小学奥数系列：第八讲找规律

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六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：-第八讲-一笔画问题

第八讲一笔画问题一、一笔画问题问题1 你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸,而且每一笔划（或称线段）只能画一次,不准重复.对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图 8－1）通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成.由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成.我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画.一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成.例 1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？经过尝试,你会发现,图 8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的.而且图（c）、（e）可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图（a）只能从A （或D）点出发,一笔画成到 D（或A）点结束.如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论.有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题.上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的,在数学中叫做图.图形中的点叫图的结点,线段（或弧）叫做图的边.作为一个图,其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交.一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关.图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数.度数为偶数的结点叫做偶结点.例如,图 8－3 中结点 C、D、E 都是偶结点.度数为奇数的结点叫做奇结点.例如,图 8－3 中结点A、B、F、G 都是奇结点.任何两点间都有线连接的图称作连通图.（如图8－3 中D 与G 可通过DB、BA、AG 连接）观察例 1 中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表：从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系, 人们总结出如下规律：一个图若是一笔画必定是个连通图.一个连通图,若没有奇结点（即全是偶结点）,那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点.一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成.而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束.一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成. 例 2判断下列各图是否能一笔画出来.解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成, 并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来.当作练习,请把例 2 中能够一笔画的图一笔画出来.二、七桥问题和欧拉定理问题 2 七桥问题.关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题.事情发生在 18 世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛 A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（参看图 8－5）,那里的居民在星期日有散步的习惯.有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点？这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案.后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉.欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想：也许那样的走法根本就不存在.1936 年他证明了自己的猜想.欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性.他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图形（参看图8－5（b））.这样七桥问题就变成了一个一笔画问题：能不能一笔画出这个图形,并且最后返回起点？前面我们虽然通过对例 1 的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论,但并没有证明,没有说明这是为什么.下面我们简要说明其中的道理.一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数（也称度数）有关.假定某个图能一笔画成,如果结点 P 不是起点或终点,而是中间点,那么 P 一定是个偶结点.因为无论何时通过一条边进入 P,由于不能重复,必须从另一条边离开 P,因此与 P 连结的边一定成对出现,所以 P 是偶结点.如果一个结点 Q 是奇结点,那么在一笔画中只能是起点或终点.由此可以看出,在一个一笔画中,奇结点个数至多只能有两个.由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点,所以不能一笔画成.也就是说,七桥问题无解,证实了欧拉的猜想.欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题, 而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理.1736 年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告,公布了他关于七桥问题的研究成果.欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法,它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生.对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.例如,图 8－6（a）中的图无奇结点,可以从 A 点出发,一笔画成回到 A 点, 其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A.图8－6（b）中的图有两个奇结点 C 和E,可以从E 出发一笔画成,到 C 结束.其路线为E→D→C→B→A→C.这两条路线都是欧拉路.应当注意：一个图如果存在欧拉路,那么不一定是唯一的.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.例如,图 8－6（a）所表示的路线就是一条欧拉回路,因此相应的图就是一个欧拉图.例3 图8－7 是一公园的平面图,线段表示路径,要使游客走遍每条路且不重复, 问出入口应设在哪里？分析与解：这个问题实质上是一个一笔画问题.图中只有两个奇结点 C 和E,因此,只要把出入口分别设在这两个奇结点处,游客就能由入口进入公园,不重复地走遍每条路,然后从出口处离开公园.例4 能否一笔画出一条曲线,使它和图 8－8 中的八条线段都只相交一次（不准在端点处相交）？分析与解：尝试几次后,会感到很难下结论.事实上,直接寻找答案并不容易.我们可从七桥问题得到启示.原图形把平面分成了五个部分,分别用 A、B、C、D、E 五个点表示.两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次,如图 8 －8（b）.于是,问题就变成了图 8－8（b）中所表示的图能否一笔画成.因为图中A、B、C、D 都是奇结点,因此,它不能一笔画成,即不存在符合题目要求的曲线.例 5 图 8－9 表示一个展览馆的平面图,其中共有五个展览室,每个展览室都有一个门通向室外.能否设计一条参观路线,一次不重复地穿过每一个门并能回到原地.分析与解：如果用 A、B、C、D、E 表示展览室,用F 表示室外,用连线表示相应的门,那么图 8－9（a）就变成了图 8－9（b）于是问题就转化为判断图 8－9（b）是否为欧拉图.由图中可以看出,点 C、D、E、F 都是奇给点,因而图 8－9（b）不具有欧拉回路.所以不是欧拉图.也就是说,不存在题中所要求的那种参观路线.可以进一步考虑,关闭了哪两个门之后,就能设计出符合题中要求的参观路线了？为此,只要使图 8－9（b）变为欧拉图,即使它的奇结点个数为 O 即可.例如抹去线段CD 和EF 后的图就没有奇结点了.也就是说,如果关闭 C、D 之间和E、F 之间的两个门,就能设计出一条参观路线,一次不重复的穿过每一个门,并能回到原地.请你试一试,同时想一想,是否还存在其它的答案,一共有几种？习题八1．判断下列各图是否能一笔画成.2．一个花园的小径如图 8－11 所示,散步者能否不重复地一次走遍全部小径？3．图8－12 中A、B、C、D 是四个防空洞,相邻防空洞之间有地道相通,且每个防空洞各有一条地道与地面相通,能否找到一条路线不重复地走遍所有地道？4．用剪刀能否一次连续剪下图 8－13 所示的纸上的 3 个正方形和2 个三角形？5．一只蚂蚁,从图 8－14 右上角长方形中 P 点出发爬行,它要越过这图中16 条线段.每条线段只能通过一次,且不能通过线段的端点,你认为存在这样的路线吗？806．图8－15 表示一个有九个展室的展览馆平面图,每相邻的展室之间都有一道门相通,能否设计一条参观路线,从入口进去,每道门只通过一次,再由出口出去？如果能,则标出参观路线；如果不能,则考虑至少要增开几道门就可设计出符合要求的路线,并标出“新门”的位置.。

【4年级奥数课本(上)】四年级上第08讲_数列规律计算

小学奥数创新体系4年级（上册授课课本）最新讲小学奥数小学奥数创新体系4年级（上册授课课本）最新讲小学奥数第八讲数列规律计算【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．例题1观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题3观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18， (19)请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数．出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列。

小学奥数之图形找规律(完整版)

小学奥数之图形找规律找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化； ⑴图形形状的变化； ⑴图形大小的变化； ⑴图形颜色的变化； ⑴图形位置的变化； ⑴图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.模块一、图形规律——数量规律【例 1】观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【考点】图形找规律【难度】1星【题型】填空【解析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形．【答案】七边形【例 2】请找出下面哪个图形与其他图形不一样.【考点】图形找规律【难度】1星【题型】填空【解析】这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不一样【答案】（4）【例 3】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。

【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：（1）（2）（3）（4）（5）4-1-2.图形找规律知识点拨例题精讲【答案】【例 4】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【答案】圆形【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形.(方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形.【答案】圆形【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形⑴. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是三角形△.【答案】⑴【例 5】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【答案】七个黑三角形【例 6】观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空？（4）？【解析】第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：【答案】【例 7】观察下图中的点群，请回答：(1)方框内的点群包含个点；(2)推测第10个点群中包含个点；(3)前10个点群中，所有点的总数是。

小学数学四年级奥数讲与练第8讲《找规律(二)》(习题含答案)

第8讲：找规律（二）（含答案）整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。

一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作a n，即本讲主要讲a n的个位数的变化规律，以及a n除以某数所得余数的变化规律。

因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什么。

从表看出，a n的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当a的个位数是0，1，5，6时，a n的个位数仍然是0，1，5，6。

（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，a n的个位数按每两个数为一周期循环出现。

其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，a n的个位数按每四个数为一周期循环出现。

其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1求67999的个位数字。

分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

999÷4＝249……3，所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。

例2求291+3291的个位数字。

分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。

高斯小学奥数含答案三年级(上)第08讲归一问题

第八讲归一问题例题1汽车厂每名工人每天生产汽车零件6个．按照这样的速度，10名工人3天能生产多少个零件？如果要用5天的时间生产出300个零件，那么需要多少名工人？分析：试着先求出10名工人每天能生产多少个零件？练习1每人每小时能包125个饺子．按照这样的速度，8个人5小时能包多少个饺子？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1中，“每名工人每天生产的零件个数”是解题的关键，我们把这样的量称为“单位量”，而求解“单位量”，利用“单位量”进行分析的应用题就称为“归一问题”．归一问题是基本应用题的重要组成部分，在解决归一问题时，关键是要找到“单位量”，也就是把多倍的量“归．”成单位的“一．”．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2牛吃草，6头牛5天吃90捆草，按照这样的速度，8头牛3天吃多少捆草？多少头牛10天吃60捆草？分析：每头牛每天吃多少捆草？练习2鲨鱼吃小鱼，4头鲨鱼3分钟吃1200条小鱼，按照这样的速度，5头鲨鱼8分钟吃多少条小鱼？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当单位量不可求时，可以试着把某些量设成单位量来解决．在设单位量的时候，通常设为“1”份．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天．轮船离港10天后在公海上救起15名遇难的外国海员．假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？分析：如果设1名海员1天消耗“1”份淡水，那么船上开始总共有多少多少淡水？10天后呢？练习3某油库里有一定量的汽油，可以供20辆出租车用35天，但在这些车用了10天后又从别的地方调来了5辆出租车共同使用这些汽油，那么剩下的油还能用几天？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 前面的几个例题都可以直接算出或设出单位量，但有时候的归一问题只凭借现在所学的知识无法算出单位量，但可以根据前后的一些倍数关系的比较来解决，这种方法称为“倍比法”．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题43只猴子3天吃3个桃子，按照这样的速度，6只猴子6天能吃几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多少天？分析：条件是3只猴子3天吃，问题是6只猴子6天吃，它们之间有什么倍数关系？练习42只猫2天能抓2只耗子，那么4只猫4天能抓几只耗子？例题59个人6天完成了12件作品，按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21人12天可以完成多少件作品？分析：与例题4类似，试着找一下条件与问题间的倍数关系．例题6老李从批发市场以6元钱3千克的价格买进一些柚子，然后以5元2千克的价格卖出去，那么要想获利180元，需要买进多少千克柚子？分析：思考下每6千克能获利多少元．课堂内外3只猫真的够了吗？“3只猫3分钟抓住3只老鼠，那么，100分钟抓100只老鼠需要几只猫？”这是一个很著名的问题．许多同学学了归一法后，在遇到这个问题时，都会这么想：3只猫3分钟抓3只老鼠，那3只猫1分钟就能抓1只老鼠，这样一来，它们100分钟恰好就能抓住100只老鼠．所以需要3只猫就够了！这是通常的回答，但是3只猫真的够了吗？其实，按题目的说法，虽然能保证3只猫在3分钟内抓住3只老鼠，但并不能保证它们每分钟恰好都抓住1只老鼠．因此，按题目的条件，比较恰当的推理应该是：3只猫6分钟抓住了6只老鼠，9分钟抓住了9只老鼠，99分钟抓住了99只老鼠．问题就在剩下的第100只老鼠．如果3只猫共同追这只老鼠，确实能像预期中的在1分钟内抓住它．但是，按照生活常识，我们知道猫总是独自追赶，绝不会成群结队地追赶自己的猎物．即使有3只猫在场，也只可能是1只猫在追赶这只老鼠，而这1只猫又未必能在1分钟内抓到老鼠．所以只有3只猫是不能保证在100分钟内抓到100只老鼠的，至少要有4只猫才行．不过，其中1只猫只要抓住1只耗子，就可以睡大觉了．这个猫抓老鼠的问题告诉我们，在考虑数学问题时，我们不能生搬硬套书本中所学的知识，还必须结合生活常识，才能得到正确的答案．作业1.3名小学生5分钟能吃30个饺子，照这样的速度，那么4名小学生8分钟能吃多少个饺子？2.3位老师4小时可以解决120道题．按这样的速度，4位老师解决400道题需要多少小时？3.卡莉娅想折一些许愿星来许愿，如果她每天折15分钟，要折20天才能折完．折了5天后，她觉得太慢了，于是每天多折10分钟，那么她还需要多少天才能折完？（假设每分钟折的数量不变）4.3台机床5小时能完成14个零件，那么照这样的速度，那么9台机床10小时能完成多少个零件？5.16只兔子一共重60千克，那么36只兔子一共重多少千克？多少只兔子一共重75千克？第八讲归一问题1.例题 1答案：（1）180个；（2）10名详解：（1）1063180个．（2）3005610名．2.例题 2答案：（1）72捆；（2）2头详解：（1）1头牛1天吃90653捆草，那么8头牛3天吃38372捆草．（2）603102头牛．3.例题 3答案：20天详解：设1人1天喝1份水，则共有304011200份水，现在轮船离开港口10天，会剩下120010301900份水，这时船上有301545人，则还可再用9004520天．4.例题 4答案：（1）12个；（2）3天详解：利用倍比法解题：（1）32212个．（2）933天．5.例题 5答案：（1）2件；（2）56件详解：中间量是第一问中的3人3天完成几件，因为此题无法缩小至1人1天几件，所以只能缩至多份量，是此题的难点．可以根据倍数关系，直接进行倍比．（1）12232件；（2）27456件．6.例题 6答案：360千克详解：每6千克进价为12元，售价为15元，可以赚3元，所以要买进18036360千克．7.练习1答案：5000个简答：125855000个．8.练习 2答案：4000条简答：1头鲨鱼1分钟吃120043100条，那么5头鲨鱼8分钟吃100854000条．9.练习 3答案：20天简答：设一辆出租车一天用1份汽油，那么共有700份汽油，700201020520天．10.练习 4答案：8只简答：利用倍比法解题：2228只．11.作业 1答案：64个简答：每人每分钟吃30352个饺子．4人8分钟吃24864个饺子．12.作业 2答案：10小时简答：每人每小时做1203410道．4人做400道需40041010小时．13.作业 3答案：9天简答：5天后还需共15(205)225分钟，每天多折10分钟，则需225(1510)9天．14.作业 4答案：84个简答：9台机床是3台机床的3倍，10小时是5小时的2倍，所以完成的零件数应该是倍．所以可以完成个零件．15.作业 5答案：（1）135千克；（2）20只简答：4只兔子共重千克，36只兔子共重千克，，只兔子共重75千克．4520751551591356041514684236。

高斯小学奥数含答案三年级(下)第08讲盈亏条件的转化

第八讲盈亏条件的转化
---------------------------------------------------------------------------希望同学们在解决盈亏问题时，不要套公式，一定要掌握前后比较的方法，在理解题意的基础上列
出正确的算式．
6
今天我们来学习几道稍复杂的盈亏问题．做盈亏问题时，需要分析什么是被分配的对象．遇到单位不一致的时候，把单位都按被分配的对象统一． ----------------------------------------------------------------------------
1528 年，科尔特斯回
到西班牙，向国王敬献了这种由可可做成的神仙饮料，只是，考虑到西班牙人的饮食特点，聪
明的科尔特斯用蜂蜜代替了树汁和胡椒粉．“这饮料真不错！”国王喝了连声叫好，并因此封
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ科尔特斯为爵士．从那以后，可可饮料风靡了整个西班牙．一位名叫拉思科的商人，因为经营
可可饮料而发了大财．一天，拉思科在煮饮料时突发奇想：调制这种饮料，每次都要煮，实在
科尔特斯他们．科尔特斯尝了一口，“哎呀，又苦又辣，真难喝！”但是，考虑到要尊重印第
安人的礼节，科尔特斯和队员们还是勉强喝了两口．没想到，才过了一会儿功夫，探险队员们
好像被施了魔法一样，体力得到了恢复！惊讶万分的科尔特斯连忙向印第安人打听可可水的配
方，印第安人将配方如实相告，并得意地说：“这可是神仙饮料啊！”
在地上，不想动弹．科尔特斯很着急，前方的路还很长呢，队员们都累成这样了，这可怎么办
呢？正在这时，从山下走来一队印第安人．友善的印第安人见科尔特斯他们一个个无精打采，
立刻打开行囊，从中取出几粒可可豆，将其碾成粉末状，然后加水煮沸，之后又在沸腾的可可

高斯小学奥数含答案二年级(下)第08讲一笔画

第八讲一笔画前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．这里是小区平面图，我从哪个入口进去，才能一次不重复地走遍小区的所有小路，尽快地把口罩送给每个朋友呢？由于空气污染严重，哥哥让我给朋友们去送口罩，以防大家得病。

墨莫墨莫一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复．一笔画能解决很多实际问题．那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画成呢？试着画一画下面的图形吧！例题1观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．（）（）（）（）（）（）【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗？练习1观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．（）（）（）（）（）（）（）（）我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成，能一笔画成的图形必定是连通图．连通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图．一个图形可以一笔画成，除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？我们一起找找吧！首先，我们先来认识下面的两个名词：从一点出发的线条数目是奇数，如1、3、5、7、……我们称它为奇点．从一点出发的线条数目是偶数，如2、4、6、8、……我们称它为偶点．奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？我们来看一看下面的题目吧！【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点．【练习2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．（1）（2）（3）（4）奇点数：（）（）（）（）偶点数：（）（）（）（）能否一笔画成：（）（）（）（）奇点数：（）（）（）（）偶点数：（）（）（）（）能否一笔画成：（）（）（）（）（1）（2）（3）（4）通过对上题的观察，相信大家都发现了规律．有0个奇点的连通图能够一笔画成．画时可以以任一点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．有2个奇点的连通图能够一笔画成．画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点画完此图．有2个以上奇点的连通图不能一笔画成．根据以上规律，我们可以通过奇点个数来正确判断哪些图形能一笔画成，哪些图形不能一笔画成．我们就用学到的知识来解决生活中的一笔画问题吧！例题3草地上有许多小路，丁丁和月月分别站在A 、B 两个路口．谁能够一次不重复地走遍所有小路？【提示】谁的出发点是奇点？练习3花园里有许多崎岖的小路，小乖要浇花，它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？AB CDE例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥．淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图”，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场．他们从哪个入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成．如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5AB C D EFG下面的“蝴蝶”能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求把它改成能一笔画成的图形．（1）在图1中，去掉一条线；（2）在图2中，添加一条线．图1图2【提示】在两个奇点之间去掉或添加线．例题6甲乙两个不同公司的快递员去送货，两人都要以同样的速度走遍所有的街道（阴影部分），甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到C点．如果都选择最短的线路，谁先回到C点？ABC【提示】先把实际道路图画成“点线图”，再判断各个交叉点中有哪些是奇点．课堂内外七桥问题德国有一个城市叫哥尼斯堡．城中有一条小河，河中有两个小岛，还有7座桥把这两个小岛和陆地连接起来，如下图所示．人们经常在这里游玩，他们在游玩的时候提出这样一个问题：能不能一次不重复地走遍所有的小桥呢？作业1. 观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．2. 下面每幅图中的交叉点分别有几个奇点？能否一笔画成呢？能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．（）（）（）（）（）（）小岛小岛3. 菲菲周末去郊外的公园玩，公园里有许多崎岖的小路．她想不重复地一次走完每条小路，可以从哪个路口出发？4. 小熊、灰鼠、小象和小猪要分别从东、南、西、北四个入口去果园采果子，谁能不重复地一次走遍所有小路？5. 下面的图形能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求将其改成能一笔画成的图形．（1）在图1中去掉一条线；（2）在图2中添加一条线．图1图2北CD E F G HBA 奇点数：（）（）（）（）能否一笔画：（）（）（）（）（1）（2）（3）（4）第八讲一笔画1.例题1答案：×，√，√，×，×，√详解：第（1）个图形是非连通图，不能一笔画；其它都是连通图，依次尝试判断即可． 2.例题2答案：如图所示：详解：把交叉点是奇点的圈起来，如图所示：有0个奇点和2个奇点的连通图能够一笔画成；2个奇点以上的连通图不能一笔画成．一个图形能否一笔画成与偶点数无关． 3.例题3 答案：月月详解：图中B 点和E 点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．美羊羊站在B 点的路口上，所以能够一次不重复地走遍所有小路． 4.例题4 答案：不能详解：把图中的小岛看成点，把桥看成线，得到“点线图”，如图所示，有4个交叉点，这4个交叉点都是奇点，这个图形不能一笔画成．所以淘淘不能一次不重复地走遍所有的小桥．5.例题5答案：如图所示：（答案不唯一）奇点数：（0）（2）（2）（4）偶点数：（4）（4）（5）（5）能否一笔画成：（√）（√）（√）（×）详解：图中有4个奇点，不能一笔画成．去掉或添加一条线使得奇点个数减少，那么就在2个奇点之间去掉或添加线． 6.例题6 答案：甲详解：先把这个送货路线图画成“点线图”，如图所示，A 、C 是奇点．所以，甲从A 点出发回到C 点，可以一次不重复的走遍所有的街道；而乙要走遍所有的街道，其中必有重复．所以甲先回到C 点．7.练习1答案：√，√，√，×，×，√，√简答：第2个图形和第5个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可． 8.练习2答案：如图所示：简答：先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．（1）（2）（3）（4）奇点数：（0）（2）（2）（6）偶点数：（3）（2）（3）（1）能否一笔画成：（√）（√）（√）（×）9. 练习3答案：A 点或F 点简答：图中A 点和F 点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．所以小乖应该从A 点或F 点出发．10. 练习4答案：C 或D简答：把图中的平面图画成“点线图”，如图所示，C 点和D 点是奇点，所以蘑菇园的小朋友们从C 或D 入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路．11. 作业1 答案：×，×，√，×，√，√简答：第1个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可．12. 作业2答案：如图所示：简答：先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．13. 作业3答案：A 或B简答：观察图形可知，图中只有A 和B 两个奇点，其余的都是偶点．走时必须从一个奇点出发到另一个奇点结束，也就是从A 出发，从B 离开，或者从B 出发，从A 离开．14. 作业4答案：灰鼠和小熊简答：先根据果园的平面图画出点线图，如下图所示．观察下图中共有9个交叉点，其中7个点是偶点，只有两奇点数：（2）（4）（0）（4）能否一笔画：（√）（×）（√）（×）（1）（2）（3）（4）E个点（北、西）是奇点，所以只有在北门和西门的小动物可以不重复地一次走遍所有的小路．15.作业5答案：不能简答：在任意两个奇点之间添一条线或去一条线，如下图所示，都可以改成能一笔画成的图形（答案不唯一）．小猪（东）小象（南）。

小学奥数数论问题第八讲提高篇之数论综合

第八讲提高篇之数论综合课上习题【例1】有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数。

这个正整数是多少？【例2】已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998。

满足上述条件的数一共有多少组？【例3】数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数。

同学们，你们知道这个数可能是多少吗？课后习题基础篇【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？提高篇【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23-216 ，16 就是一个“智慧数”。

请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧5数”是多少？【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？巅峰篇【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。

请写出这4 个数。

第八讲提高篇之数论综合课后习题：基础篇【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？解析：26460÷6=4410=2×3^2×5×7^2约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36。

26460 除去2 与3 的因数，剩下为5×7^2，约数个数6 个，这6 个均与6 互质。

【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？解析：11 个连续两位数，至多3 个5 的倍数，那么还有1 个25 的倍数。

把25 放最后一个是最小，这八个数为15～25。

提高篇【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23-216 ，16 就是一个“智慧数”。

高斯小学奥数四年级下册含答案第08讲_复杂数阵图

第八讲复杂数阵图较复杂的数阵图往往给人感觉可能性太多，不知道该怎么去试．而寻找特殊对象可以帮助我们从纷繁复杂的条件中找到最关键的环节进行突破．那什么样的对象在数阵图中可以算特殊呢？比如数阵图要填的若干数中最大或者最小的就算特殊；奇偶性与别的数不同的也算特殊；数阵图中重数最多或最少的空格也算特殊……一个对象只要有与众不同的地方就是特殊．至于什么样的特殊对解题有用，那还得看题目本身．但只要你有一双发现特殊的慧眼，总可以找到那个对解题最有用的“特殊”．例题1请将1～10填入图中的10个圆圈中（其中两个数已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．「分析」根据已有的数字9，图中哪两个圆圈已经可以填出来了？剩下的数中，谁最特殊？请将1~8填入下图的8个方格中，使得a 、b 、c 、d 四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b 填7．那么d 填几？接下来我们重点学习一下数阵图分析中与“重数分析”有关的一些方法．在已知全部填入数字的情况下，我们通常是把所有相同的和相加，通过对每一个数字的重复次数来找出其中的特殊重数，是解题的关键．例题2将1~9填入图中的九个圆圈内，使四条直线上三个圆圈内所填数之和都是15．「分析」如果把四条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？练习2把1~8这八个数填入下边的圆圈内，使得每条直线上的数之和都等于14．例题3把1~7这七个数填入下图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等．如果中心方框内填的数相等，那么就视为同一种填法．请填出所有的可能性．「分析」如果把三条直线的和加起来，每个方框各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个方框的重数比较特殊？这个重数特殊的位置可以填几？有几种可能？把1~9这九个数填入图中的圆圈内，使得三条直线上的所有数之和都是相等．请至少填出两种情况．例题4将数字1，2，3，4，5，6，7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．「分析」如果把两个圆周的和与三条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？练习4如图所示，将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入图中的小圆圈内，使得圆周上的4个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？前面几个例题只有一个特殊格，那么接下来我们来看一下有多个特殊格、多个重数的题目．例题5图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．「分析」如果把三个正方形“加起来”，共12个数相加，相当于把每个方格各加了几次？由此你能得到什么结论？下图中有三个圆环，将1～8填入图中的8个圆圈内，使得每个圆环上4个顶点的数字之和都相等．那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．「分析」把三个圆周和加起来，图中的8个○有几种不同的重数？由此你能得到什么结论？课堂内外阵中国古代作战是非常讲究阵法即作战队形的，称之为“布阵”．布阵得法就能充分发挥军队的战斗力，克敌制胜．中国古代军事史上有名的作战阵法有三种：八阵：战国时大军事家孙膑创造，据说是受了《易经》八卦图的启发，所以又称八卦阵．具体阵势是大将居中，四面各布一队正兵，正兵之间再派出四队机动作战的奇兵，构成八阵．八阵散布成八，复而为一，分合变化，又可组成六十四阵．当年诸葛亮还用石头在四川奉节布设过八阵的方位，作为教练将士演习阵法之用，名为“八阵图”．撒星阵：南宋名将岳飞破金兵“拐子马”的阵法．撒星阵的队形布列如星，连成一排的“拐子马”冲来时士兵散而不聚，使敌人扑空．等敌人后撤时散开的士兵再聚拢过来，猛力扑击敌人，并用刀专砍马腿，以破“拐子马”．鸳鸯阵：明代将领戚继光为抗击倭寇而创设的一种阵法．他把士兵分为三队，当敌人进到百步时第一队士兵发射火器；敌人进到六十步时士兵发射弩箭；敌人进到十步时第三队士兵用刀矛向敌人冲杀．这些变化反映了中国作战阵法从传统的方阵向多兵种的集团阵法演变的过程．作业1.请将2~9填入下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．2.将数字1，3，5，7，9，11，13填入右上图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．3.把1至10填入右图的圆圈内，使得每条直线上的4个数之和都等于23．4.将2至8填入右上图的圆圈中，使得每条直线上的所有数字之和都相等．5.图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．第八讲复杂数阵图1. 例题1答案：详解：20是这里面最大的数，应该在最下端，其中20812=+，再一层的往上推即可．2. 例题2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是4，43⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是15，所有和是45，所以中间数就是5，那么同一条直线上的另外两个数的和就是10，即1、9；2、8；3、7；4、6．3. 例题3答案：其中三种：详解：31272⨯=++++⨯L 公共和中 3282⨯=+⨯公共和中，有三种情况：（1）中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．答案：详解：()51272⨯=+++⨯+L 公共和中556⨯=+公共和中，所以中间数只能为4，公共和=12．直线上除最里面的4，剩下两个数之和为8，分别是17+、26+和35+，然后尝试调整使得圆周的和也都等于12．5. 例题5答案：答案不唯一，中间两数和是7，公共和是24．详解：10个数是2、3、…、10、11，2341165++++=L ．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A 和B 的和可以是4、7、… 要使得和最小，这个和只能是7，所以A 、B 可以填2、5；3、4．而这个相等的和是24．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中两种填法．6. 例题6答案：答案不唯一，2A B C ++⨯必须满足27，公共和是21．详解：重数有三种，A 、B 格的重数是2，C 格的重数是3，其他格都是1；所以A 、B 、C 是特殊格．()32A B C ⨯=++⨯+公共和所有和．所有和是36，所以 2A B C ++⨯可能是9、12、15、… 要这个和最大，所以2A B C ++⨯只能是27，此时公共和是21．A 、B 、C 可以是4、7、8．答案不唯一．4 7 11 8 2 35 9 106 10 9 2 11 3 8 4 6 57 A B答案：详解：b为7，只可能：781=-，而8最大，所以只能在边上，最中间填1．然后注意尝试即可得答案．8.练习2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是3，32⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是14，所有和是36，所以中间数就是3，那么同一条直线上的另外两个数的和就是11，即1、2、8；4、7；5、6．9.练习3答案：其中三种情况：简答：31292⨯=++++⨯L公共和尖3452⨯=+⨯公共和尖，有三种情况：（1）尖=3，公共和=17；（2）中=6，公共和=19；（3）中=9，公共和=21．10.练习4答案：简答：()公共和中L⨯=+++⨯+⨯612922公共和中，所以中间数可以为3、6、9．6902⨯=+⨯（1）如果中=3，则公共和=16，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为13，题目数据无法满足，排除；（2）如果中=6，则公共和=17，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为11，题目数据无法满足，排除；（3）如果中=9，则公共和=18，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为9，则分别为18+．+和45+、36+、27然后尝试调整使得圆周的和也都等于18即可．11.作业1答案：见图简答：7只能是92a=．剩下3、4、5、6、8，-，而9最大，所以2c和d只能是3和4，剩下的根据题中条件依次填出．12.作业2答案：见图简答：将三条直线、两个圆上的数字都加起来，圆上的每个数字都算了2次，而中间的数字算了3次．即1至13这7个数的和的2倍加上中间的数字等于和的5倍．计算可得，这个和为21，中间数字是7．13.作业3答案：见图简答：将三条直线上的数字相加，中间的数字加了3次，其他数字分别加了1次；1至10的和为55，55加上中间数字的两倍等于直线和的3倍，所以中间数字可以4或7或10．直线和为23，所以中间数为7；如图给出了填法．是1或14.作业4答案：见图简答：把每条直线上的数字都加起来，每个上下的六个数字都分别算了两次，中间的数字算了3次．所以70加上中间的数字就等于直线和的5倍，所以中间数字是5，直线和是15．15.作业5答案：28简答：10个数是2、3、4、…、11，2341165+++=L．这个相等的和是22⨯正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A和B的和可以是1、4、7、…要使得和最大，则A和B分别填8、11或9、10．而这个相等的和是28．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中一种填法．A B3511294107 86。

小学二年级奥数(上册) 第八讲找规律(三)(附习题及解答)

第八讲找规律（三）数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）.例1 沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段.解：先从简单的情况着手.（1）画一画，数一数：（见图8—1—3）（2）试着分析：2个点，线段条数：1=13个点，线段条数：3=2+14个点，线段条数：6=3+2+15个点，线段条数：10=4+3+2+1（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心.如：6个点时：对不对？——对.见图 8—1—4.线段条数：5+4+3+2+1=15（条）.（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当直线上有11个点时，线段的条数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.例2 如图8—2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？解：从简单情况着手研究：（1）画一画、数一数图8-2（2）试着分析：直线条数最多交点数1 02 1=13 3=2+14 6=3+2+15 10=4+3+2+1（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.（4）进行验证：见图8—3.取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心.用猜想的算法进行计算：最多交点数应是5+4+3+2+1=15（个）.（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时，最多的交点数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）.例3 如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多切成多少块？解：从最简单情况着手研究.（1）画一画、数一数（2）试着分析：所切刀数切出的块数0 11 2=1+12 4=1+1+23 7=1+1+2+34 11=1+1+2+3+4（3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加1.其中最大的自然数等于切的刀数.（4）进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心.①数一数：16块.②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）.（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（块）.习题八1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段？2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点？3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块？4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是几？5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8—11所示）？习题八解答1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（条）.2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数.1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=1+78=79（块）.4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律.第一个拐弯处 2=1+1第二个拐弯处 4=1+1+2第三个拐弯处 7=1+1+2+3第四个拐弯处 11=1+1+2+3+4第五个拐弯处 16=1+1+2+3+4+5发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数.所以第十个拐弯处的数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8—12），按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出规律，用于解决复杂的情况.如图8—13所示：切一刀，1种切法：1=1切两刀，2种切法：2=1+1切三刀，4种切法：4=1+1+2大胆猜想，切四刀的切法数应为：1+1+2+3=7种切法.进行验证（实际切切看）：应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（种）.。

小学奥数-第八讲：和差问题(教)

第八讲和差问题佳佳在动物园看到很多的梅花鹿，非常好奇，她很想知道到底有几只大鹿，几只小鹿，于是她就跑过去问饲养员叔叔，叔叔笑着说：“我们这里大鹿和小鹿一共有32只，大鹿比小鹿多8只，你说说有几只大鹿几只小鹿啊”本来是佳佳问叔叔问题，现在佳佳反倒被饲养员叔叔考到了。

小朋友们，你们能够帮一帮佳佳吗这一讲主要是要教会小朋友画线段图解决和差问题，并且要注意规范列算式的书写，先求大数和先求小数的方法最好都会。

例题精讲例1 大鹿和小鹿一共有32只，大鹿比小鹿多8只，大鹿和小鹿各多少只答：这道题先不告诉小朋友怎么做。

看看他们用画图的方法能做成什么样子。

小鹿（32-8）/2=12只，大鹿12+8=20只也可以（32+8）/2=20 先求出大鹿的只数，看看小朋友自己能不能想出来。

例2杨平期末考试语文和数学的总分是188分，语文比数学少10分，语文和数学各多少分答：语文（188-10）/2=89本，数学188-89=99本。

另一种算法先算数学也可以。

例3 姐妹俩共有卡通画100张，如果姐姐给妹妹10张，她们的卡通画的张数就同样多，姐姐，妹妹各有多少张答：先问小朋友（100-10）/2=45张对吗实际上姐姐比妹妹多20张，这里比较容易错正确算式应该为妹妹（100-20）/2=40张，姐姐60张。

例4 二（1）班分成4个学习小组，平均每个小组12人，又知道这个班男生比女生多2人，二（1）班男生、女生各多少人答：先要求出总数48人，女生（48-2）/2=23人，男生48-23=25人。

例5王晓看一本故事书，两天看完全书的60页，如果第一天少看5页，第二天多看5页，则两天看得一样多，他原来两天各看多少页答：这道题的图稍微要难画一些。

算式是5×2=10页，60-10=5050/2=25 第二天25页，第一天60-25=35页。

例6 西湖小学和翠园小学一共有240人，后来西湖小学转走了30个学生，翠园小学转走了10个学生，这是西湖小学比翠园小学还多20个人，原来这两个学校各多少人答：西湖小学比翠园小学原来多30-10+20=40人，翠园小学（240-40）/2=100人，西湖小学140人。

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。

根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

奥数：小学奥数系列：第八讲数学游戏 (3)

第八讲数学游戏我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.例1 甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？分析采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1～6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987～1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980～1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，….把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、….观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）.解：①甲要获胜必须先报，甲先报5；②以后，乙报几甲就接着报7减几.这样甲就能一定获胜.例2 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？分析为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a 个球.解：①甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.②乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.解：（略）.例4 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？分析采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜.解：为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.例5 白纸上画了m×n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，…，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：先画者还是后画者有必胜策略？他的必胜策略是什么？（注：已画过点的格子不准再画.）分析m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律.1×1棋盘，先画者胜.1×2棋盘，后画者胜.2×2棋盘，后画者胜.2×3棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：2×3棋盘，总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的1×2的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的1×2小盘，这时，先画者就失败.由2×3棋盘的分析过程知：m，n中至少有一个为偶数时，m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.若m，n都是奇数，先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略.综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略.解：（略）.例6 现有9根火柴，甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数，得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？分析我们从最简单的情况开始进行考虑.由于9是奇数，它分成两个自然数的和时，必然一个是奇数，一个是偶数，所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时，必然同奇或同偶，故无论如何取，都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.1.如果有1根火柴，那么先取的人必败，后取的人必胜.2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必胜，后取的人必败.3.如果有5根火柴，不妨设为甲先拿.甲先拿1根：①乙拿1根，还剩3根，甲取3根.甲的火柴总数为：1＋3＝4（根），乙的火柴总数为1根，因此甲胜.②乙拿2根，还剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为：2＋1＝3（根），因此甲取胜.③乙拿3根，还剩1根，甲取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为3根，因此甲胜.因此，如果有5根火柴，先拿的人有必胜的策略.4.下面讨论7根火柴的情形.甲先取了3根：还剩4根，同前面3①～③分析可知甲必胜。

找规律解决问题

找规律解决问题数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，而找规律是数学中常用的解决问题的方法之一。

通过观察数列、图形或者等式中的规律，我们可以推导出一般性的结论，从而解决更复杂的问题。

在本文中，我将通过几个具体的例子，向中学生和他们的父母展示找规律解决问题的魅力和实用性。

例一：数列中的规律考虑以下数列：1, 4, 9, 16, 25, ...我们可以观察到每个数都是前一个数的平方加一。

这个规律告诉我们，第n个数可以用公式an = n^2 + 1来表示。

如果我们想知道第10个数是多少，只需要将n 替换成10，计算得到an = 10^2 + 1 = 101。

通过找到规律，我们可以轻松地解决这个问题。

例二：图形中的规律考虑以下图形序列：□□□□□□□□□□□□□□□我们可以观察到每一行的方格数目与行数相等。

根据这个规律，我们可以得到第n行的方格数目为n。

如果我们想知道第10行的方格数目，只需要将n替换成10，计算得到10。

通过找到规律，我们可以快速解决这个问题。

例三：等式中的规律考虑以下等式：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2我们可以观察到等式左边是一个数列的和，而等式右边是一个关于n的二次式。

这个规律告诉我们，任意一个正整数n的前n个正整数的和可以用公式n(n+1)/2来表示。

如果我们想知道前100个正整数的和，只需要将n替换成100，计算得到100(100+1)/2 = 5050。

通过找到规律，我们可以迅速解决这个问题。

通过上面的例子，我们可以看到找规律解决问题的方法的实用性和高效性。

不仅可以帮助我们解决数列、图形和等式中的问题，还可以在更复杂的数学问题中发挥重要作用。

除了数学领域，找规律解决问题的方法在其他学科和日常生活中也同样适用。

在科学研究中，科学家们通过观察实验数据中的规律，推导出一般性的定律和原理。

在经济学和市场分析中，人们通过观察市场趋势和数据变化的规律，做出合理的预测和决策。

小学奥数：8-6 操作找规律.教师版

操作找规律知识点拨知识点说明在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。

有一些对小学生来说很难证明的，但与证明相比，发现却是比较容易的。

这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种先猜后证的解题方法。

这类题主要考查孩子们的发现能力。

例题精讲模块一，周期规律【例 1】四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）【考点】操作找规律【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】根据题意将小兔座位变化的规律找出来．可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每4次交换座位，小兔的座位又转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后，小兔的座位应该是第2号位子。

【答案】第2号【例 2】在1989后面写一串数字。

从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。

这样得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2 ……那么这串数字中，前2005个数字的和是____________。

【考点】操作找规律【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试【解析】由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后面的数字将会循环出现。

1989︱286884︱28……由上图知，从第5个数字开始，按2,8,6,8,8,4循环出现。

()-÷=⋯，前2005个数字和是2005463333()()()+++++++++⨯+++271198816120311989286884333286=++=。

【答案】12031【例 3】先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是。