28.2 解直角三角形的应用2

合集下载

2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)

28.2 解直角三角形（二）1.如图1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=3/5，则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1a图1 图２图3 图42，图2在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=____，AD=____.（用根号表示）3.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）4.如图4，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）5.如图5，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(s inα－cosα) D.a(tanβ－tanα)图5 图6 图7 图86.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7.如图7，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）8.如图8,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）(sin44°= 0.6946 ,sin32°)= 0.5299, tan32° = 0.6248)图910.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图1028.2 解直角三角形（三）一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°2.如图1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32 m,则坡角为_______. 二、课中强化(10分钟训练)1树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是____ m. 2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是______________ (tan40° = 0.8391). 3.如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ，求乙楼CD 的高.三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( ) A.3310B.33C.3315 D.32.Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________. sinA≈0.666 73.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图45.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）(，，）图56.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图628.2 解直角三角形（二）参考答案1.如图1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是()图1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C2.如图２，在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:33103353.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图3解：设EF 为x 米，在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ，在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.4.如图4，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图4解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE,∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2).∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m).答：树高BC 为(4+23) m.5.如图5，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为()图5A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D6.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图6解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:127.如图7，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图7解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.8.如图8,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图8解:继续向东行驶,有触礁的危险. 过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°. 设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDxBD CD =,∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）. （1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图9解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473. 在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554.∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米, （2）如图，在Rt △ABC 中， BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597. 在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558，∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.10.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图10解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xxx x x +12.AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.28.2 解直角三角形（三）参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )A.已知b=3，∠C=90°B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C 正确. 答案：C2.如图-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.图1解：过C 点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt △ACE 中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.∴AB=AE+CD=11(m). 答案：113.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32m,则坡角为_______.解：设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132=-，∴坡角为60°.答案：60°二、课中强化(10分钟训练)1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是_______________ m.解析：如图，在Rt △ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB=AACcos =10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案：152.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.解析：如图所示，作CD ⊥A B ,在Rt △ADC 中,得AD=6,∠ACD=50°，∴CD≈5.03，∴面积为30.18.答案：30.183.如图28-2-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.图2解：过D 点作DE ⊥AB 于E 点，设AC=x ，则AE=x.在Rt △BED 中，得到BE=3,又由AB 2=AC 2+BC 2，得（3+x ）2=x 2+27,解得x=3,AB=6, sinB=21,∴∠B=30°.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ，求乙楼CD 的高.图3解：过点A 作AE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=38.在Rt △AEC中,∠CAE=α,BD=38,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( )A.3310 B.33 C.3315 D.3解析:如图，∵AC ⊥BD,∴AD=331030cos 5=︒. 答案：A2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°. 答案：41.8°3.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）解：过A 作BC 的垂线，垂足为D. 在Rt △ADB 中，∠B=60°， ∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°=33AD. 在Rt △ADC 中，∠C=45°，∴CD=AD. 又∵BC=200，∴BD+CD=33AD+AD=200. ∴AD=331200≈126.8(米).答：这段河宽约为126.8米.4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图4解：作高AE 、DF ，则BE=4,CF=8. ∴CB=28（米）.5.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）图5解：在Rt △ABD 中,AB=9,∠BAD=18°， ∴BD≈2.9.∴CD=2.4.在Rt △CDE 中,∠DCE=18°, ∴CE≈2.3(米). 答：略.6.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图6解：如图，作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,设山高为x 米，在Rt △ADE 中，DE=90，AE=390,∴DF=x-390,BF=x-90.在Rt △BFD 中，DF ∶BF=tan30°, ∴x=90+390（米）.。

28.2.2解直角三角形应用举例(2)

12 x
解得x=6
AF 3x 6 3 10.4 10.4 > 8没有触礁危险
5
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
(2)两个锐角之间的关系 A B 90;
2
方位角
❖ 正南或正北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
❖ 如图：点A在O的北偏东30° ❖ 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
3
例5 ：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80n
b
a
由锐角求三角函数值
计算器
由三角函数值求锐角
18
课堂小结
1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
28.2.2 解直角三角形应用举例（2）
1
复习巩固
1、解直角三角形指什么？
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素 (至少有一个是边)，就可以求出另三个未知元素。
2、解直角三角形主要依据什么？
(1)三边之间的关系 a2 b2 c2;
sin B PC PB

28.2(2)解直角三角形应用2

仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多高?
B
其底部C的俯角a＝45, 求两座建筑物AB及CD的高. （精确到0.1米）
B
C
（第 2 题）
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案;
解：∵∠C＝90°
A
b ∴sinB= c
a cosB= c
∴b=sinB ×c=cos72 ° ≈4.32
a=conB×C=14×COSB≈13.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c=14 b B aC
∠A=90°-∠B=18°
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
cosO cosa OQ 6400 0.9491 OF 6400 343
a 18.36
F
P Q
α O·
∴ P⌒Q的长为:
18.36 6400 18.36 3.14 6400 2051(km)
180
180
答：当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km

人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用

课堂小结
解直角三角形
依据
勾股定理两锐角互余锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。

人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)

师：尝试写出∠A 的三角函数。

生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。

指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。

28.2.2“化斜为直”构造直角三角形的四种常用方法

2 ．如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∠ A ＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长BC，AD交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝
AB tan E
2 tan 30
＝2
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝
1 2
BC＝
1 2
×8＝4，
1 ∠ ∵B∠ABEP＝C＝2 ∠12 ∠BABCA.C， ∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
AE＝ AB2 BE2 52 42 ＝3，
∴tan
∠BPC＝tan
∠BAE＝
BE AE
4 3
3，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos 30°＝2× 3 3 . 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝
1 AB·BE－ 1 CD·ED＝
2
2
12×2×2
3
－
1 2
×1×
33 3 2
.
返回
方法 3 有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.
∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝ 3 x.
∵BC＝1＋ 3 ，∴ 3 x＋x＝1＋ 3 ，
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cos ∴AB＝ BD 1
B＝＝2.
BD AB

28.2.2解直角三角形的简单应用PPT课件

180
180
新知讲解
归纳总结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案.
新知讲解
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
结果取整数）？取3.142，
F
P
Q
O
新知讲解
解：设∠POQ= ，∵FQ是☉O的切线，
∴△FOQ是直角三角形. ∵cos OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
∴ 18.36 .
F
P
Q
O
∴PQ 的长为
18.36 6400 18.36 3.142 6400 205（ 1 km).
∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树
距离的有（ D ）
A．0组
B.1组
C．2组
D.3组
学以致用
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.问：超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？
A
①
D
②
B
C
分层教学做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
1、2组
如图，在离地面高度为5m的C处引
拉线固定电线杆，拉线与地面成α角，
则拉线AC的长为

人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用课件2 【经典初中数学课件】

合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
P A O 3 0 , P B O 4 5
POtan30,POtan45P
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高
AB等于 100( 31)m（根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2
cm
2
（根号保留）．
思考：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场地的面积．
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
仰角 B
αD Aβ
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
水平线
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
taanBD ,tanCD
AD AD
B A D tD a a 1 n 2 ta 3 0 n 0
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=
tan
B
┌
A
C
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）

人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比

达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位

人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用优秀教学案例

（二）讲授新知
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。

28.2.2解直角三角形(2)

B 900 A B 900 A
在Rt△ABC中, ∠ C=Rt ∠，根据下列条件，解直角三角形．
350 6400 6400
课堂小结：
解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮助思考、防止出错．
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
驶向胜利的彼岸
小结
拓展
解直角三角形
(1)三边关系：
a2+b2=c2；
∠A+∠B=90°；
(2)锐角之间关系：
(3)边角之间关系
• 解三角形

回味无穷驶向胜利
的彼岸
B
C
60
D
45
A
3、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B 的仰角为 600，杆底C的仰角为450，已知旗杆高 BC=20米，求山高CD。
B 20
C
x
60
D
45
A
4、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB.
解直角三角形（2）
回顾与思考 1
直角三角形的边角关系
a2+b2=c2.
直角三角形三边的关系: 勾股定理
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 a a b sin A cos B , cos A sin B , tan A = b c c 互余两角之间的三角函数关系:

28.2.2解直角三角形的应用仰角与俯角

3、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
30°
三角函数
sin a
1
2
45°
60°
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
tan a
3
3
1
1
2
3
向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅垂线
视线
水平线
仰角
俯角
视线
情境问题1.
如图，某飞机于空中A处探测到地面目标C，此时飞行高度
x
B
30°
400米
A
解题思想与方法小结：
1.将实际问题转化为解直角三角形的问题，如
果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助
线，构造出直角三角形. （转化思想）
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数
或方程去解直角三角形。
（数形结合思想）
（方程思想）
布置作业：
1、课本78页第3/4/8题。
2、练习册：第2课时。

=

CE=120
E
A
30米
CD=30+120
B
120米
D
？
小试牛刀!
1、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观察
旗杆顶部A的仰角为60°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆
的高度. （结果保留根号）
巩固提升一：
热气球的探测器显示，从热
气球看一栋高楼顶部的仰角为
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角为300，求飞机A

解直角三角形的应用——坡度问题.2_解直角三角形(坡度问题)

h i tan l
的关系
h i l h 水库 α
显然，坡度越大，坡角
就越大，坡面就越陡.
l
h α
L
45 度。 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______
1: 3 。 2、斜坡的坡角是300 ，则坡比是 _______
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______
C
i 1: 3
α D
A
E
F
BC EF 4, AE DF 6 3 AD AE EF DF 6 3 4 6 3 12 3 4
• （2） tan i 1 : 3
30
答：路基下底宽AD为 12 3 4 米，坡角为 30 。
结束寄语
业精于勤而荒于嬉
B
C
(
24°
5.5 A
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
中考语录
•中考是一场跳高比赛，取胜关键在于你起跳时对大地用力多少!
28.2解直角三角形的应用
——坡度问题
1.坡度与坡角
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l的比叫做坡度
h 坡度一般用i来表示，即 i ,一般写成 l
i=1:m,如i=1:5 （或坡比）
(2)坡面与水平面的夹角叫坡角 2.坡度与坡角

28.2.2解直角三角形的简单应用(教案)

-在实际问题中，识别和应用直角三角形及其对应的三角函数；
-解决含有多个未知数的复杂直角三角形问题。
举例：
a.难点一：理解正弦、余弦、正切函数的定义。教师需通过直观的图形演示和具体实例，帮助学生理解在直角三角形中，这些函数值是如何得出的，以及它们与角度和边长之间的关系。
b.难点二：在实际问题中应用三角函数。教师可设计一些贴近生活的实例，如测量树的高度、建筑物之间的距离等，指导学生如何从实际问题中抽象出直角三角形的模型，并运用三角函数求解。
4.引导学生将解直角三角形的理论知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。
本节课将围绕以上内容展开教学活动，注重培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用三角函数的定义和性质，解决直角三角形中的问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

28.2.4 解直角三角形在实际中的一般应用 (2)

返回
4．如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为
35°，高CD为3 m，则斜梁AC的长为( D )
3 A. cos 35 m C．3sin35° m
3 B. tan 35 m D. 3 m
sin 35
返回
5．(中考·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分
成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间 5
第二十八章锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用第4课时解直角三角形在实际中的一般
应用
1
2
3
6
9
10
知识点
利用解直角三角形解一般实际应用
1．利用解直角三角形解实际应用的一般方法：
(1)建立数学模型，将___实__际___问题转化为___数__学___问题；
(2) 根据问题中的已知条件，将数学问题转化为解
子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线刚好
不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为( D )
A．1.8tan80°m
B．1.8cos80°m
C. 1.8 m
D. 1.8 m
返回
sin 80
tan 80
7．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6 m，
此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的
解：∵在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，
且CD＝2.3，∴BC＝2.3.
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，
∴tan 70.5°＝ AC AD 2.3 ≈2.824， BC 2.3
解得AD≈4.2(米)．
答：像体AD的高度约为4.2米．
返回
题型 2 解直角三角形在求距离中的应用