1.3-克拉默法则
克拉默法则
例 1.1.1 计算行列式
3 1 1 D 2 4 0
1 5 7
解 利用三阶行列式的展开式（1.1.5），得
当线性方程组(1.3.1)的常数项b1,b2,..., bn 全为零时，即
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 ... a2n xn 0,
(5 )(2 )(8 ) 0 ， 解得
5或 2或 8.
主观题 10分
已知齐次线性方程组
x1 kx2 x3 0, kx1 x2 x3 0, 2x1 x2 x3 0. (1)k为何值时，该齐次方程组只有零解？ (2)k为何值时，该齐次方程组有非零解？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a2n
0,
an1 an2 ... ann
那么，线性方程组(1.3.1)一定有唯一解，其解为
x1
1 Βιβλιοθήκη , x22 ,...,xn
n
,
(1.3.2)
x1
1
,
x2
2
,...,xn
n
,
(1.3.2)
其中， j ( j 1,2,..., n) 是把系数行列式 中第 j 列的元素 a1j , a2 j ,..., anj 换成方程
0 1 3 2
1 1 0 1
1 10 1 2
82, 1
82 1 1
1 0 3 2
3 1 0 1
2 4 10 2
246, 1
1 8 1 1
1 1 0 2
3 1 1 1
3 4
1 10
164, 1
克拉默法则的理解
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中的一个重要定理，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
这个定理可以用来解决线性方程组的求解问题，并且通过行列式的值来判断线性方程组的解的情况。
如果一个线性方程组含有n个未知数，而它的系数矩阵的行列式不为零，即满秩，那么这个方程组有唯一解。
如果系数行列式为零，那么这个方程组有无穷多个解或者没有解。
克拉默法则的优点是能够快速求解线性方程组的解，但是需要计算系数行列式，如果系数矩阵的阶数较高，计算行列式的值就比较麻烦。
因此，在实际应用中，如果涉及到大规模线性方程组的求解问题，通常会采用其他更为高效的方法，如LU分解法、QR分解法等。
1.3克莱姆法则
例
用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
b1 a12 b2 a22 x1 = , a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 x2 = a11 a12 a21 a22
三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
a11 a21 A= M an1
a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
克拉默法则) 定理 (克拉默法则 克拉默法则
如果n元线性方程组的系数行列式 如果 元线性方程组的系数行列式
A ≠ 0 ,则方程组有唯一解 且 则方程组有唯一解 则方程组有唯一解,且 Bi xi = , i = 1, 2,L , n A
思考题解答
此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
有非零解？ 有非零解？
解:
1 − λ −3 + λ 4 1 − λ −2 4 1− λ 1 A= 2 3−λ 1 = 2 1 0 1− λ 1 1 1− λ 3 = (1 − λ ) + ( λ − 3) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )( −3 + λ )
克拉默法则PPT课件
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例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
a1n
Dj
an1
an, j1 bn an, j1
ann
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定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性） •解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为 零.
备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非
零解的必要条件. 2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
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练习题：问 取何值时，齐次方程组
1 2
x1 x1 3
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
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a11 x1 a12 x2
线性方程组
a21
x1
a22
x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组.
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
克莱默公式
克拉默法则公式：a21=x1。
克莱姆法则，又译克拉默法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
cramer法则又名克拉默法则，外文名Cramer's Rule是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，在他的线性代数分析导言中发表的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O （n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加
尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。
他自1727年进行为期两年的旅行访学。
克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解。
克拉默法则
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6
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7x3 6x4 0.
解 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2 r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
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13
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
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14
1 1 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D . 0
所以 0、 时2、 齐3次方程组有非零解.
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12
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
设 a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
克拉默法则
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
4.小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
易知， x1 x2 xn 0 一定是(2)的解，
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
再把 n 方程依次相加，得
n k 1
ak1 Akj
x1
n
k
1
akj
Akj
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
克拉默法则推导
克拉默法则推导至此为止我们已经掌握了一些关于线性方程组的解的线性代数内的内容，在开始这一章的博客之前，我先来个小结：①利用系数矩阵的秩来判断解的情况②利用系数矩阵的行列式来判断解的情况③齐次/非齐次线性方程组的通解求解方法④矩阵的逆与方程的解的关系，并给出了矩阵的逆的求法。
1克拉默法则（1）适用条件：只适用于n个方程，n个未知量，且具有唯一解的情况（因为要使用到系数矩阵的行列式，且行列式|A|≠0）（2）克拉默法则的内容：对于一个n个方程，n个未知量，且具有唯一解的线性方程组来说，它的唯一解是：X = ( ∣ B 1 ∣ ∣ A , ∣ B 2 ∣ ∣ A , . . . . . . , ∣ B n ∣ ∣ A , ) TX=(\frac{|B_{1}|}{|A},\frac{|B_{2}|}{|A},......,\frac{|B_{n}|}{| A},)^{T} X=(∣A∣B1∣,∣A∣B2∣,......,∣A∣Bn∣,)T解释：其中的|A|指的是方程Ax=b的系数矩阵的行列式|A|而|B|指的是用常数项替换了系数矩阵的某一列后的矩阵的行列式，例如：对于下面这个方程组来说根据克拉默法则，有以下等式：∣ A ∣ = ∣ 2 − 1 − 1 2 ∣ = 3∣ B 1 ∣ = ∣ 0 − 1 3 2 ∣ = 3∣ B 2 ∣ = ∣ 2 0 − 1 3 ∣ = 6 |A|=\left|\begin{array}{cccc} 2 &-1 \\ -1 &2 \\ \end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{1}|=\left |\begin{array}{cccc} 0 &-1 \\ 3 &2 \\\end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{2}|=\left |\begin{array}{cccc} 2 &0 \\ -1 &3 \\ \end{array}\right|=6 ∣A∣=∣∣∣∣2−1−12∣∣∣∣=3∣B1∣=∣∣∣∣03−12∣∣∣∣=3∣B2∣=∣∣∣∣2−103∣∣∣∣=6可以看到，其实所谓的|B|，就是对应下标所在列被常数项替换后的行列式的结果。
克拉默法则
金融. 克拉默法则 二. 小结
定理1.3.1（克拉默法则）
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 , a x a x a x b , 22 2 2n n 2 设线性方程组 21 1 a n 1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n ,
1 1 1 2
142, D 2
1 2 3
2 2 0
.
142,
于是 x 1
D1 D
1, x 2
D2 D
2, x 3
D3 D
3, x 4
D4 D
1.
说明:
用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次
线性方程组, 需要计算n+1个n阶行列式, 它的计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及 方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法, 一般都采用 第2章中介绍的高斯消元法. Cramer法则主要是从理论上具有重要 意义, 特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.
行列式按行(列)展开的若干技巧：
１．选择零元素较多的行（列）展开； ２．有时需要利用性质得到尽可能多的零，再展开；
３．如果有几行（列）非零元素个数同样少，则需考虑
展开后的低阶行列式是否容易处理；
４．展开时最好能删掉复杂的行（列）；
５．有时需要展开两次或三次，再多可能不适用；
a1, j 1 a n , j 1 a1 n . a nn
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
所成的行列式, 即 D j
a n1
克莱姆法则的两个适用条件:
克拉默法则
若
则方程组有唯一解，且唯一解为
a11 b1 a21 b2 a13 a23 a11 a12 b1 a21 a22 b2
a33
a12 a13 a22 a23
b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 x1 = , x2 = , x3 = a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33
+ a in Q1n +1
+ ai 2 (−1)1+3
b1 a11 a12 1+(n+1) b 2 a21 a22 + + ain(−1) bn an1 an2
a1n−1 a2n−1 ann−1
= bi D − ai1 D1 − ai 2 D2 −
− ain Dn
Q = bi D − a i 1 D 1 − a i 2 D 2 − 即Q=0， 而：
定理1（ Cramer法则) : 若n元线性方程组
⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a 1 n x n = b1 + a 2n x n = b2 + a nn x n = b n
ain a1n a2 n =0 ain ann
b1 b2 bn a11 a21 an1 a13 a23 an 3 a1n a2 n ann
Q = bi Q11 + a i1Q12 + a i 2 Q13 + 且：
范德蒙德矩阵和克拉默法则
范德蒙德矩阵和克拉默法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：范德蒙德矩阵和克拉默法则是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵论、方程组解法、行列式计算等方面都有着重要的应用。
范德蒙德矩阵是一个特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数，而克拉默法则则是一种解线性方程组的方法，通过克拉默法则可以求解任意的线性方程组，从而得到方程组的解。
本文将介绍范德蒙德矩阵和克拉默法则的定义、性质及应用。
一、范德蒙德矩阵范德蒙德矩阵是一个很特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数。
一个n次多项式可以表示为：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, a2, ..., an是多项式的系数。
我们可以将多项式的系数表示为一个n+1阶的矩阵，这个矩阵就是范德蒙德矩阵。
对于一个3次多项式：它的系数矩阵为：V = |1 x x^2 x^3|;|1 x1 x2 x3|;|1 x2 x4 x8|;|1 x3 x9 x27|;其中x1, x2, x3, ..., xn是多项式的变量值。
范德蒙德矩阵具有一些特殊的性质，例如范德蒙德矩阵的行列式等于多项式的导数值，这使得范德蒙德矩阵在计算多项式的导数值时非常有用。
范德蒙德矩阵还有一些其他的性质，例如它是一个Vandermonde矩阵，它的行列式不为零等。
范德蒙德矩阵在数学中有非常广泛的应用，例如在插值多项式、数值积分、插值多项式等方面都有着重要的作用。
二、克拉默法则一个n元线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2...an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，b1, b2, ..., bn是常数矩阵的元素。
利用克拉默法则，可以得到线性方程组的解的表达式为：x1 = D1/Dx2 = D2/D...xn = Dn/D其中D是系数矩阵的行列式，Di是将系数矩阵的第i列替换为常数矩阵得到的矩阵的行列式。
克拉默法则
克拉默法则的优点及其适用范围
克拉默法则的优点
• 理论严谨，基于行列式和伴随矩阵的概念
• 适用范围广泛，适用于n个方程和n个未知数的线性方程组
• 计算过程简单，只需计算行列式和伴随矩阵的值
克拉默法则的适用范围
• 线性方程组求解
• 矩阵性质分析
• 数值方法分析
克拉默法则的缺点及其局限性
克拉默法则的缺点
• 拓展应用领域
• 开发高效的数值算法
克拉默法则面临的主要挑战及其解决方案
克拉默法则在其他数学问题中的应用挑战
• 拓展克拉默法则的应用领域
• 研究克拉默法则在其他数学问题中的性质和定理
• 开发高效的数值算法
克拉默法则计算复杂度高的挑战
• 研究降低计算复杂度的方法
• 开发高效的数值算法
• 利用并行计算和分布式计算技术提高计算效率
克拉默法则（Cramer's Rule）是一种求解线性方程组的数值方法
• 1750年，瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer）提出
• 适用于求解线性方程组中的未知数
• 基于行列式和伴随矩阵的概念
克拉默法则在数学中的应用领域
线性代数
• 求解线性方程组
• 计算矩阵的行列式
• 分析矩阵的性质
求解2x2矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
求解3x3矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
克拉默法则在其他数学问题中的应用实例
求解概率分布函数的矩
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解概率分布函数的矩
克拉默法则
1 4 1 2
1 1 1 2 2 0 1 4
4 3 2 1 1 = −1，
1 2 1 1
x1
1
1，
x2
2
2，
x3
3
0，
用克拉默法则解方程组
x1 x2 2x3 3x4 1,
3x1 x2 x3 2x4 4, 2x1 3x2 x3 x4 6,
a1n
a2n 0
an1 an2
ann
那么线性方程组1有解，并且解是唯一的，解可以表为
注意：
用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
例1 用克拉默则解方程组
x1 x2 x3 2x4 2,
2 x1
x3 4x4 4,
3x1 2x2 x3
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组;
若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例：
练习：
练习 问 取何值时，齐次方程组
(
1) x1
x1
x2
x2
x3
x3
0,
0,
2x1 x2 x3 0,
仅有零解？
1.3 克拉默法则
对于二元线性方程组
aa1211xx11
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。
而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。
一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。
步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。
步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。
1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。
如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。
1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。
步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。
步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。
二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。
2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。
步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。
步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。
2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。
例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。
克拉默法则的推导
克拉默法则的推导假设我们有一个包含n个线性方程的方程组，形式如下：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中，aij 和 bi 是已知常数，x1, x2, ..., xn 是未知数。
首先，我们将方程组的系数矩阵表示为A，常数向量表示为B，未知数向量表示为X：A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...,a2n;...;an1, an2, ..., ann ]B = [ b1, b2, ..., bn ]^TX = [ x1, x2, ..., xn ]^T方程组可以改写为AX=B。
为了使用克拉默法则求解方程组，我们首先需要计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=a11C11+a12C12+...+a1nC1n其中，Cij 表示 A 的余子式，定义为将 A 中第 i 行和第 j 列删除后得到的矩阵的行列式。
然后，我们可以计算方程组的解向量 X 的每个分量 xi：xi = ，Ai， / ，A其中，Ai表示将矩阵A的第i列替换为常数向量B得到的矩阵的行列式。
最后，我们可以得到方程组的解向量X。
现在，让我们通过一个具体的例子来演示克拉默法则的推导过程。
考虑一个包含三个线性方程的方程组：2x+3y-z=14x-y+2z=5x-2y+3z=-4首先，我们计算系数矩阵A的行列式，A，：A，=，2,3,-14,-1,1,-2,通过使用拉普拉斯展开式，我们可以计算出，A，：A，=2*，-1,2，-3*，4,2，+(-1)*，4,-1-2,3，，1,3，，1,-A，=2*(-1*3-2*(-2))-3*(4*3-2*1)+(-1)*(4*(-2)-(-1)*1) A，=2*(-3+4)-3*(12-2)-1*(-8+1)A，=2*1-3*10+1*(-7)A，=2-30-7A，=-35接下来，我们计算未知数向量 X 的每个分量 xi：x=，1,3,-15,-1,-4,-2,由于方程组的常数向量B是列向量，我们将其转置为行向量。
clam规则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。
他自1727年进行为期两年的旅行访学。
在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。
后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。
他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。
为了确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。
该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。
一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。
使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。
克拉默法则的教学困境与应对策略
克拉默法则的教学困境与应对策略
教学困境：
一、教学理论不完善
尽管默克拉法则是一个实用工具，但它存在着一定的理论缺失，如：
广义的思考、跨文化对比和对象语言等，有待进一步深入研究和完善。
二、传统教育环境的限制
同理，传统的教学环境也有一定的限制，常常影响学习者的主动性和
创新精神，令学习者在开展默克拉法则学习时无法得到有效的配合。
应对策略：
一、跨学科教学模式
对于教学理论不完善的问题，可采用跨学科教学模式，把语言文学、
社会学、政治学、历史学等学科串联起来，以涵盖默克拉法则中涉及
的各种理论。
二、尝试更宽松的教学模式
为了解决传统教育环境的限制，可以尝试采取更为宽松的教学模式，
扩大教学活动的秘钥，充分发挥学习者的主动性和创新精神，有效推进默克拉法则的学习。
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再把 n 个方程依次相加，得
a k 1 A kj x 1 a kj A kj x j a kn A kj x n k 1 k 1 k 1
n n n
b k A kj ,
k 1Leabharlann n由代数余子式的性质可知, 上式中
3
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 1
3 4 1 2 1 3 2 1 3
3 2
齐次方程组有非零解，则 D 0
67 67
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1 x 1 2 x 2 4 x 3 0 , 2 x1 3 x 2 x 3 0, x x 1 x 0 , 1 2 3
有非零解？
解
1 D 2 1 2 3 1
3
5 3 1 1
2 0 1 3
1 4 1 2
67 0 ,
解
D
0 1 1
3 D1 4 11 6 5 6
5 3 1 1
2 0 1 3
1 4 1 2
67 3 ,
3 D2 0 1 1
3 4 11 6 5 6
2 0 1 3
1 4 1 2
0,
3 D3 0 1 1
5 3 1 1
3 4 11 6 5 6
1 4 1 2
67 2 , D4
3 0 1 1
5 3 1 1
2 0 1 3
3 4 11 6 5 6
67 ,
3 1, x1 D 67 3
2 1, x3 D 67 2 D3 67
D1
67
x2
D2 D
D4 D
0 67
0,
x4
用 D 中第 j 列元素的代数余子式 依次乘方程组 A 1 j , A 2 j , , A nj
1 的 n 个方程 , 得
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n A 1 j b 1 A 1 j a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n A 2 j b 2 A 2 j a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n A nj b n A nj
2 1 0 1
27 ,
1 3 2 4
5 0 1 7
8 9 5 0
D1 D
D3 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
27 27
4,
x3
27 27
1,
x4
D4 D
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x 2 2 x 3 x 4 3, 3 x2 4 x4 4, x 1 x 2 x 3 x 4 11 6 , x1 x 2 3 x 3 2 x 4 5 6 .
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a 11 a 1 , j 1 b1 a 1 , j1 a 1n
D j a n1 a n , j1 bn a n , j 1 a nn
证明
3 7
8
3 2
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6 D2
2 1 0 1
8 9 5 0
5 0 1 7
1 6 2 6
D1
9 5 0
81 ,
108 ,
2 D3 1 0 1
27 ,
x1
1 3 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
齐次线性方程组的相关定理
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0
2
定理
如果齐次线性方程组 2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
定理
如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零. 系数行列式
D 0
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0
若常数项
b 1 , b 2 , , b n 不全为零
,
则称此方程组为非
非齐次线性方程组;若常数项
b 1 , b 2 , , b n 全为零 ,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
r1 2 r2 r4 r2
0 1 0 0
7 3 2 7
5 0 1 7
13 6 2 12
7 2 7
5 1 7
13 2 12
27 ,
c1 2 c 2
c3 2c2
3 0 7
5 1 7
3 0 2
所以 0 , 2 或 3 时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
a 11 a 21
(1 )
a 12 a 22
a 1n a 2n
的系数行列式不等于零，即D
0
a n1 a n2 a nn
那么线性方程组 1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D , , xn Dn D .
有非零解.
例1 用克拉默法则解方程组
2 x1 x 2 5 x 3 x 4 8, x1 3 x 2 6 x 4 9, 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x 2 7 x 3 6 x 4 0.
解
D
2 1 0 1
而其余 x i i j 的系数均为 0;
x j的系数等于 D j.
D,
又等式右端为
于是
Dx
j
D j j 1 , 2 , , n .
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D , , xn Dn D .
非齐次与齐次线性方程组的概念
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 设线性方程组 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D , , xn Dn D .
也是方程组的 1 解.
二、重要定理
定理1 如果线性方程组 1 的系数行列式 则 1 一定有解,且解是唯一的 .
D 0,
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.