12.4用公式法进行因式分解(2)
新旧版青岛版初中数学教材(总目录)对照
新旧版青岛版初中数学教材（总目录）对照旧版青岛版初中数学教材七年级上册第1章基本的几何图形 1.1 我们身边的图形世界 1.2 几何图形1.3 线段、射线和直线 1.4 线段的比较与作法第2章有理数2.1 有理数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法 3.2 有理数的乘法与除法 3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1 普查和抽样调查 4.2 简单随机抽样 4.3 数据的整理 4.4 扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识 5.1 用字母表示数 5.2 代数式 5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量 5.5 函数的初步认识第6章整式的加减6.1 单项式与多项式 6.2 同类项 6.3 去括号 6.4 整式的加减第7章数值的估算 7.1 生活中的数值估算 7.2 近似数和有效数字 7.3 估算的应用与调整第8章一元一次方程 7.1 等式的基本性质 7.2 一元一次方程7.3 一元一次方程的解法 7.4 一元一次方程的应用2021新版青岛版初中数学教材七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时） 1.1 我们身边的图形世界1课时 1.2 几何图形2课时1.3 线段、射线和直线2课时 1.4 线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1 有理数1课时 2.2 数轴2课时 2.3 相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时） 3.1 有理数的加法与减法4课时 3.2 有理数的乘法与除法3课时 3.3 有理数的乘方2课时3.4 有理数的混合运算1课时3.5 用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1 普查与抽样调查1课时 4.2 简单随机抽样1课时 4.3 数据的整理1课时 4.4 扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1 用字母表示数1课时 5.2 代数式2课时 5.3 代数式的值1课时5.4 生活中的常量与变量2课时 5.5 函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时） 6.1 单项式与多项式1课时 6.2 同类项2课时 6.3 去括号1课时 6.4 整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时） 7.1 等式的基本性质1课时 7.2 一元一次方程1课时7.3 一元一次方程的解法2课时 7.4 一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七年级下册第9章角 9.1 角的表示 9.2 角的比较 9.3 角的度量 9.4 对顶角9.5 垂直第10章平行线 10.1 同位角10.2 平行线和它的画法 10.3 平行线的性质 10.4 平行线的判定第11章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形 11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第12章二元一次方程组 12.1 认识二元一次方程组 12.2 向一元一次方程转化 12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第13章走进概率 13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件 13.3 可能性的大小 13.4 概率的简单计算课题学习掷币中的思考第14章整式的乘法 14.1 同底数幂的乘法与除法 14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学记数法14.4 积的乘方与幂的乘方 14.5 单项式的乘法 14.6 多项式乘多项式第15章平面图形的认识 15.1 三角形 15.2 多边形15.3 多边形的密铺 15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图七（下）（61课时）第8章角（7课时） 8.1 角的表示1课时 8.2 角的比较1课时 8.3 角的度量2课时 8.4 对顶角1课时 8.5 垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1 同位角、内错角、同旁内角1课时 9.2 平行线和它的画法1课时 9.3 平行线的性质1课时 9.4 平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时） 10.1 认识二元一次方程组1课时 10.2 二元一次方程组的解法2课时 *10.3 三元一次方程组2课时 10.4 列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时） 11.1 同底数幂的乘法1课时11.2 积的乘方与幂的乘方2课时 11.3 单项式的乘法2课时 11.4 多项式的乘法2课时 11.5 同底数幂的除法1课时11.6 零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时） 12.1 平方差公式1课时 12.2 完全平方公式2课时12.3 用提公因式法进行因式分解1课时 12.4 用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时） 13.1 三角形4课时13.2 多边形2课时 13.3 圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时） 14.1 用有序数对表示位置1课时 14.2 平面直角坐标系1课时14.3 直角坐标系中的简单图形2课时14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时回顾与总结1课时八年级上册第1章轴对称与轴对称图形 1.1 我们身边的轴对称图形 1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线 1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质 1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第2章乘法公式与因式分解 2.1 平方差公式 2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解 2.4 用公式法进行因式分解第3章分式3.1 分式的基本性质 3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法 3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法 3.6 比和比例 3.7 分式方程第4章样本与估计 4.1 普查与抽样调查 4.2 样本的选取 4.3 加权平均数4.4 中位数 4.5 众数4.6 用计算器求平均数课题学习学生课外生活情况的调查第5章实数 5.1 算术平方根 5.2 勾股定理5.3 2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形 5.5 平方根 5.6 立方根 5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根 5.9 实数第6章一元一次不等式 6.1 不等关系和不等式 6.2 一元一次不等式 6.3 一元一次不等式组八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时） 1.1 全等三角形1课时1.2 怎样判定三角形全等4课时 1.3 尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时） 2.1 图形的轴对称1课时2.2 轴对称的基本性质2课时 2.3 轴对称图形1课时2.4 线段的垂直平分线2课时 2.5 角的平分线1课时 2.6 等腰三角形3课时回顾与总结2课时第3章分式（15课时）3.1 分式和它的基本性质2课时 3.2 分式的约分1课时3.3 分式的乘法和除法1课时 3.4 分式的通分1课时3.5 分式的加法与减法2课时 3.6 比和比例3课时 3.7 分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时） 4.1 加权平均数2课时 4.2 中位数1课时 4.3 众数1课时4.4 数据的离散程度1课时 4.5 方差2课时4.6 用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时综合与实践统计开放日模拟现场会（暂定）2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1 定义与命题1课时 5.2 为什么要证明1课时 5.3 什么是几何证明1课时5.4 平行线的性质定理和判定定理1课时 5.5 三角形内角和定理2课时 5.6 几何证明举例4课时回顾与总结2课时八年级下册第7章二次根式7.1 二次根式及其性质 7.2 二次根式的加减法 7.3 二次根式的乘除法第8章平面图形的全等与相似 8.1 全等形与相似形 8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等 8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似 8.6 相似多边形课题学习有趣的分形图第9章解直角三角形 9.1 锐角三角比9.2 30，45，60角的三角比 9.3 用计算器求锐角三角比 9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第10章数据离散程度的度量 10.1 数据的离散程度 10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准差第11章几何证明初步 11.1 定义与命题11.2 为什么要证明 11.3 什么是几何证明 11.4 三角形内角和定理 11.5 几何证明举例 11.6 反证法八（下）(61课时)第6章平行四边形（11课时） 10.1 平行四边形及其性质2课时 10.2 平行四边形的判定2课时 10.3 特殊的平行四边形4课时 10.4 三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第7章实数（15课时） 6.1 算术平方根1课时 6.2 勾股定理1课时 6.32是有理数吗2课时6.4 由边长判定直角三角形2课时 6.5 平方根1课时 6.6 立方根1课时6.7 用计算器求平方根与立方根2课时 6.8 实数3课时回顾与总结2课时第8章一元一次不等式（8课时） 7.1 不等式的基本性质2课时 7.2 一元一次不等式2课时7.3 列一元一次不等式解应用题1课时 7.4 一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第9章二次根式（7课时） 8.1 二次根式和它的性质3课时 8.2 二次根式的加减法1课时8.3 二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第10章一次函数（9课时） 9.1 函数的图象2课时9.2 一次函数和它的图象2课时 9.3 一次函数的性质1课时9.4 一次函数与二元一次方程1课时 9.5 一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第11章图形的平移和旋转（9课时） 11.1 图形的平移3课时 11.2 图形的旋转3课时 11.3 图形的中心对称2课时回顾与总结1课时综合与实践哪条路径最短九年级上册第1章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质 1.2 平行四边形的判定 1.3 特殊的平行四边形 1.4 图形的中心对称 1.5 梯形1.6 中位线定理第2章图形变换2.1 图形的平移 2.2 图形的旋转 2.3 图形的位似第3章一元二次方程 3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程 3.3 用公式法解一元二次方程 3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件 4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系 4.5 三角形的内切圆 4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时） 1.1 相似多边形1课时1.2 相似三角形的判定5课时 1.3 相似三角形的性质1课时 1.4 图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时） 2.1 锐角三角比1课时2.2 30°，45°，60°角的三角比1课时 2.3 用计算器求锐角三角比2课时 2.4 解直角三角形2课时2.5 解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时） 3.1 圆的对称性3课时 3.2 确定圆的条件2课时 3.3 圆周角3课时3.4 直线与圆的位置关系4课时 3.5 三角形的内切圆1课时3.6 弧长与扇形面积计算1课时 3.7 正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时） 4.1 一元二次方程2课时4.2 用因式分解法解一元二次方程1课时 4.3 用配方法解一元二次方程2课时 4.4 用公式法解一元二次方程3课时*4.5 一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时） 5.1 随机事件1课时 5.2 概率的意义1课时 5.3 概率的简单计算2课时 5.4 用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时感谢您的阅读，祝您生活愉快。
因式分解方法公式法
因式分解方法公式法
因式分解是一种数学方法，它可以将一个多项式分解成较小的因子。
其中，公式法是一种使用预先确定的公式来求解因式分解的方法。
具体来说，公式法的步骤如下：
1. 针对不同类型的多项式，选择相应的公式。
2. 将多项式按照公式中的形式进行变形。
3. 根据变形后的形式，找到多项式的因子。
4. 反复使用公式和因子，直到无法继续分解为止。
举个例子，假如要对多项式x²- 5x + 6进行因式分解，可以使用如下的公式：
x²- ax + b = (x - m)(x - n)
其中，m和n是满足以下条件的两个数：
1. m + n = a
2. mn = b
将多项式按照公式的形式进行变形，得到：
x²- 5x + 6 = (x - m)(x - n)
根据变形后的形式，我们需要找到满足以下条件的m和n：
1. m + n = 5
2. mn = 6
经过一些简单的计算，得到：
m = 2，n = 3
因此，最终得到因式分解式为：
x²- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
注意，公式法只适用于特定类型的多项式，对于其他类型的多项式可能需要使用其他的方法进行因式分解。
用公式法进行因式分解“五技巧”
用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解． 解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-； （2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -； （2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件． 解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1一. 教材分析本节课的主题是“用公式法进行因式分解（1）”，这是青岛版数学七年级下册的教学内容。
因式分解是初中学段数学的重要内容，是解决各种数学问题的基本技能。
通过本节课的学习，学生将掌握因式分解的基本方法，提高解决数学问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的运算、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够培养数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学学习的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握因式分解的基本方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.难点：学生能够理解因式分解的原理，能够灵活运用公式法进行因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生发现因式分解的规律，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学资源和教学工具。
2.学生准备：学生需要预习教材内容，了解因式分解的基本概念和方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入因式分解的概念，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
2.呈现（10分钟）教师展示因式分解的定义和基本方法，引导学生发现因式分解的规律。
3.操练（10分钟）教师提出一些因式分解的问题，学生分组讨论，共同解决问题。
初中数学_用公式法进行因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计学情分析学生已经学习了乘法公式中的完全平方公式和平方差公式，在上一节课学习了提公因式法和平方差公式分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。
学生已经建立了较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
效果分析通过本节课的学习，大部分学生能够发现用公式法进行因式分解与乘法公式互为逆运算，能够说出平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能运用公式法进行因式分解。
但一部分同学因为公式不熟，用错公式，还有几个同学对因式分解的概念理解不足，在计算时错用乘法公式，因此还应多加强练习，并及时反馈。
总体来说，安排的检测题题型并不复杂，直接运用公式不超过两次，习题难易有梯度，满足不同层次学生的需要。
教材分析分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如： 将分式通分和约分，二 次 根 式 的 计 算 与 化 简 ， 以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时， 在因式分解中体现了数学的众多思 想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要 内容。
根据《课标》的要求，本 章 介 绍 了 最 基 本 的 两 种 分 解 因 式 的 方 法 ： 提公因式 法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
因此公式法是分解因式的重要方法之一， 是现阶段的学习重点。
评测练习一、选择题(5分)1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A.y 2－49x 2B.4491x - C.－m 4－n 2 D.9)(412-+q p2.下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ） A.a ²+b ² B. －a ²－b ² C.－a ²+b ² D. a ²+(-b)²3．下列因式分解错误的是（ ） A.1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B.x 3－x ＝x （x 2－1）C.a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D.)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4.下列各式分解因式的结果是-（2x-y ）(2x+y)的是（ ） A.4x ²-y ²B. 4x ²+y ²C. -4x ²-y ²D. -4x ²+y ²5.把x ²-22x+121分解因式可得（ ） A.（x-11）² B. （x+11）² C. x(x-22)+121 D.(x-11)(x+11)二、解答题（10分）1.9a 2－41b 2 2.9a 2+6ab+b 23.m 2–9132+m 214.4x x ++2225.25a b c -课后反思没有一节课能够做到真正的完美,总是会有这样那样的不足,而这些不足和遗憾,正是提升我们教学水平的动力。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
因式分解十二种方法公式
因式分解十二种方法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个多项式分解为若干个因子的乘积。
在因式分解中，有许多不同的方法和公式可以使用。
下面将介绍十二种因式分解的方法和公式。
一、公式法公式法是一种较为常用和简便的因式分解方法。
它利用一些已知的公式，将多项式分解为更简单的形式。
例如，我们可以利用平方差公式将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
又如，利用差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
二、提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法。
它利用多项式中的公因式，将多项式分解为公因式和余项的乘积。
通过提取公因式，可以简化多项式的形式，便于后续的计算和分解。
三、配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在二次项的情况。
配方法通过将多项式中的一部分进行配方，从而将多项式分解为两个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解二次多项式，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。
四、分组分解法分组分解法是一种适用于四项多项式的因式分解方法。
它通过将多项式中的项进行分组，从而将多项式分解为多个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解四项多项式，可以将其分解为两个二次多项式的乘积。
五、和差化积法和差化积法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在和差项的情况。
和差化积法通过将多项式中的和差项进行化简，从而将多项式分解为简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解多项式中的高次项。
六、平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
平方差公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
七、差平方公式差平方公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
差平方公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
八、立方差公式立方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个立方多项式分解为两个一次多项式的乘积。
限时作业
11.1同底数幂的乘法1、下列计算正确的是( )A.、 a · a 2＝ a 2B.、 a ＋a 2 ＝ a 3C. 、 a 3 · a 3＝ a 9D. 、 a 3＋a 3 ＝ 2a 32、下列各式中，计算结果为x 7的是（ ）A 、（-x ）2(-x)5B 、（-x ）2x 5C 、（-x ）3(-x 4)D 、（-x ）(-x)63、y 2m+2可以写成（ ）A 、2y m+1B 、y 2m y 2C 、y 2 y m+1D 、y 2m + y 24、如果a 2m-1a m+2=a 7,则m 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、计算：⑴2755⨯ ⑵32777⨯⨯⑶()()3m c c -- ⑷3n a a a ⋅⋅(5) 221m m b b + ⑹()()()32x y x y x y +++ 拓展题：1、已知2,8m n a a ==，求m n a +2、（x-y ）2（y-x ）3（x-y ）43、(4×10n ) ×(2×102)4、计算：a 3 · a 5+ a·a 3 · a 45、已知：x 3 · x 2m+1 x m = x 31,求m 的值。
11.2积的乘方与幂的乘方（1）1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（2分）①②③2、计算：（每题一分）（1）（2）（3）（4）3、（1）（2）（3）（4）拓展题：1、①②③④2、计算：（1）（2）11.2积的乘方与幂的乘方（2）1、若x m·x2m=2，求x9m=__________2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。
3、已知a m=2,a n=3,求a2m+3n=___________.4、如果x2n=3，则（x3n）4=_____．5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值．6、若2x=4y+1，27y=3x- 1，试求x与y的值．7．已知：3x=2，求3x+2的值．8．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值．11.3单项式的乘法（1）1、判断正误(1)43a·22a=86a( )(2)26a·32a=58a( )(3)-62x·3xy=183x y( )(4)(-2x2y)(-3xyz)=-62x3y( )2. 计算(1) 3x2y·(-2xy3)(2) (-5a2b3)·(-4b2c)3.计算(-2a2)3 ·(-3a3)2(-2a4b)(-3abc)4、光速约为3 ×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5 ×102秒，则地球与太阳的距离是多少米？5、小明的步长为a米，他量得客厅长15步，宽14步，请问小明家客厅有多少平方米？11.3 单项式的乘法（2）1、计算：（2）)(32xy y x xy - （2）(－4x 2＋6x －8)·（－21x 2）2、计算：（1）x (x 2－xy ＋y 2)—y(x 2＋xy ＋y 2)(2) (2x 2)3－6x 3(x 3＋2x 2＋x)3、化简：（1）)5.15(232a a a +-（2）)3)(349231(22a ab b ---（3）))(4()3(322xy xy xy --+（4）)]3(2[223---t t t t11.4多项式乘多项式（1）1、计算(2x －3y )(4x 2＋6xy ＋9y 2)的正确结果是( )A ．(2x －3y )2B ．(2x ＋3y )2C ．8x 3－27y 3D ．8x 3＋27y 32、方程(x ＋4)(x －5)＝x 2－20的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－4C ．x ＝5D ．x ＝403、计算(2a －3b )(2a ＋3b )的正确结果是() A ．4a 2＋9b 2B ．4a 2－9b 2C ．4a 2＋12ab ＋9b 2D ．4a 2－12ab ＋9b 24、计算：（1）(2)(53)x y a b --（2）22()()a b a ab b -++5、先化简，再求值：(3)(3)(2)x x x x +---，其中4x =。
12.4灵活运用两种方法因式分解
——利用公式法进行因式分解
例2 把下列各式进行因式分解：
( 1 ) 25x2 20x 4
( 2 ) 9m2 3mn 1 n2
4
分析：在（1）中，可以把 25x2看成是 (5x)2 ，把
4看成是 22；
解：（1）25x2 20x 4 (5x)2 2 5x 2 22 (5x 2)2
年级：九年级 学科名称：数学 12.4用公式法进行因式分解（2）
授课学校： 授课教师：
复习回顾
1
什么叫因式分解？我们学过的因式分解
的方法有哪些?
2
因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
3
你能对 m2 4， m2 4m 4 进行因式
分解吗？
1. 提公因式法
公因式 多项式各项都含有的相同因式
确 定
(2) x2+2xy+y2.
解:原式 = (x2+2xy+y2)
=4(x+2y)(x-2y)
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1)
= (x+y)2
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2)
=-xy(xy+1)2
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
=-2x2·x2-2x2·(-16)
=-2x2(x2-16)
（提）
=-2x2(x+4)(x-4)
（套）
注意 ：必须分解到每个多项 式因式不能再分解为止
注意： 因式分解时，如各项 中含公因式，应先提公因式， 然后再进一步因式分解
因式分解(二)运用公式法
26． 4 x 2 2 x 3 y
2
27． 16x 1 9x 2
2
2
1 28． m 2 3n 2 3
29． x 4 x 2 y x 2 2 y x
30．分解因式 （1） x 2 12 x 36 （2） a 2 b 2 14 ab 49
2
1
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例4
计算： （1）20022－2001×2003－9992；
（2）20002－4000×1999+19992
例5
已知：x，y 都是自然数，且满足方程 9 x 2 4 y 2 5 ，求 x，y 的值。
例6
已知 x
1 1 2 2 ， y ，求代数式 2 x 3 y 2 x 3 y 的值。 8 6
C． 2 x m1 x 2x 2
17．若 n 为整数，则 2n 1 2n 1 一定能被（
2 2
）整除。
A．11
B．6
C．10
D．8 ）
2
18． 1 x 2 2 x 分解因式后的结果是（ A．不能分解 B． x 1
2
C． x 1 ）
2
C． a 3b ab3 ）
D． a 4 b 4
13．下列各式中不能运用平方差公式的是（ A． a 2 b 2 B． x 2 y 2
C． z 2 49 x 2 y 2
D． 16 m 4 15n 2 p 2
3
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14．分解因式 a 4 4b c , 其中一个因式是（
2
)2－(
)2 = )2－( )2 = 。 。
用公式法进行因式分解知识点总结
12.4用公式法进行因式分解第二课时知识点：因式分解的一般步骤一.知识点解读与基础训练：（一）知识点要求1、了解因式分解的一般步骤；2、能灵活运用提公因式的方法和运用公式法进行因式分解（二）知识点解读1、因式分解的一般步骤：（1）把一个多项式因式分解时，如果多项式各项有公因式，那么先提公因式，再进一步看是否能用公式法进行因式分解；（2）因式分解必须进行到每个多项式的因式都不能分解为止。
2、注意事项：公因式的系数是负数时，将公因式提出后括号里的各项都要变号（三）对应训练把下列各式进行因式分解（1）a 3－ab 2 （2）4x 3＋4x 2＋x二、灵活应用与能力训练把下列各式进行因式分解:1、-2x 4+32x 22、3ax 2-6axy+3ay 23、 －x 2－4y 2＋4xy4、 m 2（x －y ）＋n 2（y －x ）三、实际应用与拓展训练1、基础应用 把下列各式因式分解 （1）2mx 2－4mxy ＋2my 2 （2） x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3（3）2341x x x -+ （4） a 4-b 42、拓展训练把下列各多项式进行因式分解：（1）25a 2-4(b+c)2 (2)(x+y)2+6(x+y)+9(3)50n-20n(x-y)+2n(x-y)23、实践应用：已知a b 2，ab 2，求12a 3b a 2b 212ab 3四、答案解析对应训练：a （a+b ）（a-b ） x （2x+1）2二、灵活应用与能力训练-2x 2（x+4）（x-4） 3a(x-y)2 -(x-y )2 （x-y ）（m+n ）（m-n ） (5x+2)2三、实际应用与拓展训练：1、2m(x-y)2 xy （x+y ）2 x(x-21)2 （a 2+b 2）（a+b ）（a-b ）2、（5a+2b+2c ）（5a-2b-2c ） (x+y+3)22n(x-y-5)2 3、原式=12ab(a+b)2=2。
调整后的章节分布
代数部分修订后七（上）（60课时）第2章有理数（5课时）2.1 有理数1课时2.2 数轴2课时2.3 相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1 有理数的加法与减法4课时3.2 有理数的乘法与除法3课时3.3 有理数的乘方2课时3.4 有理数的混合运算1课时3.5 用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1 用字母表示数1课时5.2 代数式2课时5.3 代数式的值1课时5.4 生活中的常量与变量2课时5.5 函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1 单项式与多项式1课时6.2 同类项2课时6.3 去括号1课时6.4 整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1 等式的基本性质1课时7.2 一元一次方程1课时7.3 一元一次方程的解法2课时7.4 一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七（下）（61课时）第10章一次方程组（9课时）10.1 认识二元一次方程组1课时10.2 二元一次方程组的解法2课时*10.3 三元一次方程组2课时10.4 列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1 同底数幂的乘法1课时11.2 积的乘方与幂的乘方2课时11.3 单项式的乘法2课时11.4 多项式的乘法2课时11.5 同底数幂的除法1课时11.6 零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1 平方差公式1课时12.2 完全平方公式2课时12.3 用提公因式法进行因式分解1课时12.4 用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1 用有序数对表示位置1课时14.2 平面直角坐标系1课时14.3 直角坐标系中的简单图形2课时14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时八(上)第3章分式（15课时）3.1 分式和它的基本性质2课时3.2 分式的约分1课时3.3 分式的乘法和除法1课时3.4 分式的通分1课时3.5 分式的加法与减法2课时3.6 比和比例3课时3.7 分式方程3课时回顾与总结2课时八（下）(61课时)第6章实数（15课时）6.1 算术平方根1课时6.2 勾股定理1课时6.3 2是有理数吗2课时6.4 由边长判定直角三角形2课时6.5 平方根1课时6.6 立方根1课时6.7 用计算器求平方根与立方根2课时6.8 实数3课时回顾与总结2课时第7章一元一次不等式（8课时）7.1 不等式的基本性质2课时7.2 一元一次不等式2课时7.3 列一元一次不等式解应用题1课时7.4 一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第8章二次根式（7课时）8.1 二次根式和它的性质3课时8.2 二次根式的加减法1课时8.3 二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第9章一次函数（9课时）9.1 函数的图象2课时9.2 一次函数和它的图象2课时9.3 一次函数的性质1课时9.4 一次函数与二元一次方程1课时9.5 一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时九（上）（62课时）第4章一元二次方程（13课时）4.1 一元二次方程2课时4.2 用因式分解法解一元二次方程1课时4.3 用配方法解一元二次方程2课时4.4 用公式法解一元二次方程3课时*4.5 一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1 函数与它的表示法3课时6.2 反比例函数3课时6.3 二次函数1课时6.4 二次函数y=ax2的图象和性质1课时6.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质3课时*6.6 确定二次函数的解析式1课时6.7 二次函数与一元二次方程1课时6.8 二次函数的应用2课时回顾与总结2课时几何部分修订后七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1 我们身边的图形世界1课时1.2 几何图形2课时1.3 线段、射线和直线2课时1.4 线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时修订前七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1 角的表示1课时8.2 角的比较1课时8.3 角的度量2课时8.4 对顶角1课时8.5 垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1 同位角、内错角、同旁内角1课时9.2 平行线和它的画法1课时9.3 平行线的性质1课时9.4 平行线的判定2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1 三角形4课时13.2 多边形2课时13.3 圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1 全等三角形1课时1.2 怎样判定三角形全等4课时1.3 尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1 图形的轴对称1课时2.2 轴对称的基本性质2课时2.3 轴对称图形1课时2.4 线段的垂直平分线2课时2.5 角的平分线1课时2.6 等腰三角形3课时回顾与总结2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1 定义与命题1课时5.2 为什么要证明1课时5.3 什么是几何证明1课时5.4 平行线的性质定理和判定定理1课时5.5 三角形内角和定理2课时5.6 几何证明举例4课时回顾与总结2课时8下第10章平行四边形（11课时）10.1 平行四边形及其性质2课时10.2 平行四边形的判定2课时10.3 特殊的平行四边形4课时10.4 三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1 图形的平移3课时11.2 图形的旋转3课时11.3 图形的中心对称2课时回顾与总结1课时九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1 相似多边形1课时1.2 相似三角形的判定5课时1.3 相似三角形的性质1课时1.4 图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1 锐角三角比1课时2.2 30°，45°，60°角的三角比1课时2.3 用计算器求锐角三角比2课时2.4 解直角三角形2课时2.5 解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1 圆的对称性3课时3.2 确定圆的条件2课时3.3 圆周角3课时3.4 直线与圆的位置关系4课时3.5 三角形的内切圆1课时3.6 弧长与扇形面积计算1课时3.7 正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时9下第9章投影与视图（7课时）9.1 中心投影1课时9.2 平行投影3课时9.3 物体的三视图2课时回顾与总结1课时概率与统计7上第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1 普查与抽样调查1课时4.2 简单随机抽样1课时4.3 数据的整理1课时4.4 扇形统计图2课时回顾与总结1课时8上第4章数据分析（9课时）4.1 加权平均数2课时4.2 中位数1课时4.3 众数1课时4.4 数据的离散程度1课时4.5 方差2课时4.6 用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时9上第5章走进概率（7课时）5.1 随机事件1课时5.2 概率的意义1课时5.3 概率的简单计算2课时5.4 用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时9下第7章频率与概率（7课时）7.1 频数与频率1课时7.2 频数直方图2课时7.3 用频率估计概率2课时7.4 随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时。
12.4用公式法进行因式分解
年
级
数
学
组
回
顾
思
考
例1、把下列各式分解因式： (1)3a3b2－12ab3 关键确定公因式
(2)x(a+b)+y(a+b)
(3)a(m-2)+b(2-m)
(4)a(x-y)2-b(y-x)2
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数
×
相同字母最低次幂
想一想:
以前学过哪些乘法公式？
a ba b a
把它们作为公式，就可以把某些具备平方差或 完全平方公式特点的多项式进行因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法。
例 1：
25 16 x 52 (4x)2 (5 4 x)(5 4 x)
2
a b a ba b
2 2
2 1 2 1 1 1 9a b 3a 2 b 3a b 3a b 4 2 2 2
2 2
2
等 号 左 边 的 特 点 ：
完全平方式
=
首尾和或 者首尾差 的平方。
三 项
首平方， 首平方、 首是公式中的a， 尾平方； 尾平方 尾是公式中的b， 首尾2倍 是同号 要学会定a，b。 在中央；
等 号 右 边 的 特 点 ：
12
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
看看谁聪明！
1、下列各式能否用平方差公式分解？如 果能分解，分解成什么？如不能说明理 由。
①x2+y2
不能
(2)
9 16x
2
② x2-y2 =(x+y)(x-y) ④ -x2-y2
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解 全章学案 (新版)青岛版
12.1 平方差公式一、学习目标：1、会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式进行计算；2、经历探索平方差公式的过程，发展符号感，体会特殊→一般→特殊的认识规律.二、学习过程：认真阅读课本“观察与思考”的内容，完成下列问题：1、如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形，则图中长方形①和长方形②的面积和为22()a b-，把长方形②拼接在原图的右边，得到长为()a b+，宽为()a b-的大长方形，它的面积应为()()a b a b+⋅-，而它的面积就是长方形①和长方形②的面积和；因此：22()()a b a b a b+⋅-=-.2、设,a b都是有理数，利用多项式的乘法法则，计算：()()a b a b+-.2222()()a b a b a ab ba b a b+⋅-=-+-=-；由此得到平方差公式：22()()a b a b a b+⋅-=-就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于_________ 。
学以致用：1、利用平方差公式计算：（1）(32)(32);x y x y+⋅-（2）22(72)(72);m m-+⋅--（3）2(1)(1)(1).x x x-⋅+⋅+ 2、计算：803797.⨯3、挑战自我：计算：1111 (1)(1)(1)(1).2416256 +⨯+⨯+⨯+三、小结：①②②四、课堂练习： 1.利用平方差公式计算：（1）(6)(6);a a +⋅- （2）(1)(1);x x +⋅-（3）(20)(20);x y x y -⋅+ （4）2(3)(3)(9).a a a -⋅+⋅+五、课后习题1、计算：（1）(28)(28);x x +⋅- （2）(25)(52);a a +⋅-（3）(1.2)(1.2);m n m n -⋅+ （4）2211(3)(3).44a b a b +⋅-2、利用平方差公式计算：（1）7367;⨯ （2）99.8100.2.⨯3、计算：（1）2(21)(21)(41);a a a -⋅+⋅+ （2）(25)(25)(72)(27).x x x x -⋅+-+⋅-4、你能利用右图的面积关系解释平方差公式吗？5、计算：（1）222()()();a a b a b a b --⋅+⋅+ （2）22015.201520162014-⨯6、化简：2244886464(32)(32)(32)(32)(32).+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+B 组：1、下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A 、322311(5)(5)33a b c b c a -+B 、(x+y)(-x-y)C 、(-a-b)(a+b)D 、23232323()()3434y x y x --2、下列计算正确的是（ ） A 、(x+3)(x+2)=x 2-6 B 、(x-3)(x-3)=x 2-9 C 、(a 2+b)(a 2-b)=a 2-b 2D 、(4x-1)(-4x-1)=1-16x 23、若M(3x-y 2)=y 4-9x 2，那么代数式M 为（ ） A 、-(3x+y 2)B 、-y 2+3xC 、3x+y 2D 、3x-y 24、下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A 、(-x-y)(-x+y)B 、(m 2-n 2)(m 2-n 2)C 、(-a-b)(a-b)D 、(x 3-y 3)(y 3+x 3)5、31011313⨯运用平方差公式计算为（）A、310(1)(1)1313+-B、1313()()1313+-C、33(1)(1)1313+- D、33(1)(1)1313+-6、计算20052-2004×2006的值为（）A、1B、-1C、20052D、20052-17、33()()55x y x y-+= 。
因式分解的12种方法的详细解析
因式分解的12种方法的详细解析因式分解是将一个多项式写成几个较简单的乘积的形式。
在数学中，因式分解是一项重要的基础技能，常用于求解方程、化简表达式和研究多项式的性质等方面。
以下是因式分解的12种常见方法的详细解析。
1.提取公因式法：当多项式的各项中存在公共因子时，可以提取出这个公因式，例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
这种方法常用于求解关系式和化简分式等问题。
2.公式法：利用一些常用的公式进行因式分解。
例如，二次平方差公式(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)，互补公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)等。
这种方法常用于解决关于二次方程、三角函数等问题。
3.配方法：对于二次型的多项式，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+3x+2，可以进行配方法得到(x+1)(x+2)。
这种方法需要将多项式转化为二次型形式，然后利用配方法进行分解。
4.求因子法：当多项式为多个因子的乘积时，可以用求因子的方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-8，可以将8进行因式分解为2^3，然后利用立方差公式进行因式分解，即x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
5.幂的分解法：当多项式中有幂函数时，可以利用幂的分解法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-y^3，可以利用立方差公式进行因式分解，即x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)。
6.多项式整除法：当多项式可以被另一个多项式整除时，可以利用多项式整除法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-1，可以利用x-1整除得到(x-1)(x^2+x+1)。
7.韦达定理：韦达定理是将多项式表示为二次型的形式，然后利用二次型进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+y^3+z^3-3xyz，可以将其表示为(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)。
8.根的关系法：利用多项式的根的关系进行因式分解。
例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以利用二次方程求根公式进行因式分解，即ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为多项式的根。
山东省泰安市东平县戴庙乡中学数学(青岛版)七年级下册：12.4用公式法进行因式分解(2)
第四关：总结概括
（1）形如___a_2___2_a__b__zxx_kwb_2__形式的多项式可以用完全
平方公式分解因式。 （2）因式分解通常考虑__提__取__公__因__式__法__再考虑其它方法, 并且因式分解要彻底。 （3）注意_整__体__数学思想和_换__元__数学思想。
思考题：
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 (x D3、y)±2 3x2 6xy 9 y2
m 6
过关测试
5.已知x,
y满足2xzxxxkw 3
y y
16，不解方程组，
求7 y(x 3y)2 2(3y x)3的值。
解：7 y(x 3y)2 23y x3
7 y(x 3y)2 2[(3y x)]3 7 y(x 3y)2 2 (1)3(x 3y)3
7 y(x 3y)2 2(x 3y)3
(x 3y)2[7 y 2(x 3y)]
(x 3y)2 ( y 2x) 12 6 6
zxxkw
运用完全平方公式
戴庙中学 王保瑞
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
zxxkw
答案: (a b)(a b) a2 b2
问题2：因式分解中的学平科网法差公式是怎样的?
答案：a2 b2 (a b)(a b)
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
998（ 2）1 1997
过关测试
1.把下列式子分解因式： （20分） （1） 2a3b 8a2b2 8ab3; (2)(x zxxkw y)2 4(x y 1);
(3)(x2 y2)2 4x2 y2; (4)(x2 2x)2 2(x2 2x) 1;
《运用公式法分解因式》
《运用公式法分解因式》分解因式是一个求解多项式的过程，通过将多项式化简为乘积的形式，可以更加方便地进行计算和研究。
运用公式法分解因式是其中一种常用的方法，适用于特定类型的多项式。
公式法是基于代数公式进行因式分解的一种方法。
在这种方法中，我们使用一些常见的代数公式来分解因式。
下面将介绍几种常用的公式以及它们的运用方式。
1.平方差公式：平方差公式是指两个平方数之差的公式。
具体表达式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
这个公式可以用来分解差的平方的因式。
例如，要将多项式x²-4分解因式，可以运用平方差公式：x²-4=(x+2)(x-2)。
2.完全平方公式：完全平方公式是指一个二次多项式的平方是由一或两个二次项的和组成的。
具体表达式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式常常用来分解完全平方的因式。
例如，要将多项式x² + 4x + 4分解因式，可以运用完全平方公式：x²+4x+4=(x+2)²。
3.因式分解公式：因式分解公式是将多项式分解为一系列二次因式的公式。
具体表达式为：ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)。
其中，p、q、r、s是常数，通过将多项式的系数与这些常数进行匹配，就可以分解因式。
例如，要将多项式2x² + 7x + 3分解因式，可以运用因式分解公式：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。
除了上述的公式，还有一些其他的公式也可用于因式分解，例如差的立方公式、和的立方公式、四项同乘公式等等。
运用这些公式，我们可以将复杂的多项式分解为简单的因式，从而更加方便地进行计算和分析。
除了公式法，还有其他的方法可以用于分解因式，例如公因式提取法、因式分解法等等。
不同的方法适用于不同类型的多项式，我们需要根据具体的问题选择最合适的方法。
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解因式分解重要方法—公式法素材青岛版(new)
因式分解重要方法—公式法逆向用多项式的乘法公式来分解因式的方法称为公式法。
为了更好更快地用这种方法来分解因式，我们要注意如下几种变形:一、指数变形例1 分解因式444a b c -.解：原式＝()()22222a b c - ＝()()222222a b c a b c +-＝()()()222a b c ab c ab c ++-。
二、系数变形例2 分解因式()()229x y 4x y +--。
解：原式＝()()223x y 2x y +--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()223x 3y 2x 2y +--＝()()()()3x 3y 2x 2y 3x 3y 2x 2y ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()5x y x 5y ++.三、提取因式变形例3 分解因式322a c 4a bc 4ab c -+.解:原式＝()22ac a 4ab 4b -+＝()2ac a 2b -.四、换元变形例4 分解因式()()22222x xy y 4xy x y ++-+. 解:设22x y = m , xy = n +，那么原式＝()2m n 4mn +-＝()222m 2mn n = m n -+-＝()222x y xy +-.五、分组变形例5 分解因式222a 4b 6bc 9c -+-。
解：原式＝()222a 4b 6bc 9c --+＝()22a 2b 3c --＝()()a 2b 3c a 2b 3c +--+。
六、拆项变形例6 分解因式42x 7x 1-+.解：原式＝()422x 2x 19x ++-＝()()222x 13x +- ＝()()22x 3x 1x 3x 1++-+。
七、添项变形例7 分解因式44a 4b +.解：原式＝()422422a 4a b 4b 4a b ++-＝()()2222a 2b 2ab +- ＝()()2222a 2b 2ab a 2b 2ab +++-。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
青岛版七年级下册数学 用公式法进行因式分解素养提升练习(含解析)
第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解基础过关全练知识点1用平方差公式分解因式1.(2021浙江杭州中考)因式分解:1-4y2=()A.(1+2y)(1-2y)B.(2+y)(2-y)C.(2+y)(1-2y)D.(1+2y)(2-y)2.(2023浙江绍兴柯桥期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.x2+9y2B.3x2-9yC.-x 24+y29D.−x24−y293.(2023甘肃兰州中考)因式分解:x2-25y2=.4.【一题多变】(2023吉林长春中考)分解因式:m2-1=. [变式:先提公因式再用公式法分解因式](2022山东淄博中考)分解因式:x3-9x=.5.分解因式:(1)3x-12x3.(2)(a+b)2-c2.知识点2用完全平方公式分解因式6.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.②③C.①④D.②④7.【易错题】(2023四川眉山中考)分解因式:x3-4x2+4x=.8.(2023山东菏泽二模)若a+b=2,ab=-2,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.9.分解因式:(1)-x3y+2y2x2-xy3.(2)1-a2+2ab-b2.10.利用因式分解计算:2072-414×297+2972.11.【新独家原创】已知9a2+b2+6a-6b+10=0,求(ab)2 024的值.能力提升全练12.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=()A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2)C.(a-4)(a+1)D.(4a-1)(a+1)13.(2023湖南张家界中考,10,★☆☆)因式分解:x2y+2xy+y=.14.(2023山东菏泽中考,9,★☆☆)因式分解:m3-4m=.15.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2=.16.(2023黑龙江绥化中考,13,★★☆)因式分解:x2+xy-xz-yz=.17.【一题多解】(2022四川广安中考,12,★★☆)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为.18.(2023山东济宁中考改编,14,★★☆)已知有理数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=.素养探究全练19.【运算能力】【新考向·阅读理解题】(2023山东枣庄滕州期末)阅读下列材料:对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但是对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接应用完全平方公式,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2,使其一部分成为完全平方式,再减去a2项,使整个式子的值不变,于是有下面的因式分解:x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).领会上述解决问题的思路、方法,认真分析完全平方式的构造,结合自己对完全平方式的理解,解决下列问题:(1)因式分解:①x2-4x+3.②(x2+2x)2-2(x2+2x)-3.(2)【拓展】因式分解:x4+4.答案全解全析基础过关全练1.A1-4y2=12-(2y)2=(1+2y)(1-2y).故选A.2.C-x 24+y29=(-x2+y3)(x2+y3).故选C.3.(x-5y)(x+5y)解析x2-25y2=x2-(5y)2=(x-5y)(x+5y).4.(m+1)(m-1)[变式]x(x+3)(x-3)解析原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).5.解析(1)3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)·(1-2x).(2)(a+b)2-c2=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)·(a+b-c).6.D-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2.故选D.7.x(x-2)2解析本题解答过程中易只提公因式,不用公式法分解,导致分解不彻底.原式=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.8.-8解析a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,把a+b=2,ab=-2代入,得原式=-2×22=-8.故答案为-8.9.解析(1)原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.(2)原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b).10.解析2072-414×297+2972=2072-2×207×297+2972=(207-297)2=(-90)2=8 100.11.解析∵9a2+b2+6a-6b+10=0,∴9a2+6a+1+b2-6b+9=0,∴(3a+1)2+(b-3)2=0,∴3a+1=0,b-3=0,解得a=-13,b=3,则(ab)2 024=[(-13)×3]2 024=1.能力提升全练12.A4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.13.y(x+1)2解析x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.14.m(m+2)(m-2)解析原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).15.3m(a-b)2解析3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)=3m(a-b)2.16.(x+y)(x-z)解析原式=(x2+xy)-z(x+y)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).17.10解析解法一:∵a+b=1,∴a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+9=1+9=10. 解法二:a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b-1)2+10=(a+b-1)(a-b+1)+10,∵a+b=1,∴原式=0+10=10.18.8解析∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=(2m3-2m2)-m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-1+9=8.素养探究全练19.解析(1)①原式=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).②原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(x2+2x-1)2-4=(x2+2x-1-2)(x2+2x-1+2)=(x2+2x-3)(x2+2x+1)=(x-1)(x+3)(x+1)2.(2)原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).。
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(2)3ax2-6axy+3ay2
解：(1)-2x4+32x2
解：(2)3ax2-6axy+3ay
= -2x2·x2-2x2·(-16) = -2x2(x2-16) = -2x2(x+4)(x-4)
=3a·x2-3a·2xy+3a·y2
=3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2
对于一个多项式，应该先看它有几项，含有哪些字母， 各项有没有公因式，提出公因式后能否继续分解
曹县博雅中学
回
顾
思
考
前面两节课我们学习了提公因式法和公式法进行因式
分解，请同学们回忆：
1、提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个
公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，
这种分解因式的方法叫做提公因式法
ma+mb+mc= m(a+b+c) 2、公式法： 运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法
2
解：
=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1)
在因式分解时，如果发现各项中含有公因式，应该先 把它提出来，然后再进一步因式分解。例如：
例2 把下列各式因式分解：
(1)-2x4+32x2
巩固练习
• . 把下列各式分解因式：
• (1) X - xy2
•
(3)4x2 -
1 25
(2) 9x2 - 18x2 + 9x (4) 4a - 4a2 - 1
我们知道，对于公式： a2-b2= (a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
其中的a,b不只是单项式，也可以是多项式，例如： 例3 把下列各式进行因式分解： (1)(a-2b)2-(2a+b)2 (2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)2
=2n[5-(x-y)]2=2n(5-x+y)2
巩固练习
• .把下列各式分解因式： • (1) 25a2 - 4(b + c)2 • (2) (x + y)2 + 6(x + y) + 9 Nhomakorabea 挑战自我:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能
用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项 式成为完全平方式：
X4+4x2+(
)
看看谁补的结果多！
课堂小结
对于一个多项式，应该先看它有几项，含有哪些 字母，各项有没有公因式，提出公因式后能否继 续分解,即要分解彻底。
公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式。
1、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ B ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
解：(1)(a-2b)2-(2a+b)2 =[(a-2b)+(2a+b)][(a-2b)-(2a+b)] =(3a-b))(-a-3b) =(b-3a)(a+3b)
解：(2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)2
=2n[25-10(x-y)+(x-y)2] =2n[52-2×5(x-y)+(x-y)2]
3、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
4、计算 1002 210099 992 的
结果是（ A ）
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
把下列各式因式分解
叫公式法。
a2-b2= (a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
例1.把下列各式因式分解
1)( x + z )²- ( y + z )²
2)4( a + b)²- 解25：(a - c)²
34))—41aa³²解 2-.-原4：2a式=[2(1a.+原b)式]²=-=[([5x((+xay+-+cz))212]+（z²()解4ay(.2x+原：-zy4)式)])[(=x12+(az)-(2y)(+az)]2)
• 因式分解：(1) x5 x
（2）4x3 16x
（3）（2x 3y)2 8x 12 y 4
（4）25 x2 9(x 1)2
作业
习题12.4复习与巩固 3题，4题