第12章 虚位移原理
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
在物理学中，虚位移原理是一个基本原理，能够帮助我们解决各种力学问题。
虚位移原理的基本概念是，当一个刚体在平衡状态下受到外力作用时，其位移满足虚位移原理。
虚位移是指刚体在平衡状态下的微小位移，它不改变刚体的形状和结构，只是在力学分析中假设的一个方便的概念。
虚位移原理的基本内容是：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚功是指外力对虚位移所作的功，它是一个力和位移的乘积。
根据虚位移原理，当刚体处于平衡状态时，外力对刚体所作的虚功必须为零。
这意味着，在平衡状态下，刚体受到的合外力的作用线必须通过刚体的重心，否则会产生虚功。
虚位移原理的应用非常广泛。
在静力学中，我们可以利用虚位移原理来求解平衡问题，如悬臂梁的受力分析、杆件的静力平衡等。
在动力学中，虚位移原理也可以用来分析刚体的运动，如刚体的平衡和运动学问题等。
虚位移原理的定义为：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
这个定义可以帮助我们理解虚位移原理的基本概念和应用。
通过虚位移原理，我们可以简化力学问题的分析，得到更加简洁和准确的结果。
虚位移原理在力学中有着重要的地位，它是力学分析的基础。
虚位移原理的应用不仅仅局限于静力学和动力学，在其他物理学和工程学的领域也有着广泛的应用。
通过理解和掌握虚位移原理，我们可以更好地理解和解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
它的定义是，在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚位移原理的应用广泛，可以帮助我们解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
对于学习力学的人来说，掌握虚位移原理是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和应用力学知识，提高问题解决能力。
虚位移与虚位移原理
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
虚位移
虚功（ ： 二、虚功 • 虚功（virtual work)：δ W = F • δ r 作用于质点( 作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。 上的力在虚位移上所作的功。
F = Fx i + Fy j + Fz k
δr = δxi + δyj + δzk
例：若OA杆的虚位移为 δθ ， 杆的虚位移为 OA＝R ，求力 的虚功。 求力F 的虚功。
A
B
δθ
δr2
F2
1 2a δ r1 = δ r2 = δθ 3 3 F1δ r1 + F2δ r2 − M Aδθ = 0
2a + 2 aF2 − M A )δθ = 0 3 1 Qδθ ≠ 0 MA = 2a( F + F2 ) 1 3 ( F1
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 ， 提出的 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 由 拉格朗日 完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理，它 虚位移原理是静力学的普遍原理， 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • • • 什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件
C1 M mg θ m2 g 1 O
θ = 90 0
C2
ϕ
B F
m3g
解：1、分析主动力作用点的虚位移；2、求主动力的虚功之和 、分析主动力作用点的虚位移； 、
δrA
δθ
A
∑ F • δr = 0
δr C
M
m2 g
i =1 i i
2
n
δr C
[δ r A ] AB = [δ rB ] AB
1
mg 1
理论力学虚位移原理
2、解析法：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示 为选定的独立广义坐标的函数，对其求变分。
试确定D、B、E、C点虚位移与广义坐标 的关系。
约束与约束方程
对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程。
滑块—滑道
y
约束方程 y 0
质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程
f (x, y, z) 0
y xB
滑块 B 的约束方程 x v
v f (x,t)
当v=0时，约束方程 x 0 或 x A
当v=C（常数）时，约束方程 x C 或 x Ct A
Y
AB
X
特殊力系做功的计算
1、汇交力系合力做功
合力主矢 FR Fi
W FR dr Fi dr Fi dr Wi
AB
AB
AB
合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和
2、内力做功 内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反
设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F21
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）
i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整
个系统有3n个自由度。
对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描 述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个 参数表示质点系的位形，而
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
虚位移原理
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM Ell源自P1 αBC
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
C
M A
DP a
虚位移原理名词解释
虚位移原理名词解释
虚位移原理是力学中的一个重要原理，用于描述物体在受到外力作用下的运动规律。
它是由英国物理学家伊萨克·牛顿在17世纪提出的。
虚位移原理的核心概念是虚位移，即假设一个物体受到外力作用后，它的位置发生了微小的变化，但是这个变化是足够小以至于可以忽略不计的。
虚位移的存在是为了方便描述物体的运动情况，使得问题的分析计算更加简便。
在应用虚位移原理时，首先需要确定物体所受的外力情况，然后根据虚位移的定义，假设物体发生微小的位移。
接下来，利用牛顿第二定律和虚位移原理，可以得到物体所受到的力学方程。
最后，通过求解这些方程，可以得到物体的运动规律，如位移、速度、加速度等。
虚位移原理在力学领域的应用非常广泛，尤其在静力学和动力学问题的求解中起到了重要的作用。
例如，在静力学中，可以利用虚位移原理来求解物体受力平衡的条件；在动力学中，可以利用虚位移原理来分析物体的运动轨迹以及受力情况。
除了力学领域，虚位移原理也在其他科学领域中得到了应用，如电
磁学、光学等。
在这些领域中，虚位移原理可以帮助描述电场、磁场、光线等的传播和相互作用规律。
总之，虚位移原理是一种重要的物理原理，用于分析物体在受力作用下的运动规律。
它在力学以及其他自然科学领域中都有着广泛的应用。
通过使用虚位移原理，我们可以更加方便地理解和解决各种力学和物理问题。
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是波动理论中的重要概念之一，它用来描述波的传播过程中的位移现象。
根据虚位移原理，当波传播到某一位置时，该位置上的物质并不发生实际的位移，而是被波动所“激发”产生了相对于平衡位置的微弱位移现象。
虚位移原理的提出主要是为了解释波动现象中的一些奇特现象，特别是在波的干涉和衍射现象中的一些观察结果。
在干涉现象中，当两个波相遇时，它们会产生明暗相间的干涉条纹。
根据虚位移原理，这些干涉条纹实际上是由波动所引起的位移造成的，而不是由物质实际的位移所引起的。
因此，虚位移原理解释了为什么在干涉实验中物质并没有发生实际的位移。
在衍射现象中，当波通过一个孔或一个边缘时，波会“弯绕”到非直线传播的路径上。
也是根据虚位移原理，我们可以解释为什么波在通过一个小孔时会扩散开来，形成衍射图样。
根据虚位移原理，通过小孔的波通过“弯绕”的方式传播，使得波的幅度在不同位置上有所变化，从而形成了衍射图样。
总的来说，虚位移原理为我们理解波动现象提供了一个重要的概念和解释框架。
它帮助我们解释了很多波动现象中观察到的奇特现象，并在波动理论的发展中起到了重要的作用。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
虚位移原理及其简单应用
BO杆的速度瞬心，故有
δrB
CB CO
δrO
2l sin
l
δrO
2l sinδ
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
应用虚位移原理，有
FδrO cos FBδrB 0
即
Fl cosδ 2FBl sinδ 0
得
FB
F 2
cot
目录
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
1.3 虚位移原理的简单应用
应用虚位移原理解决具有理想约束的质点系的平衡问题时，可 以不必考虑约束力，只需考虑主动力，这样问题的求解过程就大为 简化了。因此，对于受理想约束的复杂刚体系的平衡问题，应用虚 位移原理求解比用静力学方法更为方便。
应当指出，对于非理想约束的情况，例如考虑摩擦时，可以把 摩擦力当作主动力来处理，虚位移原理仍然适用。
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
下面证明这个原理。先证明上述条件是必要的，再证明它是充 分的。
（1）必要性的证明
设质点系在某一位置处于平衡，需要证明
在这个位置的任何虚位移中所有主动力所作 虚功之和对于零。现研究系统内任一质点Mi （如图），作用于该质点上的主动力的合力 为Fi ，约束力的合力为FNi 。因为系统处于平 衡，故该质点也处于平衡，从而有
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
方法2：设给杆AO以图示
虚转角转动，则O点的虚位 移rO的大小为rO＝l 。又因
C点为BO杆的速度瞬心，故有
rB
CB CO
rO
2l sin
l
rO
2l sin
应用虚位移原理，有
第12章虚位移原理
F
F
z FN
a) 图 12-11
b)
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.4 虚位移原理的应用
F
解 设想手柄按螺纹方向转动 A B F 无限小角位移 δ ，螺杆和压板 得到向下的无限小位移 δz 。 由虚位移原理，虚功方程为 Flδ FN δz 0
O
y
l
x
M
图 12-1
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.1 基本概念
曲柄连杆机构也是一个自由度系统。选取曲 柄与x轴的夹角 为广义坐标，则质点 M 1和 M 2的 位置可表示为
x1 r cos x2 r cos l 2 r 2 sin 2
y
M1(x1,y1)
§12.4 虚位移原理的应用 A
A
解 设想杆OA产生无限小角 位移 δ ，点C产生水平向左 F B C M h 的无限小线位移 δxC 。
由虚位移原理，虚功方程为 O
δrBe
δrBa
δ
M O
δ xC
C h F
δrBr
B
a) Mδ FδxC 0
b) 图 12-10
δ 与 用“虚速度” 法求 δxC 之间的关系（以滑块B为 动点，杆OA为动系 ） δrBe h δrBa δ δrBa=δxC 2 sin sin
x y l
2 2
2
O
y
l
双面约束
x2 y 2 l 2
单面约束
x
M
图 12-1 本章所涉及到的只限于几何、双面、定常约束。
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
虚位移原理及应用
虚位移原理及应用虚位移原理是物理学中的一个基本原理，它描述了物质在受到力的作用下所发生的位移现象。
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于物体的质量乘以加速度。
而根据虚位移原理，我们可以假设物体在受到合外力的作用下，其位移可以分解为两个部分：实位移和虚位移。
实位移是由物体受力所引起的真实运动，而虚位移则是由虚拟外力所引起的虚拟运动。
虚位移原理可以运用在很多物理问题的求解中，下面就让我们来看几个具体的应用。
1. 力学中的应用：虚位移原理在力学中应用非常广泛。
例如，在弹簧质量系统中，可以利用虚位移原理计算弹簧的变形量。
只需要假设弹簧的变形可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理方程解出弹簧的变形量。
同样地，在弹性体受压缩或拉伸时，我们也可以利用虚位移原理来求解位移量。
2. 静电场中的应用：虚位移原理也可以应用到电场的计算中。
在计算电场中的能量和势能时，我们可以通过假设电荷的位移可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理来求解电场的能量和势能。
3. 磁场中的应用：在磁场中，虚位移原理可以用来计算导线所受力和位移。
例如，在电磁铁中，我们可以通过假设导线上的电流产生的磁场可以导致引力或斥力，从而利用虚位移原理来计算导线所受的力和位移。
4. 光学中的应用：在光学中，虚位移原理可以应用到光线传播的计算中。
例如，我们可以假设光线的传播可以分解为实位移和虚位移，从而计算光线的折射、反射等现象。
总之，虚位移原理是物理学中非常重要的一个原理，它可以帮助我们理解物体在受力作用下的位移现象。
通过应用虚位移原理，我们可以计算弹簧变形、电场能量、磁场力和位移、光学现象等等。
虚位移原理的应用范围广泛，为我们研究物理现象和解决物理问题提供了有力的工具和方法。
因此，掌握虚位移原理对于物理学的学习和应用具有重要意义。
虚位移原理——精选推荐
虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。
虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。
另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。
一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。
其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。
变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。
等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。
即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。
在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。
例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。
计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。
(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。
新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。
返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。
如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。
约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。
理论力学虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是指在分析物体的运动时，可以把物体的位移看作是由两个独立的分量相互叠加得到的。
这两个分量分别是平移位移和旋转位移。
虚位移原理的应用十分广泛，不仅在物理学中有着重要的地位，而且在工程领域也有着重要的应用。
下面将从物理学和工程领域两个方面来介绍虚位移原理的相关内容。
在物理学中，虚位移原理是描述物体运动的一个重要概念。
在分析物体的运动时，我们可以把物体的位移分解为平移位移和旋转位移。
平移位移是指物体整体上的位移，而旋转位移则是指物体围绕某一点的旋转运动所产生的位移。
通过虚位移原理，我们可以将物体的复杂运动分解为简单的平移和旋转运动，从而更加清晰地理解物体的运动规律。
虚位移原理在刚体力学、动力学等领域有着广泛的应用，为研究物体的运动提供了重要的理论基础。
在工程领域，虚位移原理同样具有重要的应用价值。
例如，在机械设计中，我们经常需要分析机械零件的运动规律，虚位移原理可以帮助我们更好地理解机械零件的运动特性，从而指导设计工作。
此外，在结构分析和材料力学中，虚位移原理也是一个重要的工具，可以帮助工程师们分析结构的受力情况，指导工程设计和施工。
总的来说，虚位移原理是一个十分重要的物理概念，在物理学和工程领域都有着广泛的应用。
通过虚位移原理，我们可以更加深入地理解物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更加深入地理解虚位移原理，并在学习和工作中加以应用。
第12章 虚位移原理
例1 物块M置于固定斜面上，斜面对物块M的约束是定常约 束。分析其实位移和虚位移。
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向 下的δr1，也可以是沿斜面向上的 δr2 ，因为δr1 ，δr2 都是约束所容 许的。 可见，在定常几何约束下，质点系 无限小的实位移是其虚位移之一。
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如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用， 以解析表达式的形式表现出来。
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12-1 虚位移与虚功
1. 约束
约束是限制物体运动的条件，是非自由质点系受到的预 先给定的限制。 • 质点系分为： – 自由质点系：质点的运动状态(轨迹、速度等)只取决 于作用力和运动的初始条件，其运动称为自由运动。 – 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定 的限制(运动的初始条件也要满足这些限制条件)，其 运动称为非自由运动。
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δr m
三、虚功 质点或质点系所受的力在虚位 移上所作的功称为虚功，用δW
表示。
F
设质点m的虚位移为δr，力F在虚位移上所作的虚功为
δW = F · = Fδr cos δr
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y A
例2 曲柄滑块机构在 力偶M和力F的作用 下处于平衡。试分析 虚功。
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第12章 虚位移原理
12-1 虚位移与虚功
12-2 虚位移原理
12-3 虚位移原理应用
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12-1 虚位移与虚功
一、静力学问题研究方法
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12-1 虚位移与虚功
二、约束与约束方程
在第一篇静力学中，曾讨论过约束，分析的侧重 点是：
如何将约束对物体的限制作用以约束反力形式表现出来。
在本章中讨论约束，要为虚位移原理、分析力学 作准备，分析的侧重点是：
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ω
C
r
C M M o
vC
xC P x
瞬心
运动约束方程
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(2) 定常约束和非定常约束 • 定常约束(稳定约束)：约束方程中不显含时间 t 。 f (x, y, z) = 0 • 非定常约束(不稳定约束)：约束方程中显含时间 t。 f (x, y, z, t)=0 o
可知，当P=160N时，能举起50.27KN的重物，是P 的314倍！
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所以有 rB: = h: 2π
rB h 2
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例4 曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆
AB = l，曲柄上作用力偶M，滑块上作用力P。求 系统在图示位置平衡时，M与P的关系。
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(3) 双面约束和单面约束
• 双面约束(固执约束)：如果约束不仅限制质点在某一方向 的运动，而且能限制其在相反方向的运动。 • 单面约束(非固执约束)：如果约束仅限制质点在某一方向 的运动。
如单摆 刚性摆杆约束
……双面约束
约束方程：
x y l
2 2 2 2
2 2
如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用， 以解析表达式的形式表现出来。
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12-1 虚位移与虚功
1. 约束
约束是限制物体运动的条件，是非自由质点系受到的预 先给定的限制。 • 质点系分为： – 自由质点系：质点的运动状态(轨迹、速度等)只取决 于作用力和运动的初始条件，其运动称为自由运动。 – 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定 的限制(运动的初始条件也要满足这些限制条件)，其 运动称为非自由运动。
y
l M
2 2 xA y A r 2 yB 0 ( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 l 2
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x2 y2 l 2
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12-1 虚位移与虚功
y
• 运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件的限制。
2. 约束方程
用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。
f ( x, y, z, x, y, z, t ) 0
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3. 约束的分类
(1) 几何约束和运动约束
• 几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置。
y
o
x
A ω o r l B x
由静止开始运动，质点Mj实位移drj应沿着Rj的方向
该质点的合力在实位移中的元功为 Rj· j = (Fj+Nj)· j＞0 dr dr
∵质点系受定常约束， ∴ drj ∈ rj
∴∑(Fj+Nj)·rj＞0 ∴ ∑Fi·ri＞0
这与假设矛盾！ ∴质点系必然平衡。
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不可伸长的绳约束 ……单面约束
x y l
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(4) 完整约束和非完整约束
• 完整约束： 约束方程中不含导数或可积分为有
限形式。 • 非完整约束：约束方程含导数且不可积分，即约 束方程总是微分形式。
☆本章只讨论：完整的、定常的、 双面的、几何约束！
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第12章 虚位移原理
12-1 虚位移与虚功
12-2 虚位移原理
12-3 虚位移原理应用
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12-1 虚位移与虚功
一、静力学问题研究方法
1. 两种研究方法
– 几何静力学：刚体静力学
用几何的方法研究刚体的平衡；只考虑约束的力的 作用方面，直接研究主动力和约束反力的关系。
– 分析静力学
考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容 许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。
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例 3 螺 旋 千 斤 顶 中 ， 旋 转 手 柄 OA=l=0.6m ， 螺 距 h=12mm 。 在 OA 的 水 平 面 内 作 用 一 垂 直 手 柄 的 力 P=160N，不计各处摩擦。试求举起重物B的重量。。 W
o l
B
A
P
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例3
W
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一、静力学问题研究方法
2. 刚体静力学：
• 一般的求解步骤:
(1) 选取研究对象，取分离体； (2) 进行受力分析，画受力图；(解除约束，代之以约束反力) (3) 建立平衡方程； (4) 求解平衡方程。
• 存在的问题：
– 求解过程中，需要把某些约束反力从方程中消去，以达到 求解的目的。 – 先建立主动力与约束反力的关系，随后又消去某些约束反 力的方法，常给解题过程带来麻烦，尤其是复杂系统。
设质点系由n个质点组成， 第i个质点Mi平衡，受力有 Fi -----主动力的合力 则 Fi + Ni = 0 (i = 1, 2 , … , n)
n n
Fi ri 0 i 1
n
Ni -----约束反力的合力
∴ WFi+WNi = (Fi + Ni ) · ri= 0
i 1 i 1
关于符号： ① 为等时变分算子符号（变分符号）； ② 表示无限小的变更； ③ 运算规则与微分算子“d ”的 运算规则相同。
综上所述： 实位移是力学现象； 虚位移是几何概念。 二者差别很大。
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12-1 虚位移与虚功
M
dr
δr2 在图示瞬时，物块M在dt内发生的 无限小的实位移dr沿斜面向下。
0 n个方程求和得 Fi ri N i ri 0
∵系统的约束为理想约束， ∴∑Ni·ri=0
WF i Fi ri 0
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n
n
i 1
i 1
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12-2 虚位移原理
虚功原理的证明： n 质点系平衡 Fi ri 0 2. 充分性： i 1 反证法：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动 力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零， 但该质点系不平衡，即至少有一个质点Mj不平衡: Fj+Nj＝Rj≠0
矢量式 解析式
WF i Fi ri 0 i 1 i 1
n
n
( X i xi Yi yi Z i zi ) 0 i 1
虚功方程
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n
虚功原理
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静力学普遍方程
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12-2 虚位移原理
质点系平衡
虚功原理的证明： 1. 必要性
o
δrA
A
解：千斤顶受理想约束， δrB 给P力点A虚位移 rA=l
相应地W力点B有rB
l
约束条件为：
P
由虚功方程∑WF =0
Pl W rB
Pl －WrB=0
手柄旋转一周， 顶杆上升一螺距。
W 2l P 2 0.6 160 50.27 103 N h 0.012
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12-1 虚位移与虚功
δr m
三、虚功 质点或质点系所受的力在虚位 移上所作的功称为虚功，用δW
表示。
F
设质点m的虚位移为δr，力F在虚位移上所作的虚功为
δW = F · = Fδr cos δr
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12-1 虚位移与虚功
y A
例2 曲柄滑块机构在 力偶M和力F的作用 下处于平衡。试分析 虚功。
四、理想约束
理想约束举例：
N
δr M
δr N
光滑铰支座或光滑轴承
光滑接触面
δW = N · = 0 δr
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12-1 虚位移与虚功
四、理想约束
理想约束举例：
N A
δr
N' F
ω
C
G N
D
T
光滑铰链连接
纯滚动刚体的固定面约束
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y
A
M
o
B
P
x
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例4 NCEPU
⑴ 给OA以虚位移 ， 相应地滑块B有rB 由 ∑δWF =
90°－(＋θ) rA解：系统源自理想约束作用， yMo
A
θ
rB
P
x
PδrB － M = 0， M rB
0
B
⑵ 求虚位移间的关系 [法一] [δrA]AB=[δrB]AB
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