第一节 映射与函数
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高等数学上册1.1 映射与函数
第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
《高等数学》第一节：映射与函数
[1,1] [ 0, ]
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高数0101映射与函数
点a叫做邻域的中心, 叫做邻域的半径.
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
高数A1第一讲映射与函数
第一节 映射与函数
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高等数学---映射与函数
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
高等数学-第一章-第一节-映射与函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的为函数
当x= 0 当x< 0
例5. 求
解: 当 则
当 则
当 则
反函数
时, 时, 时,
的反函数及其定义域. 定义域为
课后小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
课后习题
1. 设
且
a, b, c 为常数, 且
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 为 f 的逆映射 . 习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
高等数学1-1映射与函数
下列函数中相同的是：（ ）
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
考研数二章节内容
第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的合用总习题四第五章定积分的应用第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程总习题七第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第八节多元函数的极值及其求法总习题九第十章重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法不考三重积分，曲线和曲面积分，级数，平面向量和方程。
其余都考。
第二章第一节映射与函数教案
芯衣州星海市涌泉学校第二章第一节映射与函数教案教学目的：1、理解映射的概念，在此根底上加深对函数概念的理解。
2、深化理解函数的概念，能据函数的三要素判断两个函数是否为同一个函数，掌握函数的表示方法。
并注意分段函数，会求函数的解析式。
教学重点：①能根据函数三要素断定两个函数是否为同一函数；②理解函数符号(对应法那么)的意义，掌握函数的三种表示法，并注意分段函数。
教学难点：映射和函数的概念。
教学方法：讲练结合。
学法指导：注意对概念的理解和相应例题的分析。
教学过程：一、知识点讲解：Ⅰ、知识要点：1．映射：(1)映射是一种特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集地可以是点集或者者其他集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的；(2)映射包括集合A，B以及从A到B的对应法那么，三者缺一不可；(3)对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的象，但B中的每一个元素却不一定都有原象，假设有，也不一定只有一个。
2、一一映射：映射为一一映射，须具备以下两个条件：(1)在映射下，A中不同的元素在B中有不同的象；(2)B中每一个元素都有原象。
3、函数：(1)定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射；由此可知，函数是一种特殊的映射必须满足A、B都是非空数集，其象的集合是B的子集。
(2)函数的三要素：定义域、对应法那么和值域；研究函数必须按照“定义域优先〞的原那么。
(3)函数的表示法：列表法、解析式法、图象法；(4)常用函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数〔y=c，c为常数)。
4、判断两个函数为同一函数的方法：构成函数的三要素中，定义域和对应法那么一样，那么值域一定一样，所以，两个函数当且仅当定义域和时应法那么一样时，是一样的函数；5、求映射的个数，一般情况。
可用如下两法加以解决：(1)用排列组合知识；(2)用穷举或者者列表的方法。
《高数映射与函数》课件
在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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Байду номын сангаас
指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01
1-1映射与函数
Teaching Plan on Advanced Mathematics
(3)常用的集合记号 常用的集合记号 集合 A∗ :集合 内排除 的集 集合A内排除 的集. 集合 内排除0的集 集合A +:集合 内排除0与负数的集 集合B内排除 与负数的集. 集合 内排除 与负数的集 N={全体自然数}，Z={全体整数}， ={全体自然数 ={全体整数 ={全体自然数} ={全体整数} Q={全体有理数}，R={全体实数}. ={全体有理数 ={全体实数 ={全体有理数} ={全体实数}. (4) 集合的关系 则称A是 的子集 的子集， ⊂ 如果 x ∈ A ，必有x ∈ B ,则称 是B的子集，记为 A⊂ B. 则称A与B相等 相等, 若 A ⊂ B ，且 B ⊂ A ,则称A与B相等,记为 A = B . 则称A是 的真子集 的真子集, 若 A ⊂ B ，且 A ≠ B ,则称 是B的真子集,记为 A ⊂ B . ≠ 不含任何元素的集合，则称为空集记为 不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ. Φ是任何集合的 空集记为 是任何集合的 子集. 子集
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2 例1 设 f : R → R , 对每个x ∈ R , f ( x ) = x . 显然, 是一个映射, 显然 f 是一个映射 f 的定义域 Df = R ,值域 Rf = y y ≥ 0 , 值域
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
（3）分配律 ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ）
(A∩B) ∪C = (A∪C) ∩(B∪C)
( A ∪ B ) C = AC ∩ B C （4）对偶律 ） ( A ∩ B ) C = AC ∪ B C
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
大学函数
四. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
关于函数的图形画法。设已知函数 f (x) 的图形， 如何画出以下函数的图形？( a > 0, b > 0 )
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
则称 f ( x ) 无界单. 调减函数 .
(3) 奇偶性
映射与函数
映射与函数●一、函数：●1.映射：●1.1：设有非空集合X，Y及由X到Y的对应法则f，若对每个x\in X，存在唯一的y\in Y按f与之对应，则称f为X到Y的映射，记作：f :X \to Y.（或y=f(x),x\in X）●1.2关于一些定义：●1.2.1：X:f的定义域，记作D_f●1.2.1：f(x)=\{y|y=f(x),x\in D_f\}；f的值域，记作R_f。
●1.2.3：y=f(x),x\in X,其中x叫做y的原像，y叫做x的像。
●1.3注意：●1.3.1：X,Y不一定是数集。
●1.3.2：映射的三要素：定义域（X），值域范围(Y)，对应法则(f)。
这三个要素确定了映射，当两个映射的三要素相同，那么这两个映射相同。
●1.3.3：两个x对应的是同一个像，这种情况很正常。
●1.4特殊类型：●1.4.1满射：设有映射f:X\to Y,若R_f =Y,则称f为满射。
●1.4.2单射：若对x_1,x_2\in X，当x_1\ne x_2时有f(x_1)\ne f(x_2)，则称f为单射。
●1.4.3一一映射：既单又满的映射称为“一一映射”，X和Y中的点是一一对应的。
●1.5示例：●示例1：X和 Y在其中的范围都为实数集，所以f(x)=x^2但R_f的取值范围是[0,+\infty)。
●示例2：●2.逆映射，复合映射：●2.1：逆映射定义：设有单射f:X\to Y，定义的映射f^{-1}:R_f \to X为：对每个y\in R_f，y在f^{-1}之下的像就是x，这里x与y满足：y=f(x)，称f^{-1}为f的逆映射。
●2.2逆映射的特殊注意点：f^{-1}的定义域是f的值域R_f；f^{-1}的值域是f的定义域D_f=X。
●2.3：复合映射：g:X\to Y_1,f:Y_2 \to Z,Y_1\subseteq Y_2.(图中Y_2是Z的定义域)则有复合映射：f \circ g: X\to Z。
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X
f Y f (X)
若
有
X
Y
则称 f 为单射; 例：
单射，满射
不是单射，不是满射
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例
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2. 逆映射与复合映射(了解）
若映射
为单射, 可定义一个新映射
只有单射才有逆映射，
逆映射
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二、函数
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数(书P5,略)
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1.
o
x
-1
x sgn x x
定义域？ D (, )
值域？ W {1,0,1}
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(2) 取整函数 y = [ x ](书P5略)
[x] 表示不超过 x 的最大整数
[0.5] = 0 [1.2] = 1 [-1.2] = -2
y 14
3
定义域？ (, )
值域？ 整数集Z
2 -4 -3 -2 -1o-11 2 3
4 5x
--23
-4
阶梯曲线
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(3) 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
1. 函数的概念
定义. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
因变量
y f (x), x D
自变量
记作Df , Df D
Rf f (D) y y f (x), x D
y y
称为值域
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D O
ax b ( D [a,b])
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
x O x x
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
6(1).设所考虑的函数都是定义在区间(-l, l)上的,
. g(x)
o
x
例: y max{x2, x}
x2, x (, 0)
y
x, x [0,1]
x
2
,
x
(1,
)
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2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
证明:两个偶函数的和为偶函数,两个奇函数的和为奇 函数.
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(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2 π π O π 2 π x
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
定义1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 .
集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记作Df .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
说明: x 0 称为段点,将定义域分为两部分
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(4) 取最值函数(补充)
y max{ f ( x), g( x)} y min{ f ( x), g( x)}
y
.
o
f (x)
g( x)
x
y
f (x)
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (P16：10 )
如果存在数K1,x I, f (x) K1, 称f (x)在I上有上界 如果存在数K2,x I, f (x) K2, 称f (x)在I上有下界
若对任意正数 M , 均存在 x1 I, f (x1) M ,则称f (x)无界.
10.函数 f (x) 在I上有界的充分必要条件是它在I上 即有上界又有下界（P17：作业10）
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(2) 单调性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
x1 , x2 I , x1 x2 时，
y
若 f (x1) f (x2 ), 单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2 ), 单调减函数 . O x1 x2 x
5(P16). 设 f (x) 为定义在区间 (l,l) 上的奇函数, 若 f (x) 在 (0,l)内单调增 加，证明：f (x) 在 (l,0) 内也单调增加
Y 的子集 Rf f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
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对映射
若 f (X ) Y , 则称 f 为满射;
学生~~学号对应—满射 学生~~坐位对应—不是满射
例如, 常量函数 f (x) C 任意实数为周期，无最小周期
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数 P9:例10
任意有理数为周期，无最小周期
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
x
D f (D)
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x D f y Rf f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则) (值域)
• 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.
• 对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、映射 二、函数
第一章
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一、 映射
1 映射概念: 2 引例.
高数班学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
教室座位
高数班学生的集合
的集合
按一定规则入座
Байду номын сангаас
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