理论力学：第13章虚位移原理

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虚位移原理

例题:已知各长为，重为W 求维持平衡所需力F 的大小? 例题:已知各长为L，重为，求维持平衡所需力的大小?
y
θ
5
解：∑δWi = ∑F •δri = 0 i
1
θ
2
3
4
2W
2W
2W
2W
F 不计摩擦
F i = Fix i + Fiy j
δ ri = δ x i i + δ y i j
∑ (F
A
θ = 900
mg 1
O
C1
M θ m2g
C2
ϕ
m3g
B
F
基本步骤：基本步骤： 1. 确定系统是否满足原理的应用条件
n
2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
∑F
i =1
i
• δ ri = 0
δrA
1
A
δr C mg 1
O
δθ
M
[δ r A ] AB = [δ rB ] AB
δr C
三、虚位移原理 (virtual work principle)
n
∑F
i =1
i
• δ ri = 0
虚位移原理：具有双面、完整、定常、理想约束的静止的虚位移原理：具有双面、完整、定常、理想约束的静止的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：平衡的充要条件是质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
δ W = F x δ x + F y δ y + F zδ z
理想约束
• 理想约束理想约束(ideal constraint)：质点系中所有约束力：质点系中所有约束力

理论力学教学材料-10虚位移原理

弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述虚位移原理的基本理论虚位移原理的推论与结论虚位移原理的实例分析虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。

《理论力学》第十三章--虚位移试题及答案

理论力学14章作业题解思考题14-1 确定自由度。

解 (a) k=2 ； (b) k=2； (c) 只滚不滑 k=2，又滚又滑 k=314-1 一台秤构造如图。

已知：BC//OD ，且BC=OD ，BC=AB/10。

设秤锤重P 1=10N ，试求秤台上的重物P 2。

解：（1）分析虚位移秤杆AC 作转动，有10=C A r r d d /。

秤台作平动，有E C r r d d =，故有E C A r r r d d d 1010==。

（2）建立虚位移原理方程1002121=+-=+-E E A r P P r P r P d d d )(故有：01021=+-P P ，N P 1002=。

Cr d Er14-5 OA=l ，OC=R满足的条件。

解：（用虚位移原理求解）(1) 运动分析（虚位移关系分析）A 处虚位移关系用合成运动的理论分析。

A 为动点，OC 为动系。

r e A r r r r r r d d d +=f d d cos A e r r =另外：R r l r C e /d d = (2) 虚功方程fd f f d d d d cos /)cos /(cos /R l F F r R l F F R r l F r F r F r F C C C A C 21212121000==-=-=-14-9 已知：AC=BC=EC=GC=DE=DG=l ，荷载F 2。

求平衡时的F 1。

解用解析法，1个自由度，选q 为广义坐标。

建立坐标，如图。

(1) 计算虚位移qdqd q qdq d q sin ,cos cos ,sin l y l y l x l x A A D D 2233-====(2) 计算力的投影 2211F F F F x y -=-= , (3) 建立虚位移原理方程qqdq q q d d sin cos )cos sin (230320212121F F l F l F x F y F D x A y ==×-×=+Oxy14-12 F=4kN, AO=OE=5m. 求D 解：(1) 接触D 处水平约束，代之约束力。

10.3虚位移原理

FA'
A
Foy
FA rA
O
Fox
B rB
FN
理想约束是大量实际情况的理论模型。
r 0
•虚位移原理
具有双面、定常、理想约束的静止质点系，在给定位置保持
平衡的充分必要条件是：所有作用在质点系上的主动力在该位置的任何虚位移上的虚功之和等于零。
解析形式
n
Fi. ri 0
i 1
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
i 1
称为虚功方程或静力学普遍方程。
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虚位移原理的应用
1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力。
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虚位移原理
• 虚功
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。
W F xx Fyy Fzz
因为虚位移是假想的，因而虚功也是假想的，它不涉及物理过程，也与能量的变化无关。
•理想约束
理想约束：约束反力在质点系的任意虚位移上所作虚功之和为零的约束。
n
FNi ri 0
i 1
式中： FNi 表示作用在第i个质点上的约束力。 δri 表示第 i 个质点的虚位移。
讨论：哪些约束是理想约束?
理想约束
FNi ri 0
1、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索 5、刚体沿固定面纯滚动

虚位移原理的定义

虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。

虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。

1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。

这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。

2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。

定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。

这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。

3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。

这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。

4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。

这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。

此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。

在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。

总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。

通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。

如何理解理论力学中的虚位移原理？

如何理解理论力学中的虚位移原理？在理论力学的广阔领域中，虚位移原理是一个极其重要的概念，它为解决力学问题提供了一种独特而有效的方法。

然而，对于许多初学者来说，理解虚位移原理可能会感到有些困惑。

那么，让我们一起来揭开它神秘的面纱，深入探讨如何理解这一重要原理。

首先，我们来明确一下什么是虚位移。

虚位移并不是实际发生的位移，而是在某一瞬时，质点或质点系在约束许可的条件下，设想的无限小位移。

它是一种假想的、符合约束条件的位移。

为了更好地理解，我们可以想象一个被绳子悬挂着的小球。

在某一时刻，如果我们假设小球可以在不破坏绳子约束的情况下有一个微小的位移，这个微小的位移就是虚位移。

那么，虚位移原理到底说了什么呢？简单来说，虚位移原理指出：对于一个受理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是，作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。

这听起来可能有点抽象，让我们通过一个具体的例子来解释。

假设我们有一个由两个质点通过一根轻质刚性杆连接的系统，放在光滑的水平面上。

质点 A 受到一个水平向右的力 F₁，质点 B 受到一个水平向左的力 F₂。

如果这个系统处于平衡状态，根据虚位移原理，我们可以假设质点 A 有一个向右的虚位移δr₁，质点 B 有一个向左的虚位移δr₂。

由于杆是刚性的，所以两个质点的虚位移之间存在一定的关系。

那么，主动力 F₁和 F₂在相应的虚位移上所做的虚功之和F₁·δr₁ F₂·δr₂就等于零。

虚位移原理的重要性在于它为解决静力学问题提供了一种统一的方法，避免了分别对每个物体进行受力分析和列平衡方程的繁琐过程。

通过虚位移原理，我们可以直接从系统的整体出发，找到力与虚位移之间的关系，从而快速确定系统是否平衡以及未知力的大小。

理解虚位移原理还需要注意一些关键的要点。

首先是理想约束的概念。

理想约束是指约束力在虚位移上所做的虚功之和为零的约束。

常见的理想约束包括光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的绳索等。

理论力学：第13章虚位移原理及分析力学基础

第13章虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。

在固体力学、结构力学中应用较多。

主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。

进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。

再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。

用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。

具体如下：1. 考虑如下问题的求解。

如图19-1，系统平衡。

已知Q 、l 、α，求P 。

问题：用几何静力学方法如何求解？（1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。

如图13-3示结构，用此种解法更繁。

因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。

2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。

结构特点：几何可变体系。

可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。

为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。

假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。

此便是虚位移原理的思想。

严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。

13.1 约束约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体；此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。

一、约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。

非自由质点系：运动受到限制——约束。

《虚位移原理》课件

05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围，只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位移，可以计算物体的加速度和速度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航天工程、车辆工程、机器人等领域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、机构等，当分析其平衡状态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、高层建筑等，当分析其静力平衡时，可以利用虚位移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反应平衡时，可以利用虚位移原理来计算反应热和反

理论力学虚位移原理

Y
AB
X
特殊力系做功的计算
1、汇交力系合力做功
合力主矢 FR Fi
W FR dr Fi dr Fi dr Wi
AB
AB
AB
合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和
2、内力做功内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反
设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F21
dr
由于约束力作用线与位移方向
恒垂直，因此做功恒等于零。
N
光滑铰链约束
固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零；活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。
中间铰处约束力做功恒等于零——自行分析
凡是约束反力做功恒等于零的约束称为理想约束
有势力做功
有势力——做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）
i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整
个系统有3n个自由度。
对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个参数表示质点系的位形，而
k 3n S
设 q1, q2 qk 为描述系统位形的独立参数，称为广义坐标。
两个质点组成质点系
Z
(x2 , y2 , z2 )
约束方程
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2
Y
自由度数 k 3 2 1 5

(x1, y1, z1)

华中科技大学理论力学第十三章虚位移原理

间的关系。
解：研究整个机构。
系统的所有约束都是
完整、定常、理想的。
27
1、几何法：使A发生虚位移 rA ， B的虚位移 rB ，则由虚位移原理，
得虚功方程：
PrA QrB 0
而 rA sin rB cos
rB rA t g
(PQtg )rA 0
Fi ri izi ) 0
23
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0 ∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0
对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有( Fi Ni ) ri 0
与前题条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
25
二、虚位移原理的应用
1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4、求平衡构架内二力杆的内力。
26
例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之
(i 1,2,, n)
14
§13-3
虚位移和虚功
在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号表示虚位移。
M
15
虚位移与真正运动时发生的实位移不同。
实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际
7
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， x A r 0 是微分方程，但
经过积分可得到几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。

理论力学13虚位移原理

哈密顿原理的应用
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述虚位移原理的基本概念虚位移原理的应用虚位移原理的推导过程虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02

虚位移原理——精选推荐

虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。

虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。

另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。

一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。

其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。

变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。

等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。

即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。

在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。

例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。

计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。

(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。

新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。

返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。

如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。

约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。

理论力学--虚位移原理 ppt课件

用类似求微分的方法求虚位移的投影：
zi zi (q1, q2 , , qk )
xi

xi q1
q1

xi q2
q2

xi qk

qk

yi

yi q1
q1

yi q2
q2

yi qk

qk

zi

zi q1
q1

zi q2
q2
完整、双面、定常约束
r FRi

r ri
0
质点开始运动
r Fi

rri

r FNi
rri

0
因
r FNi
问题：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡，则所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？
平衡时主动力的虚功
rr
之和为零
平衡：Fi FNi 0 (i 1,L , n)
n
r (Fi

r FNi
)
•

r ri

0
i 1

r ri
r Fi
i
n
r Fi
•
r ri

n
r FNi
研究该平衡问题
图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件：
MC(F) 0
F1a F2b 0 （a）
能否研究诸力做功，而得到平衡条件？
动力学分析方法
构造“功”：假定系统运动了微小角度
则： s1 a tan
s2 b tan
1
F a F b 0 （a）

理论力学12—虚位移原理(选讲)

y A
j
d rA
dj
l
可得
δrB vB BC sin(j ) δrA vA AC cos

O

x
d rB
B
2. 解析法
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如
椭圆规机构如图, xA, yA坐标有约束方程
x y l
2 B 2 A
2
y dyA A(xA, yA)
由于d≠0, 于是得
FA 2FB tan
例: 图示机构中, 当曲柄OC绕轴摆动时, 滑块A沿曲柄自由滑动, 从而带动杆AB在铅垂导槽内移动。求机构 d rC 平衡时力F1与F2的关系。解1: (几何法)以系统为研 C d r A 究对象 , 受的主动力有 F1 、 F1 y F2。给系统一组虚位移如 A d j 图。
只能限制质点某方向的运动 , 而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束(非固执约束)。其约束方程的一般形式为
f j ( x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0
15.1.1 约束类型及分类四、完整约束与非完整约束如果约束方程中不包含坐标对时间的导数 , 或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式 , 这类约束称为完整约束。如果在约束方程中包含坐标对时间的导数 , 并且方程不可能积分为有限形式 , 这类约束称为非完整约束。
y

yA r
0
运动约束方程的一般形式为
C
f j ( x1, y1, z1, , xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0
15.1.1 约束类型及分类二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。在定常约束中不显含时间t。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。