(完整版)2019-2020年高三上学期期中数学理试题含答案
2019-2020学年度高三(上)理科数学期中考试试卷+解析答案+评分标准
2019—2020学年度上期高2020届高三半期考试数学试卷(理科)考试时间：120 分钟满分：150 分一. 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}2log (1)A x y x ==-，{}2B y y x ==，则AB =()A. (0,2]B. (1,2)C.D. (1,2]2. 已知i 为虚数单位，若复数(13)i z i +=-,则z =()A . 1B . 2:D 3. 若a >b ，则下列不等式恒成立的是()A.22ab> B.ln()0a b -> C.1133a b > D.a b >4. 已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4)，则向量CD 在AB 方向上的投影为()A.2B. C.2-D.-5. 成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课 上课的时间为7： 55〜8： 35,课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8： 55〜9： 35 之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15 B.14 C.13 D.126. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则{}n a 是等差数列〃是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列〃的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件7. 已知.，2πϕ<，()f x 是偶函数，直线2y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( )A.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C. 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ,34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（） A. 9 B. 6C. 3D. 19. 椭圆22:193x y C +=与双曲线2222:1(0,0)x y Q m n m n-=>>焦点相同，当这两条曲线的 离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A. 2±C.12± D.2± 10. 已知函数，()g x 为一次函数，若对，有，当[1,1]x ∈时，函数(2()log 2()f x x g x =+的最大值与最小值之和是（）A. 10B. 8C. 7D. 611.在中，点P 满足3BP PC =,过点P 的直线与,AB AC 所在的直线分别交于点M N ，,若AM AB λ=,(0,0)AN AC μλμ=>>,则λμ+的最小值为（）1+ B.12+ C.32D.5212.函数()f x =是定义在R 上的函数，且满足3(2)()2f x f x +=，当[1,1)x ∈时，2()1f x x =-+，则方程29()log 08f x x -=在（0,5］的根的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“2000,21x R x x ∃∈->”的否定是____________________________________14.2019年20月2日，我国在天安门广场举行盛大的建国70周年阅兵典礼.能被邀请到现场观礼是无比的荣耀.假设如图，在坡度为 15.的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为则旗杆的高度为米.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则 平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为 ______________ . 16.已知函数32()3f x x x bx c =-++有极值,且导函数'()f x 的极值点是()fx 的零点，给岀命题:①1c >-;②若0c >，则存在00x <，使得0()f x ;③()f x 与'()f x 所有极值之和一定小于0 ;④若1 0c -<<,且y kx =是曲线:()(0)C y f x x =<的一条切线，则k 的取值范围是27,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭则以上命题正确序号是 _____________ .三. 解答题（本大题共7 小题，17-21题各 12分，22或 23题 10分. 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17. 己知函数2())4sin 26f x x x π=-+-（1）用“五点作图法”作岀()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC ∆中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且BC =，求ABC ∆周长的最大值。
2019-2020年高三上学期期中考试数学(理)试题含解析
2019-2020年高三上学期期中考试数学（理）试题含解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1．若集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．∅D．{（2，4），（﹣1，1）} 考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据完全平方式大于等于0，得到集合M中函数的值域，确定出集合M，根据x属于实数，得到y也属于实数，确定出集合N．求出两集合的交集即可．解答：解：由集合M中的函数y=x2≥0，得到集合M=[0，+∞）；由集合N中的函数y=x+2，由x∈R，得到y∈R，所以集合B=R，则M∩N=[0，+∞）．故选A点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2．下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1C．2D．3考点：命题的否定；四种命题的真假关系．专题：阅读型．分析：要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x=0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．解答：解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B．点评：此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．3．在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A． B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．解答：解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选A．点评：本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．4．在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．专题：常规题型．分析：在△ABC中，0＜A＜π，利用三角函数的单调性来进行判断，然后再由然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断求解．解答：解：在△ABC中，∴0＜A＜π，∵sinA＞，∴＜A＜，∴sinA＞”⇒“∠A＞”，反之则不能，∴，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故A正确．点评：此题主要考查三角函数的性质及其应用和必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0） B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，根据函数的奇偶性和单调性的定义，一一加以判断，即可得到在其定义域内既是奇函数又是增函数的函数．解答：解：对于A．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；对于B．y=x3+x（x∈R）定义域R，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；对于C．y=3x，定义域为R，但f（﹣x）=3﹣x≠﹣f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；对于D．y=﹣（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及判断，注意运用定义法，同时首先考虑定义域，属于基础题和易错题．6．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．点评：利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f （x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．7．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：函数单调性的性质；其他不等式的解法．分析：由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．解答：解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C点评：此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．8．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；新定义．分析：根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β=[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．解答：解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ=sin（α﹣β）=．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）=．又∵cosα=，∴sinα=．sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）=×﹣×=，∴β=．故选D点评：此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题．掌握两角和与差的正弦函数公式的运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）（2011•石景山区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为60°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角A的余弦值，再在三角形中求出角A即可．解答：解：∵b2+c2=a2+bc∴b2+c2﹣a2=bc∴cosA=即A=60°，故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的直接应用，余弦定理是解决有关斜三角形的重要定理，本题属于基础题．10．（5分）（2011•丰台区一模）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为2．考点：点到直线的距离公式；圆的标准方程．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，把直线的参数方程化为普通方程后，利用点到直线的距离公式即可求出圆心M到已知直线的距离．解答：解：把圆M的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心M的坐标为（1，2），由直线的参数方程化为普通方程得：3x﹣4y﹣5=0，则圆心M到直线的距离d==2．故答案为：2点评：此题考查学生会将直线的参数方程化为普通方程及圆的一般方程化为标准方程，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．11．（5分）（2011•海淀区一模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O 的交点．若∠BAC=70°，则∠CBE=70°；若BE=2，CE=4，则CD=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：根据同弧所对的圆周角和弦切角相等，得到∠BAC=∠CBE=70°，根据BE是圆的一条切线，EDC是圆的一条割线，利用切割线定理得到ED的长，从而得到CD的长．解答：解：∵BE是圆的一条切线，∴∠CBE是圆的弦切角，∵∠BAC与∠CBE对应着同一条弧，∴∠BAC=∠CBE=70°，∵BE是圆的一条切线，EDC是圆的一条割线，∴BE2=ED•EC，∵BE=2，CE=4，∴ED=1，∴CD=4﹣1=3故答案为：70°；3点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角与弦切角相等，本题在计算时注意题目中的条件和图形中的线段的对应，本题是一个基础题．12．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣3，0]．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；综合题．分析：命题中的不等式含有字母参数，首先考虑a=0，发现此时显然命题是真命题．再看当a≠0时，若要原命题为真命题，必须相应的二次函数图象开口向下且与x轴不相交，由此可列出关于a的不等式组，解之即得a的取值范围．最后综上所述，得到正确答案．解答：解：命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，即对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＞0都不成立①当a=0时，不等式为﹣3＞0，显然不成立，符合题意；②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3在R上恒小于或等于0∴，解之得﹣3≤a＜0综上所述，得实数a的取值范围是﹣3≤a≤0故答案为：[﹣3，0]点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了含有字母参数的不等式恒成立的知识点，属于基础题．13．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x=是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为y=2sin（4x+）+2．考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题．分析：利用三角函数的有界性求出最大值、最小值列出方程求出A，n；利用周期公式求出ω，利用整体思想将对称轴代入sin（ωx+φ=）=1或﹣1，求出φ，求出解析式解答：解：由题设得，a+n=4，﹣A+n=0，得A=2，n=2，ω=4，且当x=时，2sin（π+φ）=±1，故φ=．所求解析式为y=2sin（4x+）+2．故答案为y=2sin（4x+）+2点评：本题考查三角函数的有界性、周期公式T=、整体代换的思想求对称性．14．（5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为1考点：函数零点的判定定理．分析：先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答：解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评：本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．三、解答题（80分）15．（12分）已知二次函数f（x）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣8），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，3]上的最值；（3）求不等式f（x）≥0的解集．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）待定系数法：设出f（x）的两根式，把点C坐标代入即可求出；（2）判断f（x）在[0，3]上的单调性，据单调性即可求得最值；（3）按二次不等式的求解方法易求：变形，求根，据图写解集；解答：解：（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），因为f（x）的图象过点C（1，﹣8），所以﹣8=a（1+1）（1﹣3），解得a=2．所以f（x）=2（x+1）（x﹣3）．（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=﹣8，又f（0）=﹣6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．所以f（x）在[0，3]上的最小值为﹣8，最大值为0．（3）f（x）≥0即2（x+1）（x﹣3）≥0，解得x≤﹣1或x≥3．所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质及二次函数解析式的求解问题，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键．16．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．分析：（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．解答：解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．点评：对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，求f（α）的值．考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用诱导公式可化简f（α）=﹣cosα；（2）当cos（α﹣）=﹣sinα═时，刻求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，利用诱导公式易求f（α）的值．解答：解：（1）f（α）==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα=，α为第三象限角，∴f（α）=﹣cosα==；（3）若α=﹣1860°，则f（α）=﹣cos（﹣1860°）=﹣cos（﹣60°）=﹣．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．18．（12分）设f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的值域；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先通过函数的三角变换变形成余弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间（2）直接利用定义域求函数的值域．（3）函数图象的变换符合左加右减的性质．解答：解：（1）f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx=．f（x）的最小正周期为：π；令（k∈Z），解得：，函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（2）由于：﹣≤x≤，所以：，，进一步解得函数f（x）的值域：[0，]．（3）由于f（x）=把图象向右平移个单位得到：g（x）=即：g（x）=sin2x+3点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，余弦型函数的最小正周期，和单调区间，利用函数的定义域求三角函数的值域，函数图象的平移变换问题．19．（16分）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值．考点：三角函数的最值；余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）观察已知，自然想到余弦定理，然后求角A的大小；（Ⅱ）通过函数f（x）=，化为一个解答一个三角函数的形式，根据A的值确定B是范围，结合函数表达式，求f（B）的最大值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得cosA=．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）∵0＜A＜π（或写成A是三角形内角）（4分）∴A=．（5分）（Ⅱ）函数f（x）==（7分）=sin（x+）+，（9分）∵A=∴B∈（0，）∴（没讨论，扣1分）（10分）∴当，即B=时，f（B）有最大值是．（13分）点评：本题是基础题，考查三角形中的基本计算问题，考查余弦定理的应用，注意B的范围是确定函数最值的关键，也是易错点．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F（2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，建立方程关系，即可求F（2）+F （﹣2）的值；（Ⅱ）将不等式|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，于是，∴F（2）+F（﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x2+bx，|x2+bx|≤1在区间（0，1]上恒成立，等价于﹣1≤x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立，即，即，在0＜x≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b≥﹣2且b≤0，于是﹣2≤b≤0．点评：本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．。
2019-2020年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期中测试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴ 或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式 已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得： …………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--（）≤. ……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分） 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α （Ⅱ）解：依题意得 ，．所以 ， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得，减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴， 令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即 因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-=所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时当………………………14分。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析(VII)
2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科）含解析(VII)一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣23．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log3165．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．57．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式．12．已知α为锐角，，则=．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．2015-2016学年北京市汇文中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵i（3+4i）=3i+4i2=﹣4+3i，∴复数i（3+4i）的虚部为3．故选A．【点评】熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键．2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣2【考点】命题的否定．【专题】规律型．【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要将结论变为相对的，还要改变量词，由此规则写出其否定即可【解答】解：由题意p：∀x∈R，x≥2，∴¬p：∃x∈R，x＜2，故选B．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是理解并掌握命题的否定书写的规律，对于两个特殊命题的否定，要记忆其书写规则，即：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要注意量词的变化．3．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的周期，判断选项即可．【解答】解：函数中，对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），可知函数是偶函数，f（x﹣π）=f（x），可知函数的周期为π，f（x）=sinx不满足题意；f（x）=sinx•cosx=sin2x，是奇函数，不满足题意；f（x）=cosx的周期是2π；不满足题意；f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，满足题意；故选：D．【点评】本题考查抽象函数的性质，函数的奇偶性以及函数的周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力．4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log316【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．【点评】本题考查有三视图还原几何体，本题是一个基础题，解题的过程中看清各个部分的数据，代入求体积公式得到结果．7．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P（m＞0），则，∴，∴过动点P的切线方程为：．①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B．则|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=≥+=4，当且仅当，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M，N，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．则，，所以化为解得，故假设成立．因此③正确．故选D【点评】理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．【解答】解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式2n﹣11．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题．=2n﹣11．当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，进而【分析】由题意可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1求出数列的通项公式．=（n﹣1）2﹣10（n﹣1）=n2﹣12n+11，【解答】解：由题意可得：当n≥2时，S n﹣1=2n﹣11．所以a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，所以数列的通项公式为：a n=2n﹣11．故答案为：a n=2n﹣11．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握数列通项公式的方法，以及结合正确的运算．12．已知α为锐角，，则=﹣3．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由α为锐角和cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：由α为锐角，cosα=，得到sinα==，所以tanα=2，则tan（+α）===﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是（10，20）．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题．【分析】利用Q=100﹣5P，弹性大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵Q=100﹣5P，弹性大于1∴=＞1∴（P﹣10）（P﹣20）＜0∴10＜P＜20故答案为：（10，20）【点评】本题考查新定义，考查解不等式，解题的关键是对弹性的理解．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为要求函数的增区间所以求出f′（x）令其大于零，同时考虑到x＞0，故求出增区间即可；（2）因为g（x）=f'（x），分区间讨论k的取值并根据a+b≥2当且仅当a=b时取等号的方法求出最小值即可．【解答】解（1）k=2，f（x）=（x+1）2﹣4lnx．则f′（x）==＞0，（此处用“≥”同样给分）注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=．g（x）=≥，当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．①若∈（0，2]，即当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；②若k＜﹣4，则在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6﹣k．综上所述，当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；当k＜﹣4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6﹣k．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力，a+b≥2当且仅当a=b时取等号的灵活运用．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】（I）根据2a n=S n+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；（II）因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立，两式相减可得a n+1+2=2（a n+2），然后根据等比数列定义可得结论；（III）先求出数列{n•a n}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n+1﹣2a n=a n+1+2．所以a n+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…【点评】本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．【点评】导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【考点】等差数列的通项公式．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013=0，可得a1007=0，a1008=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013=0，∴=0，∴a1+a2013=0，即a1007=0，∴a1008=d，当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=，∴1006d+d=，即d=，∴a n=a1007+（n﹣1007）d=（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n=，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|=1，∴|S k|（k=1，2，…，n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020年高三上学期期中考试数学(理)试卷含解析(I)
2019-2020年高三上学期期中考试数学（理）试卷含解析(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x＜﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．6．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”7．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14] B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]10．在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B． C．D．或二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．dx= ．12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ= ．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，B=120°，则a= ．14．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．15．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．18．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置．解答：解：∵复数z====﹣1+i，∴复数对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数对应的点的在第二象限，故选B点评：本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，本题是一个基础题．2．已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x＜﹣1，或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x ≤2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次不等式化简集合A，然后利用补集运算求解．解答：解：∵A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}．故选：C．点评：本题考查了补集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数的图象的平移原则求解即可．解答：解：=，∴为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位．故选：D．点评：本题考查函数的图象的平移变换，注意左加右减以及x的系数，基本知识的考查．4．已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，由题意可得4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2，解得cosθ的值，再结合θ∈[0，π]，求得θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由题意可得+﹣2b2=﹣2，即4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2，解得cosθ=．再结合θ∈[0，π]，∴θ=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题可先研究log2（4）的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质将的值用已知关系式表示出来，即可求出所求值．解答：解：当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，由题意函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得其周期是2，又log2（4）=，∴=f（）=f（+2）=f（）=﹣f（﹣）=﹣=﹣，故选：D．点评：本题考点是函数奇函数的性质，考查了奇函数的对称性，函数的周期性，对数的去处性质，解题的关键是函数的性质，本题考察了转化的思想，本题是一个函数性质综合考查题，此类题是每年高考必考题，规律较固定，题后要好好总结．6．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用复数命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；逆命题的真假判断C 的正误；命题的否定判断D的正误；解答：解：对于A，命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题，显然不正确，应该推出至少一个是真命题，所以A不正确．对于B，已知x∈R，则“x＞1”不能推出“x＞2”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以B不正确．对于C，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b则am2＜bm2，逆命题显然不正确，因为m=0时不成立．判断为逆命题是真命题，是错误的，所以C不正确；对于D，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”符号特称命题与全称命题的否定关系，是正确的，所以D正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件，四种命题的逆否关系，复数命题的真假，命题的否定，基本知识的考查．7．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可．解答：解：对于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，f（）=sin=1为最大值，故其图象关于x=对称，由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函数，即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性质①②③，故选：A．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性的综合应用，考查转化思想，属于中档题．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14] B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式可得S n=n2+（λ+1）n，利用二次函数的单调性，列不等式组即可求解．解答：解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，由二次函数的性质和n∈N可知：6.5＜＜7.5即可满足题意，解不等式可得﹣16＜λ＜﹣14故选：B点评：本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质和不等式组的解法，属基础题．10．在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B． C．D．或考点：函数的图象；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f′（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第四张图．由图象特征知f′（0）=0，∴a2﹣1=0，且对称轴﹣a＞0，∴a=﹣1．∴函数f（x）=x3﹣x2+1，故答案为f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣，故选：B．点评：本题考查函数与其导函数的综合应用，三次函数与其导函数（二次函数）的关系，综合考查二次函数的应用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．dx= （e2﹣1），．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可解答：解：dx=e2x|=（e2﹣1），故答案为：（e2﹣1），点评：本题主要考查了定积分的计算，属于基础题12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ= ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由于，可得，化为．与比较即可得出．解答：解：如图所示，∵，∴，化为．∵，∴λ=，μ=，∴λ﹣μ=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量相等，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，B=120°，则a= ．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosB的值代入求出a的值即可．解答：解：∵△ABC中，c=，b=，B=120°，∴b2=a2+c2﹣2accosB，即6=a2+2+a，解得：a=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是（﹣∞，0] ．考点：导数的运算．分析：先对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0问题，进而求出参数a的取值范围．解答：解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．点评：主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．15．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为7 ．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：根据递推数列，得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，解不等式即可得到结论．解答：解：∵2a n+1+S n=3，∴2a n+2+S n+1=3，两式相减得2a n+2+S n+1﹣2a n+1﹣S n=0，即2a n+2+a n+1﹣2a n+1=0，则2a n+2=a n+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2a n+1=a n，则即数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为S n==3﹣3•（）n，==1+（）n，若＜＜，则＜1+（）n＜，即＜（）n＜，则7＜2n＜17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7点评：本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导，由题意可知，从而求a，b的值；（Ⅱ）代入a，b的值，求极值处的极值及端点值，从而求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，∴f′（x）=3ax2+2bx，由题意可知，解得a=﹣2，b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣2x3+3x2，∴f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1），令f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1）=0可解得，x=0或x=1；∵f（﹣）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=﹣4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为﹣4．点评：本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题．17．已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；两角和与差的正弦函数．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先根据向量的坐标运算求出f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x再通过恒等变换求出f（x）=，进一步利用整体思想求出单调区间．（Ⅱ）利用上一步的结论求出零点，最后进一步求出结果．解答：解：（Ⅰ）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），所以：f（x）=•=（sinx+cosx）2+2cos2x=，令：（k∈Z），解得：，所以函数f（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2所以：，即：，因为：x∈（0，π），所以：，解得：，．点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，函数零点的应用，属于基础题型．18．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质、通项公式化简条件，求出q、a1的值，再求出a n；（Ⅱ）根据对数的运算律化简b n，再求出，利用裂项相消法求出数列的前n项和为S n，代入不等式化简后求出n的最小值．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a42=9a1a5得，a42=9a32，即q2=9，因为各项均为正数，所以解得q=3，由2a1+a2=15得，2a1+3a1=15，解得a1=3，所以a n=3n；（Ⅱ）因为a n=3n，所以b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=1+2+3+…+n=，则=2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）+…+（）]=2（1﹣）=，由解得，n＞39，所以n的最小值为40．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，对数的运算律，以及裂项相消法求出数列的前n项和，属于中档题．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用正弦的展开式求出3sinAcosC=2sinCcosA，进一步求出结论．（Ⅱ）利用上部结论，进一步利用关系式的变换求得B的大小．解答：解：（Ⅰ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，利用正弦定理得：3sinB=5sinCcosA所以：3sin（A+C）=5sinCcosA展开解得：3sinAcosC=2sinCcosA即：3tanA=2tanC由tanA=2．解得：tanC=3（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C=πtanB=﹣tan（A+C）=0＜B＜π所以：B=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系的应用，正弦定理的应用，及相关的运算问题．属于基础题型．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅲ）求出b n=的通项公式，建立不等式关系即可试求数列{b n}的最大项．解答：解：（Ⅰ）由a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．得，即{}是首项为，公差d=1的等差数列，则=，数列{a n}的通项公式a n=（2n﹣1）•2n﹣1；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；∵a n=（2n﹣1）•2n﹣1；∴S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1；2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n；两式相减得﹣S n=1+2（21+22+…+2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+=﹣3+（3﹣2n）•2n；∴S n=（2n﹣3）•2n+3（Ⅲ）∵b n=，∴b n═（2n﹣3）•（）n，由，即，解得，即n=4，即数列{b n}的最大项为．点评：本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，利用导数性质能求出函数f（x）的最小值．（Ⅱ）由已知得a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则=，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）由已知得当且仅当x=时，f（x）min=f（）=﹣，设m（x）=﹣，x∈（0，+∞），则m′（x）=，由此利用导娄性质能证明对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=时，f（x）min=f（）=﹣．（Ⅱ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，即a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则==，∵x∈（0，+∞），∴x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x∈（0，+∞）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，∴h（x）min=h（2）=5+ln2，∵a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，只需a≤h（x）min即可，∴a≤5+ln2．（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞恒成立，由（Ⅰ）可知，f（x）=xlnx在x∈（0，+∞）时，当且仅当x=时，f（x）min=f（）=﹣，设m（x）=﹣，x∈（0，+∞），则m′（x）=，∴x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．∴当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），∴m（x）max=m（1）=﹣，∴，∴对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P(0,2),且在点 P 处有相同的切线．
一、选择题
题号 1
2
答案 B
C
二、填空题
哈师大附中 xx 级高三上学期期中考试 数学试题（理科）答案
3
4
5
6
7
8
9
C
A
A
D
C
B
B
13． 14． 15． 16．
17．（Ⅰ） f (x) sin 2 x cos2 x 2 3 sin xcos x
3 sin 2 x cos2 x 2sin(2 x ) 6
()
A．
B．或
C．
cos B uuur
12．已知是△外接圆的圆心， 、、为△的内角，若
AB
sin C
为（
）
D． 或
cosC uuur AC
uuur 2m AO ，则的值
sin B
A． 1
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）
二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把每小题的答案填在答题纸的相应
1 ( + 1 + ln a)
a
1
2ln a ，
a
a
令，因为 g (a)
1 1+ a2
2 a
(1 1) 2 a
0，
所以在上是增函数．
而，故当时， ，即；
所以，当时， ，即，函数在上是增函数，解得；
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12 分
22． ( Ⅰ ) 由已知得 f (0) 2, g(0) 2, f (0) 4, g (0) 4 ,
（1）
cosC 0
8 2cos 2 C 3cos C 2 0
1
3
3
（2） S ab sin C
ab
3 ab 6
2
4
2
2
，即 7
(a b)2 12 2 6 1
2
2
19．（ 1） 在 △ SAB 中 ， ∵ OE∥ AS， ∠ ASC=90 °∴ OE⊥ SC
∵ 平 面 SAC⊥ 平 面 ABC ， ∠ BCA=90 °
要求的）
1. 已知集合 A
x
1,1 , B x 1 2 4 , 则等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，是的 ( )
A. 充要条件
B.
必要条件
必要不充分条件 C.
3. 已知向量满足：与垂直，且，则与的夹角为（
充分不必要条件 ）
D. 既不充分也不
A．
B．
C．
D．
4．已知，，则（
）
A．
B．
C．
5．如果一个几何体的三视图如图所示
2
k
36
2
3k 1 (0,2) 2
，， . ………………………………………… 5 分
（Ⅱ） g (x) f ( x ) 2sin 2x 12
10 11 12
C
C
B
y
分
2
…………………………………… 7
π
π
-
-
2
4
1
π o
4
-1
-2
π
2x
……………………………………… 10 分
18．
V 8 2sin 2 C 3cos C
B． 1 个
C
．2 个
D． 3 个
10．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数 与的图像也关于直线对称； ③如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为．
其中真命题是
左视图
A．①②
B．①③
C．②③
D．②
11．设函数 f ( x) loga x (0 a 1) 的定义域为 , 值域为 , 若的最小值为 , 则实数 a 的值为
积是 ( )
D． (单位长度 : cm), 则此几何体的 表面
2 1
A．
B． 21 C．
D． 24
2
6．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（
）
A． .
B．
C．
D．
7．若定义在 R 上的偶函数满足且时 ,则方程的零点个数是 (
)
主视图
A． 2 个
B． 3 个
C． 4 个
D．多于 4 个
2
8．将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关
（2 ）求
cos2 2 cos( ) sin
4
的值．
16．（ 12 分）已知数列的前 n 项和为，且， （ =1， 2，3…） （1）求数列的通项公式；
（2）记 Sn 1 a1 3 a2 .... (2n 1)an ，求．
7. 若 函 数 是 偶 函 数 ， 则 图 象 的 对 称 轴 是
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8.自然数按一定的顺序排成一个数列， 若满足 | a1 1 | | a2 2 | ... | an n | 4 ，则称数
列是一个“优数列” ，当时，“优数列”共有
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．从 0，1，2，3，4，5， 6， 7， 8， 9 这 10 个数字中任取 3 个
1. 复 数 等 于
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ.
2. 函 数 的 图 象 大 致 是
y
1
O
x
Ａ．
y
1
O
x
Ｂ．
y
O1 x Ｃ．
3 ． 命题：“ 任意非零向量，都有 ”，则 A．是假命题； ： 任意非零向量，都有 B．是假命题； ： 存在非零向量，使 C．是真命题； ：任意非零向量，都有 D．是真命题； ： 存在非零向量，使 4. .函数 y＝lg x－9x的零点所在的大致区间是
6分
⑶因为存在，使得成立，
而当时， f ( x1 ) f ( x2 ) ≤ f ( x) max f ( x) min ，
所以只要即可． 又因为，，的变化情况如下表所示：
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值
，的最大值为和中的最大值．
因为 f (1)
f ( 1)
(a + 1 ln a)
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
y
O1 x Ｄ．
5．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．为 D．
6. 已知函数 f (x) A sin( x 3
最低点的距离是，则等于
) (A 6
0) 在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与
A．
B．
C．
D．
作，第 3个五角形数记作，第 4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则
an an 1 _______(n 2) ；对，．
1
5
12
22
题 14
三、解答题： 本小题共 6 小题， 满分 80 分，须写出必要的文字说明、
证明过程和演算步骤。
15．（ 12 分）已知向量， ，且． （１）求的值；
位置） 13．设，向量， ，，且，，则 =_____________. 14．若函数 f (x)＝ Asin(ωｘ＋ φ)(A， ω， φ是常数， A>0 ， ω>0)的部分图象
如图所示，则 f(0) ＝ ________.
15．在中， ，是的中点，若， 在线段上运动，则的最小值为 ____________.
不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是 3 的倍数，
则满足条件的点的个数为
A． 252
B． 216
C． 72
D． 42
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9. 若，则．
10．集合为函数的值域，集合为函数的值域，则
A B _____________.
11 . 等比数列的前项和为，若，则
.
12. 已知正方形，是的中点，由确定的值，计算定积分 13. 在锐角中，，，则的取值范围是．
14. 两千多年前， 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题， 上画点或用小石子来表示数 ，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图
他们在沙滩 2中的实心
点个数 1， 5， 12， 22，…，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作，第 2个五角形数记
AQ // EM BD I EM M
BD, EM 平面 BED
NM 平面 BED
21． ⑴ f ( x) a x ln a + 2 x ln a 2x + (ax 1)ln a ．
，所以 在上是增函数， ………………………… 2 分 又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………
16．正四棱锥 S－ ABCD 的底面边长为 2，高为 2，E 是边 BC 的中点， 动点 P 在表面上运动， 并且总保持 PE ⊥AC，则动点 P 的轨迹的周长为 ________． 三、解答题（共 6 个题， 共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17. （本题满分 10 分）
已知向量 a (sin x cos x,sin x) b (sin x cos x,2 3 cos x) ，设函数的图象
A
∴ BC⊥ 平 面 ASC， OE ? 平 面 ASC
∴ BC⊥ OE ∴ OE⊥ 平 面 BSC
∵ SF? 平 面 BSC
∴ OE⊥ SF 所 以 无 论 F 在 BC 的 何 处 ， 都 有 OE⊥ SF
…（6 分）