1_集合

1.1.2集合的表示-枚举法
例1.1 下面是枚举法给出集合的例子
① A= {1，3，5，7，…} ② B= {2，4，6，8，…，100} ③ P= {a+1，a+2，a+3，…，a+999} ④ Q= {a，A，b，B，c，C，…，Z}
解释 ① 集合A由所有正奇数组成，是一个无限集； ② 集合B由2到100之间的50个偶数组成，是一个有限集，集合的基 数为card(B)=50； ③ 集合P由a+1到a+999的表达式组成，是一个有限集； ④ 集合Q由大、小写英文字母组成，是一个有限集，集合的基数为 card(Q)=52。
离散数学
第一篇
第1章：集合 第2章：关系 第3章：函数
集合论
1.1 集合的概念及表示
集合（set）作为数学中的基本概念，如同几何中的点、线、面 等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念，集合 是什么呢？下面是由康托尔首先给出的经典定义。
定义1.1 集合：集合就是由人们直观上或思想上能够明确区分的一 些对象所构成的一个整体。
, a , , a, a, a
，{a}，{{a}}
练习
P() = ? P(P()) = ? P(P(P())) = ? ……
A
补集合
定义1.10 ：对于任意集合A和全集U，由所有属于全集U但 不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集合（ complement），简称为补集，记作为A。 显然，全集的补集是空集，空集的补集是全集，即 U = ， = U。
1.1.2集合的表示-图形法
(3)图形 法:利用平面上点的对应元素的封闭区域对集合进行 图解标示，一般通过平面上的方形或圆形表示一个集合， 又称为文氏图（Venn Diagrams）法。 例如：图1.1就是集合A、B、C和D的图形表示。
A
B
C
D
图1.1 集合的图形表示
1.2特殊集合
一些常用的特定的数集合，一般约定用特定字母来标示：
通常用大写字母A, B, C, ……表示集合。
元素：集合里含有的对象或客体称为集合的元素或成员
通常用小写字母a, b, c, ……表示元素。
集合是指总体，而元素是指组成总体的个体
1.1.1 集合的基本概念
例 下面是一些集合的例子
① 计算机学院的全体学生； ② 教室中的课桌； ③ 所有门电路； ④ 程序语言Pascal的全部数据类型；
1.1.2集合的表示-描述法
定义1.5：一个对象a是集合A的元素，记为aA，读作“a属 于集合A”；如果一个对象a不是集合A的元素，记为aA
，读作“a不属于集合A”。
例如，对于例1.1中集合A和B,9是集合A中的元素，所以 9属于A,记为9 A,9不是集合B中的元素，所以9不属于 B,记为9 B
幂集
问题：如果|A|=n，则|P(A)|= ? 例: 设A={{}, 0, 1}，计算A的幂集。 注意： 与{}是不同的！
与A之间是什么关系？ {}与A之间是什么关系？ 与P(A)之间是什么关系？ {}与P(A)之间是什么关系？
包含 属于 属于，包含
幂集
例
设
解 对于集合A，它只有一个子集 ，即 2 A
例如，英语字母组成的集合就是有限集，实数组成的集 合就是无限集
1.1.2集合的表示-枚举法
表示一个集合的主要方法有如下3种： (1)枚举法: 将集合中的元素全部列出，写在花括号内，元素 之间用逗号隔开。
例如：A = {1，2，3，4 ，5}，B = {3 ，2 ，1 ，4 ，5}， C = {a ，b ，c ，d }， D= {a ，c ，d ，d ， b ，a ，c }
定义1.2：一个集合中的元素个数称为集合的基数。
集合A的基数用|A|或card(A)表示。 例如，一个汉堡、一张桌子、一个字母、一双鞋子、离 散数学及漓江组成的集合的元素个数是6，这个集合的基 数就是6
定义1.3：如果组成一个集合的元素个数是有限的，则称该 集合为有限集合(finite set)，简称为有限集，否则称 为无限集合(infinite set),简称为无限集
例如集合{1,2,{ 3},{ 1,2} }的元素{ 3 } 和{ 1,2 } 就是集合
集合的元素必须是确定的和可区分的
如“授课的中年教师”这样的客体就不能组成集合，这是因为“中 年”是一个界定不清的概念，教师到底是什么年纪才算中年了？这 个概念不能明确界定集合的元素，所以不能构成集合
1.1.1 集合的基本概念
幂集合
定义1.9 ：对于任意集合A，由A的所有不同子集为元 素组成的集合称为集合A的幂集合（power set）， 简称为幂集，记作为P(A)或2A。 例1.5 计算下列集合的幂集
① ② ③ 解 ① A ={a，c}； B ={b，{d}}; C ={ ，{}}。
集合A ={a，c}的子集合有、{a}、{c}和{a，c}，所以 P(A) = {，{a}，{c}，{a，c}}； ② 集合B ={b，{d}}的子集合有、{b}、{{d}}和{b， {d}}，所以P(B) ={，{b}，{{d}}，{b，{d}}}； ③ 集合C ={ ，{}}的子集合有、{}、{{}}和{ ， {}}，所以P(C) ={，{}，{{}}，{ ，{}}}。
对于集合B，有:
0个元素的子集： 1个元素的子集： 2个元素的子集： 3个元素的子集： 因此
A ,
B , a, a,求2A和2B
, a, a B 2 , , a , a , , a , , a ,
{a, {a} },{, a, {a} } }
1.1.2集合的表示-描述法
(2)描述法:通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合 ，通常用符号P(x)表示不同对象x所具有的性质或属性P， 又称为属性表示法。可表示为： A＝{x | P(x)} 即集合A是由满足特性P的全体x组成。
例1.2 下面是描述法给出的集合的例子 ① A = { x | x是“discrete structure”中的所有英文字母} ② B = { x | x是偶数，且 x 100} ③ P = { x | x是整数，且x2 + 1 = 0} 解释 ① A由“discrete structure”中的英文字母d、i、s、c、r、e、t、e 、s、t、r、u、c、t、u、r和e组成，但根据集合元素的互异性 ，不同字母为d、i、s、c、r、e、t和u，所以，A= {d，i，s，c ，r，e，t，u}，是一个有限集合，集合的基数为card(A)=8； ② B由大于等于100的偶数组成，是一个无限集； ③ 没有任何整数满足x2 + 1 = 0，所以P中没有元素；
单次出现表示的含义相同，这个称为集合元素的互异性
集合的基本性质
集合中的元素是确定的
对于任一集合A以及任一元素a：要么a A，要么a A。
集合中的元素是彼此不同的：
例如：
如果A={a, b, c, b, a}，B={a, b, c} 则有A=B。
集合中的元素是无序的：
例如： 如果A={c, b, a}，B={a, b, c} 则有A=B。
子集
定义1.7 子集:对于两个集合A和B，如果集合B的每个元素都 是A的元素，则称B是A的子集合（subset），简称为子集， 这时也称B被A包含（inclusion），或者B包含于A，或者A 包含B，记作B A或AB，称“”为包含于，“”为包 含。
例如，空集是任意集合A的子集，即A;任意集合A是它自 身的子集，即AA；任意集合A是全集的子集，即AU 定理1.1：对于任意两个集合A和B,AB且BA,当且仅当A=B 证明：（必要性）用反证法。假定A B且B A下，A B。那么 ，存在x A，xB。因此，A B。矛盾。所以，如果A B 且B A，则A =B。 （充分性）对于任意x A，由于A =B，因此x B，所以，A B。对于任意x B，由于A =B，因此x A，所以，B A 综上知，对于任意两个集合A和B，A B且B A，当且仅当A = B。证毕。
全集
与空集对应，在以集合作为模型研究问题时，都有一个相对 固定的范围，由该范围内所有元素组成的集合，称为全集合 ，简称为全集 一般用U表示全集
例题
例1.3 下面是一些空集和全集的例子
① A = { x | x=y2，y是实数，且x<0 } ② 在学校人事管理系统中，全体教职员工是全集 ③ 在立体几何中，全集由空间的全体点组成
练习
1. 用枚举法表示下列集合 （1）A={x|x为质数且x<20} （2）B={y||y|<4且y为奇数}
A={2,3,5,7,11,13,17,19}
B={-3,-1,1,3}
2. 用描述法表示下列集合
(1) C={0,2,4,…,200} (2) D={2,4,8,…,1024}
C={2x|x∈N且x≤100} D={2n|n∈N且1≤n≤10}
例题
例1.4 分析如下各组集合中存在的关系
① A ={a,b,c,d}, B ={a,b,c}, C ={b,d}, D ={{d,b},a,c}； ② A = , B = {}, C ={ , {}}； ③ A = { x | x = y2, yZ且 x 5}, B = { x | x = y +1, yN且 x 5}。 解 ① B A、C A且B A、C A； CD。 ② AB、AC、A B、A C； B C且B C，B C。 ③ A={0,1,4}，B={1,2,3,4}。
无次序性：一般来说，各元素出现的先后次序并不重要，所以
集合A和集合B相同，一般地，集合中的元素可以以任何次序出 现，称为集合的无次序性
互异性：集合中元素如果有重复（即多次出现），是没有意义