浙江省杭州市夏衍中学高二数学下学期期中试题
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题2【含答案】
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x y x ==-，{}23B x x =<，则A B = （）A ．1]-∞（，B ．0,3⎡⎤⎣⎦C ．(3,1⎤-⎦D ．)1,3⎡⎣【答案】C【分析】先化简集合,A B ，利用集合的交集运算即可求解【详解】因为{}{}11A x y x x x ==-=≤，{}{}2333B x x x x =<=-<<，所以{}31A B x x ⋂=-<≤，即(3,1A B -⋂=⎤⎦，故选：C2．设复数z 满足1i 1i ()z -=+，则||i z -在复平面内对应的点在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】利用复数除法运算求得||i z -，进而判断其对应点所在象限.【详解】由()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+，故||i=1i z --在复平面内对应的点为()1,1-.所以z 在对应点在第四象限.故选：D.3．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()-⊥a b b r r r ，则a 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】A【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，根据a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭得到2||||cos ||a b b θ⋅⋅= ，联立||2||a b =，得解.【详解】解：设向量a ，b的夹角为θ，()a b b -⊥，()0∴-⋅=a b b ，即2()a b b ⋅= ，所以2||||cos ||a b b θ⋅⋅=①，a，b为非零向量，且满足||2||a b =②，∴联立①②可得1cos 2θ=，[0,π]θ∈ ，所以两向量的夹角为π3.故选：A4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（）A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】B【分析】先利用2a ，53a ，89a 成等差数列解出3q ，再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B.5．若函数sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,m 上单调递增，则m 的最大值为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.【详解】由sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得当22,262k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈时函数单调递增，即122,2,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，12,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又函数在[]0,m ，所以203m <≤，即m 的最大值为23，故选：C.6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）A ．96种B ．60种C ．36种D ．24种【答案】B【分析】分类讨论优先安排羽毛球场志愿者，再用全排列和分组分配法求解即可.【详解】羽毛球场安排两个志愿者：44A 24=种，羽毛球场安排一个志愿者：2343C A 36=种，不同的安排方法共有60种.故选:B.7．已知拋物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于点B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（）A ．163B ．833C ．1633D ．83【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知||||AF AB =，可推出2π3FAB ∠=，从而求得π6BFD ∠=，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线2:8C y x =准线2x =-与x 轴交点为D ，焦点(2,0)F，由于点A 在C 上，AB l ⊥，故||||AF AB =,因为2π3FAB ∠=，所以π6ABF ∠=，而AB ∥x 轴，所以π6BFD ∠=,而||4DF =,所以483||π3cos6BF ==，故选：B 8．已知4ln 4a a -=，3ln 3b b -=，2ln 2cc -=，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c<<D ．a c b<<【答案】C【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln 3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1f x x >'>，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C二、多选题9．已知m ，n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊥∥，则m n⊥【答案】BD【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.【详解】对于A ，若//,m n αα⊂，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，由,m n m α⊥⊥，得//n α或n ⊂α，不论是//n α还是n ⊂α，都可结合n β⊥，得到αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,,m αβα⊥则m β⊥，又//n β，所以m n ⊥，故D 正确；故选：BD.10．已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆M 相交所得弦长为3C ．3b a -的最大值为12D ．22a b +的最小值为52-【答案】AC【分析】验证圆心是否过直线判断A ，求出相交弦长判断B ，把3bt a =-变以(3)b t a =-代入圆方程，利用判别式不小于0判断C ，利用原点到圆心的距离求得22xy +最小值判断D ．【详解】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r =，易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确；点M 到直线0x y +=的距离为222d ==，弦长为222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错；由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=，22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =-，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-，D 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．11．已知函数()3234f x x x =-+，则（）A ．()f x 的极小值为2B ．()f x 有两个零点C ．点()1,2是曲线()y f x =的对称中心D ．直线35y x =-+是曲线()y f x =的切线【答案】BCD【分析】利用导数研究函数()3234f x x x =-+的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】()3234f x x x =-+ ，()236f x x x '∴=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，(),0x ∴∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()f x \的极小值为：()32223240f =-⨯+=，()f x 的极大值为：()32003044f =-⨯+=，∴()f x 有两个零点，()f x 的极小值为4，故A 错误、B 正确；对C ，若点()1,2是曲线()y f x =的对称中心，则有()()24f x f x +-=，将函数()3234f x x x =-+代入上式验证得：()()32323423244x x x x ⎡⎤-++---+=⎣⎦，故C 正确；对于D ，2363k x x =-=-，解得：1x =，当1x =时，()12f =，∴切线方程为：23(1)y x -=--，即35y x =-+，故D 正确.故选：BCD.12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n=-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n nT a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC三、填空题13．61()2x x -展开式中的常数项为__________．【答案】1516【详解】366216611()()22r r rrr r r T C x C x x--+=-=-，令3602r -=，得4r =，∴常数项为446115()216C -=．14．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______【答案】96π【分析】由球体积求得球半径，再由球的截面性质求得圆柱的高，从而得圆柱体积．【详解】球的半径为R ，3450033R ππ=，解得5R =，圆柱的高为：221086-=．可得16696V ππ=⋅=．故答案为：96π．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为___________.【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据等差数列的性质可得公差0d >，由*3N ,n n S S ∀∈≥可得3234S S S S ≤⎧⎨≤⎩，从而可得132a d--≤≤，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得65a a 的取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，由于*3N ,n n S S ∀∈≥，所以0d >，且3211134111332233463S S a d a d a d S S a d a d a d ≤+≤+≤-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≤+≤+≥-⎩⎩⎩，即132ad --≤≤，则16111515511444a a a d d a a a a d d d++===++++，由132a d --≤≤得[]141,2a d +∈，故1131,224a d⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+，即65a a 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．若对任意正实数x ，y 都有2(ln ln )0e x y y x y m ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(0,1].【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为e(2e )(ln )x x y y m-≤，再构造函数()(2e )ln h t t t=-（0t >），求其最大值，进而求得结果.【详解】由于x 为正实数，对不等式两边同时除以x 变形可得：21()(ln )0e y x yx y mx--≤，化简得：1(2)(ln )e x x y y m-≤，即：e (2e )(ln )x x y y m -≤，令x t y =（0t >），则对任意的0t >，e(2e )ln t t m-≤，所以max e[(2e )ln ]t t m-≤，设()(2e )ln h t t t =-，0t >，则2e()ln 1h t t t'=-+-，所以212e()0h t t t''=--<，所以()h t '在(0,)+∞上单调递减，又因为2e(e)ln e 10eh '=-+-=，所以()00e h t t '>⇒<<，()0e h t t '<⇒>，所以()h t 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以max ()(e)e h t h ==，所以ee m≤，解得：01m <≤，即：m 的取值范围为(0,1].故答案为：(0,1].四、解答题17．已知a 、b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}()max 1,2f x x x x =+-∈R .(1)写出()f x 的解析式，并求出()f x 的最小值；(2)若函数()()2g x x kf x =-在(],1-∞-上是单调函数，求k 的取值范围.【答案】(1)()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，()f x 的最小值为32(2)(],2-∞【分析】（1）作差221263x x x +--=-，可得出1x +与2x -的大小关系，进而可化简得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的单调性，可求得函数()f x 的最小值；（2）化简函数()g x 在(],1-∞-上的解析式，分析可知函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，可得出关于实数k 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为221263x x x +--=-，当12x ≥时，2212630x x x +--=-≥，则(){}max 1,211f x x x x x =+-=+=+；当12x <时，2212630x x x +--=-<，则(){}max 1,222f x x x x x =+-=-=-.所以，()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，故函数()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，函数()f x 的最小值为1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）解：当1x ≤-时，()2f x x =-，则()()222g x x kf x x kx k =-=+-，因为函数()g x 在(],1-∞-上单调，因为二次函数()g x 的图象开口向上，故函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，所以，12k -≥-，解得12k-≥-，解得2k ≤，因此，实数k 的取值范围是(],2-∞.18．已知函数()13sin cos cos 212f x x x x =--，x ∈R .(1)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(2)已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求a ，b 的值.【答案】(1)最小值为2-，最小正周期为π.(2)323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而可得最小值与最小正周期；（2）根据()0f C =可得π3C =，再根据向量共线的性质结合正弦定理可得2b a =，进而根据余弦定理求解即可.【详解】（1）()31πsin 2cos 21sin 21226f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∴()f x 的最小值为2-，最小正周期为π.（2）∵()πsin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，ππ11π2666C -<-<，∴ππ262C -=，∴π3C =.∵m与n 共线，∴sin 2sin 0B A -=.由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，①∵3c =，由余弦定理，得22π92cos3a b ab =+-，②解方程组①②，得323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.19．在①21,323n n n a n b T =-=+；②222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，___________.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求n R .【答案】(1)选条件①：故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；(2)选条件①：113n n n R +=-；选条件②：所以111n R n =-+．【分析】（1）选条件①：由323n n b T =+，11323n n b T ++=+可得13n n b b +=，根据等比数列通项公式即可求解n b ；选条件②：由22n n S n a =+，2112(1)n n S n a ++=++，可得1(1)()n n a n a n +-+=--，利用迭代法可求n a ，借助已知条件可得n b ；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.【详解】（1）选条件①：由323n n b T =+，可得11323n n b T ++=+，两式相减可得11332n n n b b b ++-=，所以13n n b b +=，在323n n b T =+中，令1n =，可得11323b b =+，所以13b =，所以{}n b 是以3为首项，公比为3的等比数列，1333n nn b -=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：由22n n S n a =+，可得2112(1)n n S n a ++=++，两式相减可得()221121n n n a n n a a ++=+-+-，即121n n a a n ++=+，所以1(1)()n n a n a n +-+=--，在22n n S n a =+中，令1n =，可得1121a a =+，所以11a =，所以由[]1(1)n n a n a n --=---，[]12(1)(2)n n a n a n ----=---，L ，212(1)0a a -=--=，所以11(1)(1)0n n a n a --=--=，从而有()n a n n *=∈N ，所以2(1)22n n n a n n S ++==，22(1)n n n b a S n n ==+，故数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；（2）选条件①：由（1）知()2112133nn n n c n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，123n n R c c c c =+++⋅⋅⋅+，()()23111111135232133333n nn R n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()234121111112213333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111133112222211333313n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--=- ⎪⎝⎭-，所以113n n n R +=-，即113nnn R +=-；选条件②：由（1）知111(1)1n c n n n n ==-++，所以12311111111112233411n n R c c c c n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-++ ．20．如图：已知△PAB 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且PA ＝PB ＝22AB ，∠ABC ＝60°，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥PA ；（Ⅱ）若F 为线段PD 上的点，且EF 与平面PEC 的夹角为45°,求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）310535.【分析】(I)先根据面面垂直的性质定理证明CE ⊥平面PAB ,再由线面垂直的性质证明CE PA ⊥;（Ⅱ）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,求出平面EFC 的法向量、平面PBC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，∵60ABC ∠=∴△ABC 为正三角形，又∵E 为AB 的中点∴CE AB ⊥，∵平面PAB 与平面ABCD 垂直，AB 为平面PAB 与平面ABCD 的交线，∴CE ⊥平面PAB ，又∵PA ⊂平面PAB ∴CE PA⊥（Ⅱ）∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，又∵PE CE ⊥，AB CE E ⋂=∴PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示设2AB =，则2PA PB ==，1EP EA EB ===，3EC =，∴()()()()()0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,1,2,3,0E B C P D -设EF EP k PD =+，其中01k ≤≤，则()2,3,1EF k k k =-- ，∵()1,0,0EB = 为平面PEC 的法向量，∴2cos ,2EF EB =〈〉 ，得12k =，即F 是PD 的中点，∴311,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =r 为平面EFC 的法向量，则·0{·0n EF n EC ==310{2230x y z y -++==令2z =，得1x =，取()1,0,2n =r ，设()111,,m x y z =r 为平面PBC 的法向量，则·0{·0m PB m PC == 得出11110{30x z y z -=-=令11z =，得1131,3x y ==，取31,,13m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面EFC 与平面PBC 夹角为θ，则·3105cos cos ,35n m n m n m θ=〈〉==.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知()2,0A -，()2,0B 平面内一动点P 满足34PA PB k k ⋅=-．(1)求P 点运动轨迹C 的轨迹方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，当P 点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，0PM PN k k +=恒成立，试探究直线l的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)是定值；12【分析】对于小问1，设点(),P x y ，代入34PA PB k k ⋅=-，整理化简得P 点轨迹方程；对于小问2，设出直线l ：y kx m =+，联立曲线C 的方程，结合韦达定理，代入0PM PN k k +=，整理得到k 和m 的关系，进而判断直线是否过定点．【详解】（1）设(),P x y ，则3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，所以P 点轨迹方程为：()221043x y y +=≠．（2）显然直线l 不垂直于x 轴，故设l ：y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，代入22143x y +=并整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴()()()()1212211212121233332221111PM PNy y x y x y x x y y k kx x x x --+-+-+++=+=----()()()()()()12211212121232321x kx m x kx m x x k x x m x x x x +++-+-+++=-++()()12121212322321kx x m k x x m x x x x ⎛⎫+--+-+ ⎪⎝⎭=-++()2221212412382233423401m km k m k m k k x x x x --⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭==-++，整理得：()()212230k k m -+-=，若2230k m +-=，此时l 过P ，不合题意；若210k -=，即12k =符合题意，故直线l 的斜率为12．22．已知函数()e 2xf x a x -=+-.(1)当=2a 时，求()f x 在[]1,3-上的值域；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且120x x <，证明：02a <<且122ln x x a +>.【答案】(1)[]ln21,2e 3--(2)证明见解析【分析】（1）求出()f x '，则可得()f x 在[]1,3-上的单调性，即可求出其最值，则可得出答案；（2）由()f x 有两个零点12,x x ，易知>0(ln )<0a f a ⎧⎨⎩，由此可得0e a <<，又由120x x <可知()00f <，则可证02a <<；令120x x <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知212ln <<ln a x x a -，结合()f x 在(),ln a -∞上单调递减，则可证()()122ln f x f a x <-，又()()120f x f x ==，即可证()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()=2ln ,>ln g x f x f a x x a --，求出()g x '，易证()0g x '<恒成立，则可得()()ln 0g x g a <=，即得证.【详解】（1）当=2a 时，()2e 2xf x x -=+-，则()e 2ex x f x ='-，当[)1,ln2x ∈-时，()0f x '<，当(]ln2,3x ∈时，()0f x '>，故()min ()ln2ln21f x f ==-，因为()()()3231,12e 33e f f f =+-=->，所以max ()=2e 3f x -，故()f x 在[]1,3-上的值域为[]ln21,2e 3--；（2）证明：因为()e 2xf x a x -=+-，所以()e e x xaf x -'=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，不存在两个零点，不满足题意；当0a <时，当(),ln x a ∈-∞时()0f x '<，当()ln +x a ∈∞，时()0f x '>，即()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln +a ∞，上单调递增，要使()f x 有两个零点12,x x ，则需(ln )=ln 1<0f a a -，解得0e a <<，又120x x <，不妨令120x x <<，则()020f a =-<，所以02a <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知()()12,ln ,ln ,+x a x a ∈-∞∈∞，则212ln <<ln a x x a -，因为当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，所以要证122ln x a x >-，只需证()()122ln f x f a x <-，因为()()12f x f x =，所以()()122ln f x f a x <-等价于()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()2ln 2ln 22ln e e ,ln x x ag x f x f a x x a a a x a --=--=-+->，则()2ln 2e e2x x ag x a a --=--='()2ln e e x x a a ---+，因为2ln +2ln 2e +e2e =x x ax x a a----≥，当且仅当ln x a =时，等号成立，所以()2ln 2e e 0x x aa ---+<，即()g x 在()ln ,a +∞上单调递减，所以()()ln 0g x g a <=，故()()()1222ln f x f x f a x =<-，则122ln x x a +>.。
【学期】浙江省杭州市高二数学下学期期中试题文新人教A版
【关键字】学期杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的共轭复数为A．B．C．D．2.设，且对任意的，都有，则A. B. C. D.3. 设函数，其导函数的图象如右图所示，则函数的减区间是A. B. C. D.4.函数在处的切线方程是A．B．C．D．5. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确6.设，则三数，，中A．都不小于2 B．都不大于C．至少有一个不小2 D．至少有一个不大于27.若函数在区间单调递加，则m的取值范围为A．B．C．D．8.设，，，则的大小关系为A．B．C．D．9.设函数有两个零点，则的范围为A. B. C. D.10.若函数满足，设，，则与的大小关系为A．B． C. D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 观察下列式子：,,,,…… ,则可以归纳出第n个式子为.12.阅读如图所示的知识结构图，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．13.在复平面内, 复数1 + i与2i分别对应向量和, 其中为坐标原点,则向量所对应的复数是.14. 已知函数在处时取得极值为0，则．15.在平面内，三角形的面积为s，周长为c，则它的内切圆的半径.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R= .16.函数在区间上的最小值为.17.若对任意的，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是.杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11． 12． 13． 14． 15. 16. 17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （本题满分8分）已知函数.（Ⅰ）求的极值(用含m 的式子表示)；（Ⅱ）若的图象与x 轴有3个不同交点，求m 的取值范围. 19. （本题满分8分）设，求证：. 20. （本题满分12分）如图，在中，，四边形为矩形，且平面平面，. （I ）求证：平面；（II ）若点M 为线段ED 的中点，求平面与平面所成锐二面角的正切值.21. （本题满分14分）设函数x x mx x f ln 221)(2+-=.（Ⅰ）判断1=x 能否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若0≥m ，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）若存在)1,4[--∈m ，使得定义在],1[t 上的函数3)1ln()()(x x x f x g ++-=在1=x 处取得最大值，求实数t 的最大值.杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11．)1ln(1211+>+++n n 12． 313． i +-1 14． -1515. S V3 16. 817.22303≤≤a 三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）令0)32(3963)('22=-+=-+=x x x x x f ，得：1=x 或-3. 当1>x 或3-<x 时，0)('>x f ； 当31<<x 时，0)('<x f ；故)(x f 在区间),1(+∞，)3,(--∞单调递增；在区间)1,3(-单调递减…………..3’ 于是)(x f 的极大值m f +=-27)3(，极小值为m f +-=5)1(………………...1’（Ⅱ）令⎩⎨⎧<+->+05027m m ，………………………………………………………………3’得527<<-m ………………………………………………………………………1’19.（Ⅰ）证法一：要证：22222ba b a ab b a +-+≥-+ 即证：abb a b a ++≥+222即证：2222222222b a ab ab b a ab b a +⋅+++≥++即证：2222222b a ab ab b a +⋅≥++由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证………………………………………….8’证法二：要证：22222ba b a ab b a +-+≥-+ 即证：22)2(2)2(2222ba b a b a ab ba b a +++-≥++- 由基本不等式2222b a b a ab +≤+≤，可得上式成立，故原不等式得证. ……………..8’20. 如图，在ABC ∆/中，60,2,1=∠==ABC AB BC ，四边形ACDE 为矩形，且平面ACDE⊥平面ABC/，1=DC //.（I ）求证：⊥BC /平面ACDE /；（II ）若点M 为线段ED 的中点，求平面MAB /与平面BCD /所成锐二面角的正切值.（I ） 证明： 由60,2,1=∠==ABC AB BC ，得AC BC ⊥， 又平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ⋂平面AC ABC =，⊂BC 平面ABC ，于是ACDE ⊥平面ABC ……………………………………..5’（II ）解：(综合几何法)延长CD 、AM 交于一点F ，连FB ，过C 作FB CG ⊥于点G ，连AG.由于AC BC ⊥，AC DC ⊥，故⊥AC 平面BCF ，于是FB AC ⊥，又FB CG ⊥，故FB AG ⊥，于是CGA ∠为所求角………4’由M 是AF 的中点，于是CF=2，故52=⋅=BF CF BC CG ，……………….2 于是在ACG ∆中，215tan ==∠CG AC CGA …………………………………..1’ (向量法)如图建立平面直角坐标系，设所求角为θ，则)0,0,0(C ，)1,0,23(M ，)0,0,3(A ，)0,1,0(B ，)0,1,3(-=AB ，)1,0,23(-=AM ，设平面AMB的法向量),,(1111z y x n =，于是0,011=⋅=⋅AM n AB n ，B即023,031111=+-=+-z x y x ，令11=x ，则31=y ，231=z ，于是 )23,3,1(1=n .……………………………………………………………………………3’易得平面DCB 的法向量)0,0,1(2=n ，………………………………………………….3’于是192||||cos 2121=⋅=n n n n θ，于是215tan ==θ………………………………….1’21. （Ⅰ）x mx x f 12)('+-=，令0)1('=f ，得1=m ；………………………………2’当1=m 时，01)1()('2≥+-=x x x f ，于是)(x f 在),0(+∞单调递，1=x 不是)(x f 的极小值点……… …………….2’（Ⅱ）x x mx x f 12)('2+-=，当0=m 时，)(x f 在)21,0(上单调递增；…………………….1’ 当10<<m 时，)(x f 在)11,0(m m --上单调递增， ),11(+∞-+m m上单调递增；………..1’当1≥m 时，)(x f 在),0(+∞单调递……………………………………………………………………….2’（Ⅲ）x mx x x x x f x g 221ln )()(233-+=+-=.由题意，当],1[t x ∈时，)1()(g x g ≤恒成立………………………………………………………..1’易得0]121)211()[1()1()(2≤-+++-=-m x m x x g x g ，令121)211()(2-+++=m x m x x h ，因为)(x h 必然在端点处取得最大值，即0)(≤t h ………………………………………………………2’即121)211(2≤-+++mtmt，即2112-≥++--ttt，解得，21311+≤<t，所以t的最大值为2131+……………………………………………………………………………..1’此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2014-2015学年浙江省杭州市江干区夏衍中学高二(下)期中数学试卷
2014-2015学年浙江省杭州市江干区夏衍中学高二（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共36.0分)1.设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A.{5}B.{0，3}C.{0，2，3，5}D.{0，1，3，4，5}【答案】B【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，N={1，4，5}，∴∁U N={0，2，3}，又集合M={0，3，5}，则M∩（∁U N）={0，3}．故选B．先根据全集U和集合N，求出集合N的补集，然后求出集合N的补集与集合M的交集即可．此题考查了补集及交集的混合运算，其中集合A在全集R的补集为在集合R中不属于集合A的元素组成的集合；集合A与集合BA的交集为既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，掌握补集及交集的意义是解本题的关键．2.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：函数y=cos2ax-sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．化简y=cos2ax-sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．3.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（）A.若q则pB.若￢p则￢qC.若￢q则￢pD.p且q【答案】C【解析】解：命题“若p则q”为真时，根据互为逆否命题的真假性相同，可知：命题“若￢q则￢p”是真命题．故选：C．根据互为逆否命题的真假性相同即可得出结论．本题主要考查了互为逆否命题的真假性相同的应用问题，是基础题目．4.设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a-log a a=，∴，a=4，故选D因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a-log a a=，即可得答案．本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5.关于x的方程有一个根为1，则△ABC中一定有（）A.A=BB.A=CC.B=CD.【答案】A【解析】解：∵关于x的方程x2-xcos A cos B-cos2=0有一个根为1，∴1-cos A cos B-cos2=0，∴=cos A cos B，∴1=2cos A cos B-cos（A+B）=cos A cos B+sin A sin B=cos（A-B），∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即A=B，故△ABC一定是等腰三角形，且A=B故选A．将x=1代入方程得1-cos A cos B-cos2=0，化简可得cos（A-B）=0，再根据-π＜A-B＜π，求得A-B=0，从而得到结论．本题主要考查了函数与方程，以及二倍角和余弦的差角公式，属于中档题．6.函数y=3sin（2x-）的图象是由y=3sin2x的图象经过下列哪个变换得到的（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【答案】C【解析】解：∵y=3sin（2x-）=3sin2（x-），∴将y=3sin2x右平移个单位即可得到函数y=3sin（2x-）的图象，故选：C．根据三角函数的图象之间的关系即可得到函数图象的变化关系．本题主要考查三角函数图象之间的变化关系，比较基础．7.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a-b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C 不正确故选：A根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a-b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．8.定义集合运算：A⊙B={Z|Z=xy，x∈A，y∈B}，设集合A={-1，0，1}，B={sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A.1B.0C.-1D.sinα+cosα【答案】B【解析】解：∵A⊙B={Z|Z=xy，x∈A，y∈B}，集合A={-1，0，1}，B={sinα，cosα}，∴集合A⊙B={-sinα，-cosα，0，sinα，cosα}，∴集合A⊙B的所有元素之和为：（-sinα）+（-cosα）+0+sinα+cosα=0．故选B．A⊙B={Z|Z=xy，x∈A，y∈B}，集合A={-1，0，1}，B={sinα，cosα}，求出集合A⊙B={-sinα，-cosα，0，sinα，cosα}，由此能求出集合A⊙B的所有元素之和．本题考查集合的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.已知f（x）=是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A.（0，1）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：依题意，有0＜a＜1且3a-1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a-1）x+4a＞7a-1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a-1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a-1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．10.函数y=sin（-2x）的单调增区间是（）A.，]（k∈z）B.，]（k∈z）C.，]（k∈z）D.，]（k∈z）【答案】D【解析】解：y=sin（-2x）=-sin（2x-）令＜＜，k∈Z解得＜＜，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D．求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间．本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z．11.已知0≤x≤π，且-＜a＜0，那么函数f（x）=cos2x-2asinx-1的最小值是（）A.2a+1B.2a-1C.-2a-1D.2a【答案】C【解析】解：∵0≤x≤π，∴sinx∈[0，1]．∴函数f（x）=cos2x-2asinx-1=-sin2x-2asinx=-（sinx-a）2-a2．∵-＜a＜0，∴当sinx=1时，f（x）取得最小值，f（1）=-2a-1．故选：C．0≤x≤π，可得sinx∈[0，1]．由于函数f（x）=cos2x-2asinx-1=-sin2x-2asinx=-（sinx-a）2-a2．利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ一个值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ-，故排除C．若θ=，f（x）=2sin（2x+），不满足f（x）为奇函数，故排除A．若θ=，f（x）=2sin（2x+π）=-2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，满足f（x）在[0，]上是减函数，故B满足条件．若θ=，f（x）=2sin（2x+2π）=2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，f（x）在[0，]上是增函数，不满足在[0，]上是减函数，故排除D，故选：B．利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，由此排除C；再逐一检验其它3个选项，可得结论．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.设f（x）=msin（πx+α1）+ncos（πx+α2），其中m、n、α1、α2都是非零实数，若f（2011）=1则f（2012）= ______ ．【答案】-1【解析】解：∵f（2011）=1∴msin（2011π+α1）+ncos（2011π+α2）=1，即-msinα1-ncosα2=1，可得msinα1+ncosα2=-1因此，f（2012）=msin（2012π+α1）+ncos（2012π+α2）=msinα1+ncosα2=-1故答案为：-1根据三角函数的诱导公式，可得f（2011）=-msinα1-ncosα2=1，可得msinα1+ncosα2=-1．由此可得f（2012）=msinα1+ncosα2=-1，可得本题答案．本题给出特殊三角函数式，在f（2011）=1的情况下求f（2012）的值．着重考查了正弦、余弦的诱导公式和三角函数的奇偶性等知识，属于基础题．14.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（-2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）-f（2011）的值为______ ．【答案】【解析】解：∵对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），∴函数f（x）是周期为4的函数故f（2012）=f（0），f（2011）=f（-1）又∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-2，0）时，f（x）=2x，∴f（0）=0，f（-1）=2-1=因此f（2012）-f（2011）=0-=-故答案为：-根据题意，可得函数f（x）是周期为4的函数，所以f（2012）=f（0）=0，f（2011）=f（-1）=2-1，从而得出f（2012）-f（2011）的值．本题给出具有周期的奇函数，求给定的函数值，着重考查了函数的奇偶性和周期性等知识点，属于基础题．15.函数＞，＞，＜的一段图象过点（0，1），如图所示，函数f（x）的解析式______ ．【答案】【解析】解：由图象可知T=π∴ω==2∴函数可以表示为：y=A sin（2x+φ）又因为x=时，代入可得A sin（φ）=0∴φ=kπ，∵＜，k=1时∴φ=∴函数解析式为：y=A sin（2x+），函数经过（0，1），A sin=1，解得：A=2故答案为：y=2sin（2x+）先根据图象然后确定函数周期进而得到ω的值，再将x=时y=0代入求出φ，利用图象经过（0，1）求出A可得答案．本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题．属基础题．16.关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-）；③y=f（x）的图象关于点（-，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-对称．其中正确的命题的序号是______ ．【答案】②③【解析】解：①函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．②f（x）=4sin（2x+）=4cos（-2x-）=4cos（2x+-）=4cos（2x-）③f（x）=4sin（2x+）的对称点满足（x，0）2x+=kπ，x=（）k∈Z（-，0）满足条件④f（x）=4sin（2x+）的对称直线满足2x+=（k+）π；x=（k+）x=-不满足故答案为：②③根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答．本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．三、解答题(本大题共4小题，共44.0分)17.在△ABC中，已知，c=1，B=45°，求a，A，C．【答案】解：由所以sin C=…（4分）所以＜，所以C=30°…（6分）当C=30°时，A=105°…（8分）由得…（13分）【解析】利用正弦定理求出sin C的值，然后求出C，然后通过正弦定理求出a即可．本题考查正弦定理的应用，注意三角形中的边角关系，考查分析问题解决问题的能力．18.已知命题p：方程ax2+ax-2=0在[-1，1]上有解，命题q：只有一个实数x满足：x2+2ax+2a≤0．（Ⅰ）若f（x）=ax2+ax-2，则f（x）的图象必定过两定点，试写出这两定点的坐标______ （只需填写出两点坐标即可）；（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】（-1，-2），（0，-2）【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax2+ax-2，则f（x）的图象必定过两定点，这两定点的坐标为（-1，-2），（0，-2）；（Ⅱ）因为命题“p或q”为假命题，所以命题p、q均为假命题．因为方程ax2+ax-2=0在[-1，1]上无解，f（x）的图象过定点（-1，-2），（0，-2）所以a=0或或，即a=0或0＜a＜1或-8＜a＜0，∴-8＜a＜1；又∵命题q不成立的条件是：△=4a2-8a≠0⇒a≠0且a≠2；所以-8＜a＜0或0＜a＜1．故（Ⅰ）的答案为：（-1，-2），（0，-2）．（Ⅰ）由f（x）=ax2+ax-2=a（x2+x）-2的图象必定过两定点，可知x2+x=0且y=-2，从而可写出这两定点的坐标（只需填写出两点坐标即可）；（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，命题p、q均为假命题，分别求得a的取值范围，再取交集即可求得实数a的取值范围．本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数过定点问题与二次函数的性质，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．19.已知函数．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．【答案】解：（1）由题意得sinx-cosx＞0即＞，从而得＜＜，∴函数的定义域为，（k∈Z）．∵＜，故0＜sinx-cosx≤，所以函数f（x）的值域是，∞．（2）∵令解得令解得结合函数的定义域知单调递增区间是，（k∈Z），单调递减区间是，（k∈Z）．（3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f（x）是非奇非偶函数．（4）∵=f（x），∴函数f（x）的最小正周期T=2π．【解析】（1）令对数的真数大于0求出x的范围为定义域，据三角函数的有界性求出值域．（2）函数为复合函数，据符号函数的单调性同增异减，外函数是减函数，求出内函数的递增区间为函数的递减区间；内函数的递减区间为函数的递增区间（3）判断函数的奇偶性先看定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．（4）据函数最小正周期的定义，求出周期．本题考查函数的性质：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．20.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x．【答案】解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，∴当x=1时，1≤f（1）≤2|1-1|+1；∴f（1）=1；（2）∵f（x-1）=f（-x-1），∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象关于x=-1对称，又∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，a＞0；又∵f（1）=4a=1；∴a=；故f（x）=（x+1）2；（3）∵f（x+t）=（x+t+1）2≤x，∴x2+（2t-2）x+t2+2t+1≤0；设g（x）=x2+（2t-2）x+t2+2t+1，则g（1）=t2+4t≤0，g（m）=m2+（2t-2）m+t2+2t+1≤0；则-4≤t≤0，1-t-2≤m≤1-t+2，所以m≤1+4+2•=9，故m的最大值为9．【解析】（1）令x=1可得1≤f（1）≤2|1-1|+1；从而解得；（2）结合当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立及二次函数的性质可求出二次函数的解析式；（3）由二次函数的性质知，设g（x）=x2+（2t-2）x+t2+2t+1，则恒成立问题可化为g（1）=t2+4t≤0，g（m）=m2+（2t-2）m+t2+2t+1≤0；从而解得．本题考查了二次函数的性质及应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题的应用，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
2020年浙江省杭州市高二(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.函数f （x ）=cos x （sin x +1）的导数是（ ）A. cos2x +sin xB. cos2x -sin xC. cos2x +cos xD. cos2x -cos x 2.若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. （，+∞）B. （-∞，]C. [，+∞）D. （-∞，）3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+（n ∈N *），则从“n =k 到n =k +1”，左边所要添加的项是（ ）A. B. -C. -D.-4.自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角（ ）A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定5.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =135°，则tan ∠ACB 等于（ ）A.B. C. D.6.已知点E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条7.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C -AB -D 的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（ ）A.B.C.D.8.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25 B. 26 C. 36 D. 379.已知P-ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，则（ ）A. β＞γ＞αB. γ＞β＞αC. α＞β＞γD. α＞γ＞β10.已知不等式e x-4x+2≥ax+b（a，b∈R，且a≠-4）对任意实数x恒成立，则的最大值为（ ）A. 2-2ln 2B. -1-ln 2C. -2ln 2D. -ln 2二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设i为虚数单位，则复数的虚部为______，模为______．12.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．13.正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．14.已知双曲线C：=1（t＞0）的其中一条渐近线经过点（1，1），则该双曲线的右顶点的坐标为______，渐近线方程为______．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M、N运动时，下列结论中正确的是______（填上所有正确命题的序号）．①平面DMN⊥平面BCC1B1；②三棱锥A1-DMN的体积为定值；③△DMN可能为直角三角形；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为．16.一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1～10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数是______．17.已知函数f（x）=的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19.已知函数f（x）=（-1）ln x．（1）求f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求f（x）在区间[]上的取值范围．20.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，抛物线E：y2=4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C 于点G，H，若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项，求|AF|•|FB|+|GF|•|FH|的最小值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：f′（x）=-sin x（sin x+1）+cos x•cos x=cos2x-sin2x-sin x=cos2x-sin x．故选：B．进行基本初等函数和积的导数的求导即可．考查基本初等函数和积的导数的求导公式．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属于基础题.当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4-12m≤0，∴m≥,则实数m的取值范围是[，+∞）.故选C.3.【答案】D【解析】解：当n=k时，等式的左边为1-+-+…+-，当n=k+1时，等式的左边为1-+-+…+-+，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．4.【答案】B【解析】解：设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可知∠BDC与∠BAC互补∴自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补故选：B．设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC 为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可得结论．本题考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵抛物线方程为y2=2px=4x∴p=2∵焦点F坐标为（，0），准线l方程为x=-．∴F点坐标为（1，0），准线l方程x=-1∴C点坐标为（-1，0）∵∠OFA=135°∴直线AB的斜率为1，∵直线AB经过点F（1，0）∴直线AB方程为y=x-1，又∵点A与点B在抛物线上，∴两方程联立，得到x2-6x+1=0解得A（3+2，2+2）B（3-2，2-2）∴=（4-2，2-2），=（4+2，2+2）∴cos∠ACB==，sin∠ACB=，tan∠ACB=2．故选：D．AB方程y=x-1，与抛物线方程y2=4x联立，解得A，B的坐标，即可求出tan∠ACB．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查同角三角函数基本关系式，正确求出A，B的坐标是关键．6.【答案】B【解析】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，-1），设=λ，则M（2-λ，2λ，2-2λ），设=t，则N（2t，2t，2-t），∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），∵直线MN与平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面ABCD垂直的直线MN有1条．故选：B．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条．本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD 内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C-AB-D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．【解答】解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C-AB-D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD =3，AD=4，故sin∠CAD==故选：A．8.【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，另外两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x+y≥12．当y取值11时，x=1，2，3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形；当y取值分别为9，8，7，6时，x取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36．故选C．本题是一个分类计数问题，最长的边长度是11，另外两边长用x，y表示，要构成三角形必须x+y≥12，列举出当y分别从11，10，9，8，7，6时，对应的三角形的个数，根据分类计数原理得到结果．本题考查分类计数原理，考查组成三角形的条件，考查分类讨论思想的应用，是一个比较简单的综合题目，这种题目出现的几率比较大．9.【答案】D【解析】【分析】取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO==，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（-，1，0），B（0，0，），C（-，-1，0），E（，，0），F（-，-，），=（-，-，），=（-，1，0），=（-，0，），=（-，-1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα===0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】不等式化为e x-（a+4）x+2-b≥0恒成立，构造函数f（x）=e x-（a+4）x+2-b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．【解答】解：不等式e x-4x+2≥ax+b化为e x-（a+4）x+2-b≥0，令f（x）=e x-（a+4）x+2-b，则f′（x）=e x-（a+4），若a＜-4，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；若a＞-4，由f′（x）=e x-（a+4）=0，得极小值点x=ln（a+4），由f（ln（a+4））=（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2-b≥0，得b≤（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2，则≤=1-ln（a+4）-，令g（t）=1-ln t-，t=a+4＞0，则g′（t）=-+=，则当0＜t＜2时，g′（t）＞0，当t＞2时，g′（t）＜0，则当t=2时，g（t）取得极大值，而g（2）=1-ln2-=-ln2，∴的最大值为-ln2．故选：D．11.【答案】-2【解析】解：∵=，∴复数的虚部为-2；模为．故答案为：-2；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】（1，e）e【解析】解：设切点为（m，n），y=e x的导数为y′=e x，即有切线的斜率为k=e m，切线的方程为y-n=e m（x-m），代入原点（0，0），可得n=me m，又n=e m，解得m=1，n=e，则切线的斜率为e．故答案为：（1，e）；e．设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入原点，解方程可得m=1，进而得到切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确确定切点和运用直线方程是解题的关键．13.【答案】 2【解析】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，是2×=2．当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边是2，高是直线CD到AB的距离，为，射影面的面积是=．∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是2．故答案为：，2．当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时射影面的面积最大，当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，由此能求出结果．本题考查射影构成的图形面积的最值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】（，0）y=±x【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：x-y=0，双曲线C：=1（t＞0）的其中一条渐近线经过点（1，1），可得t=2，所以双曲线的右顶点的坐标为（，0），双曲线方程为：=1，渐近线方程为：y=±x．故答案为：（，0）；y=±x．求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求出t，然后求解右顶点的坐标，渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】①②④【解析】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，①正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N-A1DM的体积不变，即三棱锥A1-DMN的体积为定值，②正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，③错误；当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，④正确，∴正确的是①②④．故答案为：①②④．由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1-DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．16.【答案】133【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①，10盏路灯中开2盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C92=36种开法；②，10盏路灯中开3盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C83=56种开法；③，10盏路灯中开4盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C74=35种开法；④，10盏路灯中开5盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C65=6种开法；则有36+56+35+6=133种符合要求的开法；故答案为：133．根据题意，按打开路灯的数目分4种情况讨论，求出每种情况的开法数目，由加法原理计算即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类加法计数原理，属于基础题．17.【答案】【解析】解：（1）当a＜0时，f（x）在（-∞，0]上单调递减，又f（0）=-1，故f（x）的图象经过第二、三象限，当x＞0时，f（x）=，∴f′（x）=．①若a≤-1，则f′（x）＞0恒成立，又当x→0+时，f（x）→2，∴f（x）的图象在（0，+∞）上经过第一象限，符合题意；②当-1＜a＜0时，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，当0＜x＜2时，令f′（x）=0可得x=＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，又f（）=-（a+1）+2=2（1-）＞0，∴f（x）的图象在（0，+∞）上经过第一象限，符合题意；（2）当a=0时，f（x）在（-∞，0）只经过第三象限，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上的图象只经过第一象限，不符合题意；（3）当a＞0时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，故f（x）在（-∞，0]上的图象只经过第三象限，∴f（x）在（0，+∞）上的最小值＜0．当0＜x＜2时，令f′（x）=0可得x=，若＜2，即a＜11时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=2（1-），令2（1-）＜0，解得a＞2，∴2＜a＜11．若≥2即a≥11时，则f（x）在（0，2）上单调递减，当x≥2时，令f′（x）=0可得x=，若≤2，即11≤a≤13时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=8-2a，令8-2a＜0解得a＞4，故而11≤a≤13，若＞2，即a＞13时，f（x）在（2，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=-，显然-＜0恒成立，故而a＞13．综上，a＜0或a＞2．故答案为：．分情况讨论f（x）的单调性，计算f（x）在（0，+∞）上的最小值，根据函数图象经过的象限得出最小值与0的关系，从而得出a的范围．本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题．18.【答案】解：（1）依题意，所有奇数的个数为=36个；（2）数字1和3相邻的个数有=36个；（3）比30124小的数的个数为：=48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．【解析】（1）先排个位，再排首位，其它可以全排列，根据乘法原理即可得到结果；（2）使用捆绑法结合计数原理计算即可；（3）计算出比30124小的五位数的个数，即可得到30124排第几．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数问题，考查间接法，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵函数f（x）=（-1）ln x，∴ln x+（-1）=，∴=0．又f（1）=（-1）ln1=0，所以f（x）的图象在点x=1处的切线方程为y=0．（2）由（1）知f′（x）=，令g（x）=ln x+2（1-）∵y=ln x与y=1-都是区间（0，+∞）上的增函数，∴g（x）=ln x+2（1-）是（0，+∞）上的增函数．又g（1）=0，∴当x＞1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时f（x）在[]递增；当0＜x＜1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时f（x）[]递减；又f（1）=0，f（）=（-1）ln=ln2，f（2）=（）ln2．∴[f（x）]min=0，[f（x）]max=max{f（2），f（）}=（-1）ln2，∴f（x）在区间[]的取值范围为[0，（）ln2]．【解析】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数在半区间上的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）求出f′（x）=，利用导数的几何意义能求出f（x）的图象在点x=1处的切线方程．（2）f′（x）=．由y=ln x与y=1-都是区间（0，+∞）上的增函数，得g（x）=ln x+2（1-）是（0，+∞）上的增函数．由此能求出f（x）在区间[]的取值范围．20.【答案】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，MB2=AM2+AB2-2AM•AB•cos60°=3a2，MC2=DM2+DC2-2DM•DC•cos120°=7a2．又∵BC2=4a2，∴MB2+BC2=MC2，∴MB⊥BC，又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB=M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：过B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在△MBC中，由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC．，∴直线BN与平面PMC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PMB，即可证明：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）过B作BH⊥MC，连接HN，证明∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，即可求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）抛物线E：y2=4x的焦点为（1，0），可得F（1，0），即c=1，由离心率e=，即=，解得a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项，可得|AF|2=（|AH|-|FH|）（|AH|+|FH|）=|AH|2-|FH|2，即AF⊥FH，设l1的方程为：y=k（x-1），l2的方程为：y=-（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）．由消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，可得x1+x2=，x1x2=，同理x3+x4=，x3x4=，∴|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=（2-x1）•（2-x2）+（2-x3）•（2-x4）=4-（x1+x2）+x1x2+4-（x3+x4）+x3x4=8-+•-+•=6-3•=6-3•=6-3•=6-3•，由3k2+≥2=6，当且仅当k4=1，即k=±1时，上式取得等号，则|AF|•|FB|+|GF|•|FH|的最小值为．【解析】本题考查椭圆及抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，焦半径公式及基本不等式的综合运用，属于难题．（1）求得抛物线的焦点可得c=1，再由离心率公式可得a，进而求得b的值，求得椭圆方程的标准方程；（2）运用等比数列中项性质可得|AF|2=（|AH|-|FH|）（|AH|+|FH|）=|AH|2-|FH|2，即AF⊥FH，设直线l1、l2的方程，将直线l1、l2代入代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|AF|•|FB|+|GF|•|FH|=（2-x1）•（2-x2）+（2-x3）•（2-x4），由基本不等式性质可知3k2+，即k=±1时，可得|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x 1＜1＜x 2，由＜a ＜1，且ax 12-2x 1+a =0，得＜x 1＜1，所以s =m -n =ax 1--2ln x 1-（ax 2--2ln x 2）=ax 1--2ln x 1-（-ax 1+2ln x 1）=2（ax 1--2ln x 1），由ax 12-2x 1+a =0，得a =，代入上式得，g （x ）=-ln x ，求导数，应用单调性，即可得到S 的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。
浙江省杭州市高二下学期数学期中考试考试试卷
浙江省杭州市高二下学期数学期中考试考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知函数，那么集合中元素的个数为（）A . 1B . 0C . 1或0D . 1或22. （2分）已知i是虚数单位，则等于（）A . iB .C .D . -i3. （2分） (2016高一上·定州期中) 在区间D上，若函数y=f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数y=f（x）为区间D上的“弱增”函数．则下列函数中，在区间[1，2]上不是“弱增”函数的为（）A .B .C . g（x）=x2+1D . g（x）=x2+44. （2分） (2019高三上·吉林月考) 若，则实数的取值范围是（）B .C .D .5. （2分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[， 8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A .B . 2C .D . 46. （2分）(2020·陕西模拟) 在的展开式中，令的系数为800，则含项的系数为（）A . 30B . 960C . 300D . 3607. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .8. （2分） (2019高二下·舒兰期中) 今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有（）A . 210种B . 162种C . 720种D . 840种9. （2分）函数的最大值为（）A . e-1B . eC . e2D .10. （2分） (2019高二下·蒙山期末) 函数的图象可能是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一上·平潭月考) 已知函数，则 =________．12. （1分）(2019·黄浦模拟) 在的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________13. （1分） (2019高二下·大庆期末) 设随机变量的分布列为为常数，则________14. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知是定义在上的偶函数，则实数________，此函数的单调增区间为________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2018高二下·河南月考) 对大于或等于2的自然数的次方幂由如下分解方式：根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则的值为________16. （1分） (2019高二下·郏县月考) 函数的最小值为________．17. （1分） f（x）=x2﹣2x（x∈[﹣2，4]）的最小值为________，最大值为________．四、解答题 (共5题；共25分)18. （5分） (2020高三上·信阳月考) 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.19. （5分） (2018·山东模拟) 已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．20. （5分） (2016高二下·南阳期末) 已知函数f（x）=﹣x3+ax在（﹣1，0）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1∈（﹣1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an∈（﹣1，0），并判断an+1与an的大小．21. （5分） (2016高二下·安徽期中) 已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．22. （5分） (2019高二下·潮州期末) 已知函数 ( 为自然对数的底数).（1）若 ,求函数的单调区间；（2）在(1)的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共25分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
浙江省杭州市夏衍中学高二数学下学期期中试题
杭州市夏衍中学2014学年第二学期期中考试试卷高二数学(文﹑理)考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷。
共6页，21题。
满分100分。
时间为90分钟。
2．试卷Ⅰ、试卷Ⅱ答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试卷上无效。
Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．设集合U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,3,5}，N={1,4,5}，则)(N C M U =（ ） A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ．{0，1，3，4，5}2．“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=”的最小正周期为π”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．当命题“若p 则q ”为真时，下列命题中一定正确的是（ ）A ．若q 则pB ．若p 则qC ．若q 则p D ．p 且q4．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）A ．4 C ．．2 5．关于x 的方程02cos cos cos 22=--CB A x x 有一个根为1，则△ABC 中一定有（ ） A ．A B = B ．B C = C ．A C =D ．2A B π+=6．函数3sin 2y x =可由3sin(2)6y x π=-经过下列怎样的变换得到？（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移12π个单位7．二次函数y=ax 2+b x 与指数函数y=(ab )x的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．定义集合运算：A ⊙B=｛xy Z Z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0，1｝，B=｛ααcos ,sin ｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）A.1B.0C.1-D.ααcos sin + 9．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11[,)7310．函数y ＝sin （π4－2x )的单调增区间是 （ ）A.［k π－3π8 ，k π＋π8 ］(k ∈Z )B.［k π＋π8 ，k π＋5π8 ］(k ∈Z )C.［k π－π8 ，k π＋3π8 ］(k ∈Z )D.［k π＋3π8 ，k π＋7π8 ］(k ∈Z )11．已知0≤x ≤π，且－12＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）A.2a ＋1B.2a －1C.－2a －1D.2a12．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π4 ］上是增函数的θ的一个值为 （ ） A. 5π3B. 4π3C. 2π3D. π3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2001)1,f =则=)2014(f _____14．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范 围是_______________15．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当 )02(，-∈x 时， x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为 16．函数f (x )=A sin ( x +) (A>0, >0, ||< 2)的一段图象过点()0,1，如图所示，求函数f (x )的解析式 _____ 17．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－π6)；③y＝f(x)的图象关于点（－π6，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称.其中正确的命题的序号是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分10分）在△ABC中，已知b=c=1，45B=︒，求a，A，C．19．（本小题满分10分）已知命题02:2=-+axaxp方程在[－1，1]上有解，命题q：只有一个实数x满足：.0222≤++aaxx（I）若)(,2)(2xfaxaxxf则-+=的图象必定过两定点，试写出这两定点的坐标（只需填写出两点坐标即可）；（II）若命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝21log(sin x－cos x)（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性；（4）（理科学生做、文科不做）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.21．（本小题满分12分）设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R=++∈满足下列条件：①当x∈R时，()f x的最小值为0，且f (x－1)=f(－x－1)成立；②当x∈(0,5)时，x≤()f x≤21x-+1恒成立。
杭州市数学高二下期中经典测试(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -2．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心3．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角4．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．45．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )A ．(22)，-B ．(0,+)∞C ．(0,2)(2+)⋃∞，D ．[22]-，6．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=7．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-8．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13586]若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．4512．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π413．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点()A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 14．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13726]函数()sin 52sin x f x x+=-的最大值为__________.17．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．18．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)19．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________.20．(0分)[ID ：13685]在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠=，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈；②()CD bCB aCA +，则CD=________(用a b 、表示).21．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形． 22．(0分)[ID ：13665]已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 23．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________24．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，D 是BC 上一点，若14ABD ABC S S ∆∆=，则D 的坐标为________. 25．(0分)[ID ：13657]若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：13798]已知()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，OC tOP =（其中O为坐标原点）（1）求使CA CB ⋅取得最小值时的OC ； （2）对（1）中求出的点C ，求cos ACB∠．27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n n a x y =，且1112y x ==，1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +； （2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13760]已知函数()()2cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=-+>的最小正周期为2π．()1求ω的值；()2ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2f B =，a =ABC 面积4S =，求b ． 29．(0分)[ID ：13750]在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅.（1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ；（2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.30．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若3[8x π∈-，]4π，求函数()f x 的值域．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C9．A10．C11．D12．A13．A14．B15．A二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有19．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】20．【解析】【分析】由①②可知为的角平分线利用的面积关系即可求出【详解】共线且有一公共点三点共线即在边上由=向量在的角平分线上所以为的角平分线故答案为:【点睛】本题考查平面向量的几何意义考查模长三角形的21．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式22．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公23．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所24．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐25．【解析】【分析】问题转化为m ＞对任意x ∈R 恒成立只需由三角函数求出求y ＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.2．B解析：B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，即可求解. 【详解】由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin sin cos 622x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos cos sin 622x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)221sin cos cos sin 2x x x x =⋅+-1sin 2cos 244x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 8．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．9．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=，∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠.解析：D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D.12．A解析：A 【解析】 因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ． 13．A 解析：A 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象， 可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=． 再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可，【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题．14．B解析：B 【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的 解析：6 【解析】 【分析】利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求得最大值． 【详解】()sin 52sin x f x x +=-712sin x=-+-，∵1sin 1x -≤≤，所以12sin 3x ≤-≤，77732sin x ≤≤-，所以4()63f x -≤≤， ∴sin 1x =时，max ()6f x =． 故答案为：6. 【点睛】本题考查求函数的最值，考查正弦函数的性质．解题方法是利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求解．17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=k π(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2 解析：2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有解析：①④ 【解析】 【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.19．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】解析：3【解析】 【分析】 设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离，由此可得结论.【详解】设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离.因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以3AB =，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确()fλ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.20．【解析】【分析】由①②可知为的角平分线利用的面积关系即可求出【详解】共线且有一公共点三点共线即在边上由=向量在的角平分线上所以为的角平分线故答案为:【点睛】本题考查平面向量的几何意义考查模长三角形的 解析：aba b+ 【解析】 【分析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD . 【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈， (),CD CA CB CA AD AB λλ∴-=-∴=,AD AB ∴共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CAbCB aCA ab a b+=+=()||||CB CA ab CB CA + ||||CB CACB CA +向量在ACB ∠的角平分线上， ()CD bCB aCA +∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线. 060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ abCD a b ∴=+. 故答案为:aba b+【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.21．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式解析：等腰 【解析】 【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=， 即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰. 【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.22．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公解析：13【解析】 【分析】本题首先可根据cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 45πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．23．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23【解析】 【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可. 【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，12C ⎛- ⎝⎭，(),B x y ，则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()112x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪-+=-⎪⎪⎪⎝⎭⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，因为B 在圆221x y +=上，所以22122111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤， 故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.24．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0【解析】 【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得||1||3BD DC =,再得到13BD DC =,设出D 的坐标,代入13BD DC =可解得. 【详解】因为||||ABD ABCS BD SBC =,又因为14ABD ABC S S ∆∆=,所以14ABD ABCS S =, 所以||1||4BD BC =,所以||1||3BD DC =, 所以13BD DC =,设(,)D a b ,所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---,所以1(3,1)(5,3)3a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=--且11(3)3b b +=-,解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.25．【解析】【分析】问题转化为m ＞对任意x ∈R 恒成立只需由三角函数求出求y ＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题解析：1,)+∞【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可．【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos21214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1，1m ∴>，故答案为)1,+∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．三、解答题 26．（1）()4,2OC =；（2）cos 17ACB ∠=- 【解析】 【分析】（1）设(2,)OC tOP t t ==，求出CA 和CB 的坐标，代入CA CB 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出CA CB 的最小值．（2）把CA 和CB 的坐标代入两个向量的夹角公式，求出cos ACB ∠ 的值． 【详解】（1）由题知()()2,12,OC tOP t t t ===()12,7CA OA OC t t =-=--，()52,1CB OB OC t t =-=--所以()()()()()2125271528CA CB t t t t t ⋅=--+--=-- 当2t =时CA CB ⋅取最小值，此时()4,2OC =； （2）由（1）()3,5CA =-，()1,1CB =-34CA =2CB =，8CA CB ⋅=-，所以，cos 34CA CB ACB CA CB⋅∠===⋅ 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．27．（1）()02,；11n n n n n n x x y y ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）413nn B -=【解析】 【分析】先对1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭化简，再结合1112yx ==可求得2a ，【详解】（1）1111n n n n n n n n x x x y y y ++⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==⎪-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭，即11n n n n n nx x y y ++⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，当1n =时，21121102x x y y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，所以()20,2a =；（2）1n n n x x += ①，1n n n yy ++②，将①②同时平方， 得()222123n n n n n n nx x x y y +==+-⋅③，22213n n n n n y x y y +=++⋅④，③+④得()2222114n n n n xy x y+++=+，即2211224n n n n x x y y +++=+，222n n n n y b a x ==+，所以14n nb b +=，又1222111x a y =+=，所以{}n b 是以1为首相，4为公比的等比数列，所以()11441143nn nB b --==- 【点睛】本题考查矩阵的乘法公式应用，向量的模长公式应用，等比数列前n 项和的求解，属于中档题28．(1)12(2)3 【解析】 【分析】（1）化简()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，根据函数的最小正周期2π2π2T ω==即可求出ω的值2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，求得2π3B =，再根据ABC的面积SS =，解得c =b . 【详解】（1）()22cos cossin f x x x x x ωωωω=-+cos2x x ωω=-π2sin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期2π2π2T ω==，解得12ω=. （2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得ππ2π62B k -=+（k Z ∈）.所以2π2π3B k =+（k Z ∈）.又(0,π)B ∈，所以2π3B =.ABC的面积112πsin sin 223S ac B c ==⨯=，解得c =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-222π23=+- 9=，所以3b =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．29．（1）(2,1)a =；（2）724250x y +-=. 【解析】【分析】（1）由题意，计算a b ⋅和2b 的值，即可求解1a ；（2）用参数设出向量a ，求得1a ，再消去参数即可证明1a 的终点的轨迹是一条直线，并写出直线方程。
杭州数学高二下期中经典测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+ 3．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．23D ．564．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13+B ．2C ．22+D ．05．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 6．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 37．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±12．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 13．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．514．(0分)[ID ：13539]设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b a b +=-⊥，则 B ．若,a b a b a b ⊥+=-则C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=- 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13721]已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 17．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.18．(0分)[ID ：13714]已知||2,||3a b ==，且a 与b 的夹角是60︒，则|32|a b -=______19．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________．20．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.21．(0分)[ID ：13686]已知(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B ，若3OA OB AB λμ+=，则λμ+=_______.22．(0分)[ID ：13681]在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________23．(0分)[ID ：13678]菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________．24．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．25．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．三、解答题26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13771]已知a 与b 的夹角为34π，且2a =，2b =. （1）求32a b +；（2）求32a b +与a 的夹角θ的大小.28．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值；（2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.29．(0分)[ID ：13805]已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()2a bλ-与()3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.30．(0分)[ID ：13777]已知向量23a i j =-，23b i j =+，其中i ，j 是互相垂直的单位向量．（1）求以a ，b 为一组邻边的平行四边形的面积；（2）设向量3m a b =-，n a b λ=+，其中λ为实数，若m 与n 夹角为钝角，求λ的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．A 10．C 11．A12．D13．B14．C15．D二、填空题16．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算18．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力22．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属23．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N点在点C处在上的投影最大所以的最大值为：24．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义25．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 2．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（），即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础4．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 6．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．7．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin sin cos 622x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos cos sin 622x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)221sin cos cos sin 2x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CDCD ⋅==，故选A ． 9．A解析：A 【解析】【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．10．C解析：C【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果．【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0y x xα=≠. 11．A解析：A【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>，∴sin cos αα+==== 故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 12．D解析：D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值. 故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故222521d ==+ 故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D .【点睛】 本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 13．B解析：B【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值．【详解】∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴， ∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-， 此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤， ∴φ4π=， 此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意； 故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】 本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.14．C解析：C【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则22,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题15．D解析：D【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与【解析】【分析】先由cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此2163cos 21sin 21255θθ=-=-=.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭43310-=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案.【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CA CD 2+=， 又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.18．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化 解析：6【解析】【分析】 由2232(32)a b a b -=-计算。
浙江省杭州高中2022高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
杭高2022学年第二学期期中考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本卷考试时间90分钟，满分100分。
2．本卷答案一律做在答卷页上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 已知随机变量X 的分布列为PX ＝＝错误!，＝1,2，…，则P 2<X ≤4等于 A 错误! B 错误! C 错误! D 错误!2 函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = A 2 B3 C4 D 53 10(2)x y -的展开式中64x y 项的系数是 A 840 B 840- C 210 D 210-4 若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是 A ．等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 5 下图中，有一个是函数3221()(1)13f x x ax a x =++-+(,0)a R a ∈≠的导函数'()f x 的图像，则(1)f -等于A ．13 B ．13- C ．73 D ．13-或536 若存在过点的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则等于 A ．或25-64 B ．或214 C ．74-或25-64 D ．74-或 67 某酒厂制作了种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种酒瓶，能获奖的概率为 A ．3181 B ．3381 C ．4881 D ．50818 若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．809 学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2022年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有 A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种 10 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷 (理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二下·黑龙江月考) 复数是纯虚数，其中是虚数单位,则实数的值是（）A . 3B . 2C . 2或3D . 0或2或32. （2分）(2019高二下·凤城月考) 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-24. （2分）如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（）A . 288种B . 264种C . 240种D . 168种5. （2分） (2016高二下·珠海期末) 2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有（）A . 6B . 9C . 8D . 276. （2分）若直线与的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·张家口期末) （）A .B .C .D .8. （2分）设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A . (3,7)B . (9,25)C . (13,49)D . (9,49)二、填空题 (共4题；共5分)9. （1分） (2018高二下·乌兰月考) 如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．10. （2分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1 ，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2 ，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3 ，记弧A2A3的长为l3 ，则l1+l2+l3=________ ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4 ，记弧A3A4的长为l4 ，…，当弧长ln=8π时，n=________11. （1分） (2017高二下·长春期中) ∫ dx=________．12. （1分）函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）=________三、解答题 (共5题；共55分)13. （5分）已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，（1）求z1；（2）若复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求复数z2 ．14. （10分）已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.（1）若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?（2）若恰在第5次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?15. （10分） (2017高二下·池州期末) 在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．16. （15分） (2017高二下·广州期中) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在R上的单调区间（3）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值．17. （15分） (2018高二下·枣庄期末) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；（3）设，其中 .若恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共4题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共5题；共55分)13-1、14-1、14-2、15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、17-3、。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·镇海模拟) 设复数z= ，则z的虚部是（）A . iB .C . ﹣D . ﹣ i3. （2分）(2016·四川模拟) 在△A BC中，若 =（1，2）， =（﹣2，3），则△ABC的面积为（）A .B . 4C . 7D . 84. （2分）(2017·汕头模拟) 记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0 ， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，2]C . [﹣1，4]D . （﹣∞，﹣1]5. （2分）已知直线与，给出命题P：的充要条件是或；命题q:的充要条件是．对以上两个命题，下列结论中正确的是：（）A . 命题“p且q'为真B . 命题“p或q”为假C . 命题“p或q'为假D . 命题“p且q'为真6. （2分）对于函数f（x）=x3﹣3x2 ，给出命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，无极值；③f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），递减区间为（0，2）；④f（0）=0是极大值，f（2）=﹣4是极小值．其中正确的命题有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）已知是等差数列，，记数列的第项到第项的和为，则取得最小值时的的值为（）A . 6B . 8C . 6或7D . 7或88. （2分）下列四个函数中，既是上的减函数，又是以为周期的偶函数的是（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）A .B .C . 4D .10. （2分） (2015高二下·太平期中) 曲线y=ex ， y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A . e﹣e﹣1B . e+e﹣1C . e﹣e﹣1﹣2D . e+e﹣1﹣211. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到该抛物线焦点F的距离|MF|=3p，则直线MF的斜率为（）A . ±2B . ±1C . ±D . ±12. （2分）函数f(x）在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)且（x-1）f'(x)<0，若a=f(0),b=f（）,c=f(3)则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . b>a>cD . a>c>b二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为________14. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知平面向量，（≠ ）满足 =2，且与﹣的夹角为120° ，t∈R，则|（1﹣t） +t |的最小值是________．已知• =0，向量满足（﹣）（﹣）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，则• 的最大值为________．15. （1分） (2019高二上·拉萨期中) 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为________．16. （1分） (2016高二下·三原期中) 观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为________．三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分）(2016·孝义模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C= ．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求 +a的最大值．18. （10分）(2020·日照模拟) 已知数列满足： .（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2018高二下·重庆期中) 一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度212324272932产卵数 /个61120275777附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数 .（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求关的回归方程为，且相关指数①试与（1）中的线性回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.②用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.20. （10分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值．21. （5分） (2018高二上·阳高期末) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.22. （15分） (2018高二下·虎林期末) 已知函数（1）求函数的单调区间;（2）求函数的极值;（3）求函数在区间上的最大值与最小值。
浙江高二高中数学期中考试带答案解析
浙江高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数在复平面内所表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A ．1 B ．2 C ．3D ．43.用反证法证明“如果a >b ，那么>”假设的内容应是( )A ．＝B ．<C ．＝且<D ．＝或<4.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是( )A ．21B ．28C ．32D ．365.在展开式中含的项的系数为( ) A ．17B ．14C ．13D ．86.函数的一个单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．7.已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2015(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x8.数学中无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，如： 88，454，7337，43534等都是回文数，体现对称美，读起来还真有趣！那么六位的回文数共有( )个. A ．800 B ．810 C ．900 D ．10009.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( )A．11种B．20种C．21种D．12种10.已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值()A．一定大于0B．一定等于0C．一定小于0D．正负都有可能二、填空题1.若，则的值为．2.设，（i为虚数单位），则的值为．3.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为．4.设，则＝．5.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是．6.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，，则的大小关系是．7.将7×7的棋盘中的2个方格染成黄色，其余的染成绿色。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷(文科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .2. （2分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A . 假设a、b、c都是偶数B . 假设a、b、c都不是偶数C . 假设a、b、c至多有一个偶数D . 假设a、b、c至多有两个偶数3. （2分）下列结论：①若y=cosx，y′=﹣sinx；②若y=﹣，y′= ；③若f（x）= ，f′（3）=﹣；④若y=3，则y′=0．正确个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ， 1+3+5+7=42 ，…，得到1+3+…+（2n﹣1）=n2用的是（）A . 特殊推理B . 演绎推理C . 类比推理D . 归纳推理5. （2分）两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），则下列说法中不正确的是（）A . 由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本点的中心（，）B . 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C . 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好D . 若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9462，则变量y和x之间具有线性相关关系6. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知函数f（x）=ex﹣1﹣ax（a＞1）在[0，a]上的最小值为f（x0），且x0＜2，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （1，e）C . （2，e）D . （，+∞）7. （2分） (2016高三上·湛江期中) 已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）+f（x）＜0，设a=f （m﹣m2），b=e •f（1），则a，b的大小关系是（）A . a＞bB . a＜bC . a=bD . a，b的大小与m的值有关8. （2分） (2017高二下·新余期末) 曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A .B . 2C .D . 19. （2分） (2017高二下·武汉期中) 某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（）A . 小赵、小谭B . 小马、小宋C . 小马、小谭D . 小赵、小宋10. （2分） (2017高二上·张家口期末) 设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二下·忻州期中) 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为（）A .B .C .D .12. （2分）y′= ，则y可以是下列各式中的（）A .B . ﹣C . ﹣2x﹣3D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·靖江期中) 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）开区间（a，b）内的极大值点有________个．14. （1分） (2018高二上·江苏期中) 如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为________.15. （1分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 若复数z满足 |z－i|≤ (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．16. （1分）函数的单调递增区间是________三、解答题 (共8题；共60分)17. （10分）已知函数f（x）=（x2﹣a+1）ex（a∈R）有两个不同的极值点m，n，（m＜n），且|m+n|+1≥|mn|．（1）求实数a的取值范围；（2）当x∈[0，2]时，设函数y=mf（x）的最大值为g（m），求g（m）．18. （5分） (2017高二下·邯郸期末) 微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：型号ⅠⅡⅢⅣⅤ手机品牌甲品牌（个）438612乙品牌（个）57943（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；②以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2= ．19. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 已知复数其中i为虚数单位．（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．20. （10分）(2018·黄山模拟) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明： .21. （5分）(2017·南海模拟) 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ）．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．22. （5分） (2017高二下·南昌期末) 已知函数f（x）= + ．（I）求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，求实数k的取值范围．23. （10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）已知曲线C的参数方程为，（t为参数），直线l与C交于M，N两点，求弦长|MN|．24. （10分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若函数f（x）的值域为[2，+∞），求实数a的值（2）若f（2﹣a）≥f（2），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略11、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13、答案：略14、答案：略15、答案：略16、答案：略三、解答题 (共8题；共60分)17、答案：略19、答案：略20-1、20-2、21、答案：略22-1、24-1、24-2、。
浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（ ） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（ ） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（ ）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（ ）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（ ）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零 【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（ ）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______． 【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+， 所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
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浙江省杭州市夏衍中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一
个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数3()log (1)f x x =-的定义域是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列式子恒成立的是
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知数列是等比数列，若，，则
等于
A．B．C．D．
4．已知，且是钝角，则等于A．B．C．
D．
5．下列四条直线，倾斜角最大的是
A．B．C．
D．
6．若正方形的边长为，则等于A．B．C．
D．
7．已知且，则角的终边所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．双曲线的离心率是
A．B．C．
D．
9．在空间中，设，为两条不同直线，，
为两个不同平面，则下列命题正确的是
A．若且，则
B．若，，，则
C．若且，则
D．若不垂直于，且，则必不垂直于
10．“”是“函数在区间上递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知，，则使不等式一定成立的条件是
A．B．C．
D．
12．在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为
A．B．C．
D．
13．直线与圆的位置关系是
A．相切B．相交C．相离D．以上都有可能
14．若将函数的图像向左平移个单位可以得到一个偶函数的图像，则可以是 A．B．
C．D．
15．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是，则该正四棱锥的体积是
A．B．C．
D．
16．已知实数，满足则的最小值是
A．B．C．
D．
17．设函数若不等式对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 A ． B ．
C ．
D ．
18．如图，在长方体中，，，点
在棱上，且，则当的面积最小时，棱
的长为
A ．
B ．
C ．
（第18题图）
M
D 1C 1
A 1
B 1
D
C B
A
D．
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19．设集合，，则▲，
▲．
20．已知向量，，若，则实数的值是▲．
21．已知数列是等差数列，是等比数列，若且数列的前项和是
，则数列的通项公式是▲．
22．已知中的内角,,所对的边
分别是,,, 若，
，则的取值范围是▲．
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23．（本题10分）已知函数，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期；
（Ⅲ）求函数的最小值．
24．（本题10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在
3 ()()()
44 g x f x f x
ππ=+++
轴上，离心率为，过椭圆上一点作
y
轴的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线
,,
且，求直线的方程．
x
（第24题图）
25．（本题11分）设，函数．
（Ⅰ）若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）记为在上的最大值，求
的最小值．
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）。