矩阵的初等行变换与初等矩阵
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
2-4初等变换、初等阵
1 例如， 例如， 0 B5 = 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
11 1 0 00 00 0 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3 0 0 0
←第i 行
以E (i(k)) 左 矩 A 乘 阵， m a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ E m ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 ⋯ kain ←第i 行 ⋮ ⋮ ⋮ a am 2 ⋯ amn m1
当 以 相 于 数k 乘A的 i 行(r ×k) 第 ； i
初等变换 初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
的逆变换是其本身， 变换 ri ↔ r j 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) −1 = E ( i , j ) ；
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × ， k 1 −1 则 E ( i ( k )) = E ( i ( )); k 变换 ri × kr j 的逆变换为 ri × ( − k ) r j， 则 E ( ij ( k )) −1 = E ( ij ( − k )) .
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 ⋱ 1 E ( i ( k )) = k 1 ⋱ 1
二、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算， 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 用广泛 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵我们先回顾矩阵的初等变换与初等矩阵的概念。
定义1 设A 是矩阵，对n m ×A 的下面三种变形统称为矩阵的初等行变换。
（1）对换矩阵A 的第i 行和第行的位置，记作j j i r r ↔； （2）用非零常数k 乘矩阵A 的第i 行各元素，记作；i r k （3）把矩阵A 的第i 行各元素的k 倍加到第j 行对应元素上，记作。
i j kr r + 类似地，若把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换，并依次记为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c +初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。
定义2 n 阶单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。
（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行)(j i r r ↔，所得初等矩阵记为，简记为。
),(j i n r r E ),(j i r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行，所得初等矩阵记为， )(i kr )(i n kr E 简记为。
)(i kr E （3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上)(i j kr r +所得初等矩阵记 为，简记为。
)(j i n kr r E +)(j i kr r E + 对单位矩阵作一次初等列变换得到的初等矩阵也是上面三种初等矩阵之一。
三种初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵也是初等矩阵，各自的逆矩阵为，),(),(1j i j i r r E r r E =−)1()(1i i r kE kr E =−，。
)()(1j i j i kr r E kr r E −=+− 初等矩阵与矩阵的乘法运算联系在一起，可以实现矩阵的初等变换。
定理1 对一个矩阵A 作一次初等行变换所得到的矩阵n m ×B ，等于一个对应的m 阶初等矩阵左乘矩阵A ；对A 作一次初等列变换所得到的矩阵B ，等于一个对应的n 阶初等矩阵右乘矩阵A 。
初等变换与初等矩阵
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
4-4 初等矩阵与初等变换
A 后, 右边E对应部分即为 A (或对 施行初等列 E 变换, 将A划为单位阵 E后, E对应部分即为 A−1 .
−1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )， 1 O 1 ← 第 i行 Ri j ( k ) = C ji (k ) = M O k L 1 ← 第 j行 O 1
的方法， 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A−1 B .
Q
即
A ( A B) = ( E A B)
−1
−1
( A B)
初等行变换
E A −1 B
例 例3
求矩阵 X , 使 AX = B，其中 2 3 2 5 2 1 , B = 3 1 . 4 3 4 3 −1 可逆， 若 A 可逆，则 X = A B . 1 2 3 2 5 2 3 ( A B ) = 2 2 1 3 1 ∴ X = − 2 − 3 . 3 4 3 4 3 1 3 1 A = 2 3 解
类似有初等列变换(所用记号是把“ 换成 类似有初等列变换 所用记号是把“r”换成 所用记号是把 “c”)． ． 初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 统称为初等变换 初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
m × n 矩阵 通过有限次初等行变换 矩阵,通过有限次初等行变换
初等矩阵都是可逆矩阵， 定理 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为 同型的初等矩阵，且有： 同型的( k ) = Ri ( ), Rij 1 ( k ) = Rij ( − k ) k 1 −1 −1 −1 Cij = Cij , Ci ( k ) = Ci ( ), Cij ( k ) = Cij ( − k ) k
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
~
3 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 9 4 0 2 3
3 0 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 r3 9 r2 0 0 1 9 4 6 3 0 0 18 9 12 r1 2 r3 0 2 0 8 4 6 ~ r2 r3 0 0 1 9 4 6
4 1 2 1
00 00 11 00
0 0 10 20 30 00 00 00 00
9 4 6 0 0 0 2 0 8 3 0 00
矩 阵 A 的 标 准 型
例4.2
设
1 1 2 1 A 1 1 1 0 2 0 1 1
的等价标准形.
求
A
注:
1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；
3.任一矩阵都可经初等变换r
Er 0, E r 都是 0
0 的特殊情况. 0
O Er 。 O O
行阶梯形矩阵
也就是指可以画一条阶梯折线，
折线的下方元素全为零；并且每个阶梯只有一行，
阶梯数即为非零行的行数，阶梯线每一竖线后面第
一个元素为非零元.
3 3 2 1 0 1 0 , B 0 0 1 2 5 如: A 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 0 8 0 0 2 5 0 0 5 2 4 0 2 1 0 4 , C 0 3 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 8 1 3 0 0
为行阶梯矩阵.
行最简形矩阵
是指行阶梯形矩阵中除每一竖线后面的第一个
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
矩阵的初等变换及初等矩阵
例2
2 5 3 1 0 0 2 3 5 1 4 2 0 0 1 1 2 4 0 6 5 0 1 0 0 5 6
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri
倍法变换（也称“倍行 变换”）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的
元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri kr j） .
消法变换（也称“倍加 变换”）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称 为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri rj ).
例1 1 0 0 2 5 3 2 5 3 0 0 1 1 4 2 0 6 5 0 1 0 0 6 5 1 4 2
第2行与第3行对调
《线性代数》同济六版
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
---附(初等矩阵)
课件制作：黄 明
2018年9月
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
r j）； 换法变换（也称“调行 变换”） 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A (aij )mn，得 a11 a12 a1n a 第i行 a a j2 jn j1 Em ( i , j ) A a 第 j行 a a i2 in i1 a a a m1 m2 mn 相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阵A 阵 的
初等行变换 是 的
下
例题讲解
0 2 0 1 0 0 例1．运用初等行变换将矩阵 A = ． 转化成单位矩阵 3 0 1 对换变换
解： 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ( 2 )× )× (1 ) ↔ ( 2 ) 1 0 0 → 0 2 0 2 → 0 1 I 3 0 3 0 1 3 0 1 倍加变换 倍乘变换 1 0 0 ( 3 ) − 3× (1 ) 0 1 0 → 0 0 1
1 0 0 2 0 初等行变换 0 1 0 4 0 → 0 0 1 3 1 − 2
−1 1 −2 1 1 1 − 2
首页
上页
下页
课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
首页
上页
下页
作业
）（3）（ 书P87 1（1）（ ）（ ） （ ）（ ）（6）
个方程 x − 2 y = 5 第1个方程 个方程 −3 −4 2 x + 7 y = −14 第2个方程
首页
上页
下页
初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 定义 什 么 是 非 奇 异 变换 定 2.7 A是 是 将矩阵的某 行 B 行 k 阵B 阵 变换 将矩阵的某 行 k 对换变换 将矩阵的某两行对换位置
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 = −3 0 1 3 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
初等矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 2 0 0 0 1
首页 上页 下页
初等矩阵的引入
为什么在初等行变换的过程中， 为什么在初等行变换的过程中， 矩阵之间是用箭头连接呢？ 矩阵之间是用箭头连接呢？
0 1 0
1 0 0
1 0 0
0 1 2 0
00 01 13
0 1 00 3 1
2 0 0
0 2 0
0 0 = 1
0 0 1 =
1 0 3
0 2 0
0 0 1
1 0 3
0 1 0
0 0 1
的 矩阵 矩阵 ？
1 0 0 0 1 0 0 0 1
请 三 位 同 学 说 出 结 果
1 −2 5 0 −3 −14 2 7 −4
第1行 行 第2行 行
矩阵某一行的倍数加到另一 行上的变换称为倍加变换 行上的变换称为倍加变换
第二个方程对应也在等号两边 同时加上第一个方程的（ ） 同时加上第一个方程的（-2）倍
2 + 1 × (−2) 3 + (−2) × (−2) −4 + 5 × (−2)
1 0 −3
0 0 1
首页
上页
下页
练习
0 1 2 练习 用初等行变化求矩阵 A = 1 1 4 的逆 2 −1 0
答案： 答案：
0 1 2 1 0 1 1 4 0 1 2 −1 0 0 0
A −1 2 = 4 3 − 2 −1 1 −2 1 1 1 − 2
第1个方程 个方程 第2个方程 个方程
首页
上页
下页
初等行变换的引入
将矩阵的第一行乘以2 将矩阵的第一行乘以
2 −4 5 1 − 2 10 2 3 −4
第1行 行 第2行 行
矩阵某一行乘以一个常数的 变换称为倍乘变换 变换称为倍乘变换
第一个方程对应也在等号两边同乘以2 第一个方程对应也在等号两边同乘以
收获： 收获：线性方程组可以用矩阵来表示
首页
上页
下页
初等行变换的引入
将矩阵的两行对调
2
3 −4
5
1 −2
第1行 行 第2行 行
对调矩阵两行的变换 称为对换变换 称为对换变换
两个方程对应也发生对调
2 x + 3 y = −4 x − 2y = 5
高斯（ 高斯（1777-1855） ）
首页
上页
下页
1× 2
注意： 注意：倍乘变换与 5× 2 −2 × 2 矩阵数乘的区别 矩阵数乘的区别
x 2 5 2 x − 4 y = 10 2 x + 3 y = −4
第1个方程 个方程 第2个方程 个方程
首页
上页
下页
初等行变换的引入
矩阵的第2行加上第 行乘以 矩阵的第 行加上第1行乘以（-2） 行加上第 行乘以（ ）
初等行变换的应用——求逆矩阵 求逆矩阵 初等行变换的应用
满足AB = BA = I的两个矩阵A, B互为逆矩阵
回顾： 回顾：
其中 B = A − 1
因此有： 因此有：
A A= I
−1
都是初等矩阵， 假设Pt , Pt − 1 ,⋯ , P2 , P1 都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
P t Pt − 1 ⋯ P2 P1 A
1 0 0 0 1 0 −3 0 1
三个矩阵的特点： 三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到 定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称 定义 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵， 为初等矩阵 初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
由单位矩阵第i行乘 得到，，记作Eij 由单位矩阵第i,j行对换得到记作Ei(k) 记作Eij(k) 行乘k加到第 行得到 行对换得到，记作 加到第j行得到 由单位矩阵第 行乘k得到，记作 ，记作 行乘 得到 行得到， 行对换得到 加到第
矩阵的初等行变换 与 初等矩阵
学习目标
目标 一 理解什么是初等行变换
知道什么是初等矩阵 目标 二 掌握初等行变换的应用 目标 三
首页
上页
下页
初等行变换的背景
1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数 年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数 作为一个整体
− 2x + 3 y = −4 − 1 x − 2 y = 5
0 0 0 1 0 =0 1 0 0 1 0 1
首页
上页
下页
初等行变换的练习
0 1 2 练习． 练习．运用初等行变换将矩阵 A = 1 1 4 转化成单位矩阵 2 −1 0
1、把主对角线上第一个元素变为1 、把主对角线上第一个元素变为 2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为 3、把主对角线上第二个元素变为1 、把主对角线上第二个元素变为 4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为 5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1 、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为 6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 、从最后一列开始往第一列， 元素变为0 元素变为
首页
上页
下页
课堂中段小结
初等行变换 对换变换 倍乘对换 倍加变换 初等矩阵 初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
初等行变换中， 初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连 接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵 矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？ 矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？
首页 上页 下页
解： 初等行变换法（软件显示） 初等行变换法（软件显示） 检验： 检验：
1 0 −3 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 01 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 = 2 0
= I
结论： 论： 初等行变换中省略的初等 矩阵的乘积就是逆矩阵
首页 上页 下页
A
−1
用初等行变换法求逆矩阵
→ ( A I ) ( I
初等行 变换
A
−1
)
0 2 0 例1（续）：用初等行变换求矩阵 A = 1 0 0 的逆 （ ）：用初等行变换求矩阵 3 0 1