab b ++≤，相加得到答案.【详解】圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点2222242a b a b a ab b -≤∴-≤∴-+≤； 2222242a ba b a ab b +≤∴+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤故选：B【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.9. 已知正方体1111-ABCD A B C D 的体积为1，则四棱锥1111-B A B C D 与四棱锥1111-A A B C D 重叠部分的体积是（）A. 18B. 16C. 524D. 724【答案】C【解析】【分析】如图所示，画出重叠部分的图像如图2，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到答案.【详解】如图所示：G 为1AB 和1A B 交点，H 为1AC 和1BD 的交点，重叠部分如图2.12111151432424V V V =-=⨯-⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查了立体图形的体积，画出重叠部分的图像是解题的关键.10. 已知点()11,P x y 是单位圆221x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为（）A. 3-B. 6 【答案】A【解析】【分析】利用圆的参数方程与直线的方程分别求出12x x -与12y y -的最小值，比较即可得答案.【详解】解：过,P Q 作x 轴，y 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示，则12x x EF PH GQ -===，12y y CD PG QH -===，由于直线260x y +-=的斜率是2-，当,P Q 都在第一象限时， ①121212PQ L x x y y PG GQ PG GK =-+-=+=+ 111222PK GK PK PK PK =-≥-= 取x 1＝x 2∈[0，1]时等号成立，则y 1y 2＝6﹣2x 2＝6﹣2x 1，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|＝162x -，令x 1＝cos θ（θ∈[0，2π]），则|y 1﹣y 2|＝6﹣2cos θ﹣sin θ＝6（θ+ϕ）≥6 ②12122PQ L x x y y QH PH HL PH PL HL PL =-+-=+=+=+≥取y 1＝y 2∈[0，1] 时等号成立，则x 1x 2＝3﹣22y ＝3﹣12y .则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|x 1﹣x 2|＝132y -令y 1＝sin θ（θ∈[0，2π]），则|x 1﹣x 2|＝3﹣1sin 2θ﹣cos θ＝3﹣5sin （θ+ϕ）≥35-. 当,P Q 中至少有一个点不在第一象限时，明显1212x x y y -+-的取值会比,P Q 都在第一象限时大，综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是35-. 故选：A.【点睛】本题考查了圆的参数方程，训练了利用换元法及三角函数的单调性求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．二、填空题11. 倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为________；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a =________.【答案】310x y +-= (2). 3【解析】【分析】根据直线倾斜角可得斜率，由斜截式方程可得结果；根据垂直关系可构造方程求得结果.【详解】直线倾斜角为120，∴直线斜率tan1203k ==-∴直线l的方程为：1y =+10y +-=.直线l 与10ax y ++=垂直，10+=，解得：a =.10y +-=；【点睛】本题考查直线方程的求解、根据直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题.12. 已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2，则m =______．若圆心C 在直线20x y -=上．则m =______．【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】通过点的坐标代入圆的方程，得到m 值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m 值即可.【详解】解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2my ＝0，若圆C 过点（0，2），则4﹣4m ＝0，解得m ＝1；圆的圆心（1，m ），圆心C 在直线2x ﹣y ＝0上，可得2﹣m ＝0，解得m ＝2；故答案为：1；2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程的应用，是基本知识的考查.13. 若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，bc A =，则直线a 与直线c 的位置关系是______；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是______．【答案】 (1). 相交或异面 (2). 平行或在平面内【解析】【分析】由a ∥b ，b ∩c ＝A ，得直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面；由a b ⊥，b α⊥，得直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 【详解】解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面，∵a ∥b ，b ∩c ＝A ，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面.∵a ⊥b ，b ⊥α，则直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α.故答案为：相交或异面；平行或在平面内.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.14. ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．【答案】 (1). 6 (2). 26+ 【解析】【分析】画出正ABC 和水平放置的直观图'''A B C ，计算它的面积与周长即可.【详解】解：如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B C S 12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45°＝64；其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++2233121cos13522︒⎛⎫+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭2233121cos 4522︒⎛⎫+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭＝（6212）+2+（6212）＝6. 故答案为：646.【点睛】本题考查了平面图形与它的直观图的应用问题，也考查了三角形面积与周长的计算问题，是基础题.15. 已知直线10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(),a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC 的面积的最大值为4，求此时ab =______．【答案】154- 【解析】【分析】当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，由ABC 面积的最大值为4，可算得b ，从而得到C 到直线的距离等于2，建立方程可求得a 的值，从而得ab 的值.【详解】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣8y +b ＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝17﹣b ；∴圆心C （1，4），半径r ＝17b -；当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，（S △ABC ）max ＝212r ＝4； ∴r 2＝8，即17﹣b ＝8，∴b ＝9；直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝r ，∴C 到直线AB ：ax +y +a ﹣1＝0的距离等于d ＝2，∴d ＝2＝21a +，∴a ＝512-， ∴ab ＝154-. 故答案为：154-.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，数形结合的思想方法，属于中档题.16. 在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长22AB=，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为______．【答案】12π【解析】【分析】根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥S −ABC 的外接球的半径即可.【详解】解：取AC 中点D ，则SD ⊥AC ，DB ⊥AC ，又∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，又∵AM ⊥SB ，AM ∩AC ＝A ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA ⊥SB ，SC ⊥SB ，根据对称性可知SA ⊥SC ，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r ＝322⨯＝3，表面积S ＝4π×3＝12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查了空间空间几何体的性质，学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题.17. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值______．【答案】1+3 【解析】【分析】当线段BC 确定时，观察出当面OCB 和面BCD 共面时，O 到点D 的距离最大，即求点O 到线段BC 距离的最大值即可.【详解】解：在线段BC 上任取一点M ，连接OM ，DM ，由三角形三边关系得OM DM OD +≥，当O ，M ，D 三点共线时取等号，则当面OCB 和面BCD 共面时，OD 最大，当面OCB 和面BCD 共面时，设OBC α∠=，则2sin ,2cos OC OB αα==，则2222cos 3OD OB BD OB BD πα⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭ 2134cos 48cos cos sin 22αααα⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭423sin 2423α=+≤+，则4231+3OD ≤+=，即O 到点D 的距离的最大值为1+3.故答案为：1+3.【点睛】本题考查两点间距离的最大值的求法，关键时将空间两点距离问题转化为平面上两点距离问题，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.三：解答题18. 设命题p ：实数x 满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220x x --≤．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,2；（2）[]1,2．【解析】【分析】（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由()()120x x --<，得{}12P x x =<<.由()()216220x x --≤，所以{}14Q x x =≤≤.因此x 的取值范围是()1,2；（2）可得{}2p x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤，若p 是q 的充分不必要条件所以P Q .当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；当P ≠∅即0a >时， 124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩，故a 取值范围是[]1,2.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的取值范围以及集合间的基本关系与充分、必要条件的关系应用，属于基础题.19. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．【答案】（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m+=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB∥DC，所以DC 边所在直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC 是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C 的平面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）推导出AB CD ∥，由此能证明//CD 平面PAB .（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP ，则PEH ∠即为所求二面角的平面角，求出PEH ∠的正切值即可.【详解】（1）因为//AB 平面PCD ，平面PCD 平面ABCD 于CD ，故AB CD ∥，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB 故CD ∥平面PAB ；（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP则PEH ∠即为所求二面角的平面角. 又3232PH =⨯=2211242322AC BC HE AB ⋅⋅-=⋅==，故an 233t PEH ∠==.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题.21. 如图，已知多面体PABCD 中，AD BC ∥，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）5719 【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理得PB 3=PB ⊥AB ，由AD ⊥平面PAB ，得AD ⊥PB ，再由PB ⊥AB ，能证明PB ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）由余弦定理求出cos ∠PDC 910=，从而sin ∠PCD 19=，S △ACD ＝2，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，点A 到平面PCD 的距离为h ，由V A ﹣PDC ＝V P ﹣ACD ，得h 4319=，从而sin θ257h PA ==，由此能求出直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）在PBA ∆中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=︒，所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯︒=，3PB =，所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥，因为AD BC ，所以A ，B ，C ，D 四点共面.又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A ⋂=，所以PB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）（方法一）在Rt PBC ∆中，7PC =在Rt PAD ∆中，25PD =在直角梯形ABCD 中，5CD =在PDC ∆中， (22225579cos 102255PDC +-∠==⨯⨯，2919sin 110PDC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭. 所以11919552PDC S ∆=⨯=14122ACD S ∆=⨯⨯=. 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ∆∆⨯⨯=⨯⨯，即11912333h =⨯所以4319 h=，23257sin19hPAθ===，故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为25719.（方法二）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，BC AB⊥.以点B为坐标原点，以BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，则()0,0,3P，()1,0,0A，()0,2,0C，()1,4,0D，所以()1,0,3PA=-，()0,2,3PC=-，()1,2,0CD=.设直线PA与平面PCD所成的角为θ，设平面PCD的一个法向量为(),,n x y z=，由PC nCD n⎧⋅=⎨⋅=⎩得23020y zx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取3y=，则2z=，23x=-，所以()23,3,2n=-.所以23023sin219PA nPA nθ-+-⋅==⋅25719=，故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为25719.（方法三）延长DC，AB相交于点E，连结PE.因为AD BC，2AD BC=，所以BC为ADE∆的中位线，点B，C分别为AE，DE的中点.所以PDE∆为等腰三角形.取PE 中点F ，连DF ，AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F ⋂=，所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ，所以平面ADF ⊥平面PCD .作AH DF ⊥于H ，连PH ，所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角. 因为3AF =，4AD =，19DF =，所以222AF AD DF +=，所以4319AH =. 所以23257sin 1919AH APH AP ∠===，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为257.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22. 如图，点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆()22:11C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO K ，BO K ．（1）当()2,1P =-时，求AO BO K K ⋅的值；（2）当P 运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）13=12AO BO K K ⋅-；（2）82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）当点P 的坐标为（−2，1）时，设直线为()12y k x -=+，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出斜率k 的值，得出切线方程，从而求得点A ，B 的坐标，得出AO BO K K ⋅的値；（2）设出切线方程，找出0y 与k 的关系，根据韦达定理和斜率公式，建立关于0y 的一元二次方程，求出AO BO K K ⋅最小时的0y ，即求出P 的坐标.【详解】（1）设切线PA ，PB ：()12y k x -=+，点C 到PA ，PB ：()12y k x -=+的距离为1223131k k k =⇒=±+. PA ，PB ：()3123y x -=±+， 432,1A ⎛ ⎝⎭，432,1B ⎛ ⎝⎭4343111333==2212AO BO K K -∴⋅⋅-；（2）设()02,P y =-设切线PA ，PB ：()02y y k x -=+，()22000134420k y k y y =⇒+-+-=0122001244323y k k y y k k -⎧+=-⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=⎪⎩， PA ，PB ：()02y y k x -=+，令2x =，得()012,4A y k =+，()022,4B y k =+，()()()2102001201244=444AO BO k y k y y K K k k y k k +⋅+⋅=+++200416439y y =-≥-，故当P 在直线上运动083y =，AO BO K K ⋅的最小值为169-， P 点的坐标82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】（1）考察直线与圆相切；（2）直线与圆的综合题，会灵活的利用韦达定理，会求一元二次方程的最值，中档题.。

2019-2020学年浙江省浙北G12联盟高二上学期期中联考试题数学答案

浙北G2期中联考2019学年第一学期高二数学参考答案命题：嘉兴一中审题：湖州中学一．选择题ACCDD CBDCC 二．填空题11. 12；8． 12．；83． 13．2-；2． 14. x ﹣y +1＝0．15．． 16．． 17．三．解答题 18．解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°.在Rt △SO ′A ′中，sin 30rSA '︒＝，∴SA ′＝2r . 在Rt △SOA 中，sin 302rSA︒＝，∴SA ＝4r .∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . 故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a .（2）过点B 作AO BH ⊥于点H ，连接H A ', ⊥'O O 面AOB ,BH O O ⊥'∴,⊥∴BH 面A O AO '',H A B '∠∴为B A '与平面A O AO ''所成的角， a BH a OH a OB AOB o 3,,2120==∴==∠，，a H A 7='，='='∠∴='BA BHH A B a B A sin ,101030 19．证明：（1）,E F 分别是,AC BC 的中点，//EF AB ∴。

又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB .（2）在三角形PAC 中，PA PC =，E 为AC 中点， PE AC ∴⊥。

平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ∴⊥平面ABC 。

PE BC ∴⊥。

又//,90EF AB ABC ∠=︒，EF BC ∴⊥，又EF PE E ⋂=， BC ∴⊥平面PEF 。

∴平面PEF ⊥平面PBC 。

20. 解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.2=，解得34k ＝∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有2|24|21a a -+=+，解得a ＝0或43a ＝.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为2|2|1a a ++，∴222|2|23()()421a a ++=+，解得34a ＝－.21．（1）证明：折叠前，,BE EC BA AD ⊥⊥，折叠后,BA A C BA A D ''''⊥⊥又A C A D A '''⋂=，所以BA '⊥平面A CD '，因此BA CD '⊥。

2019-2020学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中考查数学(文)试题 (Word版)

2 B ． 3π（第 5 题图）高二数学（文科）试题命题教师：审题教师：一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3π1. 若直线的倾斜角为A． 2，则该直线的斜率为（）4B ．1C ． -D ． -12 2. 若点(1, a ) 到直线 x - y +1 = 0 的距离是3 2 ，则实数a 的值为（） 2A ． -1B ． 5C ． -1或5D ． -3 或3 3．若三直线l 1 : ax - y +1 = 0, l 2 : x + y = 0, l 3 : x - y = 1 经过同一个点，则a =（）A ．1B ． -1C ． 3D ． -34. 如图，一圆锥形物体的母线长为 4，其侧面积为 4π，则这个圆锥的体积为（A ．15π B ．8 3 C ．15 D ．8 3 33335. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．46. 过点A (-1, 2) 作直线 l ，使它在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 有（） A ．1 条 B ．2 条 C ．3 条D ．4 条（第 4 题图）7. 已知三棱锥 P - ABC 中， PA , PB , PC 两两垂直，且 PA = PB = PC = 1，则三棱锥P - ABC 外接球的表面积为（）A ．πC ． 2πD ． 3π8. 已知点 A (2,-3)，B (-3,-2)直线 l 过点 P (1,1)，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为（） A ． k ≥ 3或 k ≤ -4B ． k ≥ 3 或 k ≤ - 14C ． - 4 ≤ k ≤ 3444D ． 3≤ k ≤ 442 ）9.已知a、b为不重合的直线，α为平面，下列命题：（1）若a//b,a//α，则b / / α；（2）若a//α，b⊂α，则a//b；（3）若a⊥b,b//α，则a⊥α；（4）若a ⊥α,b ⊥a ，则b / / α，其中正确的有（）个A．0 B．1 C．2 D．310.已知直线a1x＋b1y＋1＝0 和直线a2x＋b2y＋1＝0 都过点A(2,1)，则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是（）A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0 11．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为1，动点E 在线段A1C1上，F、M 分别是AD、CD 的中点，则下列结论中错．误．的是（）A.FM / / A1C1B.BM ⊥平面CC1FC.存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1DD.三棱锥B -CEF 的体积为定值（第 11 题图）（第 12 题图）题图）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.过点A(2,3) 且垂直于直线2x +y - 5 = 0 的直线方程为．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为．15.已知动点A, B 分别在x 轴和直线y =x 上，C 为定点(2,1)，则∆ABC 周长的最小值为．16.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∆ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC = 2 ，则此棱锥的体积为．三、解答题：本大题共 5 小题，共48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分8分）已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m-2)x+3y+2m=0．（1）若l1 ⊥l2 ，求实数m 的值；（2）若l1 // l2 ，求实数m 的值．18．（本题满分8 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面 ABCD , 且 PA=AB ．（1）求证：BD ⊥ 平面 PAC ；（2）求异面直线 BC 与 PD 所成角的大小．DBC19．（本题满分 10 分）已知直线 l ：kx -y +1+2k =0(k ∈R) （1）证明：直线 l 过定点；（2）若直线 l 不经过第四象限，求实数 k 的取值范围；（3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S ，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程．P A20．（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别为棱AC、A1B1的中点，且AB =BC ．（1）求证：平面BMN ⊥平面ACC1 A1；（2）求证：MN ∥平面BCC1B1 ．21．（本题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD ，AF⊥ 平面ABCD ，DE = 3AF = 3．（1）证明：平面ABF // 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3 :11 ？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由．。