人教A版高中数学选修2-1课件空间向量及其运算.pptx

高中数学课件
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平面向量复习
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A 有向线段AB
2)字母表示 a AB 向量的模 :| a || AB |
3)坐标表示
a xi y j (x, y)
a OA (x, y) 点A(x, y) a AB (xB xA, yB yA )
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
阅读教材选修2-1P84
空间向量的坐标表示及运算
A(x1, y1, z1) OA (x1, y1, z1) B(x2 , y2 , z2 ) OB (x2 , y2 , z2 ) AB OB OA AB OB OA (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
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例1、正方体棱长为1,试写出FC、EC′的坐标。
F E
练1.长方体ABCD-ABCD，AB=1，BC=2，AA=3,
O为正方形ABCD的面心，建立直角坐标系，
试写出BD， AO， 1 AO 的坐标. 3
D
C
.O
A
B
D
C
A
B
空间向量的坐标运算
a (x1,y1,z1),
二.基本运算（坐标途径）
若a (x1, y1), b (x2 , y2 ),则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 )
2)a b (x1 x2 , y1 y2 )
3) a (x1, y1 )
4)a b x1 x2 y1 y2
| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)
二.基本运算（向量途径） 3.实数与向量的积 a是一个向量
其长度：| a || | | a |
其方向：若a 0,则
当 0时， a与a同向； 当 0时, a与a反向； 当 0时 a 0方向任意 若a 0,则对于任意的实数，都有 a 0
b

(x2
,y 2
,z 2
)
a b (x1 +x2,y1+y2,z1 z2 )
a b (x1 -x2,y1-y2,z1 z2 )
a (x1,y1,z1)
a b x1x2 +y1y2 +z1z2
例2.已知a (3,2,5), b (1,5,-1),求：
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0 (7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a|
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
x1 y2 x2 y1 0
2.非零向量a和b
a b ab 0
x1 x2 y1 y2 0
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的 向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1 , 2 , 使a 1e1 2 e2 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底.
一.基本概念
7.两个非零向量的a与夹角b
A
[0, ]
B
C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径）
1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC 首尾相接
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中，a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
A(x1, y1, z1) B(x2 , y2 , z2 )
AB OB OA (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
2、空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似
a b x1x2 +y1y2 +z1z2 =0
a//b
x1
=
x
2，y1=
y2，z1
=
z 2
cos a,b a b
a+b=
3a b
6a
ab
练3.已知a (2,3,1), b (2,0,3), c (1,0, z), (1)求a+6b-8c ； (2)若(a b) c,求z的值.
空间向量的坐标运算
a (x1,y1,z1),
b

(x2
,y 2
,z 2
)
a b a b=0 x1x2 +y1y2 +z1z2 =0
a//b
a= b

x1
=
x2，y1
=
y2，z1=
z 2
| a | x12 y12 z12 | b | x22 y22 z22
cos a,b a b | a || b |
x1x2 +y1y2 +z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
x1x2 +y1y2 +z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
例3.已知a (3,5,-7), b (-4,2,3), c (6,y, z), (1)若a//c，求y z； (2)求cos a,b .
练4.已知FC=(- 1 ,1,- 1 ), EC=(-1, 1 ,1)，
22
2
求异面直线FC和EC的夹角余弦值.
F
E
小结： 1、空间向量的坐标表示
a是 一 个 与a共 线 的 向 量
二.基本运算（向量途径）
4.两个非零向量的a与数量b 积
a b | a | | b | cos
运算律
向量数量积的几何意义
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
| b | cos a b 注意：投影为实数，
| a | 可正可负可为零
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB 共起点
在 及同 其一 模个的平关行系四边形中把握：a, b, a b, a b
D
b
Aa
C AB DC; AD BC
AC a b;
B
DB a b
|| a | | b ||| a b || a | | b |
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a) a,a (a) 0
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
5) | a | a a
x12

y
2 1
6) cos a b
|a||b|
x1 x2 y1 y2
x12

y
2 1

x
2 2

y
2 2
三.两个等价条件
若a (x1 , y1 ), b (x2 , y2 ), 则
1.向量b和非零向量a
b / /a 有唯一的实数，使b a