杨辉三角ppt

第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
C n2 n1
1
C n1 n
1
2、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除
其第余0行的所有数，则行数1P是 质 数 ( 素 数 )
2
练习3：
3
56
9 10 12
17 18 20 24
33 34 36 40 48
65 66 68 72 8 0 96
则表中各数按从小到大的顺序排列， 第100个数是 多少？
分析:首先计算第100 个数位于表中第几行, ∵ 1 + 2 + 3 + … + 13 = 91 ∴第100 个数位于第 14 行,第 9 个数 其次计算第 14 行第1个数: 3 + 21 + 22 + … +213 = 16385 最后计算第 9 个数: 16385 + 20 +21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
C
r n
C r1 n1
C
r n1
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
奖品高于中间区奖品？
“概率三角形”
1
1
1
1
2
2
1
2
1
4
4
4
1
3
3
1
8
8
8
8
照这样计算第n+1层有n+1个通道， 弹子通过各通道的概率将是？
与杨辉三角有何关系？
3.杨辉三角与“纵横路线图”
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如 图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如 果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那 么有多少种不同的走法？
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
C n2 n1
1
C n1 n
1
练习1:
（04. 上海春季高考）如图，在由二项式系
数所构成的杨辉三角形中，第__3_4__行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 : 3 .
练习2：
1
2
2
34
3
47
74
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
则第n 行（n≥ 2 ）第2个数是什么？
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 , an+1 = an + n ∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1) n2 n 2
Ck k
)(a
b)
Ck0ak1 Ck1akb Ckr1akrbb1 Ckkabk
C k0a k b
C
r k
a
k
r
br1
C kk 1ab k
C kk b k 1
=
C k0a k +1
+
(C
1 k
Ck0
)a k b
+ +
(C kr +1
Ckr
)a k r bb+1
+
+
(C
k k
C
k－1 k
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
Cnnbn
证明：1)当n=1时，左边＝a+b,右边＝a+b 所以等式成立．
2）假设当n=k时等式成立，即
(a
b)k
C k0a k
Ck1ak b1 1
Cr k
a
k
r
br
Ck k
b
k
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(C
a0
k
k
C a b 1 k1 1 k
C a b r kr r k
C2 r2
Cnn1r1
C nr n
1
(n
r)
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.这如就图是，著写名出的斜斐线波上那各契行数数列字的。和，有什么规律？
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
C
r n
C r1 n1
C
r n1
3）杨辉三角具有对称性
Cr n
C nr n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开
式的二项式系数即
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnranrbr Cnnbn
求证：(a
b)n
C n0a n
C a b 1 n1 1 n
C a b r nr r n
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
五、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
杨辉三角的其它规律
1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行
杨辉三角的1 第1 23k-21行31(1k是正整数)
第4行
1 4 6 41
第的5行各个数字1都是5 奇10数。10 5 1
兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内
跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层
阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终
小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区
)abk
+
C
k k
b
k
+1
利用组合数的重要性质可得
(a
b)k1
C a0 k1 k 1
C a b 1 k 1 k 1
C a b r1 kr r1 k 1
C b k1 k1 k1
二.引入:
1. 斐波那契“兔子繁殖问题”:
中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
=16640
研究性课题：
杨辉三角
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cnr
C r1 n1
Cr n1
… … 第n-1行
的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？
A
B
从某种意义上说, 发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
12
4=1+3
10=6+4 15=5+10
1
1
C n1 n
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6
C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20
C3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
(n>r)
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cnr1
Cnr 1 (n
r)
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
即
Cr0
C1 r 1
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 Baidu Nhomakorabea1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
C n1 n
一.复习:杨辉三角的基本性质
1）表中每个数都是组合数，第n行的第
r+1个数是
C
r n
n! r!•(n r )!
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余
的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ 1 （第1条斜线 ）
Cn
C 1＋2＋3＋
．．．＋
C1 ＝ n1
2 （第2条斜线 ）
n
C 1＋3＋6＋
．．．＋
C2 ＝ n1
3 （第3条斜线 ）
n
C C 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ n1
4 （第4条斜线 ）
n
? C r r
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n