一元二次辅导讲义(全面)
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
一元二次方程讲义
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅 游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短 信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一 个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛）， 共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循 环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人， 问:3分钟能否完成任务？
小 分
小 分
支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页 上页 下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.
一元二次函数解法__辅导讲义
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑
能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
6
x1Βιβλιοθήκη 2, x21. 3
（3）用公式法解:
49 . 36
解:移项,得 3x2 5x 2 0（ 这里 a=3,b=-5,c=-2）
b2 4ac 52 4 3 (2) =49
x (5) 49 5 7
23
6
2
本先教育教案
x1
2, x2
1. 3
总结： 1、解一元二次方程的方法：
例题：x 2 -6x=-8
1
本先教育教案
练习：(1)3x 2 +6x-4=0
(2)2x 2 -5x+2=0
④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 +bx+c=0(a≠0).
2.b 2 -4ac≥0. 例题：X2+2x-3=0
练习： -2m2+4=-3m
31
a2-a- =0
24
8y2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程： 3x2 5x 2
（1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成 A`B=0 的形式）
即 x-2=0 或 3x+1=0（A=0 或 B=0）
一元二次方程讲义
第一讲：一元二次方程的概念及解法（讲义）一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成_____________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：_______________、__________、______________．2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成_________来处理．主要解法有：________________，_______________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是：___________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②0112=-+x x ； ③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程x x 3122=-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数4. 若关于x 的方程21(1)230m m xx +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 用配方法解方程：（1）2210x x --=；（2）210x x +-=；（3）2383x x +=；（4）24810x x --=；（5）23920x x -+=；（6）20ax bx c ++=（a ≠0）．8. 用公式法解方程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=；（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-；（3）22(2)(23)x x -=+；（4）2239x x -=； （5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）． 10. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具． 如：解方程3234120x x x --+= 解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---= 2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-= ∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2． 仿照以上解答求解方程：3244160x x x +--=【参考答案】 知识点睛1. 一个未知数x ；20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；整式方程、化简整理、一元二次．2. 20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；一般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. 一元一次方程；直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法．4. 完全平方；242b b acx a-±-=；20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．精讲精练1．④⑤； 2．22x ，3-，1-； 3．C ； 4．1-；5．C ；6．C ；7．（1）1x =12+，212x =-．（2）1152x -+=，2152x --=．（3）113x =，23x =-．（4）1252x +=，2252x -=（5）19576x +=，29576x -=．（6）2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a---=（24b ac -≥0）．8．（11x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =．（3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．9．（1）1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-．（3）113x =-，25x =-．（4）133x =，23x =-．（5）11k x k+=，21x =．10．123224x x x =-==-，，．一元二次方程的概念及解法（作业）1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．32. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（ ） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-； ⑥20ax bx c ++=（a ≠0，a ，b ，c 为常数）．其中是一元二次方程的有_____________．（填写序号）4. 方程(1)(21)2x x -+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．5. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．6. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____．7. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________． 8. 用配方法解方程： （1）2440x x --=； （2）2214x x -=． 9. 用公式法解方程： （1）230x x --=；（2）22750x x --=．10. 用分解因式法解方程： （1）(1)(2)24x x x ++=+； （2）(2)(3)12x x --=；（3）23280x x --=．11. 用你认为合适的方法解方程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）22(2)(25)x x -=+；（4）()22110mx m x m ---+=（m ≠0）；（5）432440x x x x --+=（用分解因式法降次求解）． 12. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的一种工具． 如：解方程：42320x x -+=解：设2y x =，则2320y y -+=，解得11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-； 当22x =时，32x =，42x =-．故原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照以上解答求解下列方程： （1）解方程：42232=0x x --； （2）()()222525240x x x x +-+-=．【参考答案】1．B2．C3．③④⑥4．2230x x --=，22x ，1-，3-． 5．1m ≠±，1m =-．6．27．12213x x ==-，．8．（1）12222222x x =+=-，；（2）12262622x x +-==，． 9．（1）1211311322x x +-==，；（2）1278978944x x +-==，． 10．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；（3）1247x x =-=，． 11．（1）121515x x =+=-，；（2）1231331322x x +-==，； （3）1217x x =-=-，；（4）1211m x x m-==，； （5）12340122x x x x ====-，，，．12．（1）12x =，22x =-；（2）12346141x x x x =-==-=-，，，．第二讲：一元二次方程根的判别式及根与系数关系（讲义）一、知识点睛1． 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此__________被称作根的判别式，用符号记作______；当_________时，方程有两个不相等的实数根（也叫有两个解）；当_________时，方程有两个相等的实数根（也叫有一个解）；当_________时，方程没有实数根（也叫无根或无解）．2． 从求根公式中我们还发现_____________，______________，这两个式子称为____________，数学史上称为_________．注意：使用_______________的前提是_____________．二、精讲精练1. 方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．3. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ）A ．7错误！未找到引用源。
一元二次函数解法 辅导讲义
龙文教育教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标掌握一元二次方程的四种解法，以及学会根据实际问题列出方程及灵活运用四种方法解出方程重点、难点熟练掌握一元二次方程的四种解法教学内容一元二次方程的解法：①因式分解法：1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.→因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）例题：3x2－27=0;练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一 元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:1.变形:把二次项系数化为12.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.例题：x 2-6x=-8练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0).2.b 2-4ac ≥0.例题：X 2+2x-3=0练习： -2m 2+4=-3m23a 2-a-41=0 8y 2-2y-15=0△ 用三种方法解方程：2532=-x x（1）用因式分解法解:解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31,221-==∴x x（2）用配方法解:解：两边同时除以3，得:().04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=32352=-x x 左右两边同时加上 2)65( ，得:.3625323625352+=+-x x 即 .3649652=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 开平方，得:.364965±=-x .31,221-==∴x x（3）用公式法解:解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(345422-⨯⨯--=-∴ac b =49 6753249)5(±=⨯±--=∴x.31,221-==∴x x总结：1、解一元二次方程的方法：①因式分解法 （方程一边是0，另一边整式容易因式分解）②开平方法 （ (x+m)2=a a ≥0 ）③公式法 (化方程为一般式）④配方法 （二次项系数为1，而一次项系数为偶数）ax2+c=0 ---- 直接开平方法ax2+bx=0 ---- 因式分解法ax2+bx+c=0 ----- 因式分解法公式法（配方法）2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
一元二次辅导讲义(全面)
杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。
一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义讲课讲稿
一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义1、了解一元二次方程的概念；2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的概念及解法知识梳理1、如果()a a 21122-=-，则（ ） A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x4、 981431321211++⋅⋅⋅++++++5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值知识梳理课前检测一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
二、一元一次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；三、一元二次方程的解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法第二课时 一元二次方程的概念及解法典型例题题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx ax D1222+=+x x x变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
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一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42
-=∆：
（1）⇔>∆0方程有两个不等实数根． （2）⇔=∆0方程有两个相等实数根． （3）⇔<∆0方程无实数根．
（4）⇔≥∆0方程有两个实数根．
※ 运用根的判别式时要注意：关于x 的方程02
=++c bx ax 有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个
实数根，则00≠≥∆a ，且．若有实数根，则分两种情况：①00≥∆≠，a ；②0=a 四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
1．若一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的两个实数根为21,x x ，则a
c
x x a b x x =⋅-=+2121,
2．以21,x x 为根的一元二次方程可写成()021212
=++-x x x x x x
3．使用一元二次方程02
=++c bx ax ()0≠a 的根的判别式ac b 42
-=∆解题的前提是二次项系数0≠a
4．不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根21,x x 的对称式的值的方法是先将式子化成只含21x x +，21x x 的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式： （1）()212
212
22
12x x x x x x -+=+； （2）
2
121211
1x x x x x x +=+； （3）()()212
212
214x x x x x x -+=-； （4）()()21213
213
23
13x x x x x x x x +-+=+； （5）()21221214x x x x x x -+=
-； （6）()2
12212
14x x x x x x -+±
=-；
（7）()212122
12
21x x x x x x x x ++=+； （8）()2
1212212122x x x x x x x x +-+=
+．
五、实际应用：
1、知识结构
2、知识要点归纳
辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车
将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000
元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的
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，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
24.已知m,n 是一元二次方程0719992
=++x x 的两个根，求)82000)(61998(2
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++++n n m m 的值。