九年级数学上册基本概念梳理
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第21章一元二次方程
21.1 一元二次方程
【课前视野】
一、知识清单
1、一元二次方程的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a
≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx
叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等
于0的实数.
3、一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
4、在实际问题中列一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.
【释难解疑】
重点:一元二次方程的定义。
必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.
例1.下列方程中,关于x的一元二次方程是()
A.(x+1)2=2(x+1) B.C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2﹣1
答案:A.
解析:下列方程中,关于x的一元二次方程是(x+1)2=2(x+1),选项B为分式方程,选项C 中a可能为0,选项D是一元一次方程。
21.2.1 配方法
【课前视野】
一、知识清单
1、直接开平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
2、配方法
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
【释难解疑】
1、用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).
法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
例1、解方程:x2﹣6=﹣2(x+1)
解析:先把方程化为一般形式,确保二次项系数为1,然后方程两边同时加一次项系数一半的平方。
解:方程整理得:x2+2x=4,
配方得:x2+2x+1=5,即(x+1)2=5,
开方得:x+1=±,
解得:x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.
2、运用整体思想,把适当的部分看做整体,然后运用直接开平方法。.
例2、(3x﹣1)2=(x+1)2.
解析:运用直接开平方法即可。
解:方程两边直接开方得:
3x﹣1=x+1,或3x﹣1=﹣(x+1),
∴2x=2,或4x=0,
解得:x1=1,x2=0.
21.2.2 公式法
【课前视野】
一、知识清单
1、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
2、用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);
③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
【释难解疑】
1、易错点:在运用根的判别式时,一定要注意二次项系数不能为0这个限制条件。
例1:(2016•抚顺)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0有实数根,则a的取值范围为.
答案:a≤且a≠1.
解析:∵一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0有实数根,
∴a﹣1≠0即a≠1,且△≥0,即有△=(﹣1)2﹣4(a﹣1)=5﹣4a≥0,解得a≤,
∴a的取值范围是a≤且a≠1.
2、重点:利用求根公式求解,首先确定a,b,c的值,然后检验方程是否有解,若有解,代入公式即可求解.
例2、解方程:2m2+3m﹣1=0.
解析:这个方程中,a=2,b=3,c=﹣1,经检验方程有根后代入求根公式求解即可。
解:a=2,b=3,c=﹣1
∴b2﹣4ac=32﹣4×2×(﹣1)
=9+8=17>0
∴
∴=
=.
21.2.3因式分解法
【课前视野】
一、知识清单
1、用因式分解法解一元二次方程
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
【释难解疑】
难点:十字相乘法,或者是也可以看做x2+(a+b)x+ab型的二次三项式。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例1: 三角形的两边分别2和6,第三边是方程x2﹣10x+21=0的解,则三角形周长为()A.11 B.15 C.11或15 D.不能确定
答案:B.
解析:方程x2﹣10x+21=0,变形得:(x﹣3)(x﹣7)=0,
解得:x1=3,x2=7,
若x=3,三角形三边为2,3,6,不合题意,舍去,
则三角形的周长为2+6+7=15.
21.2.4 一元二次方程的根与系数关系
【课前视野】
一、知识清单
一元二次方程的根与系数关系
若二次项系数为1,常用以下关系:x
1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x
1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
【释难解疑】
重点:常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
例1:(2016•贵港)若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分
别为a和b,且a2﹣ab+b2=18,则+的值是()
A.3 B.﹣3 C.5 D.﹣5
答案:D.
解析:∵a、b为方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根,
∴a+b=3,ab=p,
∵a2﹣ab+b2=(a+b)2﹣3ab=32﹣3p=18,