人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练13.1.2线段的垂直平分线的性质(含答案解析)
人教版八年级数学上册精选练习13.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定(2)(含答案)
线段的垂直均分线的性质第 1课时线段的垂直均分线的性质和判断1.选择题 :⑴在锐角△ ABC 内一点 P 知足 PA=PB=PC ，则点 P 是△ ABC()A.三条角均分线的交点B. 三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直均分线的交点⑵△ ABC中，AC＞BC，边AB的垂直均分线与AC交于点D，已知AC=5 ，BC=4，则△ BCD的周长是()A.9B.8C.7D.6⑶平面内到不在同一条直线的三个点 A 、 B 、C 的距离相等的点有()A.0个B.1个C.2 个D.3个2.填空题 :⑴以下列图，△ ABC 中， AB=AC=14cm ， D 是 AB 的中点， DE⊥AB 于 D 交 AC 于 E，△EBC 的周长是 24cm，则 BC=_________ ．ADEBC⑵互不平行的两条线段AB 、A B对于直线l对称，AB和 A B所在直线交于点P，下边结论：①AB=A B ；②点P在直线l上；③若点A、 A 是对称点，则l垂直均分线段AA ；④若点B、B是对称点，则PB= PB ，此中正确的有(只填序号).3.△ ABC 中，边AB 、AC的垂直均分线交于点P.求证：点P 在BC的垂直均分线上.4.如图，直线AD 是线段 BC 的垂直均分线，求证：∠ABD= ∠ACD.ADB C5.如图，△ ABC 中∠ ACB=90 °， AD 均分∠ BAC ，DE ⊥ AB 于 E，求证：直线AD 是CE 的垂直均分线．AEB D C6.现有 9个同样的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图⑴，⑵所示.图 (1)图(2)图(3)察看图⑴，图⑵中涂黑部分组成的图案图 (4).它们拥有以下特点:①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案拥有上述两个特点．参照答案1.⑴ D；⑵ A ；⑶ B.2.⑴ 10cm；⑵①②③④.3.证明 PB=PC.4.证明△ ABD ≌△ ACD(SSS).5.证明 AE=AC ， DE=DC.6.答案不独一，只需切合要求，即可.。
人教版八年级数学上册第13章13.1.2线段的垂直平分线的性质训练题(
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评测练习
1、用平面图形将上述问题进行转变．作线段AB，取此中点P，过P作L，
在 L 上取点 P1、P2，连接 AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可
能．议论：要使 L 与 AB垂直， AP1、AP2、BP1、BP2应知足什么条件？
2、在AE的垂直均分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与
DE有什么关系？
3、以以下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直均分线吗？
4、如图，△ ABC中，边 AB，BC的垂直均分线交于点 P.
（1）求证： PA=PB=PC.
（2）点 P能否也在边 AC的垂直均分线上呢？
A
P
C
B
5、(1 ）已知：MN是线段AB的垂直均分线，以下说法中，正确的选项是____
A.与 AB距离相等的点在MN上
B.与点 A 和 B 距离相等
的点在 MN上
C．与 MN距离相等的点在AB上D. AB垂直均分 MN
(2)如图 1，PA=PB，QA=QB，则直线PQ是线段AB的________________,( 补
全以下推理过程 )
证明：由于 PA=PB（已知）
因此 P 点在线段 AB的中垂线上（____________________）
由于 QA=QB（已知）
因此 Q点在线段 AB的中垂线上（____________________）
因此 _____________________________两(点确立一条直线 )
（3) 如图 2，△ABC中，BC=10，边BC的垂直均分线分别交AB、BC于点
E、D，BE=6，求△BCE的周长。
图1图2。
13-1-2 线段的垂直平分线的性质(解析版)
13.1.2线段的垂直平分线的性质瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进线段垂直平分线的性质题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，3cmAE=，ABC的周长为17cm，则ADC的周长是__________cm．【答案】11【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现ADC的周长即为BC AC+的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∵BD=AD，AB=2AE，∵ABC的周长为17cm，∵17AB BC AC++=（cm），∵3cmAE=，∵26cmAB AE==，知识点管理归类探究1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD = BD），∴CA = CB.∵()17611cm BC AC +=-=ADC 的周长为AD DC AC BD DC AC BC AC ++=++=+，∵ADC 的周长是11cm ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现ADC 的周长即为BC AC +的长，是解题的关键． 变式训练【变式1-1】（2020·吴江区盛泽第二中学九年级月考）在ABC 中，9BC =，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若BCE 的周长为17，则AC 的长为___________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA =EB ，根据∵BCE 的周长等于17，求出AC 的长． 【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∵EA =EB ，由题意得，BC +CE +BE =17，则BC +CE +AE =17，即BC +AC =17，又BC =9， ∵AC =8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式1-2】（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线， ∵AC =BC ，∵∵1=∵ABC =90°-68°=22°， 故选A ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．【变式1-3】（2021·九年级一模）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒【答案】B【分析】连接DE ，如图，利用基本作图得到AE =CE ，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE =AE =CE ，则∵ADE =∵A =34°，接着证明BD =DE ，所以∵DBE =∵DEB =17°，然后利用三角形外角性质计算∵BFC 的度数． 【详解】解：连接DE ，如图，由作法得MN 垂直平分AC ， ∵AE =CE ， ∵CD ∵AB ，∵∵CDB =∵CDE =90°， ∵DE 为斜边AC 的中线， ∵DE =AE =CE ， ∵∵ADE =∵A =34°， ∵BD =CE ， ∵BD =DE ， ∵∵DBE =∵DEB=12∵ADE =17°， ∵∵BFC =∵DBF +∵BDF =17°+90°=107°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 几何语言:∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2020·吴江区青云实验中学八年级月考）如图，DE=DF ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F 连接,EF EF 与AD 相交于点G ．（1）求证：AD 是EF 的垂直平分线；（2）若3,5,2AB AC ED ===，求ABC 的面积． 【答案】（1）见解答；（2）8 【分析】（1）先证明Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF 得到AE =AF ，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF =DE =2，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）证明：∵DE ∵AB ，DF ∵AC ， ∵AD =AD ，DE =DF ， ∵Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF （HL ）， ∵AE =AF ，∵AD 是EF 的垂直平分线； （2）∵DF =DE =2， ∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ACD =12×2×3+12×2×5 =8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 变式训练【变式2-1】（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）三角形纸片ABC 上有一点P ，量得3cm PA =，3cm PB =，则点P 一定（ ）A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上C ．在边AB 的高上D ．在边AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 【详解】解：∵PA ＝3cm ，PB ＝3cm ∵点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的逆定理；熟练掌握该知识是解答本题的关键．【变式2-2】（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】详见解析 【分析】由SAS 得出∵ADB∵∵AEC ，得出∵ABD=∵ACE ，再根据AAS 证明∵BOE∵∵COD ，得出OB=OC ，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在∵ADB 和∵AEC 中，AD AE A A AB AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∵∵ADB ∵∵AEC （SAS ）， ∵∵ABD ＝∵ACE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵BE ＝CD ．在∵BOE 与∵COD 中，BOE COD BE CDOBE OCD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∵∵BOE ∵∵COD （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．【变式2-3】（2019·盐城市·八年级期中）如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD ＝AE ，BE 、CD 交于点O ，求证：AO 垂直平分BC ．【分析】由SAS 得出∵ADC∵∵AEB ，得出∵ACD=∵ABE ，再根据AAS 证明∵BOD∵∵COE ，得出OB=OC ，由线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】证明：在∵ADC 和∵AEB 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ADC ∵∵AEB （SAS ）， ∵∵ACD ＝∵ABE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∵BD ＝CE ．在∵BOD 与∵COE 中，00BD CE BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BOD ∵∵COE （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．同理AB ＝AC ，点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AO 垂直平分BC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明两套三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，在钝角ABC 中，90BAC ∠>︒．（1）作AC 的垂直平分线，与边BC ，AC 分别交于点D 、E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，过点B 作BH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，连接AD ，求证ADE HBC ∠=∠． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；（2）在（1）的条件下，画出∵ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∵ADE和∵HBC的大小关系．【详解】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∵ADE和∵HBC的大小关系为：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∵DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∵∵ADE∵∵CDE（SSS），∵∵ADE＝∵CDE，∵BH∵AC，DE∵AC，∵DE∵BH，∵∵CDE＝∵HBC，∵∵ADE＝∵HBC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．变式训练【变式3-1】（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，已知∵ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．【详解】解：∵点P在AB上，∵PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∵PC=PA，∵点P在线段AC的垂直平分线上，且线段AC的垂直平分线交AB于点P．∵选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．【变式3-2】（2020·连云港市·八年级期中）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P做直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．【分析】根据线段的垂直平分线的判定证明即可．【详解】由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，∵点A 在PQ 的垂直平分线上．点B 在PQ 的垂直平分线上，∵直线AB 垂直平分PQ，∵直线PQ 就是直线l 的垂线．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2021·山西吕梁市·九年级二模）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，AC＜BC．（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ．∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ．（2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =．【详解】（1）∵∵：如图直线MN ，BF 就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN 垂直平分AB ，∵AE =BE ．∵BF ∵AE ，垂足为F ，∵90BFE ACE ∠=∠=︒．∵BEF AEC ∠=∠，∵BEF AEC △≌△．∵AC =BF ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段6AB =，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：∵分别以点,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．∵作直线CD．直线CD就是线段AB 的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞12AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞12 AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．∵ABC三边的垂直平分线的交点B．∵ABC的三条中线的交点C．∵ABC三条角平分线的交点D．∵ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是∵ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∵凉亭选择∵ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练A B C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有、、上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∵A、∵B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∵为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB 最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考【真题1】（2012·无锡市·中考真题）如图，梯形ABCD中，AD∵BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD 的垂直平分线交BC 于E ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE ，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A ．【真题2】（2010·无锡市·中考真题）如图，∵ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∵A=30°，∵ACB=80°，则∵BCE=_____ °．【答案】50【分析】根据∵ABC 中DE 垂直平分AC ，可求出AE=CE ，再根据等腰三角形的性质求出∵ACE=∵A=30°，再根据∵ACB=80°即可解答．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∵A=30°，∵AE=CE ，∵ACE=∵A=30°，∵∵ACB=80°，∵∵BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．【真题3】（2019·泰州市·中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可．． 【详解】如图直线MN 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1∠=39°，则AOC∠=__________．【答案】78︒【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∵AOG =51︒-∵A，∵COF =51︒-∵C，利用平角的定义得到∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，满分冲刺∵1l 、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，∵OA=OB ，OB=OC ，∵ODG=∵OEF=90︒，∵∵A=∵ABO ，∵C=∵CBO ，∵∵2=2∵A ，∵3=2∵C ，∵OGD=∵OFE=90︒-39︒=51︒，∵∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，∵∵OGD=∵A+∵AOG ，∵OFE=∵C+∵COF ，∵∵AOG =51︒-∵A ，∵COF =51︒-∵C ，而∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，∵51︒-∵A+2∵A+2∵C+51︒-∵C+39︒=180︒，∵∵A+∵C=39︒，∵∵AOC=2(∵A+∵C)=78︒，故答案为：78︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．【拓展2】（2018·南通市启秀中学八年级期中）如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=︒，为MN 的中点 ∵用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)； ∵在∵的条件下，如果60G ∠=︒，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？【答案】∵作图见详解，∵Q是GN的中点，证明见详解.【分析】∵利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.∵证明Q是GN的中点，根据∵的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.【详解】解：∵∵ 在∵的条件下，如果∵G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，∵∵G=60°，∵GMN=90°，∵∵N=90°─60°=30°，∵点P关于GN的对称点是点P'，∵PK∵KN，PK=12P P'，∵∵PKN=90°，又∵∵N=30°，∵PK=12PN，PP'=PN，∵P为MN的中点，∵PM=PN，PP'=PM，∵∵PР'M=∵PMР'，∵∵PK N=90°，∵N=30°，∵∵NРK=90°-30°=60°，又∵∵PP'M+∵PMP’=∵NPK，∵∵PM P'=12×60°=30°，又∵∵N=30°，∵∵PM P'=∵N，QM=QN，∵∵GMN=90°，∵PM P'=30°，∵∵GMQ=90°-30°=60°，又∵∵G=60°，∵∵GMQ=∵G，∵QG=QM，又∵QM=QN，∵QG=QN，Q是GN的中点。
人教版数学八年级上册 第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习 (含答案)
人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()5. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，△B ＝60°，△C ＝25°，则△BAD 为（ ）A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°6. 如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点D ，若AD=4，BC=3DC ，则BC 等于 ( )A.4B.4.5C.5D.67. 如图，C ，E 是直线l 两侧的点，以点C 为圆心，CE 的长为半径画弧交直线l于A ，B 两点．又分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接CA ，CB ，CD ，则下列结论不一定正确的是 ( )A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52 B ．3 C ．2 D ．72 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A ．8B ．11C ．16D ．1710. 如图，在△ABC 中，直线MN 为BC 的垂直平分线，交BC 于点E ，点D 在直线MN 上，且在△ABC 的外面，连接BD ，CD ，若CA 平分△BCD ，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD 是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题11. 如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE△AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC= ．12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．15. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB 对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习--参考答案一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【答案】C2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC【答案】B[解析] 如图，连接AP.△线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，△AP＝PB，AP＝PC.△PB＝PC.3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC【答案】D[解析] △AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD，故C正确；△AD＝BD，△△B＝△BAD＝22.5°.△△ADC＝45°，故A正确；△DAC＝90°－△ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()【答案】C[解析] △PA+PB=BC，而PC+PB=BC，△PA=PC.△点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.5. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，△B＝60°，△C＝25°，则△BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【答案】B6. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于()A.4B.4.5C.5D.6【答案】D[解析] △DE垂直平分AB，AD=4，△BD=AD=4.△BC=3DC，△BD=2CD.△CD=2.△BC=BD+CD=6.故选D.7. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点．又分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是()A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 【答案】C [解析] 由作法可知CD 垂直平分AB ，故选项A ，B 正确； △CD 垂直平分AB ，△CA ＝CB.设CD 与AB 交于点G ，易证Rt△ACG△Rt△BCG ，△△ACG ＝△BCG ， 即CD 平分△ACB ，故选项D 正确；△AB 不一定平分CD ，故选项C 错误．故选C.由线段垂直平分线的性质可得PA ＝PB ，但不能得到OP ＝OF.8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．72【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =，∴CF 为斜边AB 上的中线，∵5AB ==，∴1522CF AB ==．故选A ． 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A．8B．11C．16D．17【答案】答案为：B.10. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分△BCD，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A二、填空题11. 如下图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE△AB于D交AC 于E，△EBC的周长是24cm，则BC=．【答案】10cm12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.【答案】答案为：30°13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．【答案】13【解析】△DE垂直平分AB，△AE＝BE，△AE＋EC＝8，△EC＋BE＝8，△△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．【答案】515. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．【答案】3[解析] △AD平分△BAC，且DE△AB，△C＝90°，△CD＝DE＝1.△DE是AB的垂直平分线，△AD＝BD.△△B＝△DAB.△△DAB＝△CAD，△△CAD＝△DAB＝△B.△△C＝90°，△△CAD＋△DAB＋△B＝90°.△△B＝30°.△BD＝2DE＝2.△BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作△BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.【答案】解:(1)如图所示.(2)证明:如图，连接OA.△l1是AB的垂直平分线，△OA=OB.同理，OA=OC.△OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．【答案】解：△BD＝DC，AD△BE，△AB＝AC.△点C在AE的垂直平分线上，△AC＝CE.△△ABC的周长是22 cm，△AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.△AC＋CD＝11 cm.△DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm.19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.【答案】解:△DE垂直平分线段AB，GF垂直平分线段BC，△EB=EA，GB=GC.△△BEG的周长为16，△EB+GB+GE=16.△EA+GC+GE=16.△GA+GE+GE+GE+EC=16.△AC+2GE=16.△GE=3，△AC=10.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．【答案】【解答】解：（1）△P，Q关于OA对称，△OA垂直平分线段PQ，△MQ＝MP＝4，△MN＝5，△QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1.（2）△P，R关于OB对称，△OB垂直平分线段PR，△NR＝NP＝4，△QR＝QN+NR＝1+4＝5.21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】解：(1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】【解答】解：（1）△△ABC+△ACB+△BAC＝180°，△△BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）△DE是线段AB的垂直平分线，△DA＝DB，△△DAB＝△ABC＝30°，同理可得，△FAC＝△ACB＝50°，△△DAF＝△BAC﹣△DAB﹣△FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）△△DAF的周长为20，△DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，△BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20.。
人教版八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质与判定》练习试题
人教版八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质与判定》练习试题13.1.2 线段垂直平分线的性质本课时主要介绍线段垂直平分线的性质和判定，包括选择题和填空题。
一、选择题（共 5 小题）1.如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线CD 上，已知线段 PA = 5，则线段 PB 的长度为（）A。
6B。
5C。
4D。
32.如图，AC = AD，BC = BD，则有（）A。
AB 垂直平分 CDB。
CD 垂直平分 ABC。
AB 与 CD 互相垂直平分D。
CD 平分∠ACB3.下列说法中错误的是（）A。
过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B。
线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C。
线段有且只有一条垂直平分线D。
线段的垂直平分线是一条直线4.到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（）A。
三边垂直平分线的交点B。
三条角平分线的交点C。
三条高的交点D。
三边中线的交点5.如图，∠ABC = 50°，AD 垂直平分线段 BC 于点 D，∠ABC 的平分线交 AD 于 E，连接 EC；则∠AEC 等于（）A。
100°B。
105°C。
115°D。
120°二、填空题（共 5 小题）6.到线段 AB 两个端点距离相等的点的轨迹是 __________。
7.如图，有 A、B、C 三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在 __________。
8.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是__________。
9.如图，△ABC 中，DE 垂直平分 AC，交 AB 于 E，∠A = 30°，∠ACB = 80°，则∠BCE = __________ 度。
10.如图，△ABC 中，AD 是 BC 的中垂线，若 BC = 8，AD = 6，则图中阴影部分的面积是 __________。
人教版数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题自主学习一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.（1）点A的对称点是_______（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？（3）AB与直线l在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.三、自学自测如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质 证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析 例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( ) A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2： 已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延课堂探究B ACM N M ' N ' PBAC长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.针对训练1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_________.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D，求证：BE+DE=AC．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图①图②（1）如图①要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？点C在_____________上.（2）如图②，拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上.（3）由（1），（2），你得到什么猜想？要点归纳：DA BOOBAC与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上.2.证一证：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．二、课堂小结PA B线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测ABDC第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的有关作图学习目标：1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题温故知新1.按如下要求，用尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．2.轴对称图形的性质是_______________________________________.3.线段垂直平分线的性质是_______________________________________.二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的画法问题1：如何验证两个图形是轴对称的？不折叠图形，你能准确地作出图形的对称轴吗？图①图②问题2:如何作出线段的垂直平分线?[提示:由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出到线段两端点距离相等的两点即可.]已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧?思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.归纳总结：可以运用线段垂直平分线的尺规作图，确定线段的中点.典例精析例1：如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线段的垂直平分线上.课堂探究探究点2：作轴对称图形的对称轴问题：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？方法总结:对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.典例精析如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.方法总结:成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.针对训练1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图,小河边有两个村庄,要在河岸边建一自来水厂向A村与B村供水,若要使厂部到A,B 的距离相等,则应选在哪里?二、课堂小结ABCA′B′C′线段垂直平分线的有关作图用尺规作图作线段垂直平分线作轴对称图形的对称轴作对称轴的重要方法l1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线第1题图第2题图2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.当堂检测A BC DCAB。
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线CD边垂直平分线的交点，连接EC；则∠AEC等于（））D．F，交AB，则△BCF的周长为（：∠CAE=3：第1题图第2题图第5题图第6题图第7题图第8题图B二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC 的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE 的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第10题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．13.1.2 线段的垂直平分线的性质一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 615. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．。
人教版八年级数学上册金榜名师推荐课时提升作业13.1.2线段的垂直平分线的性质(含答案解析)
课时提升作业(十三)线段的垂直平分线的性质(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·石景山区二模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为( )A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm【解题指南】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.【解析】选B.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8(cm),∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )A.7B.14C.17D.20【解析】选C.由题意中的作图步骤可知直线MN是线段AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△ABC的周长为AC+CD+BD+AB=AC+CD+AD+AB=10+7=17.中,AB=6,AC=4,分别以点B和点C为圆心,以大于BC一半的长为半径画弧,两弧相交于点M和N,作直线MN.直线MN交AB于点D,连接CD,则△ADC的周长为.【解析】∵分别以点B和点C为圆心,以大于BC一半的长为半径画弧,两弧相交于点M和N,作直线MN.直线MN交AB于点D,连接CD,∴直线MN是线段BC的垂直平分线,∴BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AB,∵AB=6,AC=4,∴△ADC的周长=(CD+AD)+AC=AB+AC=6+4=10.答案:10【归纳整合】线段垂直平分线的性质与判定的应用3.(2014·黄浦一模)如图,地图上A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,且C地到A地、B地的距离相等,那么C地位于A地的( )A.南偏东50°方向B.北偏西50°方向C.南偏东40°方向D.北偏西40°方向【解析】选A.∵A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,∴∠ABC=50°,∵C地到A地、B地的距离相等,∴点C在线段AB的垂直平分线上,CA=CB,根据轴对称图形的对称性,得∠BAC=∠ABC=50°,∴C地位于A地的南偏东50°.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,因为MN⊥AB,MO=NO,所以是的垂直平分线.【解析】∵MN⊥AB,MO=NO,∴线段MN被AB垂直平分,∴AB是MN 的垂直平分线.答案:AB MN【易错提醒】学生从图形上往往容易得到MN是AB的垂直平分线,从题目给的条件看应该AB是MN的垂直平分线.5.如图,△ABC中,∠C=90°,DE为AB的垂直平分线,D为垂足,且EC=DE,则∠B的度数为.【解题指南】角平分线的性质与线段的垂直平分线性质是证明线段相等常用的方法.【解析】连接AE,∵EC=DE,∠C=90°,DE⊥AB,∴∠CAE=∠DAE,∵DE为AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠B=∠DAE,∴∠B=∠CAE=∠DAE,在△ABC中,∠B+∠CAE+∠DAE=90°,∴∠B=30°.答案:30°6.如图,BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于P点,PE=3cm,则P点到直线AB的距离是cm.【解析】过点P作PM⊥AB于点M,∵BD垂直平分线段AC,∴AB=CB.又∵BD=BD,∴Rt△ABD≌Rt△CBD,∴∠ABD=∠DBC,∵PM⊥AB,PE⊥CB,∴PM=PE=3cm.答案:3三、解答题(共26分)7.(8分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别在三边上,且BE=CD,BD=CF,G为EF的中点.求证:DG垂直平分EF.【解题指南】要使DG垂直平分EF,因为G为EF的中点,所以只需证FD=ED,连接ED,FD,则证△BED与△CDF全等即可.【证明】如图所示,连接ED,FD,∠B=∠C,又BE=CD,BD=CF,∴△BED≌△CDF(SAS),∴ED=FD,又G为EF的中点,∴DG垂直平分EF.8.(8分)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN⊥AB于点N,PM⊥AC 于点M,求证:BN=CM.【证明】连接PB,PC,∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°,∵P在BC的垂直平分线上,∴PC=PB,在Rt△PMC和Rt△PNB中,∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),∴BN=CM.【易错提醒】线段垂直平分线的性质和角平分线的性质中“距离”这个词语的含义迥然不同,前者是指“点与点”之间的距离,而后者是指“点与线”之间的距离,运用这两个性质时一定要分清含义再用.【培优训练】9.(10分)如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为O.(1)找出图中相等的线段(OE,OF除外).(2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的距离,试说明它们的大小有什么关系?【解析】(1)AC=BC=AD=BD,OC=OD,OA=OB.(2)OE=OF.∵AB垂直平分CD,∴∠AOC=∠AOD,CO=OD, 在△AOC和△AOD中,∴△AOC≌△AOD(SAS),∴∠CAO=∠DAO.又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF.【一题多解】∵CO=DO,AO⊥CD.∴S△AOC=AO·OC=DO·AO=S△AOD.又∵S△AOC=AC·OE,S△AOD=AD·OF,又∵AC=AD,∴OE=OF.。
人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习(解析版)
13.1.2线段的垂直平分线的性质班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1．如图，在△ABC中，AC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，EC=2cm，则BE的长为（）mA. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm3．下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ②③④4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A. AD=CD B. ∠A=2∠DCB C. ∠ADE=∠DCB D. ∠A=∠DCA 5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A. AM=BMB. AP=BNC. ∠MAP=∠MBPD. ∠ANM=∠BNM二、填空题(每小题6分，共30分)6．点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=_____．7．如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为_______.8．如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_________.9．如图，△ABC中，∠BAC=110°，AB、AC的垂直平分线分别交BC 于点E、F，则∠EAF的度数为______.10．如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1 次碰到矩形的边时的点为P1,第 2 次碰到矩形的边时的点为P2，……第n次碰到矩形的边时的点为Pn.则点P3 的坐标是(8，3)，点P2018的坐标是________.三、解答题(每小题20分，共40分)11．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ. 求证：BP=CQ．12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）ED=EC；（2）∠ECD=∠EDC；（3）射线OE与CD有什么关系？（直接写出结果）参考答案1．C【解析】∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=8cm，EC=2cm，∴AE=6cm，∴BE=6cm.故选C.2．A【解析】点A与点A′是关于直线l的对称点，所以两点到直线l的距离相等，所以AA′的长度为4cm．故选A.3．C【解析】①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；②角是轴对称图形，故②正确；③线段是轴对称图形，故③错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故④正确.正确的是②④.故选C.4．B【解析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选B．5．B【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，∵点P时直线MN上的点，∴∠MAP=∠MBP，∴A，C，D正确，B错误，故选B．6．10【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，∴PA=PB=10，故答案为：10．7．9【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB=DA，∵AC的垂直平分线交BC于点E，∴EA=EC,∴C△ADE=AD+AE+DE=BD+AE+EC=BC=9.故答案为9.8．10【解析】本题利用垂直平分线的性质解决，注意三角形周长的转换即可.解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，∴AE=BE,∴△BCE的周长为：AE+EC+BC=AC+BC=6+4=10.故答案为10.9．400【解析】∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，∴∠BAE=∠B, ∠CAF=∠C,∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°, ∴∠EAF=110°-70°=40°. 10．（7，4）.【解析】由图可知，每经过6次触碰就回到出发点P（0，3），因为2018÷6=336…2，所以P2018的坐标是第2次触碰时P2的坐标（7，4）.211．见解析【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO，PO=QO，根据等式的性质，可得答案．解：过点A作AO⊥BC于O．∵AB=AC，AO⊥BC∴BO=CO，∵AP=AQ，AO⊥BC，∴PO=QO，∴BO－PO=CO－QO∴BP=CQ．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OE是线段CD的垂直平分线.【解析】（1）由E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质，可证得ED=EC，∠OED=∠OEC，继而可证得EC=ED；（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，再根据等边对等角证明即可；(3) 利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明.证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC （AAS），∴EC=ED；（2）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．。
人教版八年级数学上册13.1.2《线段的垂直平分线的性质》同步训练习题(含答案)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步训练习题一、单选题1. 下列图案中不是轴对称图形的是（）2. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3. 平面内与A、B、C（不在同一直线上）三点等距离的点（）A、没有B、只有1个C、有2个D、有4个4. 如图△ABC中，AB=AC，AB的垂直平线交BC于D，M是BC的中点，若∠BAD=30°则图中等于30°的角还有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个5. 已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论不正确的是（）A．CO=DO B．AO=BO C．AB⊥CD D．△ACO≌△BCO6. 如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD 的周长是（）A．22cm B．20 cm C．18cm D．15cm7.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A ．B．C ．D ．二、填空题8. 在△中，，点在上，垂直平分，垂足为点，且，则．9. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=10. 如图，∠A=30°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，连接EC，则∠AEC的度数是____________11.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AC＝.12.如图：△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．三、解答题13. 某地有两座工厂和两条交叉的公路，图中点M、N表示工厂，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两工厂的距离相同，到两条公路的的距离相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计。
八年级数学上13.1.2线段的垂直平分线的性质(人教版)【DOC范文整理】
八年级数学上13.1.2线段的垂直平分线的性质(人教版)3.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质【教学目标】理解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行推理.自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察、猜想、归纳能力.通过应用线段的垂直平分线的性质进行推理，培养学生几何推理的严密性.【重点难点】重点：线段的垂直平分线的性质的运用.难点：性质2的证明.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新在106国道某段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？师生活动：由教师用投影问题，学生独立思考，但不要求学生能解答问题.让学生体会数学于生活又服务于生活，感受几何应用美.二、师生互动，探究新知探究性质1问题：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系.总结归纳发现的规律，分组讨论完成，但讨论时间不宜过长，如果学生不能准确的归纳，教师可以适当提示.教师把学生总结出来的结论进一步完善，用多媒体展示线段垂直平分线的性质1.在此基础上把这一命题转化成几何上的证明题老师巡视并找1个学生的证明过程用多媒体展示给学生，并根据证明过程全体师生进行分析指正.指正证明过程后，全体学生针对自己的证明过程查找不足，以后改正.已知：如图，直线l⊥AB，垂足为c，Ac＝cB，点P在l 上.求证：PA＝PB.证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言，并强调学生注意.探究性质2问题：把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？老师提出问题，并让学生大胆猜想点P在线段AB的垂直平分线上.老师直接把命题转化成几何的证明题形式；已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在线段AB的垂直平分线上.老师引导学生探究证明方法.观察、猜想、归纳并验证是数学学习的一种重要方法，通过这一活动可以提高学生观察、猜想及归纳的能力.线段垂直平分线的性质转化成几何证明过程是个难点，并不需要学生掌握，所以这一过程由老师完成.老师巡视完后可以用多媒体展示多少有点问题的证明过程，在分析的过程中让学生学会严密的证明方法.这是本节的难点，“P点在线段AB的垂直平分线上”太抽象，既看不到又不好解决“在”的问题.所以老师引导学生探究解决.最后由老师直接归纳.四、课堂小结，提炼观点这节课你学到了哪些知识？你觉得这些知识在具体的题目中如何运用？你还有哪些困惑？通过学生交流，使学生明确本节知识的同时，培养学生的总结归纳能力，形成随时反思的意识.五、布置作业，巩固提升教材第65、66页第6、9题.【板书设计】线段的垂直平分线的性质性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为：∵Pc垂直平分AB，∴PA＝PB.性质2：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.用符号语言表示为：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.【教学反思】这节课在设计过程中有几个特色：每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.活动中多媒体展示学生的解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源.第2课时线段的船只平分线的性质【教学目标】会画线段的垂直平分线和过直线外一点作已知直线的垂线.进一步理解线段的垂直平分线的性质，能够确定两个图形成轴对称的对称轴.通过线段的垂直平分线的画法的学习进一步培养学生的画图能力.【重点难点】重点：线段的垂直平分线的作法.难点：探索轴对称图形对称轴的作法.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、复习引入问题1：什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有哪些性质？轴对称图形的性质是什么？学生思考回答.通过复习，让学生明确轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，要准确作出图形的对称轴，就应会作线段的垂直平分线，激发学生的求知欲望.二、师生互动，探究新知两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴？垂直平分线的作图学生自学课本63页，要求学生在练习本上作出图形.已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法：如图2，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于c和D两点；图1图2作直线cD.直线cD就是线段AB的垂直平分线.思考1：在上述作法中，为什么要以“大于12AB的长”为半径作弧？思考2：根据上面作法中的步骤，请你说明cD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流.老师进行小结.作轴对称图形的对称轴师：同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么？生：是为了作出轴对称图形的对称轴.师：那怎样作出一个轴对称图形的对称轴呢？生：我们只要找到任意一对对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴.老师给出例题练习运用.过一点作已知直线的垂线师：刚才我们学习了作线段的垂直平分线，那么如何过已知点作一条直线的垂线呢？点和直线有几种位置关系？生：2种.一种是点在直线上，一种是点在直线外.老师出示问题让学生自行解决.学生通过自学和交流，明确作法，然后动手作图，使学生熟练掌握线段垂直平分线的作图方法，落实个教学目标.通过追问，让学生逐步熟悉尺规作图的表示方法，逐步会用简洁的几何语言表示作图过程.让学生通过例题，规范对称轴的作图，并进一步理解轴对称图形的性质，知道有些图形的对称轴不止一条.本部分难度较大，先让学生自学，不明白的地方教师适当点拨和示范，最后由学生完成作图.三、运用新知，解决问题如图，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，若要使厂部到A，B的距离相等，则应选在哪里？学生独立完成作图.让学生体会线段垂直平分线在实际问题中的应用，同时让学生熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图.四、课堂小结，提炼观点本节课你学到了什么？通过知识的梳理，让学生进一步明确本节所学内容，落实学习目标，培养学生及时总结和反思的习惯.五、布置作业，巩固提升教材第64页第2题，第65页第7、8题.【板书设计】线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线的作图过一点作已知直线的垂线【教学反思】本节课从复习线段的垂直平分线的定义和轴对称的性质切入，学习了线段的垂直平分线的作图，并利用线段的垂直平分线的作图解决生活中的位置的确定问题，同时，把上节课的“过一点作已知直线的垂线”的尺规作图移到本节课完成，通过这两种尺规作图的集中讲解和学生的亲自动手作图，使学生对尺规作图的要求有了进一步的认识.。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质-八年级数学人教版(上)(原卷版)
第十三章轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知线段AB和点C，D，且CA=CB，DA=DB，那么直线CD是线段AB的A．垂线B．平行线C．垂直平分线D．过中点的直线2．点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有A．PA=PB B．PA=PCC．PB=PC D．点P到∠ACB的两边的距离相等3．下列说法错误的是A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线4．关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．其中，正确的说法有A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90°6．下面给出两个结论：①如图①，若PA=PB，QA=QB，则PQ垂直平分AB．②如图②，若点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，则OP平分∠AOB，其中A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都不正确7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=__________．9．如图，AD⊥BC于D，BD=CD，则AB=AC，理由__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．11．如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？12．如图，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上一点，求证：BE=CE．13．如图，已知AE=CE，BD⊥A C．求证：AB+CD=AD+BC．14．（1）在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线．（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等？（3）由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论？（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现？请先用等式表示，再用文字加以叙述．。
人教版数学八年级上册课时过关练习13.1.2《线段垂直平分线的性质》(含答案)
人教版八年级上册数学《线段垂直平分线的性质》课时过关练习一．选择题.1. P是线段AB的垂直平分线上的点,PA=10 cm,则PB等于( )A.10 cmB.20 cmC.5 cmD.不能确定2.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于1AB长为半径画弧,两弧分别交于2点D,E,则直线DE是( )A.∠A的平分线B.AC边的中线C.BC边的高线D.AB边的垂直平分线3.如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于1AB长为半径画弧,在线段AB2的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O 重合),连接PA,PB,则下列结论不一定成立的是( )A.PA=PBB.OA=OBC.OP=OFD.PO⊥AB4.如图,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是( )A.12B.13C.14D.155.如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A点在MN的同一侧,BC交MN于P点,则 ( )A.BC>PC+APB.BC<PC+APC.BC=PC+APD.BC≥PC+AP6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=2,则BE的长为( )A.2B.3C.4D.67.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,则AE的长为( )A.3 cmB.6 cmC.12 cmD.16 cm8. 如图，把长方形中的∠A沿某条直线对折，使点A与BC上的点A′重合，折痕交AB于点E，若∠CDA′=70°，则∠AED的度数为( )A.70°B.20°C.35°D.80°1. 已知:如图,AB=AC=10,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果△EBC 的周长是15,那么BC= .2. 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=____ _.3. △ABC与△A′B′C′关于直线l成轴对称，且△ABC的面积是2cm2，则△A′B′C′的面积是_____.4.如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线交于点O,且OA=4,则OC的长为_____.5. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =__ _°.1.如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.2. 把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠AEB+∠ADC之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数.(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.4.在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O.△ADE的周长为8 cm.(1)求BC的长.(2)分别连接OA、OB、OC,若△OBC的周长为18 cm,求OA的长.人教版八年级上册数学《线段垂直平分线的性质》课时过关练习（解析版）一．选择题.1. P是线段AB的垂直平分线上的点,PA=10 cm,则PB等于( A)A.10 cmB.20 cmC.5 cmD.不能确定AB长为半径画弧,两弧分别交于2.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于12点D,E,则直线DE是( D)A.∠A的平分线B.AC边的中线C.BC边的高线D.AB边的垂直平分线3.如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于1AB长为半径画弧,在线段AB2的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O 重合),连接PA,PB,则下列结论不一定成立的是( C)A.PA=PBB.OA=OBC.OP=OFD.PO⊥AB4.如图,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是( B)A.12B.13C.14D.155.如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A点在MN的同一侧,BC交MN于P点,则 ( C)A.BC>PC+APB.BC<PC+APC.BC=PC+APD.BC≥PC+AP6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=2,则BE的长为( C)A.2B.3C.4D.67.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,则AE的长为( A )A.3 cmB.6 cmC.12 cmD.16 cm8. 如图，把长方形中的∠A沿某条直线对折，使点A与BC上的点A′重合，折痕交AB于点E，若∠CDA′=70°，则∠AED的度数为( D)A.70°B.20°C.35°D.80°二．填空题.1. 已知:如图,AB=AC=10,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果△EBC 的周长是15,那么BC= 5.2. 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=____30°_.3. △ABC与△A′B′C′关于直线l成轴对称，且△ABC的面积是2cm2，则△A′B′C′的面积是____2cm2___.4.如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线交于点O,且OA=4,则OC的长为__4____.5. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =___95___°.三．解答题.1.如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.【证明】连接BC,∵AB=AC,DB=DC,∴A在线段BC的垂直平分线上,D在线段BC的垂直平分线上,即AD是线段BC的垂直平分线,∵E在直线AD上,∴BE=CE.2. 把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠AEB+∠ADC之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？【解析】如图，根据轴对称性质得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3+∠A=180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°-2∠A.因为∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°-∠AEB-∠ADC，所以2∠A=∠AEB+∠ADC.3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数.(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.【解析】(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=1∠BAC=25°,2∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB,又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC,∵AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴AE=AC,∵AD平分∠BAC,∴AD⊥CE,即直线AD是线段CE的垂直平分线.4.在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O.△ADE的周长为8 cm.(1)求BC的长.(2)分别连接OA、OB、OC,若△OBC的周长为18 cm,求OA的长.【解析】(1)∵DO、EO分别是线段AB、AC的垂直平分线,∴AD=BD,AE=CE,∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC,∵△ADE的周长为8 cm,即AD+DE+AE=8 cm,∴BC=8 cm.(2)∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E, ∴OA=OC=OB,∵△OBC的周长为18 cm,即OC+OB+BC=18 cm,∴OC+OB=18-8=10(cm),∴OA=OC=OB=5 cm.。
人教版八年级上册数学学案：13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.1.2线段的垂直平分线的性质编者：备课组长：挂科领导：学习目标：1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重点：作出轴对称图形的对称轴。
学习难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
自主学习阅读感知：由教材P62--63页思考得出：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．合作研习交流探究：1、如图点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?2，已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并写出线段的中点O.3，如图，角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴4、如图，在五角星上作出一条对称轴5、画一画：如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。
拓展延伸延伸归纳：1、在等腰三角形、等腰梯形、线段、数轴、平面直角坐标系、平行四边形等图形中，轴对称图形的个数是 ( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个1.如图，△ABC与△A/B/C/关于某条直线对称，请作出这条直线，要求写出作法。
2.如图，在△ABC中，BC=10cm，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，求△APQ的周长。
AM NB3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于点E，连接AE，∠CAE：∠BAE=1:2，求∠B的度数。
CEA D B4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DG交AC于点G，若AD+AC=24cm，BD+BC=20cm，求△BGC的周长。
ADGB C。
人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步课时练习
13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )A．6 B．5C．4 D．32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段．第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．4．如图，点D在BC上，DE垂直平分AC，垂足为E，DF垂直平分BA，垂足为F.求证：DB＝DC.5．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( )A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D ．点P 在边BC 的垂直平分线上6．如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，E 是AD 延长线上的一点，BE 是否与CE 相等？试说明理由．7．如图，已知钝角△ABC ，其中∠A 是钝角，求作AC 边上的高BH.8．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，用直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°10．如图，AC 是线段BD 的垂直平分线，E 是AC 上的一点，则图中全等的三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为cm.12．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD 的周长是14 cm，求AB和AC的长．13．如图，AD是△ABC的高，E为AD上的一点，且BE＝CE，求证：直线AE是BC的垂直平分线．14．如图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线交于点E ，EF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，EG ⊥AC 交AC 于点G.求证：(1)BF ＝CG ； (2)AF ＝12(AB ＋AC)．第2课时 作轴对称图形的对称轴1．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，分别以点B 和点C 为圆心，以大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则△ADC 的周长为 ．2．如图，在某河道l 的同侧有两个村庄A ，B ，先要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？3．画出下列轴对称图形的一条对称轴．4．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．5．如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是(C)A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF6．如图，AO，BO是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置．7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．参考答案：13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1．B2．BD＝DA(或BE＝EA或CD＝ED)．3．16．4．证明：连接AD，∵DE垂直平分AC，DF垂直平分BA，∴DB＝DA，DC＝DA.∴DB＝DC.5．D6．解：相等．理由：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理：点D也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E 是AD 延长线上的一点， ∴BE ＝CE. 7．解：作法：①延长线段CA 至点E ，任意取一点K ，使点K 和点B 在CE 的两侧； ②以点B 为圆心，BK 长为半径画弧，交CE 于点F 和G ；③分别以点F 和G 为圆心，大于12FG 的长为半径画弧，两弧相交于点M ；④作直线BM ，交CE 于点H.则线段BH 就是所求作的高．如图所示． 8．D 9．C 10．D 11． 3 .12．解：∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC.∵△ACD 的周长是14 cm ， 即AC ＋AD ＋DC ＝14 cm ， ∴AC ＋AD ＋BD ＝14 cm ， 即AC ＋AB ＝14 cm . 又∵AB －AC ＝2 cm ， ∴AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm .13．证明：在Rt △BDE 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝ED ，BE ＝CE ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDE(HL )． ∴∠BED ＝∠CED. ∴∠AEB ＝∠AEC. 在△ABE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△ACE(SAS )． ∴AB ＝AC.∴点A 在BC 的垂直平分线上． 又∵BE ＝CE ，∴点E 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AE 是BC 的垂直平分线． 14．证明：(1)连接BE ，CE.∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，EG ⊥AC ， ∴EF ＝EG.∵DE 垂直平分BC ， ∴EB ＝EC.在Rt △EFB 和Rt △EGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，EB ＝EC ，∴Rt △EFB ≌Rt △EGC(HL )． ∴BF ＝CG. (2)∵BF ＝CG ，∴AB ＋AC ＝AB ＋BF ＋AG ＝AF ＋AG. 在Rt △AEF 和Rt △AEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，AE ＝AE ， ∴Rt △AEF ≌Rt △AEG(HL )． ∴AF ＝AG.∴AF ＝12(AB ＋AC)．第2课时 作轴对称图形的对称轴1． 10． 2．解：连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 的交点P 即为所求作的点．如图． 3．解：如图．4．解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如图．5．C6．解：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔的位置，图略．7．解：(1)如图所示．(2)连接BO，B′O，B″O.∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B′OM.又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，∴∠B′OE＝∠B″OE.∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2α，即∠BOB″＝2α.。
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提技能·题组训练
线段的垂直平分线
1.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=
2.3cm，则四边形ACBD的周长是( )
A.3.9 cm
B.7.8 cm
C.4 cm
D.4.6 cm
【解析】选B.∵CD垂直平分线段BA，
∴AD=BD=2.3cm，BC=AC=1.6cm，
∴四边形ACBD的周长=AD+BD+BC+AC=7.8cm.
2.(2014·滨城区二模)如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于( )
A.28°
B.25°
C.22.5°
D.20°
【解析】选A.设∠CAE=x，则∠EAB=3x.
∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴AE=CE.∴△AED≌△CED，∴∠C=∠CAE=x.
根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°-∠B，
即x+4x=140°，x=28°.则∠C=28°.
3.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于( )
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
【解析】选C.∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE.
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18cm.
又∵BC=8cm，∴AC=10cm.
【变式训练】如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB=12cm，BC=10cm，则△ABE的周长为( )
A.22 cm
B.16 cm
C.26 cm
D.25 cm
【解析】选A.∵DE为AC边的垂直平分线，
∴AE=EC，∵AB=12cm，BC=10cm，
∴△ABE的周长为AE+BE+AB=AB+BC=22cm.
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.
【证明】(1)因为AD∥BC(已知)，
所以∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
因为E是CD的中点(已知)，所以DE=EC(中点的定义).
因为在△ADE与△FCE中，
所以△ADE≌△FCE(ASA)，所以FC=AD(全等三角形的性质).
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE=EF(全等三角形的对应边相等)，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB=BF=BC+CF，因为AD=CF(已证)，
所以AB=BC+AD(等量代换).
【易错提醒】运用线段垂直平分线的性质求线段相等时，该点一定在这条线段的垂直平分线上.
5.已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，
求证：∠B=∠E.
【解题指南】因为AF是CD的垂直平分线，连接AC，AD，则根据线段垂直平分线的性质得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，可得∠B=∠E.
【证明】连接AC，AD，
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD.
又AB=AE，BC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠B=∠E.
【变式训练】如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，DM是AB的垂直平分线.证明：∠E=∠C.
【证明】如图，连接AD，BD.
∵DM是AB的垂直平分线(已知)，
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
在△ADE与△DBC中，
∴△ADE≌△DBC(SSS)，
∴∠E=∠C(全等三角形的对应角相等).
【知识归纳】线段垂直平分线性质与判定应用两原则
(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用时要注意分清条件与结论，防止混淆.
(2)线段垂直平分线的图形结构中，含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不要用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦.
作对称轴
1.分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是( )
【解题指南】关键是掌握沿直线对折，直线两旁的部分能完全重合. 【解析】选C.根据轴对称的定义可得C沿l对折不能重合.
2.如图所示的虚线中，是该图形对称轴的是( )
A.直线a与直线b
B.直线a与直线c
C.直线a与直线d
D.直线a，b，c，d
【解析】选B.对称轴满足两边的图形重合，故选B.
3.如图所示的图案，它有条对称轴.
【解析】共有三条对称轴.
答案：三
4.如图方格中，有两个图形.
(1)画出图形(1)向右平移7个单位的图形a.
(2)画出图形a关于直线AB的轴对称图形b.
(3)将图形b与图形(2)看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数.
【解析】(1)(2)所作图形如下：
(3)由图知，共2条.
5.利用图形中的对称点，画出图形的对称轴.
【解析】
【错在哪？】作业错例课堂实拍
如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P，某人想在AB上取两点D，E，使得AD=DC，CE=EB，说明他应该如何做，并画出图形.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：
__________________________________________________________ 答案：(1)①
(2)作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求.。