D5_6曲面与曲线

x z − 2 = 1− 2 a c b y = y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1 = b 时, 截痕为相交直线: x z ± =0 a c y = b (或 − b) 3) y1 > b时, 截痕为双曲线:
y12 x2 z 2 − 2 = 1− 2 2 a c b y = y1
x2 z 2 + =1 a 2 c 2 y=0
x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 ( a, b, c为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆：
x
a c2
2
2
(c 2 − z12 )
+
y
b c2
2
2
z
(c 2 − z12 )
=1
2
y
x y − + = z ( p , q 同号) Байду номын сангаасp 2 q
2
2
O
x
y
3. 双曲面
z
2 2
(1)单叶双曲面 (1)单叶双曲面
x y z + 2 − 2 = 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 z = z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y = y1上的截痕情况:
2
x
O
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
2、空间曲线的参数方程 、
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
O
v
令θ = ω t , b =
x
θ
y
ω
上升高度 h = 2π b , 称为螺距 . 螺距
练习. 练习 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
1. 椭球面
x2 y2 z 2 + 2 + 2 = 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围：
x ≤ a,
y ≤ b,
z ≤c
y2 z2 + =1 , b2 c 2 x=0
O
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 + =1, 2 2 a b z =0
z
x
O
y
z
<0
x
O
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
(2) 双叶双曲面
z
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 y = y1 上的截痕为 双曲线
O
平面 x = x1 上的截痕为 双曲线
y
x
平面 z = z1 ( z1 > c)上的截痕为 椭圆
例如, 例如,
x2 + y 2 + z 2 = 1 C: 2 x + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 1
在xOy 面上的投影曲线方程为
z
C
O
x
1
y
x2 + 2 y 2 − 2 y = 0 z =0
又如, 又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在 xOy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
2
2
O
xx
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
2. 抛物面
z
2
(1) 椭圆抛物面
x y + = z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x O (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z
•
表示抛物柱面 抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴;
z
O
准线为xOy 面上的抛物线. x 2 2 x y • 2 + 2 = 1表示母线平行于 z a b z 轴的椭圆柱面 椭圆柱面. 椭圆柱面 • x − y = 0 表示母线平行于 z 轴的平面 平面. 平面 (且 z 轴在平面上)
O
y
z
(2) 将第二方程变形为
故所求为
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y) = 0 O z =0 y 消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程 C′ x R( y, z) = 0 x=0 T ( x, z) = 0 消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程 y=0
y
O
x
y
x
2、旋转曲面
定义2. 定义 . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线 定直线旋转 定直线 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 旋转曲面. 旋转曲面 旋转 轴 . 例如 :
建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yOz 面上曲线 C: f ( y, z) = 0 若点 M1 (0, y1, z1 ) ∈ C, 则有
2 2 2
z
x
O
y
O
y
z
x +y z − 2 =1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
x
O
y
例2. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为
z
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
α
O
M (0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
z
O
C : f ( y, z) = 0
y
x
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
例1. 求坐标面 xOz 上的双曲线
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x z
x 绕 z 轴旋转所成曲面方程为
2 2 2
x y +z − =1 2 2 a c
z
C
f ( y1, z1 ) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z) , 则有
M ( x, y, z )
M1 (0, y1 , z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
O
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x 2 + y 2 , z) = 0
思考： 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
第六节 曲面与曲线
一、柱面与旋转曲面
二、空间曲线的方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
第五章 五
一、柱面与旋转曲面 定义1. 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 柱面. 准线, 母线. 的轨迹叫做柱面 C 叫做准线 l 叫做母线 柱面 准线 母线 z 一般地,在三维空间 l 方程 F ( x, y) = 0 表示柱面, C O 母线 平行于 z 轴; y 准线 xOy 面上的曲线 l1. x l1 z l2 方程 G( y, z) = 0 表示 柱面, O 母线 平行于 x 轴; y 准线 yOz 面上的曲线 l2. x z 方程 H ( z, x) = 0 表示柱面, l3 母线 平行于 y 轴; O 准线 xOz 面上的曲线 l3. y x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
2 2 2
x a
+ 2
y
b2
−
z
c2
=
1 单叶双曲面 − 1 双叶双曲面
4. 椭圆锥面
z
z
x y + 2 = z 2 ( a, b 为正数) a2 b 在平面 z = t 上的截痕为 椭圆 2 2 x y + = 1, z = t ① (at ) 2 (bt ) 2
z
在 xOy 面上的投影曲线 所围圆域: x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0.
C O
1
y
x
四、二次曲面
三元二次方程
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形统称为二次曲面 其基本类型有: 二次曲面. 二次曲面 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2 2 2
二、空间曲线的方程 1、曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z) = 0 L F ( x, y, z) = 0
S2
S1
z
例如,方程组 例如
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
x O 1y
又如,方程组 又如
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
C