三、 弹性力学有限元法基本原理(二)

每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。


单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应 该具有一致的均匀值。
• 上述要求可以概括为两个收敛准则：
准则1 ：完备性要求
对弹性力学问题，单元位移模式必须包含一次完全
多项式。
满足上述要求的单元称为完备单元。
v N1v1 N 2 v2 N 3v3 N 4 v4
其中 N1 ~ N 4 为插值函数——形函数。具体表达式为：
N1 N2 N3 N4
1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4
是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如果单元尺寸趋于
零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是 原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。 • 在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单 元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于 消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。 • 不难证明，3节点三角形单元满足完备性准则和协调性准则。
•
当单元尺寸趋于零时，单元中的位移和应变应该就是结构中该点 上的刚体位移和基本常应变。因此，只有满足准则1才能使有限元
解具有上述特性，收敛到真正解。
• 准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能
原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要 满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就
e e
e
应变矩阵B B1 B 2 B3 B 4
N i x 其中： B i LN i 0 N i y N i 0 b N i 1 0 y ab N N i a i x 0 b i (1 i ) 1 0 a i (1 i ) 4ab a i (1 i ) b i (1 i ) 0 N a i N i b
效途径。
2、 六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元
位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所示
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式
多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数，
即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。
• 关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证
3、收敛速度、精度及其意义

如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
•
根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
其中
u N1u1 N 2 u2 N 3u3 N 4 u4
v N1v1 N 2 v2 N 3v3 N 4 v4
N N1I N 2I N 3I N 4I
（3）单元应变
• 把位移模式代入平面问题几何方程：
Lu LNa Ba B1 B 2 B3 B 4 a
第三单元 弹性力学有限元法基本原理（二）
第一节 有限元解的性质和收敛准则
1、有限元解的收敛准则
• 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊
形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过 受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件：
除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即
明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。
•
准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体
位移和常应变的能力。
•
如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体 位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元内部位 移场是在相邻的其它单元位移——刚体位移基础上，迭加本单元 弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地 的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。

对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的 低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位 移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor 展开中的前p阶。因此有限元位移解的误差是 O ( h p 1 ) ，这只是一 种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。
（5）单元刚度矩阵
• 矩形单元的刚度矩阵为4×4子块矩阵：
K 11 K K e 21 K 31 K 41
K 12 K 22 K 32 K 42
K 13 K 14 K 23 K 24 K 33 K 34 K 43 K 44
K e BT DBtdxdy
4、有限元位移法解的下限性质
•
由有限元模型的离散总势能表达式和最小势能原理可以推出： 有限元近似解的应变能小于真正解的应变能，因此有限元位移 解总体上不大于真正位移，即有限元位移解具有下限性质。
•
可以在物理上作出如下分析：连续弹性体具有无限多个自由度， 应用有限元位移法后，在单元上假定了具有有限自由度的位移 模式，这种假定位移场对单元实际的变形进行了约束，使单元 刚化，弹性体的整体刚度随之增加，因此求得的位移总体上小 于精确解。
e
其中一个子块为：
K rs BT DB s tdxdy r
(r , s 1,2,3,4)
（6）4节点矩形单元讨论：精度、收敛性、缺点、如何克服其缺点？
• 4节点矩形单元采用了双线性位移模式，应力可以沿坐标轴呈线性 变化，因而在某些情况下精度比3节点三角形单元高。
•
由于位移模式在单元边界上线性变化，并且根据单元公共边界上

例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估 计是 O(h 2 ) ，也可以说该单元的收敛速度是
O(h 2 ) 量级。即，
如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差 大约是前一种网格的(1/2)2 = 1/4。显然，该单元应变、应力解的 收敛速度是 O (h ) 量级。
局部坐标系ξ-η。坐标轴平行于 矩形的两边。则ξ，η与x，y之间
有简单变换关系：
x x0 a y y0 b
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
第二节 矩形单元和高精度三角形单元
•
•
三节点三角形单元有那些缺点？
三节点三角形单元精度低，在单元内不能反映应力应变的 变化，收敛速度慢。这一切都是因为该单元只有3个节点， 单元自由度少，单元位移模式只能是线性的，描述单元内 位移变化的能力差。
•
•
如何解决三节点三角形单元精度低的问题？
解决这个问题的办法是采用具有更多节点数的高精度单元。 对平面问题，先考虑采用矩形单元和高精度三角形单元。
(i 1,2,3,4)
• 显然，矩形单元的应变矩阵元素是坐标的线性函数，因此单元
内的应变随位置线性变化。但x方向正应变随y线性变化，y方向
正应变随x线性变化。
（4）单元应力
D DBae Sae S1 S 2 S3 S 4 ae
• 应力矩阵的子块：
0 ai (1 i ) b i (1 i ) E0 b (1 ) S i DBi ai (1 i ) 0 i i 2 4ab(1 0 ) 1 1 0 0 ai (1 i ) b i (1 i ) 2 2 (i 1,2,3,4)
两个共同节点位移插值得到，因此单元的协调性得到满足，同时 也满足完备性，因此单元是收敛的。
•
该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界， 这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元， 便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有
1 ~ 8 为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函
数，由于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
•
如何建立以节点位移作为广义坐标的单元位移模式？
•
对上述位移函数在单元内进行插值，建立广义坐标与单元节点位
移分量之间的关系，得到节点位移插值形式的位移模式如下：
u N1u1 N 2 u2 N 3u3 N 4 u4
•
实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题，
可采取下列办法：
（1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同， 网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作 为实际问题的误差。
（2）根据收敛的含义，可以对网格进行连续多次细化，当两次网格的 解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。
试探函数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理
的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值—— 最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值 （常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。
•
根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解 收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满 足下列要求：