6[1]11(2)一次方程组的应用

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中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解

中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x＋8＝4.5x，解得x＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是(C) A．25台B．50台C．75台D．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100－x)台，根据题意可得x＝3(100－x)，解得x＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45，解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值； (2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝12；(2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)．答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600，解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品. (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1 080，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B 卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg ，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．。

中考数学精讲篇考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

则可列方程组为
( A)
A.yx＋＋2231xy＝＝5500，B.xy－－1223yx＝＝5500，C.2xx＋＋23yy＝＝5500，D.2xx－－23yy＝＝5500，
10．(2021·成都第 26 题 8 分)为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》(以下简称《条例》)于 2021 年 3 月 1 日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾 920 吨，刚好被 12 个 A 型和 10 个 B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个 A 型点位比一个 B 型点位每天多处理 7 吨生活垃圾． (1)求每个 B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；
x＝1，则 a＋m 的值为
( C)
A．9 B．8 C．5 D．4
x＝1 6．(2021·凉山州第 14 题 4 分)已知y＝3，是方程 ax＋y＝2 的解，则 a 的值为__－－11__. 7．(2020·泸州第 14 题 3 分)若 xa＋1y3 与12x4y3 是同类项，则 a 的值是__33__.
3．(RJ 七下 P111 复习题 T7 改编)用 1 块 A 型钢板可制成 4 件甲种产品和 1 件乙种产品．用 1 块 B 型钢板可制成 3 件甲种产品和 2 件乙种产品；要生产甲种产品 37 件，乙种产品 18 件，则恰好需用 A，B 两种型号的钢板共 1 111 块．
4．(RJ 七下 P106 习题 T3 改编)一个两位数，十位数字比个位数字大 3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多 15，则这个两位数是 6 633.
∵w 随 m 的增大而减小，∴费用越少，m 越大．故方案③费用最少．
重难点 1：从实际问题中抽象一次方程(组)
我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳

6.11 一次方程组的应用(1)&(2)

练习
3. 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都
有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文
小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人
数的
（1）班没有参加天文小组的人数的
1 ，（2）班参加天文小组的人数恰好是 3 1
4
，问六年
级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各多少
人？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 练习
4. 某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个。问要有多少工人生产螺栓，其余的工人生产螺帽，才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套。
能力提高
若玩青蛙跳５元每人，玩极速风车１５元每人。其中玩这两项游乐项目共花了40元。求各有多少人玩青蛙跳和极速风车．
设玩青蛙跳的有a人，玩极速风车的有b人．
可列出方程为？
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）
6.11 一次方程组的应用（2）
例题
甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数．
方案二：6角的邮票 1 张，8角的邮票 4 张。
能力提高
某游乐园的门票规定成人９０元／人，儿童４５元／人．现有大人带着孩子（都为儿童）去游玩，买门票共花了720元．问成人和孩子各去了多少人？
（1）这个问题中，有几个未知数? （2）能列一元一次方程求解吗? （3）如果设成人有x人，儿童有y人，你能列出方程吗？
450x + 150(600-x) ＝210000
等量关系：低价票的张数
+ 草地票的张数 =600
购买低价票的总价 + 购买草地票的总价 =210000

人教版中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

①－②，得 2y＝2，∴y＝1， x＝2， x＝2，
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.

二元一次方程组的12种应用题型归纳(可编辑修改word版)

二元一次方程组的 12 种应用题型归纳类型一：行程问题【例 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。

(2.5 + 2)x + 2.5y = 36 3x + (3 + 2)y = 36 x = 6 y = 3.6答：甲的速度为 6 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。

【例 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时。

14(x + y ) = 280 20(x ‒ y ) = 280 x = 17 y = 3答：这艘船在静水中的速度为 17 千米/时，水流速度为 3 千米/时。

类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

{解得{ {解得{{ y = { b = 解：设甲公司每周的工作效率为 x ，乙公司每周的工作效率为 y 。

x = 1 6x + 6y = 1 4x + 9y = 110 1 解得 151 1 ∴1÷10=10(周) 1÷15=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需 10 周，乙公司单独完成这项工程需 15 周。

设甲公司每周的工钱为 a 万元，乙公司每周的工钱为 b 万元。

a = 3 6a + 6b = 5.2 4a + 9b = 4.8 5 4 解得 15此时 10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

六年级一元一次方程二元一次方程组的解法及应用

学生编号学生姓名授课教师辅导学科六年级数学教材版本上教课题名称一元一次方程、二元一次方程组的应用课时进度总第（）课时授课时间5月26日教学目标1.熟练掌握一元一次不等式和一元一次方程的解法和应用；2.会解二元一次方程组；能够熟练的运用二元一次方程组解决实际问题；3.使学生掌握三元一次方程、三元一次方程组和它的解的含义；重点难点1.二元一次方程组和三元一次方程组的解题技巧；2.根据应用题的题意列出二元一次方程组。

同步教学内容及授课步骤一、一知识梳理1.列二元一次方程组解应用题的步骤①弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；②找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系；③根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组；④解这个二元一次方程组，求出未知数的值；⑤检查所得结果的正确性及合理性；⑥写出答案．2.设未知数的几种常见方法（1）设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个．（2）设间接未知数：即设的不是所求量．有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程．（3）少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解．（4）多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数．3.应用题常见的几种类型：（1）行程问题：①基本量之间的关系：路程＝速度×时间②解题时一般应画线段示意图。

（2）工程问题①基本量之间的关系：工作量＝工作效率×工作时间甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率②解题时，若工作总量是抽象的，通常把它设为单位1。

（3）浓度问题①基本量之间的关系：溶液＝溶质＋溶剂（指体积或质量）溶液的浓度＝溶质溶液×100%②解题时应注意配制前后溶液中的不变量和变化量分别是什么？（4）利润问题：①有关量的关系：利润＝售价－进价利润率＝售价进价进价-×100%利息＝本金×利率×期数1. 已知zy x zy x 26=-=+)0(≠xyz ，则z y x ::= ；2. 解方程组：⎩⎨⎧=++=20233:2:1::z y x z y x3. 解方程组： 435:4:3)(:)(:)(-=-+=+++z y x x z z y y x4. ⎪⎩⎪⎨⎧=++==355:4:3:2:z y x z y y x【拓展题】方程组⎩⎨⎧-=--=+322m y x m y x 的解满足32=+y x ，求m 的值.解法指导把m 看作已知字母.求出的x 与y 的值是含有m 的式子，再把求出的x 与y 的值代入32=+y x ，得到关于m 的一元一次方程，再求出m 的值；也可以把这三个方程组成三元一次方程组，求出m 的值.【典型例题5】六年级（2）班去春游，全班分成若干个小组进行活动，其中女同学分成2组，第一组人数的2倍比第二组人数多4人；如果从第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等，求女同学的第一组、第二组人数分别是多少人？解法指导设第一组的人数是x 人，第二组的人数是y 人.根据“第一组人数的2倍比第二组多4人”列出第一个方程，“第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等”列出第二个方程.【基础习题限时训练】1. 西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。

方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版

题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（2）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)；(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)；(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).【经典例题】【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，列方程组为（）A ．{x −y =210x +y −(10y +x)=18B ．{x −y =210y +x −(10x +y)=18C ．{y −x =210y +x −(10x +y)=18D ．{y −x =210x +y −(10y +x)=18【例2】某旅游景点今年“五一”小长假共接待游客39200人，和去年同时期相比，游客总数增加了12%，其中省外游客增加了17%，省内游客增加了10%，求该景点去年“五一”小长假接待的省外游客和省内游客各是多少人？【基础训练】1．举办“书香文化节”的活动中，将x 本图书分给了y 名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程组正确的是（） A ．{6y −40=x 8y +50=x B ．{6y +40=x 8y −50=x C ．{6x +40=y 8x −50=y D ．{6y −40=x 8y −50=x2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：含有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x 只，兔有y 只，下列方程组正确的是（）A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{x +y =354x +4y =94D ．{x +y =35x +4y =943．我校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（）A ．{7y =x −38y +5=xB ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y =x +5D ．{7y =x +38y =x +54．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则C ．19D ．215．某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 元，则所列方程组正确的是（）A ．{x +y =5015x +20y =900B ．{x +y =5020x +15y =900C ．{15x +20y =50x +y =900D ．{20x +15y =50x +y =9006．有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是．7．“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？8场计划购进甲、乙两种手机各多少部？9．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润比去年的利润增加了580万元．问今年的总产值、总支出各是多少万元？ 10．小明的妈妈今天在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这两样菜只要37元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，求：两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为多少元？【培优训练】11．小明带15元去学习用品商店购买A ，B ，C 三种学习用品，其中A ，B ，C 三种学习用品的单价分别为5元、3元、1元，要求每种学习用品至少买一件且A 种学习用品最多买两件，若15元刚好用完，则小明的购买方案共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种12．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是{2x +y =11，4x +3y =27，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）A ．{3x +2y =−14，x +4y =23B ．{3x +2y =−9，x +4y =23C ．{3x +2y =19，x +4y =3D ．{3x +2y =19，x +4y =2313．用如图 ① 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 ② 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 m 张正方形纸板和 n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 m +n 的值可能是（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 14．若关于x 、y 的方程组 {x +y =2ax +2y =8的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1615．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（）A ．80cmB ．75cmC ．70cmD ．65cm16．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27，则原来的两位数是．17．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第次．18．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是．19．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品提价40%，乙商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？20．某商场在今年“双十一”期间购进甲、乙两种商品共50件销售，已知甲种商品每件进价为35元，利润率为20%，乙种商品每件进价为20元，利润率为15%，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？21．小亮想开一家服装专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将此套服装的上衣按50%的利润定价，裤子按40%的利润定价，由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件衣服均按9折出售，这样此套服装共获利157元，小亮觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣每件的成本，但店员有事走开了，你能帮助他吗？22．列方程组解应用题：全自动红外体温检测仪是一种非接触式人体测温系统，通过人体温度补偿、温度自动校正等技术实现准确、快速的测温工作，具备人体非接触测温、高温报警等功能．为了提高体温检测效率，某医院引进了一批全自动红外体温检测仪．通过一段时间使用发现，全自动红外体温检测仪的平均测温用时比人工测温快2秒，全自动红外体温检测仪检测60个人的体温的时间比人工检测40个人的体温的时间还少50秒，请计算全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是多少秒？【直击中考】23．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A ．{y −x =4.52x −y =1B ．{x −y =4.52x −y =1C ．{x −y =4.5y 2−x =1D ．{y −x =4.5x −y 2=1 24．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A ．5B ．6C ．7D ．825．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．。

专题01 应用大全压轴真题训练(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题01应用大全压轴真题训练一．一元一次方程的应用1．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元/件）a80售价（元/件）300100（1）求真丝衬衣进价a的值．（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，解得：a＝260．答：a的值为260．（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，依题意得：300﹣x≥2x，解得：x≤100．设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x ＝300﹣100＝200．答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．（3）设每件真丝围巾降价y元，依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，解得：y≤8．答：每件真丝围巾最多降价8元．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，依题意得：，解得：．答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，∵12＞0，∴w随m的增大而增大，∴2960≤w≤3080；②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，∵﹣1＜0，∴当m＞26时，w随m的增大而减小，∴2700≤w＜3080；③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，∵2＞0，∴w随m的增大而增大，∴2700＜w≤2720．综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．答：社区至少要准备2700元购书款．三．分式方程的应用（共1小题）3．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，依题意得：﹣＝5，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×150＝180．答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．4．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B 型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：﹣＝0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．5．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B 两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：＝+3，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100﹣m，解得m≤50，设本次购买花费w元，∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），答：本次购买最少花费2250元．四．一次函数的应用（共1小题）6．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，依题意得：40（x+1）＝60x，解得x＝2．∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，∴大巴行驶了3小时，∴B（3，120），由图象得A（1，0），设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，∴，解得，∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，解得a＝．∴a的值为．7．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，由题意，得，解得，∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据题意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且为正整数，∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，∴共有6种进货方案；（3）设总利润为W元，则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W随y的增大而减小，∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．8．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意得：，解得：x＝5，经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，则5×（1﹣20%）＝4，答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，则150﹣m＝50，答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．9．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，解得k′＝15，∴y＝15x；当x＞2000时，设y＝kx+b，根据题意可得，，解得，∴y＝13x+4000．∴y＝．（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，∵1600≤x≤4000，当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，∵﹣1＜0，∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，∵1＞0，∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），综上，w＝；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x ﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，当x＝4000时，w取得最大值，∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．∴a的最大值为0.9．五．二次函数的应用（共2小题）10．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B 品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．11．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；当40＜x≤100时，设函数关系式为y＝kx+b，∵线段过点（40，30），（100，15），∴，∴，∴y＝﹣x+40，即y＝；（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，∴x≥30，∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，∴360﹣x≥3x，∴x≤90，即30≤x≤90；①当30≤x≤40时，由（1）知，y＝30，∵乙种花卉种植费用为15元/m2．∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，当x＝30时，w min＝5850；当40＜x≤90时，由（1）知，y＝﹣x+40，∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，∴当x＝90时，w min＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，∵5850＞5625，∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；②当30≤x≤40时，由①知，w＝15x+5400，∵种植总费用不超过6000元，∴15x+5400≤6000，∴x≤40，即满足条件的x的范围为30≤x≤40，当40＜x≤90时，由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，∵种植总费用不超过6000元，∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，即满足条件的x的范围为60≤x≤90，综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．12．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB ＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）在Rt△OBD中，BD＝＝＝120（m），∴B（﹣120，﹣90），由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．设抛物线的解析式为y＝ax2，则有﹣90＝a×（﹣120）2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x2．（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．13．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y ＝，数据如表．时间x（分钟）0123…8x＞8累计人数y（人）0150280390 (640640)（1）求a，b，c的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【解答】解：（1）由题意，，解得，；（2）设第x分钟时的排队人数为W，根据题意得：W＝y﹣20x，∴W＝，当0≤x≤8时，W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，＝490，∴当x＝7时，W最大当x＞8时，W＝640﹣20x，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，∴W＜480，故排队人数最多时有490人；（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，解得：x＝32，所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：5×20（m+4）≥640，解得：m≥2.4，∵m为整数，∴m＝3，答：从一开始就应该至少增加3个检测点．14．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.73）【解答】解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，∴A（0，4）．（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，∴CE＝1.5，DE＝2．∴点D的纵坐标为﹣1.5，令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的长约为7.2米．15．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），设CE：y＝kx+b（k≠0），将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．（2）当时，，由题意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的横坐标为22.5．∵22.5＜32，∴成绩未达标．（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．∴设，将（100，0.250）代入得，解得m＝25，∴．将（150，0.167）代入验证：，∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，又∵v＞0，∴．∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．16．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B （10，﹣5），设抛物线的解析式为：y ＝ax 2，把点B （10，﹣5）代入得：100a ＝﹣5，∴a ＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．18．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．。

数学教案一元二次方程的应用(6篇)

数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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【压轴必考】2023学年七年级数学上册压轴题攻略(人教版)一元一次方程实际应用的六种考法(解析版)

一元一次方程实际应用的六种考法1. 数字问题例．（1）把100拆分成2个数的和使得第一个数加3 第二个数减3 得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是和；（2）把100拆分成2个数的和使得第一个数乘2．第二个数除以2 得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是和；（3）把100拆分成4个数的和使得第一个数加5 第二个数减5 第三个数乘5第4个数除以5 得到的的结果都相等问拆分成的这四个数分别是多少．【答案】（1）47 53；（2）20 80；（3）809 1709 259 6259．【详解】解：（1）设第一个数为x 则第二个数是（100﹣x ）由题意得：x +3＝100﹣x ﹣3 解得x ＝47．所以100﹣x ＝100﹣47＝53．答：拆分成的这两个数分别是47和53．故答案为：47 53；（2）设第一个数为y 则第二个数是（100﹣y ）由题意得：2y ＝（100﹣y ）÷2解得y ＝20．所以100﹣y ＝100﹣20＝80．答：拆分成的这两个数分别是20和80；故答案为：20 80；（3）设相等的数为z 则其余数分别为z ﹣5 z +5 5z5z由题意得：z ﹣5+z +55z++5z ＝100解得：z 1259=则z ﹣5809= z +51709= 2559z = 5z 6259=．故拆分成的这四个数分别是809 1709 259 6259．【变式训练1】将连续的奇数1 3 5 7 9 ……排成如图所示的数表．(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）(2)若将方框上下左右移动可框住另外的9个数．若9个数之和等于297 求方框里中间数是多少？【答案】(1)见解析(2)方框里中间数是33【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1 ②每行只有5个奇数 ③每行相邻两个数的和是2的倍数 ④每列相邻的两个数相差10．(2)解：设方框里中间数为x 则另外8个数为2x - 2x + 10x - 10x + 12x - 12x + 8x - 8x +由题意得 221010121288297x x x x x x x x x -+-+-+++-+++-+++=9297x =33x =则方框里中间数是33．【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵是由一些连续奇数组成的．(1)形如图框中的四个数设第一行的第一个数为x 用含x 的式子表示另外三个数；(2)若这样框中的四个数的和是200 求出这四个数；(3)是否存在这样的四个数它们的和为296？为什么？【答案】(1)x +2 x +8 x +10；(2)45 47 53 55(3)不存在理由见解析【解析】(1)解：设第一行第一个数为x 则其余3个数依次为x +2 x +8 x +10；(2)解：根据题意得：x +x +2+x +8+x +10＝200 解得：x ＝45．则这四个数依次为45 47 53 55．答：这四个数依次为45 47 53 55；(3)解：不存在．理由如下：由题意得x+x+2+x+8+x+10＝296∴4x+20＝296 解得：x＝69．∴当x＝69时这个数在第六行最后一个数的位置不符合题意故不存在这样的四个数它们的和为296．【变式训练3】将连续的偶数0 2 4 6 8 …排成如图所示的数表．(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x用代数式表示十字形框内五个数之和为______；(2)若将十字形框上下左右移动可框住另外五个数这五个数还有上述规律吗？直接写出答案不需要证明；(3)十字形框能否框到五个数使这五个数之和等于2400呢？若能请写出这五个数若不能请说明理由．【答案】(1)5倍5x；(2)有；(3)不存在5个数之和为2400【解析】(1)(4+14+24+12+ 16)÷14=5 x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x(2)符合规律设中间数字为x则上面数字的为x- 10 下面数字为x + 10 左边数字为x- 2 右边数字为x + 2即[x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)]÷x=5x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x∴仍符合规律；x=(3)若五个数之和等于2400 则52400x=解得：480∴十字据中中间的数为480由数表可知数字480位于数表的最边上一列不可能处于十字框中间所以不存在5个数之和为2400．2.配套问题例．列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条每条灌装生产线每小时装350瓶每条装箱生产线每小时装450瓶．某日生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶8:00开始车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x 条当日到10:00时灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x 的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x ）瓶啤酒灌装生产线有12条；(2)灌装生产线设计13条时该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【解析】(1)解：当日到10:00时灌装生产线共装（350×2x ）瓶啤酒根据题意得5200+350×2x =450×2（21-x ）+5500解这个方程得：x =12答：灌装生产线共装（350×2x ）瓶啤酒灌装生产线有12条；(2)解：设灌装生产线设计y 条时该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱根据题意得5200＋350×8y =450×8（21-y ）解这个方程得：y =11．答：灌装生产线设计11条时该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图每张白板纸可以用A B 两种方法剪裁其中A 种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B 种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A 种方法剪裁的有x 张白板纸．(1)按B 种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x 的代数式表示）(2)将50张白板纸裁剪完后可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？【答案】(1)()50x -；(2)40个【解析】(1)解：按A 种方法剪裁的有x 张白板纸则按B 种方法剪裁的有()50x -张白板纸故答案为：()50x -；(2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．∴ ()()24250=4450x x x ⨯+-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理得： 20600x = 解得：x ＝30(30×4+20×2)÷4＝40∴最多可以制作40个纸箱.【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装已知3m 长的布料可做上衣2件或裤子3条一件上衣和一条裤子为一套．(1)现库存有布料300m 应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料227m 最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则如果有剩余余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）【答案】(1)做上衣用布料180m 则做裤子用布料120m 可以生成120套衣服(2)最多可以生产90套衣服余料可以做2条裤子【解析】(1)设做上衣用布料m x 则做裤子用布料()300m x -由题意得()3300233x x -= 解得：180x = 则300120x -= 可以生产21801203⨯=套衣服；答：用180m 布做上衣 120m 布做裤子才能恰好配套可以生产120套衣服；(2)∴做一件上衣用32m 布做一条裤子用1m 布 ∴一套服装用2.5m 布∴227÷2.5=90 (2)∴227m 布可以做90套衣服余2m∴本着不浪费的原则 ∴余下的2m 布可以做2条裤子答：布料227m 最多可以生产90套衣服余料可以做2条裤子．【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH 型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．工厂现有80名工人每个工人每天能加工8个G 型装置或4个H 型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工每组分别加工一种装置并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好全部配套组成GH 型产品．(1)按照这样的生产方式工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务工厂决定补充一些新工人这些新工人只能独立进行G 型装置的加工且每人每天只能加工4个G 型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH 型电子产品；(2)至少应招聘40名新工人．【解析】(1)解：设安排x 名工人生产G 型装置则安排（80﹣x ）名工人生产H 型装置根据题意得：84(80)43x x-=解得：x=32 ∴88326444x⨯==．答：按照这样的生产方式工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置（80-x）名工人加工H型装置根据题意()8448043x a x+-=整理可得320310ax-=另外注意到()4801200≥315x-即x≤20 于是3203≤2010a-解得：a≥40答：至少应招聘40名新工人．3. 销售利润问题例.甲、乙两件服装的成本共500元商店老板为获取利润决定将甲服装按50%的利润定价乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时应顾客要求两件服装均按9折出售这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？【解答】解：设甲服装的成本是x元则乙服装的成本是（500﹣x）元依题意有0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157 解得x＝300500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元乙服装的成本为200元．【变式训练1】“虎年大吉岁岁平安” 为了喜迎新春某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒每个水果篮的成本为200元每盒坚果礼盒的成本为150元每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒进行“新春特惠”促销活动．水果店规定每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时坚果礼盒全部售卖完售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20% 求m的值．【答案】(1)每个水果篮的售价为300元每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元则每个水果篮的售价为（x+100）元依题意得：2（x-150）=x+100-200解得：x=200∴x+100=300．答：每个水果篮的售价为300元每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)∴300×0.9=270（元）∴每个水果篮的活动价为（270-2m ）元．∴每盒坚果礼盒的售价为200元∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m ）元．依题意得：（1250-50）（270-2m ）+1200（200-2m ）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%解得：m =10．答：m 的值为10．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间甲车间生产A 产品乙车间生产B 产品去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元 1件A 产品与1件B 产品售价和为300元．(1)A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B 产品产量将在去年的基础上减少a % 但B 产品的销售单价将提高2a %．则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2%3a ．求a 的值．【答案】(1)A 产品的销售单价为200元 B 产品的销售单价为100元；(2)50【解析】(1)解：设B 产品的销售单价为x 元则A 产品的销售单价为(100)x +元．依题意得：100300x x ++= 解得：x =100 ∴x +100=200．．答：A 产品的销售单价为200元 B 产品的销售单价为100元(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为t 件依题意得：200(1+a %)t +100(1+2a %)(1-a %)t =300(1+2%3a )t 设%a m = 则原方程可化简为2m 2-m =0 解得：112m = 20m =（不合题意舍去） ∴a =50．答：a 的值为50．【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30 乙型 45 60（1）如果进货款恰好为37000元那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动决定对乙型节能灯进行打折销售要求全部售完后乙型节能灯的利润率为20% 请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x 只则购进乙型节能灯（1000﹣x ）只由题意得25x +45（1000﹣x ）＝37000 解得：x ＝400购进乙型节能灯1000﹣x ＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a 折0.1×60a ﹣45＝45×20% 解得a ＝9 答：乙型节能灯需打9折．【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装甲种服装每件进价500元售价800元；乙种服装商品每件售价1200元可盈利50%．（1）每件甲种服装利润率为乙种服装每件进价为元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件恰好总进价用去27500元求商场销售完这批服装共盈利多少？（3）在元旦当天武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元他只需付款700元）．到了晚上八点后又推出“先打折” 再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价500元售价800元∴每件甲种服装利润率为800−500500×100%=60%．∵乙种服装商品每件售价1200元可盈利50%．∴乙种服装每件进价为12001+50%=800（元）故答案为：60% 800；（2）设甲种服装进了x 件则乙种服装进了（40﹣x ）件由题意得 500x +800（40﹣x ）＝27500 解得：x ＝15．商场销售完这批服装共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．答：商场销售完这批服装共盈利14500元．（3）设打了y 折之后再参加活动．①3200×y 10−2×500=3200﹣3×500+20．解得：y ＝8.5．②3200×y 10−500=3200−3×500+20 解得y ＝8（不合题意舍去）．③3200×y 10=3200−3×500+20 解得y ＝5.9（不合题意舍去）．答：先打八五折再参加活动．4. 工程问题例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米经过5天施工后两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度通过改进施工技术在剩余的工程中甲队平均每天能比原来多施工1米乙队平均每天能比原来多施工2米甲、乙同时按此施工能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米乙施工小队平均每天施工12米．(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工x 米则甲施工小队平均每天施工()3x +米．根据题意得：55(3)135x x ++=．解得：12x =．所以315x +=．答：甲施工小队平均每天施工15米乙施工小队平均每天施工12米．(2)解：改进施工技术后甲施工小队平均每天施工15116+=米；乙施工小队平均每天施工12214+=米．则改进施工技术后剩余的工程还需：(1755135)(1614)54-÷+=天；按原施工进度剩余的工程还需：(1755135)(1512)60-÷+=天．所以少用的天数为：60546-=天．答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．【变式训练1】某校职工周转房已经落成有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间结果有30m 2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间另外又多粉刷20m 2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m 2墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）(2)若粉刷1m 2墙面给付一级技工6元费用给付二级技工5.5元费用问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为392m(2)一级技工每人每天挣564元二级技工每人每天挣451元．【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为x 2m 由题意得：83010201235x x -+-= 解得：39x = ∴每个房间需要粉刷的墙面面积为392m ；(2)∴每个房间需要粉刷的墙面面积为392m∴一名一级技工一天粉刷的面积为830839309433x -⨯-==2m一名二级技工一天粉刷的面积为10201039208255x +⨯+==2m ∴946564⨯=（元） 82 5.5451⨯=（元）∴一级技工每人每天挣564（元）二级技工每人每天挣451（元）．【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程该工程预算国拨总投资为24亿元分土建、路面、设施三个建设项目路面投资占土建投资的45设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨工程建设实际总投资随之增长路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？(2)由于合理施工使公路提前半年通车每月可通行车辆100万辆每辆车的平均收益为40元．这样可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资减少了国拨投资使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同该工程的实际总投资是多少亿元？【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元 8亿元 6亿元(2)该工程的实际总投资是25.2亿元【解析】(1)解：设土建为x 亿元则路面为45x 亿元设施为（1﹣40%）x 亿元 ∴x +45x +（1﹣40%）x ＝24 ∴x ＝10 ∴485x = （1﹣40%）x ＝6．答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元 8亿元 6亿元(2)解：设土建投资增长率为x 则路面投资的增长率是2.5x 设施投资的增长率是2×2.5x ＝5x预算国拨总投资减少的百分率为x ．国拨总投资：24×（1﹣x ）该工程的实际各项投资之和是10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ）∴70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元∴24×（1﹣x ）+1.68＝10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ）解得：x ＝0.02＝2%24×（1﹣x ）+1.68＝25.2（亿元）答：该工程的实际总投资是25.2亿元．5. 行程问题例．甲骑摩托车从A 地去B 地乙开汽车从B 地去A 地同时出发匀速行驶各自到达终点后停止甲、乙两人间的距离为(km)s ）与甲行驶的时间为(h)t 之间的关系如图所示．(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义请将M、N、P填入对应的横线上．①甲到达终点_________．②甲乙两人相遇_________．③乙到达终点_________．(2)AB两地之间的路程为_________千米；(3)求甲、乙各自的速度；(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地在甲到达B地的过程中甲出发_________小时甲乙相距100千米．【答案】(1)①P；②M；③N；(2)240；(3)甲的速度40千米/小时乙的速度80千米/小时(4)76或3.5或176【解析】(1)解：由图象可得出发2小时甲乙在途中相遇；出发3小时乙到达A地；6小时甲到达B地；故答案为：①P；②M；③N；(2)解：由图象可得AB两地之间路程为240千米；故答案为：240；(3)解：甲的速度为：240÷6=40千米/小时乙的速度为：240÷2-40=80千米/小时答：甲的速度40千米/小时乙的速度80千米/小时；(4)解：令甲出发t小时甲乙相距100千米由题意得相遇前：80t+40t+100=240 解得t=76相遇后：40t-100=80t-240或80(t-2)+40(t-2)=100解得t=3.5或t=176故答案为：76或3.5或176．【变式训练1】为抗击疫情支援B市A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市乙车行驶途中发生故障原地维修此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x （h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h 乙车出发时速度是_______km/h ；(2)求乙车返回过程中乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【答案】(1)100 60；(2)1001200y x =-+；(3)3 6.3 9.1 【解析】(1)解：根据图象可得甲车5h 的路程为500km∴甲的速度为：500÷5=100km/h ；乙车5h 的路程为300km ∴乙的速度为：300÷5=60km/h ；故答案为：100；60；(2)设()0y kx b k =+≠ 由图象可得经过点（9 300）（12 0）点代入得9300120k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1001200k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+； (3)解：设乙出发的时间为t 时相距120km根据图象可得当0<t <5时 100t -60t =120 解得：t =3；当5<t <5.5时根据图象可得不满足条件；当5.5<t <8时 500-100（t -5.5）-300=120 解得：t =6.3；当8<t <9时 100（t -8）=120 解得：t =9.2 不符合题意舍去；当9<t <12时 100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120 解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时两车之间的距离为120km ．【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化人们出行的时间与方式有了更多的选择某市有出租车、滴滴快车等网约车收费标准见下图．费用为多少元？(2)若从甲地到乙地乘坐滴滴快车比出租车多用15元求甲、乙两地间的里程数．【答案】(1)出租车的费用为28.8元． (2)甲地到乙地的路程为14公里．【解析】(1)解：14+2.49328.8（元）答：出租车的费用为28.8元．(2)解：设甲地到乙地的路程为x 公里当3x ≤时12+2.5600.41415,40x x解得：1703,31x 所以不符合题意舍去当3x >时则14+2.431512 2.5600.4,40xx x解得：14,x =答：甲地到乙地的路程为14公里．【变式训练3】A 、B 两地相距480km C 地在A 、B 两地之间．一辆轿车以100km /h 的速度从A 地出发匀速行驶前往B 地．同时一辆货车以80km /h 的速度从B 地岀发匀速行驶前往A 地．（1）当两车相遇时求轿车行驶的时间；（2）当两车相距120km 时求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达B 地后立刻以120km /h 的速度原路返回再次经过C 地两次经过C 地的时间间隔为2.2h 求C 地距离A 地路程．【解答】解：（1）设两车相遇时轿车行驶的时间为t 小时由题意可得 100t +80t ＝480。

2024年沪科版七年级数学上册 3.5 二元一次方程组的应用课时 3(课件)

随堂练习
解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g.
根据题意，得
0.6x + 0.5y = 34， 0.08x + 0.04y = 4.
解方程组，得
x = 40， y = 20.
答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者
的需要.
【教材P122 练习第2题】
5. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车
故该商场有两种进货方案：
①购进 25 台甲种电视机和 25 台乙种电视机； ②购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机.
随堂练习
（2）方案①的利润为 200×25 + 250×25 ＝11 250（元），方案②的利润为 200×30＋300×20 ＝12 000（元）. 因为 12 000 > 11 250，所以购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机可使售完后获利最大，最大利润为 12 000 元.
随堂练习分析：
图形图① 图②
等量关系一个塑料凳子的高度 + 多叠放 2 个塑料凳子增
加的高度 = 55 cm
一个塑料凳子的高度 + 多叠放 4 个塑料凳子增加的高度 = 65 cm
随堂练习
解: 设 1 个塑料凳子的高度为 x cm，每叠放 1 个塑料凳子+ 2y = 55， x + 4y = 65.
则
8x + 20 y 115 4
解得 x = 5， y = 15.
解: 碰碰车每辆车租金 5 元，游船每条船租金 15 元.
随堂练习 2. 如图，塑料凳子轻便实用，在日常生活中随处可见. 若 3 个塑料凳子叠放在一起的高度如图①所示，5 个塑料凳子叠放在一起的高度如图②所示，则当 10 个塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少厘米？

2024年湘教版七年级数学上册 3.7二元一次方程组的应用课时1(课件)

新知探究知识点二元一次方程组的应用
例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两
种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙
两种商品原来的单价.
本问题涉及的等量关系：
甲商品原单价+乙商品原单价=100元
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1－5%) 元
第3章一次方程（组）
3.7 二元一次方程组的应用
课时1
七上数学 XJ
学习目标
1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基
本步骤.
2.通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现
实世界中含有多个未知数问题的数学模型.
课堂导入
1. 列方程最关键的步骤是什么？
关键在于找到问题的等量关系.
2. 解二元一次方程组目前学习了哪几种方法？
列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部
含义的两个等量关系；
设根据问题设出两个未知数；
列根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解解这个方程组，得出未知数的值；
验检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
答写出答.
随堂练习
1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1
对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅
2
膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.
16
随堂练习
【课本P130 练习第1题】
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种
合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、

2020年初一数学一元一次方程的13种应用题型全解析

一、工程问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。

列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：【方法突破】工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。

二、比赛计分问题【典例探究】例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。

已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。

解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.例2某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。

一次方程的定义

一次方程的定义一次方程是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个领域。

一次方程可以用来描述线性关系，解决实际问题以及进行数学推理。

在本文中，我们将探讨一次方程的定义、性质和应用，并通过具体的例子来说明其重要性。

一次方程，也称为一元一次方程，是指只含有一个未知数的一次幂的方程。

一般形式可以表示为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。

这个方程的解即为能够使方程成立的x的值。

解一次方程的基本思想就是通过逆运算将未知数从方程中解出来。

例如，对于方程2x + 3 = 0，我们可以通过逆运算将3移到等号的另一边，得到2x = -3，然后再除以2，最终得到x = -3/2。

一次方程的性质非常重要，它们可以帮助我们理解方程的解以及解方程的方法。

首先，一次方程只有一个解或无解，不可能有两个或更多个解。

其次，方程的解可以通过图像的方法来表示，即在坐标系中画出方程的图像，解即为方程与x轴的交点。

另外，一次方程的解还可以通过代数的方法来求解，如等式平衡法、加减消元法和代入法等。

一次方程在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，一次方程可以用来描述供需关系，帮助决策者制定合理的价格和产量；在物理学中，一次方程可以用来描述速度、加速度和力的关系，帮助科学家研究物体的运动规律；在工程学中，一次方程可以用来描述电路中电流和电压的关系，帮助工程师设计电路和解决电路故障等。

举个例子来说明一次方程的应用。

假设小明去超市购买水果，他发现苹果的单价是3元/个，橙子的单价是2元/个。

如果他买了x个苹果和y个橙子，总共花费了10元，那么我们可以建立如下一次方程来描述这个问题：3x + 2y = 10。

通过解这个方程，我们可以得到小明购买了几个苹果和橙子，从而了解他购买水果的情况。

在解一次方程的过程中，我们需要注意一些常见的错误。

首先，我们需要注意方程中的系数和常数的正负情况，以免在计算过程中出现错误。

其次，我们需要注意方程中的运算符号，如加号和减号，以免在移项时出现错误。

一元一次方程组

一元一次方程组一元一次方程组是二元一次方程的特殊情况，其中只包含一个未知数和一个方程。

本文将介绍一元一次方程组的定义、解法以及应用。

通过清晰的排版和通顺的语句，全文将尽力提供良好的阅读体验。

定义一元一次方程组是指只包含一个未知数和一个方程的方程组。

一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知数且a≠0。

该方程组的目标是找到使方程成立的未知数x的值。

解法求解一元一次方程组的基本方法是移项和消元法。

下面将详细介绍这两种方法。

移项法：1. 将方程组中的常数项移至方程的一边，形成ax = -b的方程。

2. 给方程两边除以a，得到x = -b/a。

消元法：1. 将方程两边都乘以一个适当的数，使得两个方程的系数相同或相反。

2. 将两个方程相减得到一个只包含未知数的新方程，求解该方程得到未知数x的值。

3. 将求得的x的值代入任意一个方程中，计算出另一个未知数的值。

应用一元一次方程组在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 财务问题：假设你计算了一个月的花费，其中包括食物、房租和交通费用。

已知食物费用是房租费用的两倍，而交通费用是食物费用的三倍。

你可以建立一个一元一次方程组来计算每种费用的具体金额。

2. 生产问题：假设你在某家工厂工作，负责某种产品的生产。

已知每天生产的产品数量与每天工作的小时数成正比。

你可以建立一个一元一次方程组来计算每天需要工作多少小时，以达到一定的产量。

3. 投资问题：假设你有两种投资渠道可以选择。

已知这两种投资的年化收益率分别是10%和5%，而你投资的总额是5000元。

你可以建立一个一元一次方程组来计算每种投资的具体金额，以最大化收益。

总结一元一次方程组是数学中的基础概念，对于解决实际问题有很大的帮助。

本文介绍了一元一次方程组的定义，解法以及应用场景，并提供了清晰的排版和通顺的语句，希望对您的阅读体验有所帮助。

注意：文章中不提供任何网址链接，而是通过文字叙述方式向读者传递信息。

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课题：6.11（2）一次方程组的应用
傅雷中学单守娟
教时：1课时
教学目标：
1、经历用一次方程组解应用题的过程，再一次体验方程思想是解决实际问题的有力工具.
2、借助列表的方法，分析问题中所包含的数量关系，列出方程组.
教学重点：
进一步体验列方程组解决实际问题的过程,借助列表的方法，分析问题中所包含的数量关系，列出方程组.
教学难点：
对一些复杂的数量关系，借助列表的方法来分析，并列出方程组，解决实际问题. 教学过程：
一、复习引入
1、列一次方程（组）解应用题的一般步骤
1）设未知数（元）2）列方程（组）3）解方程(组) 4）检验并作答.
2、列一次方程（组）解应用题的关键：
设出未知数，找出等量关系.
3、用生活中的电费单、水费单、送货单相关的图片引入
出示3副图片，引导学生观察这些图片，是以怎样的形式反映电费等相关数据，从而引出表格是实际生活中常用的数据显示方式.
二、新课探索
引例：甲班原有学生是乙班的32，现在从乙班调5人到甲班，那么甲班人数就相当于乙班人数的87，甲、乙班原来各有学生多少人？
分析：
设甲、乙班原来分别有学生x 人、y 人.
等量关系：甲班原有学生=乙班的
32；现甲班人数=现乙班人数的87. 列出方程组：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)5(87532y x y x
小结：我们常常借助表格把应用问题中前后变化的数据直观地表示出来，从而准确地列出方程（组）. 例1：小明家用的是分时电表，电费的单价谷时段比平时段便宜0.31元.本月小明家平时段的用电量是283千瓦时，谷时段的用电量是127千瓦时，电费金额共计210.73元.求分时电表平时段、谷时段每千瓦时的价格各是多少元.
分析：
设平时段、谷时段每千瓦时的价格分别是x 元、y 元.
等量关系：平时段单价-谷时段单价=0.31；平时段总金额+谷时段总金额=210.73.
解：设平时段、谷时段每千瓦时的价格分别是x 元、y 元.
由题意得，⎩⎨⎧=+=-73
.21012728331.0y x y x 解得，⎩
⎨⎧==30.061.0y x 答：平时段每千瓦时的价格是0.61元，谷时段每千瓦时的价格是0.30元.
练习一：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一端为下坡路.她跑步去学校共用了16分，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8千米/小时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/小时.问小颖上坡、下坡各用了多少时间?
设小颖上坡用了x 小时，下坡用了y 小时.
等量关系：上坡路程+下坡路程=1.88；上坡时间+下坡时间=60
16小时. 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+88
.1128.46016y x y x
例2：一名篮球队员在一场比赛中15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍.问：这名篮球队员投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球？
分析：
设这名篮球队员投中了x 个三分球，y 个两分球，z 个罚球
等量关系：两分球的个数=三分球个数的3倍；三分球个数+两分球个数+罚球个数=10；三分球总得分+两分球总得分+罚球总得分=20.
列出方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=2023103z y x z y x z y
练习二：
某小农场有柳树苗、梧桐树苗、松树苗共90棵，其中梧桐树苗棵数是松树苗棵数的2倍.已知柳树苗每棵售价180元，梧桐树苗每棵售价150元，松树树苗每棵售价200元.若把所有树苗都卖出，则可卖得15400元.问柳树苗、梧桐树苗、松树苗各有多少棵?
设柳树苗、梧桐树苗、松树苗分别有x 棵、y 棵、z 棵.
等量关系：柳树苗棵数+梧桐树苗+松树苗
=90；梧桐树苗棵数=松树苗棵数的2倍；
柳树苗总金额+梧桐树苗总金额+松树苗总金额=15400元.
列出方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧=++==++15400200150180290z y x z y z y x
思考题：水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，某城市制定了居民每月用水标准8立方米，超过部分加价收费，某户居民连续两个月的用水量和水费分别为12立方米、22元；10立方米、16.2元，试求该市居民每月用水收费标准？
三、课堂小结
列表分析题意列方程组是一种好的方法，也有助于培养我们解决问题的能力.
一般的：找出题中的各个事件和基本量，列出表格，将题中的数据填入表格，再通过设未知数表达各个总量，根据等量关系列出相应的方程（组）.
四、作业布置
1、练习册：6.11；
2、学习单上的解题过程整理.。