习题课一

它可以看作是由 y a w、w v( x) loga u( x) 复合而成.
两个以上函数也可构成复合函数.例如,
y u, u0 u cot v , v k π (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
k Z
x π x k π k π 时 , cot 0 2 2 2
5、复数的方根
设 z re i r (cos i si n ), 则 z 的n次 方 根 为

n
z r (cos
1 n
2k
n ( k 0,1,2, n 1)
i si n
2k
n
)
五、例题
1 0 x1 , 求函数 f ( x 3)的定义域. 例 设f ( x ) 2 1 x 2
True 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1 -0.5 0.5 1
(2) 符号函数
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
1 o x
-1
x sgn x x
(3)取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
y
4 3 2 1 o
今后，当不需要指明 的具体数值时， N ( a , ) 简记为 N ( a ) ，
o
N ( a , ) 简记为 N ( a ) .
o
o
二. 确界
定义
设A R，且A ，若存在L R，使x A， 有x ( ) L, 则称L为A的一个上（下）界.
若数集A既有上界，又有下界，则称A有界，否则称A无界.
y f 1 ( x) , x f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) , 其反函数 且也单调递增 (减) .
2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y
Q(b, a)
y f 1 ( x )
yx
y f ( x)
例如 ,
指数函数 y e , x ( , )
点a叫做这邻域的中心,
叫做这邻域的半径.
去心邻域:
点 a 的 邻域去掉中心点 a 的集合称为 a 的去心 邻域， 记为 N (a , ) ，即
o
N (a, ) (a , a ) (a, a ) { x 0 x a }.
开区间 (a , a ) 称为 a 的左 邻域 , 开区间 (a , a ) 称为 a 的右 邻域 .
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
4. 初等函数
① 基本初等函数
(1)幂函数
y x
(是常数)
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
(2)指数函数
y ax
(a 0, a 1)
1 x y( ) a
解
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
e x , 例 设 f ( x) x, 求 f [( x )].
D( f ) ( , ), R( f ) Z
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
四、复数
1、复数的表示法
1. z x iy 2. 复 平 面 上 的 点 ( x , y )或 向 量 P OP 3. z r (cos i si n ) ( 三 角 表 示 法 ） 4. z re i（ 指 数 表 示 法 ）
定义
设A R，且A ，若存在数 (或 )满足： （1）x A，有x (或x ), （2） 0，x0 A, 使x0 (或x0 ) 则称 为 A 的上确界，记为 sup A .
（ 为 A 的下确界，记为 inf A .）
3、复数运算性质
z1 z1 z1 z2 z1 z2 ， z1 z2 z1 z2， （ ） z2 z2 zz z ,
2
z1 z2 z1 z2 ,
z1 z2 z1 z2
4、复数的乘幂
设 z re i r (cos i si n ), 则 z 的n次 幂 为 z n ( re i )n r n (cosn i si nn )
arc sin x sin x
反余弦函数
y arccos x
定义域：[-1,1]，值域: [0, ]
arc cos x
cos x
反正切函数
y arctan x
定义域（－∞, ＋∞ ），值域: ( , ) 2 2
tan x
arctan x
反余切函数
y arccot x
自变量
因变量
称为值域 函数图形:
y R f f ( D) y y f ( x), x D y
C ( x , y ) y f (x) , x D

O
a x b ( D [a, b] )
x
xD
(定义域)
f
y R f f ( D) y y f ( x), x D
如果一个数集存在上确界（下确界），则此确界是唯一的.
1 1 1 例：数集 A {1, , , , ,} ，则 inf A 0, sup A 1. 2 3 n
例：数集 A { x | x sin t ,
} ，则 inf A 1, 2 2 sup A 1. 1 n | n N } ，则 inf A , sup A 1. 例：数集 A { 2 n1
习题课一
一.邻域:
a 为给定的实数， 0 ，称区间 (a , a ) 为 a
的 邻域，记为 N (a , ) .
即 N (a , ) { x a x a } { x | x a | } a a a x

t

确界存在定理
有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界.
例：数集 A { x | x 0, x 2, x Q} 在 Q 内有上界，
2
却没有上确界.
三、函数
1. 函数的概念
定义： 设数集D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 为定义在
y f ( x) , x D
(值域)
(对应规则)
函数的两要素:
定义域与对应法则.
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的 一切实数值.
例如， y 1 x 2
D : [1,1] D : ( 1,1)
例如， y
1 1 x2
分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数。
2 x 1, x 0 例如, f ( x ) 2 x 1, x 0
y x2 1
y 2x 1
2、函数的特性
（1）有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界 .
y
M y=f(x) o -M M
y
x
有界 X
x0
o -M X 无界
x
（2）单调性:
设函数 f ( x ) 的定义域为 D，区间 I D ，如果对于区间 I 上任意两点 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
y ax
(a 1)

(0,1)
(3)对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
(4) 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
y sin x
y cos x
y tan x
y cot x
余切函数
x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1,
x0 , x0
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
( 或 f ( x1 ) f ( x2 ))
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调增加的。 （或单调减少的）
y
y f ( x)
f ( x2 )
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
o
I
x
（3）奇偶性:
（原点对称） 设 D 关于 y 轴对称，对于 x D ,有 f ( x ) f ( x ) ，
2、幅角
arg z y arctan x y arctan x y arctan x y arctan x z在 第 一 象 限 z在 第 二 象 限 z在 第 三 象 限 z在 第 四 象 限
Arg ( z1 z 2 ) Argz1 Argz 2 z1 Arg Argz1 Argz 2 z2
称 f ( x ) 为偶函数。 （奇函数）
( f ( x ) f ( x ))
y
y f ( x)
-x f ( x)yy f ( x)f ( x)
f ( x )