一元二次辅导讲义(全面)

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高中一元二次不等式及其解法知识点+例题全面

辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或，（1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(，（1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0；（2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0，解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。

一元二次方程讲义

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1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛），共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人，问:3分钟能否完成任务？
小分
小分
支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页上页下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.

一元二次函数解法__辅导讲义

公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑
能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
6
x1Βιβλιοθήκη 2, x21. 3
（3）用公式法解:
49 . 36
解:移项,得 3x2 5x 2 0（这里 a=3,b=-5,c=-2）
b2 4ac 52 4 3 (2) =49
x (5) 49 5 7
23
6
2
本先教育教案
x1
2, x2
1. 3
总结： 1、解一元二次方程的方法：
例题：x 2 -6x=-8
1
本先教育教案
练习：(1)3x 2 +6x-4=0
(2)2x 2 -5x+2=0
④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 +bx+c=0(a≠0).
2.b 2 -4ac≥0. 例题：X2+2x-3=0
练习： -2m2+4=-3m
31
a2-a- =0
24
8y2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程： 3x2 5x 2
（1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成 A`B=0 的形式）
即 x-2=0 或 3x+1=0（A=0 或 B=0）

一元二次方程讲义

第一讲：一元二次方程的概念及解法（讲义）一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成_____________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：_______________、__________、______________．2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成_________来处理．主要解法有：________________，_______________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是：___________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②0112=-+x x ； ③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程x x 3122=-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数4. 若关于x 的方程21(1)230m m xx +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 用配方法解方程：（1）2210x x --=；（2）210x x +-=；（3）2383x x +=；（4）24810x x --=；（5）23920x x -+=；（6）20ax bx c ++=（a ≠0）．8. 用公式法解方程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=；（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-；（3）22(2)(23)x x -=+；（4）2239x x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）． 10. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具．如：解方程3234120x x x --+= 解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---= 2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-= ∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上解答求解方程：3244160x x x +--=【参考答案】知识点睛1. 一个未知数x ；20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；整式方程、化简整理、一元二次．2. 20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；一般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. 一元一次方程；直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法．4. 完全平方；242b b acx a-±-=；20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）；分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．精讲精练1．④⑤； 2．22x ，3-，1-； 3．C ； 4．1-；5．C ；6．C ；7．（1）1x =12+，212x =-．（2）1152x -+=，2152x --=．（3）113x =，23x =-．（4）1252x +=，2252x -=（5）19576x +=，29576x -=．（6）2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a---=（24b ac -≥0）．8．（11x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =．（3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．9．（1）1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-．（3）113x =-，25x =-．（4）133x =，23x =-．（5）11k x k+=，21x =．10．123224x x x =-==-，，．一元二次方程的概念及解法（作业）1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（）A ．-3B ．-1C ．1D ．32. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-； ⑥20ax bx c ++=（a ≠0，a ，b ，c 为常数）．其中是一元二次方程的有_____________．（填写序号）4. 方程(1)(21)2x x -+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．5. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．6. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____．7. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________． 8. 用配方法解方程：（1）2440x x --=；（2）2214x x -=． 9. 用公式法解方程：（1）230x x --=；（2）22750x x --=．10. 用分解因式法解方程：（1）(1)(2)24x x x ++=+；（2）(2)(3)12x x --=；（3）23280x x --=．11. 用你认为合适的方法解方程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）22(2)(25)x x -=+；（4）()22110mx m x m ---+=（m ≠0）；（5）432440x x x x --+=（用分解因式法降次求解）． 12. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的一种工具．如：解方程：42320x x -+=解：设2y x =，则2320y y -+=，解得11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，32x =，42x =-．故原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照以上解答求解下列方程：（1）解方程：42232=0x x --；（2）()()222525240x x x x +-+-=．【参考答案】1．B2．C3．③④⑥4．2230x x --=，22x ，1-，3-． 5．1m ≠±，1m =-．6．27．12213x x ==-，．8．（1）12222222x x =+=-，；（2）12262622x x +-==，． 9．（1）1211311322x x +-==，；（2）1278978944x x +-==，． 10．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；（3）1247x x =-=，． 11．（1）121515x x =+=-，；（2）1231331322x x +-==，；（3）1217x x =-=-，；（4）1211m x x m-==，；（5）12340122x x x x ====-，，，．12．（1）12x =，22x =-；（2）12346141x x x x =-==-=-，，，．第二讲：一元二次方程根的判别式及根与系数关系（讲义）一、知识点睛1．通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此__________被称作根的判别式，用符号记作______；当_________时，方程有两个不相等的实数根（也叫有两个解）；当_________时，方程有两个相等的实数根（也叫有一个解）；当_________时，方程没有实数根（也叫无根或无解）．2．从求根公式中我们还发现_____________，______________，这两个式子称为____________，数学史上称为_________．注意：使用_______________的前提是_____________．二、精讲精练1. 方程210x kx --=的根的情况是（）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．3. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是（）A ．1B ．2C ．3D ．44. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（）A ．7错误！未找到引用源。

一元二次函数解法辅导讲义

龙文教育教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标掌握一元二次方程的四种解法，以及学会根据实际问题列出方程及灵活运用四种方法解出方程重点、难点熟练掌握一元二次方程的四种解法教学内容一元二次方程的解法：①因式分解法：1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.→因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）例题：3x2－27=0;练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:1.变形:把二次项系数化为12.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.例题：x 2-6x=-8练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0).2.b 2-4ac ≥0.例题：X 2+2x-3=0练习： -2m 2+4=-3m23a 2-a-41=0 8y 2-2y-15=0△ 用三种方法解方程：2532=-x x（1）用因式分解法解:解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31,221-==∴x x（2）用配方法解:解：两边同时除以3，得:().04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=32352=-x x 左右两边同时加上 2)65( ，得:.3625323625352+=+-x x 即 .3649652=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 开平方，得:.364965±=-x .31,221-==∴x x（3）用公式法解:解:移项,得02532=--x x （这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(345422-⨯⨯--=-∴ac b =49 6753249)5(±=⨯±--=∴x.31,221-==∴x x总结：1、解一元二次方程的方法：①因式分解法（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）②开平方法（ (x+m)2=a a ≥0 ）③公式法 (化方程为一般式）④配方法（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）ax2+c=0 ---- 直接开平方法ax2+bx=0 ---- 因式分解法ax2+bx+c=0 ----- 因式分解法公式法（配方法）2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

一元二次辅导讲义(全面)

杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。

一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义讲课讲稿

一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义1、了解一元二次方程的概念；2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。

第一课时一元二次方程的概念及解法知识梳理1、如果()a a 21122-=-，则（） A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x4、 981431321211++⋅⋅⋅++++++5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值知识梳理课前检测一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

二、一元一次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；三、一元二次方程的解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法第二课时一元二次方程的概念及解法典型例题题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx ax D1222+=+x x x变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

第二章一元二次方程复习讲义

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：八年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第二章一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式（警告：用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

初三数学讲义——一元二次方程的解法

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5 方程 x 2 mx (n 1) 0 的两个根是 2 和－4，那么 m = 思维提升： 1、若两数和为 4，两数积为 3，则这两数分别为 .
，n=
.
2 2、已知方程 2 x 2 3x 4 0 的两根为 x1 ， x2 ，那么 x12 x2 =
. ， m 的值是 . .
（7） 4 x2 12x 1 0
2 （8）（x 1 ） 6( x 1) 2 45 0
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
x
b b 2 4ac 2 (b 4ac 0) 2a
2 2
一元二次方程（m-1）x +2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根，求 m 的最大整数值．
2
7/8
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4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
2 （ 7x 3 ） 16 0 （1） 25
教学内容一、教材回归
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

一元二次方程讲义

一元二次方程板块一◇一只蜘蛛和三个人雨后，一只蜘蛛艰难地向墙上已经支离破碎的网爬去，由于墙壁潮湿，它爬到一定的高度，就会掉下来，它一次次地向上爬，一次次地又掉下来……第一个人看到了，他叹了一口气，自言自语：“我的一生不正如这只蜘蛛吗？忙忙碌碌而无所得。

”于是，他日渐消沉。

第二个人看到了，他说：这只蜘蛛真愚蠢，为什么不从旁边干燥的地方绕一下爬上去？我以后可不能像它那样愚蠢。

于是，他变得聪明起来。

第三个人看到了，他立刻被蜘蛛屡败屡战的精神感动了。

于是，他变得坚强起来。

秘诀：有成功心态者处处都能发觉成功的力量。

复习目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。

4、进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。

5、能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。

板块二一元一次方程的知识点回顾一、知识结构6、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3.一元二次方程的根的判别式：（1）当时，方程有两个不相等．．．．．的实数根；（2）当时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当时，方程没有实数根．．．．．。

4.用方程解决实际问题：略知识点1 一元二次方程的概念及近似解。

一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）例题1、选择题：mx 2-3x+x 2=0是关于x 的一元二次方程的条件是（）A m=1B m ≠-1C m ≠0D m 为任意实数练习：1判断题（下列方程中，是不是一元二次方程）1.5x 2+1=02.3x 2+x1+1=0 3.4x 2=ax (其中a 为常数) 4.2x 2+3x =0 5.5132+x =2x 6.22)(x x + =2x 7.｜x 2+2x ｜=42当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？例题2、.若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m )练习：把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)知识点2 一元二次方程的解法（1）直接开方法例题：(2x ＋3)2－25＝0.（2）配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解例题1、 02722=--x x例题2、 (x-2)2-4(x-2)-5=0练习：1、用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x (2)3y 2-y-2=0；2、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) 例题1 2260x x +-=例题2 3x(x-3)=2(x-1)(x+1)例题3、关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .练习：1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .2、方程(x-1)(x-3)=2的根是（）A. x 1=1,x 2=3B.x=2±23C.x=2±3D.x=-2±233、若最简二次根式72-m 和28+m 是同类二次根式，则的值为（）A.9或-1B.-1C.1D.94、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0；（2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．补充解法：十字相乘法()()()2x a b x a b x a x b +++=++ 例题1 ()()2322+=+x x练习(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)例题2 4x2-20x+25=7练习：用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）622=-+xx（4）042=--xx一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．板块三应用一元二次方程来解决问题1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．例题1 某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例题2 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．练习1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶酸奶？2．某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出45时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？3、这执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则这两年投入教育经费的年平均增长率为多少？4、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多卖5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？5．在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．6．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.。

(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

一元二次方程全章讲义

编讲：向老师一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是。

① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 － 43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0； ④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、21。

【夯实基础练】：一）、填空题：1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m 2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。

初中数学《一元二次方程》全章讲义

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

北师大版初中数学第二章一元二次方程及其解法辅导讲义

一元二次方程及其解法·辅导讲义一、知识要点：1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x=⋅21x x .二、讲练结合：【考点一：一元二次方程定义】例1、下列方程中是一元二次方程的是（）A 、0322=-+y xB 、02=++c bx axC 、22)1(35+=++x x xD 、06522=+--x x例2、下列方程中,常数项为零的是（）A .x 2+x =1B .2x 2－x －12=12C .2(x 2－1)=3(x －1)D .2(x 2+1)=x +2例3、把2(1)(23)52x x x ++=+化成一般形式是，它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是例4、有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为1-，一次项的系数为3，常数项为6-，请你写出它的一般形式______________________例5、（1）在关于x 的方程06)3()3(72=+++--x m x m m 中，当m =_____时，它是一元二次方程，此时方程的根式；（2）在关于x 的方程中，m ，则01)1()1(22=-++-x m x m 是一元二次方程.【考点二：方程的解】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12例2、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2－14x +48=0的一根, 则这个三角形的周长为 ( )A .11B .17C .17或19D .19例3、已知关于x 的一元二次方程20x kx k ++=的一个根是2-，那么k =______.例4、已知方程2310ax bx --=和2250ax bx +-=,有共同的根1,-a = , b = .例5、若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1,则a b c ++= ;若有一个根为1-,则b 与,a c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c = .例6、已知235x x ++的值为11,则代数式23912x x ++的值为 .【考点三：根的判别式△= b 2 －4ac 】例1、若关于y 的一元二次方程ky 2－4y －3=3y +4有实根,则k 的取值范围是 ( )A .k >－74B .k ≥－74 且k ≠0C .k ≥－74D .k >74且k ≠0 例2、关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .例3、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

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考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。

2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

一元二次函数辅导讲义

一元二次函数解法讲义【知识梳理】：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x yc bx ax y ++=2()0≠a 配方得：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： (1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-(2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大，最大值为a b ac 442-(3)a 相等，抛物线的开口大小、形状一样. ②平行于y 轴〔或重合〕的直线记作.特别地，y 轴记作直线.:几个不同的二次函数，如果二次项系数一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法〔1〕公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=， ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=. 〔2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ，对称轴是直线.〔3〕运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失.的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=〔1〕决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的完全一样.〔2〕和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①时，对称轴为轴 ②ab>0〔即、同号〕时，对称轴在轴左侧 ③0<ab〔即、异号〕时，对称轴在y 轴右侧. 〔3〕的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当y x 时，0=c =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点〔0，〕：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.轴右侧，那么0<ab.〔1〕一般式：c bx ax y ++=2.图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. 〔2〕顶点式：()k h x a y +-=2.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.〔3〕交点式：图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式：))((21x x x x a y --=. 〔1〕轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . 〔2〕与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,).〔3〕抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ，是对应一元二次方程轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点〔顶点在轴上〕抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.〔4〕平行于轴的直线与抛物线的交点：同〔3〕一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根.〔5〕一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点； ③方程组无解时与没有交点. 〔6〕抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x -=•-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中，值为正的有〔〕A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个解析：∵abx 2=＜1 ∴b a +2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。

《一元二次方程》讲义

一元二次方程知识归纳1. 一元二次方程的概念（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。

（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式20(0)ax bx c a++=≠，才能确定a、b、c的值。

一元一次方程与一元二次方程的区别和联系一元一次方程一元二次方程区别未知数的次数 1 最高为2一般表达形式0(0)ax b a+=≠20(0)ax bx c a++=≠特殊形式0(0)ax a=≠20(0)ax a=≠20(0)ax bx a+=≠20(0)ax c a+=≠解的情况一般只有一解有一解或两解或无解联系1.方程两边都是关于未知数的整式2.都只含有一个未知数3.“方程的解”的意义对于两方程都适用4.在实际问题中都有较多的应用2. 一元二次方程的解法熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。

一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。

ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。

1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥()（3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。

a b c b ac b ac x b b ac a∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。

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第二章 一元二次方程复习 讲义

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