【创新设计】高考数学(北师大版,理科)一轮复习练习：12.2古典概型(含答案解析)

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高考数学古典概型一轮专项练习题及答案

高考数学古典概型一轮专项练习题及答案高三各科目的学习对同窗们提高综分解绩十分重要，大家一定要仔细掌握，查字典数学网为大家整理了古典概型一轮专项练习题及答案，让我们一同窗习，一同提高吧!一、选择题1.以下事情属于古典概型的基身手情的是( D )(A)恣意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基身手情(B)篮球运发动投篮,观察其能否投中(C)测量某天12时的教室内温度(D)一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的状况解析:A项恣意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基身手情,但各点数之和不是等能够的,例如和为2的概率为 ,和为3的概率为 = ,所以它不是等能够的,不是古典概型.B项显然事情投中和事情未投中发作的能够性不一定相等,所以它也不是古典概型.C项其基身手情空间包括有限个结果,所以不是古典概型.D项含有4个基身手情,每个基身手情出现的能够性相等,契合古典概型,应选D.2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b{1,2,3},假定|a-b|1,那么称甲乙心有灵犀,现恣意找两团体玩这个游戏,那么他们心有灵犀的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:甲想一数字有3种结果,乙猜一种数字有3种结果,基身手情总数33=9.设甲乙心有灵犀为事情A,那么A的统一事情B为|a-b|,即|a-b|=2,包括2个基身手情,P(B)= ,P(A)=1- = ,应选D.3.中国作家莫言被授予诺贝尔文学奖,成为有史以来首位取得诺贝尔文学奖的中国籍作家.某学校组织了4个学习小组.现从中抽出2个小组停止学习效果汇报,在这个实验中,基身手情的个数为( C )(A)2(B)4(C)6(D)8解析:设4个学习小组为A,B,C,D,从中抽出2个的能够状况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6种.应选C.4.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:如下图,从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15种.假定要构成矩形,只需选相对顶点即可,有A、D,B、E,C、F,共3种,故其概率为 = ,应选D.5.(2021年高考新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,那么取出的2个数之差的相对值为2的概率是( B )(A) (B) (C) (D)解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数有六种状况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是 = .应选B.6.(2021银川模拟)抛掷两枚平均的骰子,失掉的点数区分为a,b,那么直线 + =1的斜率k- 的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知a,b的一切能够取值有(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),(3,1),(3,2),, (3,6),(4,1),(4,2),,(4,6),(5,1),(5,2),,(5,6),(6,1),( 6,2),,(6,6),共36种.由直线 + =1的斜率k=- ,知 ,那么满足题意的a,b能够的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6, 3),共有9种,所以所求概率为 = .应选D.7.(2021临沂模拟)A={1,2,3},B={xR|x2-ax+b=0,aA,bA},那么AB=B的概率是( C )(A) (B) (C) (D)1解析:∵AB=B,B能够为,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1 ,3}.当B=时,a2-4b0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b.当B={1,2 }时,满足条件的a,b为a=3,b=2.当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b,AB=B的概率为 = .应选C.二、填空题8.曲线C的方程为 + =1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事情A=方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)=.解析:实验中所含基身手情个数为36,假想象表示椭圆,那么前后两次的骰子点数不能相反,那么去掉6种能够,既然椭圆焦点在x轴上,那么mn,又只剩下一半状况,即有15种,因此P(A)= = .答案:9.(2021年高考新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中恣意取出两个不同的数,其和为5的概率是.解析:从1,2,3,4,5中恣意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),(4,5)10种.其中和为5的有(1,4 ),(2,3)2种.由古典概型概率公式知所求概率为 = .答案:10.关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={-1,1,2,3,4,5},Q={-2,-1,1,2,3,4},区分从集合P和Q 中随机取一个数作为a和b,那么函数y=f(x)在[1,+)上是增函数的概率为.解析:区分从集合P、Q中各任取一个数,一切的能够状况有(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,-2), (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-2),(2,-1),(2 ,1) ,(2,2),(2,3),(2,4),(3,-2),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,-2), (5,-1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共36种,能使f(x)是增函数,需a0且 1,所以其中契合上述条件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3, 1),(4 ,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),( 5,2)共16种,P= = .答案:11.(2021南京模拟)在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,失掉点P(m,n),那么点P在圆x2+y2=9外部的概率为.解析:点P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种状况,只要(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的外部,所求概率为 = . 答案:12.(2021年高考浙江卷)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等能够)取两点,那么该两点间的距离为的概率是.解析:如下图,在正方形ABCD中,O为中心,从五个点中随机取两个,共有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B, D),(C,D),10种等能够状况.∵正方形的边长为1,两点距离为的状况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P= = .答案:13.(2021年高考重庆卷)假定甲、乙、丙三人随机地站成一排,那么甲、乙两人相邻而站的概率为.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有4种.故所求概率P= = .答案:三、解答题14.向量a=(2,1),b=(x,y).假定x{-1,0,1,2},y{-1,0,1},求向量a∥b的概率.解:设a∥b为事情A,由a∥b得x=2y.基身手情有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1 ,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共包括12种等能够状况.其中A={(0,0),(2, 1)},包括2个基身手情.那么P(A)= = ,即向量a∥b的概率为 .15.(2021滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需求面试的院校,这四所院校的面试布置在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假定每位同窗选择各个院校是等能够的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率;(2)院校A、B至少有一所被选择的概率.解:由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的一切能够结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种.(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种,所以甲、乙选择同一所院校的概率为 = .(2)院校A、B至少有一所被选择的有12种,所以院校A、B 至少有一所被选择的概率为 = .16.(2021年高考天津卷)某产品的三个质量目的区分为x,y,z,用综合目的S=x+y+z评价该产品的等级.假定S4,那么该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量目的列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量目的(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1) 产品编号A6A7A8A9A10质量目的(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)应用上表提供的样本数据估量该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出一切能够的结果;②设事情B为在取出的2件产品中,每件产品的综合目的S 都等于4,求事情B发作的概率.解:(1)计算10件产品的综合目的S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为 =0.6,从而可估量该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的一切能够结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2 ,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7 },{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合目的S等于4的产品编号区分为A1,A2,A5,A7,那么事情B发作的一切能够结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2 ,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)= = .古典概型一轮专项练习题及答案的相关内容就是这些，希望考生仔细做题，发现效果。

一轮复习：12.2古典概型

§12.2 古典概型
知识梳理 1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等 .
命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题
x≤0，典例由不等式组 y≥0， y－x－2≤0
确定的平面区域记为 Ω1 ，由不等式组
x＋y≤1，确定的平面区域记为 Ω2，若在 Ω1 中随机取一点，则该点恰 x＋y≥－2
7 好在 Ω2 内的概率为___. 8
命题点3 与定积分交汇命题的问题
√
3 B.4
1 C.3
2 D.3
题型三与体积有关的几何概型
典例
师生共研
(1)已知正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内
1 任取一点 P，使得 VP—ABC<2VS—ABC 的概率是
√
7 A.8
3 B.4
1 C.2
1 D.4
(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方
§12.3 几何概型
知识梳理 1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 ( 面积或体积)成比
例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 .
2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .
π 食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－ 4 ，故选A.“物质分金、木、土、水、火五种属性，

高考数学(文)一轮复习备考学案：《古典概型》(北师大版)

第二节古典概型对应学生用书P149古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性． ②每个结果发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.1．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[试一试]1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析：选B P ＝3×210＝35.2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13D.15 解析：选D 取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P ＝420＝15.古典概型中试验发生结果个数的探求方法(1)枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．[练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选C 依题意k 和b 的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时应有k ＞0，b ＜0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为49.对应学生用书P149考点一古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364解析：选D 试验所有结果为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.2．(2013·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12 解析：选C 共有(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑1，红1)、(黑1，红2)、(黑2，黑3)、(黑2，红1)、(黑2，红2)、(黑3，红1)、(黑3，红2)、(红1，红2)10个结果，同色球为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(红1，红2)共4个结果，∴P＝410＝2 5.3．(2013·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解：(1)连续取两次的结果有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的结果有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，故所求概率为416＝1 4.(2)连续取三次的结果有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的结果如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．故所求概率为1564.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合.角度一古典概型与平面向量相结合1．(2013·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118. (2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16.角度二古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2－(y －b )2＝4相切的概率为( )A.16B.118C.19D.13解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝118.角度三古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m 、n 的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．对应学生用书P150[课堂练通考点]1．(2013·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115 B.25 C.35D.1415解析：选C 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1， B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.2．(2014·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.3．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( )A.710B.15C.14D.12解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个结果，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个结果，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.4．(2013·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.答案：135．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u r，共1种；数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u r，3OA u u u u r ·5OA u u u r ，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u r ，4OA u u u r ·6OA u u u r，共4种；数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u r ·5OA u u u r ，5OA u u u r ·6OA u u u r，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15种取法．满足b >a 的取法共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.2．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为( )A.38B.18C.35D.45解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)．有两个A 的情况为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，共3种，从而其概率为P ＝38.4．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为81 000＝1125. 5．(2014·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．(2014·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所有可能结果个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5127．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”．则A 包含的可能结果有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种．故所求概率为P (A )＝410＝0.4.8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率．解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的所有可能结果的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个结果．所以所求概率P＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29. 2．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N ＋}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率；(2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N ＋}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425. (2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45. (3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825. 3．(2014·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个可能结果？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个结果，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x ＋y ＜17，其中x ＜y ”，由(1)可知事件A 共含有15个结果，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x ＜y ≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.。

【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：12-1-2古典概型(含答案解析)

1.袋中共有15 个除了颜色外完整同样的球，此中有10个白球， 5 个红球．从袋中任取2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为 ()510A. 21B.2111C.21D． 1答案B分析由题意得基本领件的总数为C152，恰有 1 个白球与 1 个红球的基本领件个数为 C1011P＝C101C5110.应选 B.C5，所以所求概率 2 ＝21C152．从正方形四个极点及此中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为()12A. 5B.534C.5D.5答案C分析从 5 个点取 2 个共有 C52＝ 10 种取法，而不小于正方形边长的只有4条边与 2条对角线，共 6 种，所以 P＝6＝3. 1053．有一个奇数列， 1,3,5,7,9，，此刻进行以下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有2 个数为3、5，第三组有 3个数为7、 9、 11，，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为 3的倍数的概率为 ()13A. 10B.1013C.5D.5答案B分析将数列 1,3,5,7,9记为 {a n} ，则前九组共有1＋ 2＋ 3＋＋ 9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝ 2×46 － 1 ＝ 91 ，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这 10 个数字，此中为 3 的倍数的数有93,99,105 三个，故3所求概率为P＝10.4．从正方体的8 个极点的随意两个所确立的全部直线中拿出两条，则这两条直线是异面直线的概率是()2929 A.189 B.63 344 C.63 D.7答案B分析从 8 个极点中任选 2 个共确立直线 28 条，从中任取两条直线，共有C282种取法；考察异面直线有多少对，能够考虑8 个极点共构成多少个三棱锥：上、下底面各取两点，共面的情况有10 个．进而三棱锥共2C41C43＋ C42C42－ 10＝ 58 个，每个三棱锥有三对异面直线，58×329故 P＝C282＝63.5．从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，假定每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为() 416A. 5B.25132C.25D.5答案D分析解法一： (列举法 )从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，总的状况为：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,1)， (2,3) ， (2,4)， (2,5)，(3,1) ， (3,2)，(3,4) ， (3,5) ，(4,1) ，(4,2)，(4,3)， (4,5) ，(5,1) ，(5,2)， (5,3)， (5,4) 共 20 种状况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4) ，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1) ，(5,3)共 8种状况．∴从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率 P＝8＝2.应选 D. 205解法二： ( 组合法 )由题意知此题是一个古典概率模型，试验发生包括的事件是从 5 张中随机地抽 2 张，共 C52＝ 10 种结果．知足条件的事件分两种状况，一种为从 1,3,5 中任取两张，有 C2＝ 3 种结果，另一种为从2,4 中任取两张，有 C2＝ 1 种，所以取到的两张卡片上的数字324 2之和为偶数共有 3＋1＝ 4 种结果，∴ P＝10＝5.应选 D.6．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不一样的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为________ ．答案1 6分析从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不一样的数，共有C107种不一样的取法．当这七个数的中位数是 6 时，应当有 3 个比 6 小的数，还有 3 个比 6 大的数，所以一共有C63·C33种不一样的取法，故所求概率 P＝C63·C33201.7 ＝120＝C1067.从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是________ ．答案1 3分析从 1,2,3,6 这 4 个数中随机地取2 个数，不一样的取法为 {1,2} ，{1,3} ，{1,6} ，{2,3} ，{2,6} ，{3,6}共 6 个基本领件，此中乘积为 6 的有 {1,6} ，{2,3} 两个基本领件，所以所求事件2 1的概率为 P＝6＝3.8．从n 个正整数1,2，，n 中随意拿出两个不一样的数，若拿出的两数之和等于 5 的概率为1 ，则n＝ ________.14答案8分析由于5＝1＋ 4＝ 2＋ 3，所以22＝C n1 ，即14n(n－ 1)＝ 56，解得n＝8 或n＝－ 7(舍 )．。

高考数学第一轮复习_古典概型提升(例题解析含答案)

古典概型和几何概型方法1：列举法方法2：求和法【例2】球或黑球或白球的概率．解取一球为红球的记为事件A，取一球为黑球的记为事件B，取一球为白球的记为事件C，取一球为绿球的记为事件D，那么取出一球是红球或黑球或白球，即为事件A∪B∪C，由于事件A、事件B、事件C彼此互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋412＋212＝1112.方法3：正难则反法【例3】►加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率．解(1)设A、B、C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．由题设条件，知⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )·[1－P (B )]＝14，P (B )·[1－P (C )]＝112，P (A )·P (C )＝29，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为“从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56，故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为56.方法运用训练41．已知函数y ＝x －1，令x ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P 1，P 2，则P 1，P 2两点在同一反比例函数图象上的概率是( )．A.19B.118C.536D.112解析所有基本事件的总数为36；其中(2,1)，(－1，－2)在反比例函数y ＝2x 的图象上；(3,2)，(－2，－3)在反比例函数y ＝6x 的图象上；(4,3)，(－3，－4)在反比例函数y ＝12x 的图象上；因此，概率为P ＝336＝112.几何概型基础梳理1．几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.12B.13C.14 D ．1解析点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13.答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15B.25C.35D.45解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)＞P (C)＝P (D)＞P (B)．答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3B.334πC.34 D ．以上全错解析设正三角形边长为a ，则外接圆半径r ＝32a ×23＝33a ，∴所求概率P ＝34a 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝334π.答案 B 5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.考向一与长度有关的几何概型【例1】►点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析如右图，设A 、M 、N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23. 答案 23▲▲▲考向二与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点] (1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.【训练2】 (2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )． A.14 B.13 C.12 D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |.故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12. ★★规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题【示例】► (本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎨⎧ x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率[解答示范] (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2b a ≤1，即2b ≤a .(2分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1或1；若a ＝3，则b ＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ a ＋b －8≤0，a ＞0，b ＞0，构成所求事件的区域为三角形部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12 ×8×8312×8×8＝13.(12分)【试一试】已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答](1)基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P(A)＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝4π16＝π4。

高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型(含答案)

高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型（含答案）12.2古典概型古典概型最新考纲考情考向分析1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件.对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题.填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的；2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率PAmn.4古典概型的概率公式PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”2掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件3从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型4有3个兴趣小组，甲.乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.5从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.6在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.题组二教材改编2P127例3一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是A.14B.13C.12D.23答案D解析抽取两张卡片的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6种，和为奇数的事件有1,2，1,4，2,3，3,4，共4种所求概率为4623.3P145A组T5袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为A.25B.415C.35D.23答案A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P61525.4P134A组T6已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________答案0.6解析从5件产品中任取2件共有C2510种取法，恰有一件次品的取法有C12C136种，所以恰有一件次品的概率为6100.6.题组三易错自纠5将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为A.12B.13C.23D.56答案C解析设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P4623.6xx合肥检测已知函数fx2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为________答案23解析要使函数fx2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339种，其中满足ab的取法有4,3，6,3，6,5，8,3，8,5，8,7，共6种，所以所求的概率为6923.题型一题型一基本事件与古典概型的判断基本事件与古典概型的判断1下列试验中，古典概型的个数为向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3答案B解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2xx沈阳模拟有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验用x，y表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数试写出1试验的基本事件；2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；3事件“出现点数相等”包含的基本事件解1这个试验的基本事件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,42事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,43事件“出现点数相等”包含的基本事件为1,1，2,2，3,3，4,43袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号_________，从中摸出一个球1有多少种不同的摸法如果把每个球的编号_________看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型2若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型解1由于共有11个球，且每个球有不同的编号_________，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号_________为基本事件的概率模型为古典概型2由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A“摸到白球”，B“摸到黑球”，C“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球.红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型题型二题型二古典概型的求法古典概型的求法典例1xx全国从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.25答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P102525.2袋中有形状.大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________答案56解析基本事件共有C246种，设取出两个球颜色不同为事件A.A包含的基本事件有C12C12C11C115种故PA56.3我国古代“五行”学说认为“物质分金.木.土.水.火五种属性，金克木.木克土.土克水.水克火.火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________答案112解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A55120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如金，第二个位置除去金本身只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C15C1210种可能，所以事件A出现的概率为10120112.引申探究1本例2中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为1,2，1,4，2,3，3,4，共4种，所以PA4623.2本例2中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为C14C1416，颜色相同的事件数为C12C11C12C126，故所求概率P61638.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法.列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择跟踪训练xx山东某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游1若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；2若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解1由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P31515.2从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P29.题型三题型三古典概型与统计的综合应用古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额单位万元的茎叶图如图所示，其中茎为位数，叶为个位数1根据茎叶图计算样本数据的平均数；2若网购金额单位万元不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；3从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解1由题意知，样本数据的平均数x4612121820612.2样本中优秀服务网点有2个，概率为2613，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有901330个3样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，b1，b2，b1，b3，b1，b4，b2，b3，b2，b4，b3，b4，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，共8种，故所求概率PM815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表.频率分布直方图.茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键跟踪训练从某学校xx届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组第一组155,160，第二组160,165，，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同1求第六组.第七组的频率并补充完整频率分布直方图；2若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率解1由频率分布直方图知，前五组的频率为0.0080.0160.040.040.0650.82，所以后三组的频率为10.820.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示2由1知身高在180,185内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，B.若x，y180,185，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB1种情况；若x，y分别在180,185，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为715.六审细节更完善典例12分一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号_________分别为1,2,3,4.1从袋中随机取两个球，求取出的球的编号_________之和不大于4的概率；2先从袋中随机取一个球，该球的编号_________为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号_________为n，求nm2的概率1基本事件为取两个球两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号_________之和不大于4注意和不大于4，应为小于4或等于41,2，1,3利用古典概型概率公式求解P26132两球分两次取，且有放回两球的编号_________记录是有次序的，用坐标的形式表示基本事件的总数可用列举法表示1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4注意细节，m是第1个球的编号_________，n是第2个球的编号_________nm2的情况较多，计算复杂将复杂问题转化为简单问题计算nm2的概率nm2的所有情况为1,3，1,4，2,4P1316注意细节，P1316是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率nm2的概率为1P11316.规范解答解1从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号_________之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个因此所求事件的概率P2613.4分2先从袋中随机取一个球，记下编号_________为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号_________为n，其一切可能的结果有1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4，共16个6分又满足条件nm2的事件为1,3，1,4，2,4，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率P1316.10分故满足条件nm2的事件的概率为1P113161316.12分第 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高三数学古典概型试题答案及解析

高三数学古典概型试题答案及解析1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A.【考点】古典概型及其概率计算公式.2.甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）;（2）这种游戏规则是公平的.【解析】（1）设“两个编号和为8”为事件A,计算甲、乙两人取出的数字等可能的结果数，事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，按古典概型概率的计算公式计算；（2）首先按古典概型计算两人分别获胜的概率，通过比较大小，作出结论.所以这种游戏规则是公平的.试题解析：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，故 6分（2）这种游戏规则是公平的. 7分设甲胜为事件B,乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)所以甲胜的概率,乙胜的概率＝ 11分所以这种游戏规则是公平的. 12分【考点】古典概型概率的计算.3.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。

高考数学大一轮复习 12.2 古典概型(含解析)新人教A版

12.2 古典概型一、选择题1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.91216解析抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P ＝125216，所求的概率为1－125216＝91216. 答案 D2. 先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为,m n ，则mn 是奇数的概率是（）A. 12B. 13C. 14D. 16答案 C3．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于518. 答案 C4．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为( )．A.536B.566C.111D.511解析设“朝上的点数之和等于6”为事件A ，则P (A )＝536. 答案 A5．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )．A.35B.25C.13D.23解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 答案 D6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )．A.115B.35C.815D.1415解析从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 B7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )．A.112B.110C.325D.1125解析小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为：81 000＝1125. 答案 D二、填空题8．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S ，则“S 恰好为4”的概率为________．解析本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a ，b ，c )来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S ＝a ＋b ＋c ，事件“S 恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P (S 恰好为4)＝364. 答案 3649. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．解析组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53.510．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．解析方法1：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥事件，则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16C 110C 19， ∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315. 方法2：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A ：甲乙两人均抽判断题．∴P (A )＝C 14C 13C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315. 答案 131511．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记作a ，b ，与5分别作为三条线段的长，则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是________．解析基本事件的总数是6×6＝36，当a ＝1时，b ＝5符合要求，有1种情况；当a ＝2时，b ＝5符合要求，有1种情况；当a ＝3时，b ＝3,5符合要求，有2种情况；当a ＝4时，b ＝4,5符合要求，有2种情况；当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；当a ＝6时，b ＝5,6符合要求，有2种情况．故所求其概率为：1436＝718. 答案 71812．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.12三、解答题13．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．解析设2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种．(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ，则A 包含的事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6种，∴P (A )＝610＝35，故所选2人中恰有一名男生的概率为35. (2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ，则B 包含的事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共7种，∴P (B )＝710，故所选2人中至少有一名女生的概率为710. 14．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解析 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35. (2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．所以P (B )＝615＝25. 15．设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)若“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析 (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18. 16．新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．解析 (1)某个同学被抽到的概率P ＝550＝110，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人．(2)记选出的3名男同学为A 1，A 2，A 3,2名女同学为B 1，B 2.则基本事件是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 1)，(A 3，A 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)(B 1，A 3)，(B 1，B 2)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)(B 2，A 3)，(B 2，B 1)．基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率P ＝1220＝35. 【点评】近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多.解决此类题目步骤主要有：,第一步：根据题目要求求出数据有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知识；,第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；,第三步：找出所求事件的个数；,第四步：根据古典概型公式求解；,第五步：明确规范表述结论.。

高三数学一轮总结复习目录

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2019届高考数学北师大版理大一轮复习讲义：第十二章

§12.2 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn .4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为nm .( √ )题组二教材改编2．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.23答案 D解析抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种． ∴所求概率为46＝23.3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.23答案 A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．答案 0.6解析从5件产品中任取2件共有C 25＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有C 12C 13＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为610＝0.6. 题组三易错自纠5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A.12B.13C.23D.56 答案 C解析设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b ，则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.6．(2017·合肥检测)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________．答案 23解析要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0，又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.题型一基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型．2．(2018·沈阳模拟)有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具出现的点数，y 表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．题型二古典概型的求法典例(1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25答案 D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．答案 56解析基本事件共有C 24＝6(种)，设取出两个球颜色不同为事件A .A 包含的基本事件有C 12C 12＋C 11C 11＝5(种)．故P (A )＝56.(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 发生的概率为________．答案112解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A 55＝120，满足事件A “排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C 15C 12＝10(种)可能，所以事件A 出现的概率为10120＝112.引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P (A )＝46＝23.2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．解基本事件数为C 14C 14＝16，颜色相同的事件数为C 12C 11＋C 12C 12＝6，故所求概率P ＝616＝38.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝29.题型三古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解 (1)由题意知，样本数据的平均数 x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种，故所求概率P (M )＝815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x ，y ，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195)的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195)，只有AB 1种情况；若x，y分别在[180,185)，[190,195)内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，故所求概率为715.六审细节更完善典例(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解 P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第1个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 ↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓ P 1＝316↓ 注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[12分]1．(2016·全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23.2．(2016·全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130 答案 C解析第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.3．(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79答案 C解析由题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.故选C.4．(2018·梅州一模)甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，则选出的2名教师来自同一学校的概率为( ) A.59 B.49 C.35 D.25 答案 D解析从6名教师中任选2名教师的种数为C 26＝15，其中来自同一学校的种数为2C 23＝2×3＝6，故所求事件的概率P ＝25，故选D.5．(2017·深圳一模)一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4,6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A.14B.12C.13D.23 答案 B解析因为从四个球中随机选三个共有C 34＝4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为(2,3,4)，(2,4,6)，共2种不同的选法，所以根据古典概型概率公式，得P ＝24＝12，故选B.6．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( ) A.1136 B.736 C.711 D.710答案 C解析先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P ＝711.7．(2016·四川)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析从2,3,8,9中任取2个不同的数字，记为(a ，b )，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况， ∴P ＝212＝16.8．(2018届唐山模拟)无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5，当a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．答案215解析 ∵a 2>a 1，a 2>a 3，a 4>a 3，a 4>a 5，∴a 2只能是3,4,5中的一个．(1)若a 2＝3，则a 4＝5，a 5＝4，a 1与a 3是1或2，这时共有A 22＝2(个)符合条件的五位数．(2)若a 2＝4，则a 4＝5，a 1，a 3，a 5可以是1,2,3，共有A 33＝6(个)符合条件的五位数．(3)若a 2＝5，则a 4＝3或4，此时分别与(1)(2)中的个数相同．∴满足条件的五位数有2(A 22＋A 33)＝16(个)．又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有A 55＝120(个)，故所求概率为16120＝215. 9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________．答案1021解析从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰好1个白球、1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球、1个红球的概率为50105＝1021.10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析从10件产品中取4件，共有C 410种取法，取到1件次品的取法有C 13C 37种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12.11．设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的情况共36种．因为a ⊥b ，所以m －3n ＝0，即m ＝3n ，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a ⊥b ”发生的概率为236＝118.(2)由|a |≤|b |，得m 2＋n 2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为636＝16.所以事件“|a |≤|b |”发生的概率为16.12．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为： A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.13．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________. 答案 7解析 1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m 的可能取值，知7出现次数最多．14.(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解 (1)用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16. 记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C . 则事件B 包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P (C )＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．15．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案 16解析十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.16．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。

全国统考2022高考数学一轮复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习：12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件.②等可能性:每个基本事件出现的可能性..(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A 包括的结果有m 个,则P (A )=mn.( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( ) 2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( )A.23 B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 的概率为( )A.19B.29C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .5.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于16 cm 2的概率为 .关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是 ( )A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564B.516C.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314D.1114考古典概型与统计点的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);;第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn 第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.√24D.√23(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=√3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE⏜,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为( )A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 对应的区域,在图形中画出事件A 对应的区域,然后用公式P (A )=构成事件A 的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )A.14B.12C.58D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O ,则四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为 .考向3 与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域为Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为( )A.π4B.π8C.π5D.π10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练6(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:√30.8269≈2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2古典概型与几何概型必备知识·预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥(2)基本事件3.(1)①只有有限个②相等4.(1)长度 (3)构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 4本名著选两本共有C 42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C 31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为36=12.故选B .3.C 由图形得,△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x ,由DE ∥BC 则有ADAC =DECB ,即4-x 4=x 2,解得x=43,设在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 为事件A ,由几何概型中的面积比得P (A )=S 正方形DEFC S △ABC=(43)212×4×2=49.故选C .4.19 本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a ,b ,每个样本点记为(a ,b ),则所有的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19. 5.25 设线段AC 的长为x cm,则线段CB 长为(10-x )cm,那么矩形面积为x (10-x )<16,解得x<2或x>8,又0<x<10, 所以该矩形面积小于16cm 2的概率为P=410=25.关键能力·学案突破例1(1)A (2)B (1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A .(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A 55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A 22A 33+A 22A 32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn =24120=15.故选B .对点训练1(1)A (2)A (1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C 62=15,所以概率是P=mn =1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C 82=28(种),其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C 32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30, 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30×115=2,女生人数为45×115=3.则从5人中任意选取2人共有C 52=10种,抽取的2人中没有男生有C 32=3(种),则至少有一名男生有C 52−C 32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x =4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a 1,a 2,非优秀服务网点有4个,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ,则事件M 包含的可能情况有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),共8种,故所求概率P (M )=815.例3(1)C (2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k (x+3)的距离d=|3k |√1+k2≤1,解得-√24≤k ≤√24,所以所求的概率为√222=√24,故选C.(2)连接AC ,如图所示,tan ∠CAB=CB AB =1√3=√33,所以∠CAB=π6,直线AP 在∠CAB 内时,直线AP 与线段BC 有公共点,所以所求事件的概率为π6π2=13.对点训练3(1)B (2)16 (1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟. 所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B .(2)因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16.例4(1)C (2)A (1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为R ,则4πR 2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V 1=13×π×22×4=16π3(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V 1V=16π34000π3=0.004.对点训练4(1)D (2)2764 (1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r ,则S 大扇形=α2R 2,S 小扇形=α2r 2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为α2R 2-α2r 2α2R 2=R 2-r 2R 2=3r 24r 2=34.(2)当四棱锥O-ABCD 的体积为23时,设点O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA=2,所以PH PA=34,所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD=PH PA 3=343=2764. 例5D 作出不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T ,如图所示:则区域Ω表示△ABC ,由{2x -y +4=0,x +2y -3=0,解得点B (-1,2).又A (-2,0),C (3,0), ∴S △ABC =12×(3+2)×2=5,又区域T 表示圆面,且圆心M (1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC 内的面积为12π×12=π2,∴所求的概率为π25=π10.对点训练5D 因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω={(x ,y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A 可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=302-152302=34,故选D .例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n 个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S 圆S 正方形=14π×1212≈m n,所以π≈4m n.故选C .对点训练6A 设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r×√32r=3√32r 2,因而所求该实验的频率为3√32r 2πr 2=3√32π=0.8269,则π=3√32×0.8269≈3.1419.。

【创新设计】高考数学(北师大版,理科)一轮复习练习：12.3几何概型(含答案解析)

基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23解析若cos x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，利用三角函数性质解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎦⎤π3，π2，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.答案 A2.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.23解析方程x 2－mx ＋4＝0有实根，则Δ＝m 2－4×4≥0，∴m ≥4或m≤－4，又m ∈[0，6]，∴4≤m ≤6，∴关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为6－46－0＝13.故选B.答案 B3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.45解析设AC ＝x cm ，0＜x ＜12，则CB ＝(12－x)cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x(12－x)＞20，则x 2－12x ＋20＜0，解得2＜x ＜10，所求概率为P ＝10－212＝23.答案 C4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2B.π4C.π6D.π8解析设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案 B5.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.故选B.答案 B 二、填空题6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析设阴影部分的面积为S ，由题意知S S 正方形＝1801 000，解得S ＝0.18.答案 0.187.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________.解析由|x|≤m ，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案 38.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q(m ，n)，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.答案 129.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.解析 ∵y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，故直线y ＝x 两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可.如图，S 1＝⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e ×1－S 1)＝2[e －(e －1)]＝2，故所求概率为P ＝2e 2.答案2e 2三、解答题10.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”.当a≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图像所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y)恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796B.532C.16D.748解析由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4. 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)dx ＝⎝⎛⎪⎪2x 2－⎭⎫13x 340＝323，∵任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，∴以x 、y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S 2＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C.答案 C12. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A.12－1πB.1πC.1－2πD.2π解析如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝⎛⎭⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率 P ＝π－2π＝1－2π.答案 C13.张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________.解析以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78.答案 7814.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y<0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为2125.。

2022届高三数学一轮 12.2 古典概型课时检测理北师大版

古典概型一、选择题1．将一颗质地均匀的骰子它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是解析抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝＝错误!，所求的概率为1－错误!＝错误! 答案 D2 先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是（）A 12B 13C 14D 16答案 C3．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种4组邻边和对角线，包括10个基本事件，所以概率等于错误! 答案 C4．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为．解析设“朝上的点数之和等于6”为事件A ，则4”4”.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----5353，得到下面数据：编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 直径1从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；2从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解析1由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则＝m,1，b n＝2，n，其中m，n∈{1,2,3,4}．1请列出有序数组m，n的所有可能结果；2若“使得a m⊥a m－b n成立的m，n”为事件A，求事件A发生的概率．解析1有序数组m，n的所有可能结果为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4，共16个．2由a m⊥a m－b n，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝m－12，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为2,1和3,4，共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率为PA＝错误!＝错误!16．新华中学高三1班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．1求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；2座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．解析1某个同学被抽到的概率P＝错误!＝错误!，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人．2记选出的3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2则基本事件是：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A1，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，A1，A3，A2，A3，B1，A3，B2，B1，A1，B1，A2B1，A3，B1，B2，B2，A1，B2，A2B2，A3，B2，B1．基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率P＝错误!＝错误!【点评】近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多解决此类题目步骤主要有：,第一步：根据题目要求求出数据有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知识；,第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；,第三步：找出所求事件的个数；,第四步：根据古典概型公式求解；,第五步：明确规范表述结论。

【创新设计】高考数学一轮复习(基础+提升)第9篇第5讲古典概型精品课时训练北师大版

第5讲古典概型基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为 ( )．A.23 B ．14 C.13D ．12解析一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.答案 D2．(2012·安徽卷)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )．A.15 B ．25 C.35D ．45解析 1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3.从袋中任取两球有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于615＝25.答案 B3．(2014·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是 ( )．A.35 B ．25 C.13D ．23解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.答案 D4．(2014·郑州一模)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )．A.45B．35C.25D．15解析基本事件的个数有15种，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为315＝15.答案 D5．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )．A.23B．25C.35D．910解析记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件A的概率为P(A)＝110，∴P(A)＝1－P(A)＝9 10 .答案 D二、填空题6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为210＝15.答案1 57．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为35.答案 358．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.答案 34三、解答题9．(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.10．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共18个：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则包含的结果为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2) 事件M 由6个基本事件组成，因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面AB 1D 1平行的概率为( )．A.314 B ．514 C.328D ．528解析画出该长方体的直观图，可知与平面AB 1D 1平行的直线有BD ，BC 1，DC 1，故该直线与平面AB 1D 1平行的概率为P ＝38×72＝328. 答案 C2．(2014·西安模拟)设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )．A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析分别从集合A 和B 中随机取出一个数，确定平面上的一个点P (a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a ＋b ＝2的有1种情况，a ＋b ＝3的有2种情况，a ＋b ＝4的有2种情况，a ＋b ＝5的有1种情况，所以可知若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为3和4. 答案 D 二、填空题3．(2014·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P (m ，n )有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.答案 13三、解答题4．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

数学高考复习古典概型专题强化练习(附答案)

数学高考复习古典概型专题强化练习（附答案）数.(2)当个位为偶数时,有55=25个符合条件的两位数.因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,故所求概率为P=.4.C 解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.5.D 解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中甲与乙均未被录用的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,则其对立事件甲或乙被录用的可能结果有9种,故所求概率P=.6. 解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c, e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.7. 解析:k,b的取法有33=9种,直线y=kx+b不经过第三象限即k0,取法有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为P=.8. 解析:试验中所含基本事件个数为36,若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则mn,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)=.9.解:(1)由题意知,m{1,2,3,4,5,6},n{1,2,3,4,5,6},则(m,n)所有可能的取法共36种.使得ab,即m-3n=0,即m=3n,共有2种:(3,1),(6,2),故事件ab的概率为.(2)|a||b|,即m2+n210,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,故其概率为.10.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50=1,150=3,100=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B 3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1}, {B3,C2},{C1,C2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:抽取的这2件商品来自相同地区,则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.11.C 解析:记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B 大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2 ,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3 ),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P=.12.A 解析:(m,n)(-1,1)=-m+n0,mn.基本事件总共有66=36个,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),,(5,4),(6 ,1),,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).则P=,故选A.13. 解析:点P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为.14. 解析:易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为.15.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1 ),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),( 3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3 ,2),(3,3,3),共27种.设抽取的卡片上的数字满足a+b=c为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=.因此,抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率为.(2)设抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P()=1-.因此,抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率为. 16.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有,共1种;数量积为-1的有,共6种;数量积为0的有,共4种;数量积为1的有,共4种.则所有可能的情况共有15种.因此小波去下棋的概率为P1=;因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-.古典概型专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

高考数学一轮复习12-2古典概型课时作业新人教A版

()
1
2 A. 3 解析
2 B.9 三位同学每人选择三项中的两项有
1
7
C.3
D.9
C23C32C23＝3×3×3＝ 27 种选法，其中有且仅有两人
所选项目完全相同的有
C23C23C21＝ 3×3×2＝18(种 )选法．∴所求概率为
P＝1287＝
2 3.
答案 A
二、填空题
6． (2014 ·江苏卷 )从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ________．
3 种情况，∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率
P＝ 39＝13，故选 A.
答案 A
3． (2013 ·安徽卷 )若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录
用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
()
2
2
3
9
A. 3
B.5
C.5
D.10
解析设事件 “甲或乙被录用 ”为事件 A ，则－A 表示甲、乙都未被录用，由古典概型，
3)， (5，1)，…， (5， 4)， (6，1) ，…， (6， 5)，共 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝15(个 )．
∴P＝ 1356＝ 152，故选 A.
答案 A
5． (2014 ·九江质检 )三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项
目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．解 (1) 由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为 6× 21 ＝ 3； 21＋ 14＋ 7

高考数学一轮复习第十二章概率第二节古典概型几何概型课件文北师大版

3
()
(4)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (5)随机地从集合C: {(x， y)|x2y21}内取点,则这个点恰好落在圆x2+y2=1内的概率为1,所以这个事件是必然事件,这个点恰好落在圆x2+y2=1上的概率为0,所以这个事件是不可能事件. ( )
93
(4)√.根据几何概型的意义,判断正确. (5)×.基本事件空间的度量是这个圆的面积,事件“这个点恰好落在圆x2+y2=1 内”对应的度量也是这个圆的面积,所以它的概率为1,但不是必然事件,因为有可能落在圆上,事件“这个点恰好落在圆x2+y2=1上”对应的图形是这个圆(圆周), 它的面积为0,所以它的概率为0,但不是不可能事件.
36
【思想方法指导】 (1)先确定基本事件空间,再确定事件A包含的基本事件个数,最后代入概率公式求解.
(2)先按照x1的取值分成六类: x1=1,x2=1,2,3,4,5,6, x1=2,x2=1,2,3,4,5,6, x1=3,x2=1,2,3,4,5,6, x1=4,x2=1,2,3,4,5,6, x1=5,x2=1,2,3,4,5,6, x1=6,x2=1,2,3,4,5,6, 从而确定基本事件空间中的元素个数为36.
222 8
答案: 7
8
思想方法分类讨论思想在古典概型与几何概型中的应用【典例】某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏,受到大家的一致追捧.游戏规则如下:游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子,记第i次得到的点数为xi,若存在正整数n,使得x1+x2+…+xn=6,则称正整数n为游戏参与者的幸运数字. 世纪金榜导学号 (1)求游戏参与者的幸运数字为1的概率; (2)求游戏参与者的幸运数字为2的概率.

【创新设计】高考数学(北师大版,理科)一轮复习练习：13.1归纳与类比(含答案解析)

基础稳固题组(建议用时： 35 分钟 )一、选择题1.(2016 西·安八校联考)察看一列算式：1?1， 1?2，2?1， 1?3， 2?2， 3?1， 1?4，2?3， 3?2，4?1， , ，则式子3?5 是第 ()A.22项B.23项C.24项D.25项分析两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有4 个，和为6 的有 5 个，和为7 的有 6 个，前方共有21 个， 3?5 为和为8 的第 3 项，所认为第24 项，应选 C.答案C”是假命题，2.命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，所以整数是无穷循环小数推理错误的原由是()A.使用了概括推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误分析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原由是推理形式错误.答案C3.察看 (x2) ′＝ 2x， (x4) ′＝ 4x3， (cos x) ′－＝ sin x，由概括推理得：若定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(－ x)＝ f(x) ，记 g(x) 为 f(x) 的导函数，则g(－ x)＝ ()A.f(x)B. －f(x)C.g(x)D.－ g(x)分析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g( －x)＝－ g(x).答案D4.察看以下各式： a＋ b＝ 1，a2＋b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4，a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝11，, ，则a10＋b10等于 ()A.28B.76C.123D.199分析察看规律，概括推理 .从给出的式子特色察看可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前方两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋ b10＝ 123.答案C5.由代数式的乘法法例类比推导向量的数目积的运算法例：①“ mn＝ nm”类比获得“a·b＝·a；”②“ (m＋ n)t＝ mt＋ nt ”类比获得“(a＋b) ·c＝ a·c＋ b·c；”③“ (m·n)t＝ m(n·t)类”比获得“(a ·b)＝·c a(b ·；c) ”④“ t ≠ 0， mt ＝xt ? m ＝ x ”类比获得 “p ≠0，a ·p ＝ x ·p? a ＝ x ”；⑤“ |m ·n|＝ |m| ·|n|类比”获得 “|a ·＝b||a| ·|b|； ”⑥“ac a a ·c abc＝ ”类比获得 “ ＝ ”.bb ·c b以上式子中，类比获得的结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4分析 ①②正确；③④⑤⑥错误 .答案B二、填空题6.认真察看下边 ○和 ●的摆列规律： ○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○若依此规 ● ○○○○○○律持续下去，获得一系列的 ○和●，那么在前 120 个 ○和 ●中，●的个数是 ________.分析进行分组○● | ○○● | ○○○● | ○○○○● | ○○○○○●， | ○○○○○○● |则前 n 组两种圈的总数是f(n) ＝ 2＋ 3＋ 4＋＋ (n ＋ 1)＝ n （ n ＋ 3），易知 f(14) ＝ 119，f(15)2＝ 135，故 n ＝14.答案147.(2016 东·北三省三校联考 )察看以下等式： 13＝ 12，13＋ 23＝ 32，13＋ 23＋ 33＝ 62， 13＋ 23＋ 33＋ 43＝ 102，,, ，依据上述规律，第 n 个等式为 ________.分析察看所给等式左右两边的组成易得第n 个等式为 13＋ 23＋＋ n 3＝ n （ n ＋1）22＝n 2（ n ＋1） 24.答案333＝ n 2（ n ＋ 1） 21 ＋2 ＋＋n41 4 x x 4 27 x x x278.已知 x ∈(0，＋ ∞)，察看以下各式： x ＋ x ≥ 2，x ＋ x 2＝ 2＋ 2＋ x 2≥ 3，x ＋ x 3＝ 3＋ 3＋3＋ x 3 ≥a *4， , ，类比得 x ＋ x n ≥ n ＋ 1(n ∈N )，则 a ＝ ________.分析第一个式子是n ＝1 的状况，此时a ＝ 11＝ 1；第二个式子是 n ＝ 2 的状况，此时 a ＝22＝ 4；第三个式子是 n ＝3 的状况，此时 a ＝ 33＝27，概括可知 a ＝ n n .答案n n三、解答题9.给出下边的数表序列：表 1表 2 表 311 31 3544812此中表 n(n ＝ 1，2，3，, )有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1，3， 5，, ， 2n － 1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表 4，考证表 4 各行中的数的均匀数按从上到下的次序组成等比数列，并将结论推行到表 n(n ≥3)(不要求证明 ).解表 4 为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1，2， 3， 4 行中的数的均匀数分别是 4， 8， 16， 32，它们组成首项为4，公比为2 的等比数列 .将这一结论推行到表n(n ≥3)，即表 n(n ≥3)各行中的数的均匀数按从上到下的次序组成首项为 n ，公比为 2 的等比数列 .1 ，先分别求 f(0) ＋ f(1)，f( － 1)＋ f(2) ，f( －2)＋ f(3) ，而后概括猜想一般性结论，10.f(x) ＝ 3x ＋ 3并给出证明 .11解f(0) ＋ f(1)＝30＋ 3＋31＋ 3＝ 1 ＋ 1＝3 ＋1＝ 3，1＋ 33（ 1＋ 3）3（1＋ 3）3（1＋ 3）3同理可得 f( － 1)＋ f(2) ＝3，f( － 2) ＋f(3) ＝3333 .由此猜想 f(x) ＋ f(1 － x)＝ 3 .证明 f(x) ＋ f(1－ x)＝ 13＋13x ＋ 31－ x＋ 3＝ x 1＋3x1＋3x＝3＋ 3x＝3 x ＝x3（ 3＋ x3（ x3. 3 ＋ 3 3＋ 3·33 ＋ 3 3 ） 3＋3 ）能力提高题组(建议用时： 20分钟)11.平面内有 n 条直线，最多可将平面分红f(n) 个地区，则 f(n) 的表达式为 ()2A.n ＋ 1B.2nn ＋ n ＋22＋n ＋ 1C.D.n2分析 1 条直线将平面分红 1＋ 1 个地区； 2 条直线最多可将平面分红1＋ (1＋ 2)＝ 4 个区域； 3 条直线最多可将平面分红 1＋ (1＋ 2＋ 3)＝ 7个地区；； n 条直线最多可将平面分红 1＋(1 ＋2＋ 3＋＋ n)＝ 1＋ n （ n ＋ 1）＝n 2＋ n ＋ 22 2个地区，选 C.答案 C12.古希腊人常用小石子在沙岸上摆成各样形状来研究数.比方：他们研究过图 1 中的 1，3，6， 10，, ，因为这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数；近似地，称图 2 中的 1， 4，9，16，, ，这样的数为正方形数.以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378分析察看三角形数：1， 3， 6， 10，, ，记该数列为{a n} ，则a1＝1， a2＝ a1＋ 2， a3＝ a2＋ 3，,a n＝a n－1＋ n.∴ a1＋ a2＋＋a n＝(a1＋a2＋＋a n－1)＋(1＋2＋3＋＋n)?a n＝1＋2＋3＋＋n＝n（ n＋ 1），2察看正方形数：1， 4，9， 16，, ，记该数列为 {b n} ，则 b n＝ n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225.答案 C13.(2016 安·溪三校联考)已知点 A(x 1， ax1)， B(x 2，ax2)是函数 y＝ a x(a＞ 1)的图像上随意不一样两点，依照图像可知，线段AB老是位于 A ， B 两点之间函数图像的上方，所以有结论x1＋ x2ax1＋ ax2A(x 1， sin x1 )，B(x 2， sin x 2)是函数 y 2＞ a 2 建立 .运用类比思想方法可知，若点＝ sin x(x ∈ (0，π ))的图像上随意不一样两点，则近似地有________建立 .分析关于函数 y＝ a x(a＞ 1)的图像上随意不一样两点 A ， B，依照图像可知，线段AB 老是ax1＋ ax2x1＋ x2位于 A ，B 两点之间函数图像的上方，所以有结论＞a 2 建立；关于函数y＝2sin x(x ∈ (0，π ))的图像上随意不一样的两点A(x 1， sin x1)，B(x 2， sin x2)，线段 AB 老是位于 A ， B 两点之间函数图像的下方，sin x1＋ sin x2＜ sin x1＋ x2建立 .类比可知应有22答案sin x1＋sin x 2x1＋ x2＜ sin2211 114.在 Rt △ABC 中，AB ⊥ AC ，AD ⊥BC 于 D ，求证：AD 2＝ AB 2＋ AC 2，那么在四周体 ABCD中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明原由 .证明如下图，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝ BC ·DC ，∴ 11AD2＝BD · DCBC 2BC 2＝BD ·BC · DC · BC ＝AB 2· AC2.又 BC 2＝AB 2 ＋AC 2，221 1∴ AD 2 ＝AB 2 ·AC 2＝ AB 2＋ AC 2.1AB ＋AC猜想，在四周体 ABCD 中， AB ， AC ， AD 两两垂直， AE ⊥平面 BCD ，11 1 1则 AE 2＝ AB 2＋AC 2＋AD 2. 证明：如图，连结BE 并延伸交 CD 于 F ，连结 AF.∵ AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD ＝A ，∴ AB ⊥平面 ACD ，又 AF 平面 ACD ，∴ AB ⊥AF.在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，11 1∴ AE 2＝ AB 2＋ AF 2，① 在 Rt △ ACD 中， AF ⊥ CD ，111∴ AF 2＝ AC 2＋ AD2，②①＋②得AE 1 2＝ AB 1 2＋ AC 1 2＋ AD 12.。